Excel求解目标函数最小值_百度知道
Excel求解目标函数最小值
麻烦哪位讲下Excel中具体要怎么操作，第二图是我在Excel里搞的，就是算不出来，拜托了！！
就是规划求解不出来
我有更好的答案
解决方法：1）删除x1和x2，在D3单元格输入，x1=3,x2=6。你的方法有问题解的出来
那D4，D5填什么？
其他的都不变。打开规划求解时，D3是目标单元格。
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数学建模的相关问题求解方法
数学建模的相关问题求解方法：1.量纲分析法是在物理领域建立数学模型的一种方法，主要是依据物理定律的量纲齐次原则来确定个物理量之间的关系，量纲齐次原则是指一个有意义的物理方程的量纲必须一致的，也就是说方程的两边必须具有相同的量纲，即： dim 左=dim 右 并且，方程中每一边的每一项都必须有相同的量纲。例子见书《数学建模方法与实践》P17—P232.线性规划法线性规划法是运筹学的一个重要分支应用领域广泛。从解决各种技术领域中的优化问题，到工农业生产、商业经济、交通运输、军事等的计划和管理及决策分析。线性规划所解决的问题具有以下共同的特征：（1） 每一个问题都有一组未知数（x1,x2,……，xn）表示某一方案；这些未知数的一组定值就代表一个具体方案。由于实际问题的要求，通常这些未知数取值都是非负的。（2） 存在一定的限制条件（即约束条件） ，这些条件是关于未知数的一组线性等式或线性不等式来表示。（3） 有一个目标要求，称为目标函数。目标函数可表示为一组未知数的线性函数。根据问题的需要，要求目标函数实现最大化或最小化。例子见书《数学建模方法与实践》P26—P303.0—1规划法用于解决指派问题，是线性规划的特殊情况。 例子见书《数学建模方法与实践》P314.图解法用于求解二维线性规划的一种几何方法，其方法步骤见书《数学建模方法与实践》P345.单纯形法也是一种求解线性规划的常用方法，其基本原理和方法见书《数学建模方法与实践》P37——P39，计算步骤 P40。6.非线性规划法在目标函数和（或）约束条件很难用线性函数表示时，如果目标函数或约束条件中，有一个或多个是变量的非线性函数，则称这种规划问题为非线规划问题。 例子见书《数学建模方法与实践》P44——P457.最短路及狄克斯特拉算法狄克斯特拉算法是图论中用于计算最短路的一种方法，详见书《数学建模方法与实践》P588.克罗斯克尔算法克罗斯克尔算法是用来求解一个连通的赋权图的最小生成树的方法，详见书《数学建模方法与实践》P599.普莱姆算法 同上10.欧拉回路及弗洛来算法欧拉回路是指若存在一条回路。使他经过图中每一条边且只经过一次又回到起始点，成这种回路为欧拉回路，并成图为欧拉图。在一个图中，连接一个节点的边数称为该节点的度数。欧拉图的性质见书《数学建模方法与实践》P61。 弗罗莱算法是计算欧拉回路的一种方法。详见书《数学
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高中数学必修(5)人教A版教案全套
高 一 数 学 教 案 (必修五)重庆铁路中学陈昭旭数学 5课题:第一章 解三角形§1．1．1 正弦定理授课类型：新授课●教学目标 知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正 弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生 通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。 情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探 索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物 之间的普遍联系与辩证统一。 ●教学重点 正弦定理的探索和证明及其基本应用。 ●教学难点 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 如图 1．1-1，固定 ? ABC 的边 CB 及 ? B，使边 AC 绕着顶点 C 转动。 A 思考： ? C 的大小与它的对边 AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边 AB 的长度随着其对角 ? C 的大小的增大而增大。能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B Ⅱ.讲授新课 [探索研究] (图 1．1-1) 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如 图 1．1-2，在 Rt ? ABC 中，设 BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有a ? sin A ， cb c ? sin B ，又 sinC ? 1 ? , c c a b c 则 ? ? ?c sin A sin B sinC a b c 从而在直角三角形 ABC 中， ? ? sin A sin B sin CA b C a (图 1．1-2) c B思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析） 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图 1．1-3，当 ? ABC 是锐角三角形时，设边 AB 上的高是 CD，根据任意角三角函数的定义，有 CD= a sin B ? b sin A ,则 同理可得 从而asin A，?bsin B， b AC a c (图 1．1-3) BcsinC ??bsin B?asin Absin Bcsin C思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 ? ??? ? ? （证法二） ：过点 A 作 j ? AC ， C 由向量的加法可得 则AB ? AC ? CB? ??? ??????? ??? ?j ? AB ? j ?(AC ? CB )? ??? ? ??? ? ??? ? ? ? ? ∴ j ? AB ? j ? AC ? j ? CB? ??? ??? ? ?AB? ? j? ??? ? ? ??? ? j AB cos? 900 ? A ? ? 0 ? j CB cos? 900 ? C ?∴ csin A? asinC ，即a c ? sin A sin C? ??? ? 同理，过点 C 作 j ? BC ，可得从而b c ? sin B sin Casin A sin B sin C 类似可推出，当 ? ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。 （由学生课后自己推导） 从上面的研探过程，可得以下定理 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即?b?casin A sin B sin C [理解定理] （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数 k 使 a ? k sin A ， b ? k sin B ， c ? k sinC ；（2）?b?casin A sin B sin C 从而知正弦定理的基本作用为：?b?c等价于asin A?bsin B，csinC?bsin B，asin A?csin C①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如 a ?b sin A ； sin B②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如 sin A ? sin B 。 一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。 [例题分析] 例 1．在 ?ABC 中，已知 A ? 32.00 ， B ?81.80 ， a ? 42.9 cm，解三角形。 解：a b评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。例 2． ?ABC 中， 在 已知 a ? 20 cm，b ? 28 cm，A? 400 ， 解三角形 （角度精确到 10 ， 边长精确到 1cm） 。 解：评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。 Ⅲ.课堂练习 第 5 页练习第 1（1） 、2（1）题。 [补充练习]已知 ? ABC 中， sin A :sin B :sinC ? 1:2:3 ，求 a :b :c （答案：1：2：3）Ⅳ.课时小结（由学生归纳总结） （1）定理的表示形式：asin A sin B sinC 或 a ? k sin A ， b ? k sin B ， c ? k sinC (k ? 0)（2）正弦定理的应用范围： ①已知两角和任一边，求其它两边及一角； ②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。 Ⅴ.课后作业 第 10 页[习题 1.1]A 组第 1（1） 、2（1）题。 ●板书设计 ●教学后记?b?c?a ? b ?c ? k ? k ? 0? ； sin A ? sin B ? sinC课题:§1.1.2 余弦定理授课类型：新授课●教学目标 知识与技能： 掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法， 并会运用余弦定理解决两类基 本的解三角形问题。 过程与方法： 利用向量的数量积推出余弦定理及其推论， 并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基 本的解三角形问题 情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦 定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。 ●教学重点 余弦定理的发现和证明过程及其基本应用； ●教学难点 勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 C 如图 1．1-4，在 ? ABC 中，设 BC=a,AC=b,AB=c, 已知 a,b 和 ? C，求边 c A b c (图 1．1-4) a BⅡ.讲授新课 [探索研究] 联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？ 用正弦定理试求，发现因 A、B 均未知，所以较难求边 c。 由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 ? ? ? ? ??? ? ?? ? ??? ? 如图 1．1-5，设 CB ? a ， CA ? b ， AB ? c ，那么 c ? a ? b ，则A? b? a? cc ? c ?c ? a ? b a ? b? ? ? ? ? a ? a ? ? ? b ?? a?? b b 2 ?2 2 ? a ? b ? 2a ? b?2? ?? ??? ??????CB从而c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC(图 1．1-5)同理可证 于是得到以下定理a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos Ab 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B余弦定理： 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积 的两倍。即a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos Ab 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？ （由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：cos A? cos B ? cosC ?b2 ? c 2 ? a 2 2bc a 2 ? c 2 ? b2 2ac b2 ? a 2 ? c 2 2ba[理解定理] 从而知余弦定理及其推论的基本作用为： ①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其它角。 思考： 勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系， 余弦定理则指出了一般三角形中三边平 方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？ （由学生总结）若 ? ABC 中，C= 900 ，则 cosC ? 0 ，这时 c2 ? a2 ? b2 由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。 [例题分析] 例 1．在 ? ABC 中，已知 a ? 2 3 ， c ? 6 ? 2 ， B ? 600 ，求 b 及 A评述：解法二应注意确定 A 的取值范围。 例 2．在 ? ABC 中，已知 a ?134.6cm ， b ?87.8cm ， c ?161.7cm ，解三角形 （见课本第 8 页例 4，可由学生通过阅读进行理解）Ⅲ.课堂练习 第 8 页练习第 1（1） 、2（1）题。 [补充练习]在 ? ABC 中，若 a 2 ? b 2 ? c 2 ? bc ，求角 A（答案：A=120 0 ） Ⅳ.课时小结 （1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例； （2）余弦定理的应用范围：①．已知三边求三角；②．已知两边及它们的夹角，求第三边。 Ⅴ.课后作业 ①课后阅读：课本第 9 页[探究与发现] ②课时作业：第 11 页[习题 1.1]A 组第 3（1） ，4（1）题。 ●教学后记课题:§1．1．3 解三角形的进一步讨论授课类型：新授课●教学目标 知识与技能：掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三 角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。 过程与方法：通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公 式及三角形有关性质求解三角形问题。 情感态度与价值观：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关 系， 反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能， 从而从本质上反映了事物之间的内在联 系。 ●教学重点 在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形； 三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。 ●教学难点 正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 [创设情景] 思考：在 ? ABC 中，已知 a ? 22cm ， b ? 25cm ， A ? 1330 ，解三角形。 （由学生阅读课本第 9 页解答过程） 从此题的分析我们发现， 在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时， 在某些条件下会出现 无解的情形。下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。 Ⅱ.讲授新课 [探索研究] b 例 1．在 ? ABC 中，已知 a, ,A ，讨论三角形解的情况（解答过程详见课本第 9 ? 10 页）评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当 A 为锐角且 b sin A ? a ? b 时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。 [随堂练习 1] （1）在 ? ABC 中，已知 a ? 80 ， b ? 100 ， ?A ? 450 ，试判断此三角形的解的情况。 （2）在 ? ABC 中，若 a ? 1 ， c ?1 ， ?C ? 400 ，则符合题意的 b 的值有_____个。 2（3）在 ? ABC 中， a ? xcm ， b ? 2 ， ?B ? 450 ，如果利用正弦定理解三角形有两解，求 x 的取值范 cm 围。 （答案： （1）有两解； （2）0； （3） 2 ? x ? 2 2 ） 例 2．在 ? ABC 中，已知 a ? 7 ， b ? 5 ， c ? 3 ，判断 ? ABC 的类型。a 2 ? b 2 ? c 2 ? A是直角 ? ?ABC是直角三角形 分析：由余弦定理可知 a 2 ? b 2 ? c 2 ? A是钝角 ? ?ABC是钝角三角形 a 2 ? b 2 ? c 2 ? A是锐角? ?ABC是锐角三角形[随堂练习 2] （1）在 ? ABC 中，已知 sin A :sin B :sinC ? 1:2:3 ，判断 ? ABC 的类型。 （2）已知 ? ABC 满足条件 a cosA ? b cosB ，判断 ? ABC 的类型。 （答案： （1） ?ABC是钝角三角形 ； （2） ? ABC 是等腰或直角三角形）例 3．在 ? ABC 中， A ? 600 ， b ? 1 ，面积为3 a ? b ?c ，求 的值 2 sin A ? sin B ? sin CⅢ.课堂练习 （1）在 ? ABC 中，若 a ? 55 ， b ? 16 ，且此三角形的面积 S ? 220 3 ，求角 C （2）在 ? ABC 中，其三边分别为 a、b、c，且三角形的面积 S ? （答案： （1） 600 或 1200 ； （2） 450 ） Ⅳ.课时小结 （1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形； （2）三角形各种类型的判定方法； （3）三角形面积定理的应用。 Ⅴ.课后作业 （1）在 ? ABC 中，已知 b ? 4 ， c ? 10 ， B ? 300 ，试判断此三角形的解的情况。 （2）设 x、x+1、x+2 是钝角三角形的三边长，求实数 x 的取值范围。 （3）在 ? ABC 中， A ? 600 ， a ? 1 ， b ? c ? 2 ，判断 ? ABC 的形状。 （4）三角形的两边分别为 3cm，5cm,它们所夹的角的余弦为方程 5x 2 ? 7x ? 6 ? 0 的根， 求这个三角形的面积。 ●教学后记a2 ? b 2 ?c 24，求角 C课题:§2.2 解三角形应用举例第一课时 授课类型：新授课●教学目标 知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用 的测量相关术语 过程与方法：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。其次结合学生的实 际情况，采用“提出问题――引发思考――探索猜想――总结规律――反馈训练”的教学过程，根据大 纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示， 帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。对于例 2 这样的开放性题目要鼓励学生讨论，开放多种思 路，引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正 情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学 符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力 ●教学重点 实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解 ●教学难点 根据题意建立数学模型，画出示意图 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 1、[复习旧知] 复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？ 2、[设置情境] 请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题， “遥不可及的 月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什 么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量 方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在 实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法 来测量，所以，有些方法会有局限性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。今天我们开 始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。 Ⅱ.讲授新课 （1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和 所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解 [例题讲解] (2)例 1、如图，设 A、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在 A 的同侧，在所在 的河岸边选定一点 C， 测出 AC 的距离是 55m， BAC= 51? ， ACB= 75? 。 A、 两点的距离(精确到 0.1m) 求 B ? ? 启发提问 1： ? ABC 中，根据已知的边和对应角，运 用哪个定理比较适当？ 启发提问 2： 运用该定理解题还需要那些边和角呢？ 请学生回答。变式练习：两灯塔 A、B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 30 ? ，灯塔 B 在观察站 C 南偏东 60 ? ，则 A、B 之间的距离为多少？ 老师指导学生画图，建立数学模型。例 2、如图，A、B 两点都在河的对岸（不可到达） ，设计一种测量 A、B 两点间距离的方法。 分析：这是例 1 的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需要构造三角形，所 以需要确定 C、D 两点。根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分 别求出 AC 和 BC，再利用余弦定理可以计算出 AB 的距离。分组讨论：还没有其它的方法呢？师生一起对不同方法进行对比、分析。 变式训练： 若在河岸选取相距 40 米的 C、 两点， D 测得 ? BCA=60 ? ， ACD=30 ? ， CDB=45 ? ， BDA =60 ? ? ? ?评注： 可见， 在研究三角形时， 灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案， 但有些过程较繁复， 如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式。 学生阅读课本 4 页，了解测量中基线的概念，并找到生活中的相应例子。 Ⅲ.课堂练习 课本第 14 页练习第 1、2 题 Ⅳ.课时小结 解斜三角形应用题的一般步骤： （1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图 （2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜 三角形的数学模型 （3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解 （4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解 Ⅴ.课后作业课本第 22 页第 1、2、3 题 ●教学后记课题:§2.2 解三角形应用举例第二课时 授课类型：新授课●教学目标 知识与技能： 能够运用正弦定理、 余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的 问题 过程与方法：本节课是解三角形应用举例的延伸。采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正 确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架。通过 3 道例题的安排和练习的训练来巩固深化解三 角形实际问题的一般方法。教学形式要坚持引导――讨论――归纳，目的不在于让学生记住结论，更多的 要养成良好的研究、探索习惯。作业设计思考题，提供学生更广阔的思考空间 情感态度与价值观：进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力 ●教学重点 结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题 ●教学难点 能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 提问：现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞 机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方面的问题 Ⅱ.讲授新课 [范例讲解] 例 1、AB 是底部 B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度 AB 的方法。 分析：求 AB 长的关键是先求 AE，在 ? ACE 中，如能求出 C 点到建筑物顶部 A 的距离 CA，再测出由 C 点观察 A 的 仰角，就可以计算出 AE 的长。例 2、 如图， 在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角 ? =54 ? 40? ， 在塔底 C 处测得 A 处的俯角 ? =50 ? 1? 。 已知铁塔 BC 部分的高为 27.3 m,求出山高 CD(精确到 1 m)例 3、如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到 A 处时测得公路南侧远处一山顶 D 在东偏南 15 ? 的方向上,行驶 5km 后到达 B 处,测得此山顶在东偏南 25 ? 的方向上,仰角为 8 ? ,求此山的高度 CD.Ⅲ.课堂练习 课本第 17 页练习第 1、2、3 题 Ⅳ.课时小结 利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图,要懂得从所给的背景资料中 进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化。 Ⅴ.课后作业 1、 课本第 23 页练习第 6、7、8 题 2、 为测某塔 AB 的高度，在一幢与塔 AB 相距 20m 的楼的楼顶处测得塔顶 A 的仰角为 30 ? ，测得塔基 B 的俯角为 45 ? ，则塔 AB 的高度为多少 m？（答案：20+20 3 (m)） 3●板书设计 ●教学后记课题: §2.2 解三角形应用举例 第三课时 授课类型：新授课 ●教学目标 知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题 过程与方法：本节课是在学习了相关内容后的第三节课，学生已经对解法有了基本的了解，这节课应通 过综合训练强化学生的相应能力。除了安排课本上的例 1，还针对性地选择了既具典型性有具启发性的 2 道例题，强调知识的传授更重能力的渗透。课堂中要充分体现学生的主体地位，重过程，重讨论，教 师通过导疑、导思让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律， 举一反三。 情感态度与价值观：培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并在教学过程中激发 学生的探索精神。 ●教学重点 能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系 ●教学难点 灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 [创设情境] 提问： 前面我们学习了如何测量距离和高度， 这些实际上都可转化已知三角形的一些边和角求其余边的 问题。然而在实际的航海生活中,人们又会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方 向，保持一定的航速和航向呢？今天我们接着探讨这方面的测量问题。 Ⅱ.讲授新课 [范例讲解] 例 1、如图，一艘海轮从 A 出发，沿北偏东 75 ? 的方向航行 67.5 n mile 后到达海岛 B,然后从 B 出发, 沿北偏东 32 ? 的方向航行 54.0 n mile 后达到海岛 C.如果下次航行直接从 A 出发到达 C,此船应该沿怎 样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到 0.1 ? ,距离精确到 0.01n mile)例 2、在某点 B 处测得建筑物 AE 的顶端 A 的仰角为 ? ，沿 BE 方向前进 30m，至点 C 处测得顶端 A 的仰 角为 2 ? ，再继续前进 10 3 m 至 D 点，测得顶端 A 的仰角为 4 ? ，求 ? 的大小和建筑物 AE 的高。例 3、某巡逻艇在 A 处发现北偏东 45 ? 相距 9 海里的 C 处有一艘走私船，正沿南偏东 75 ? 的方向以 10 海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以 14 海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该 沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？评注：在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必 须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解 Ⅲ.课堂练习 课本第 18 页练习 Ⅳ.课时小结 解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况： （1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次 利用正弦定理或余弦定理解之。 （2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的 三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解。 Ⅴ.课后作业 1、课本第 23 页练习第 9、10、11 题 2、我舰在敌岛 A 南偏西 50? 相距 12 海里的 B 处,发现敌舰正由岛沿北偏西 10? 的方向以 10 海里/小时的 速度航行.问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用 2 小时追上敌舰？（角度用反三角函数表示）●教学后记课题:§2.2 解三角形应用举例授课类型：新授课●教学目标 知识与技能： 能够运用正弦定理、 余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题, 掌握三角形的 面积公式的简单推导和应用 过程与方法： 本节课补充了三角形新的面积公式， 巧妙设疑， 引导学生证明， 同时总结出该公式的特点， 循序渐进地具体运用于相关的题型。 另外本节课的证明题体现了前面所学知识的生动运用， 教师要放手 让学生摸索，使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点，能不拘一格，一题多解。只 要学生自行掌握了两定理的特点，就能很快开阔思维，有利地进一步突破难点。 情感态度与价值观：让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步 培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验 ●教学重点 推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目 ●教学难点 利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 [创设情境] 师：以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另一个表达公式。在? ABC 中，边 BC、CA、AB 上的高分别记为 h a 、h b 、h c ，那么它们如何用已知边和角表示？生：h a =bsinC=csinB h b =csinA=asinC h c =asinB=bsinaA 师：根据以前学过的三角形面积公式 S= 出下面的三角形面积公式，S=1 ah,应用以上求出的高的公式如 h a =bsinC 代入，可以推导 21 absinC，大家能推出其它的几个公式吗？ 2 1 1 生：同理可得，S= bcsinA, S= acsinB 2 2师：除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外，知道哪些条件也可求出三角形的面积呢？ 生：如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求解 Ⅱ.讲授新课 [范例讲解] 例 1、在 ? ABC 中，根据下列条件，求三角形的面积 S（精确到 0.1cm 2 ） （1）已知 a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5 ? ; （2）已知 B=62.7 ? ,C=65.8 ? ,b=3.16 （3）已知三边的长分别为 a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm 分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积。例 2、如图,在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三 角形区域的三条边长分别为 68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精确到 0.1cm 2 ）？ 师：你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗？ 生：本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解。 由学生解答，老师巡视并对学生解答进行讲评小结。例 3、在 ? ABC 中，求证： （1）a 2 ? b 2 sin 2 A ? sin 2 B ? ; c2 sin 2 C（2） a 2 + b 2 + c 2 =2（bccosA+cacosB+abcosC） 分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的特点，联想到用正弦定理 来证明变式练习 1：已知在 ? ABC 中， ? B=30 ? ,b=6,c=6 3 ,求 a 及 ? ABC 的面积 S 提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数。变式练习 2：判断满足下列条件的三角形形状， （1） acosA = bcosB （2） sinC =sin A ? sin B cos A ? cos B提示：利用正弦定理或余弦定理， “化边为角”或“化角为边”Ⅲ.课堂练习 课本第 21 页练习第 1、2 题 Ⅳ.课时小结 利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式， 然后化简并考察 边或角的关系， 从而确定三角形的形状。 特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者 混用。 Ⅴ.课后作业 课本第 23 页练习第 12、14、15 题 ●教学后记第二章数列课题: §2.1 数列的概念与简单表示法 授课类型：新授课 （第 1 课时） ●教学目标 知识与技能：理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项 公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。 过程与方法：通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象 概括能力． 情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。 ●教学重点 数列及其有关概念，通项公式及其应用 ●教学难点 根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 三角形数：1，3，6，10，? 正方形数：1，4，9，16，25，? Ⅱ.讲授新课 ⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列. 注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么 它们就是不同的数列； ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. ⒉ 数列的项： 数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第 1 项 （或首项） ， 第 2 项，?，第 n 项，?. 例如，上述例子均是数列，其中①中， “4”是这个数列的第 1 项（或首项）“9”是这个数列中的 ， 第 6 项. ⒊数列的一般形式： a1 , a 2 , a3 ,?, a n ,? ，或简记为 ?a n ?，其中 a n 是数列的第 n 项 结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. ②中，这是一个数列，它的首项是“1”“ ，王新敞奎屯 新疆1 ”是这个 3数列的第“3”项，等等 下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一 个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②， 第一项与这一项的序号有这样的对应关系： 1 1 1 1 项 1 2 3 4 5 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 序号 1 2 3 4 5 这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式： a n ?1 来表示其对应关系 n即：只要依次用 1，2，3?代替公式中的 n，就可以求出该数列相应的各项 结合上述其他例子，练习找其对应关系 ⒋ 数列的通项公式：如果数列 ?a n ?的第 n 项 a n 与 n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式. 注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④； ⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，?它的通项公式可以是an ?1 ? (?1) n ?1 n ?1 ，也可以是 a n ?| cos ? |. 2 2⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项. 数列的通项公式具有双重身份， 它表示了数列的第 项， 又是这个数列中所有各项的一般表示． 通 项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可 求出数列的每一项． 5.数列与函数的关系 数列可以看成以正整数集 N （或它的有限子集{1，2，3，?，n}）为定义域的函数 an ? f (n) ，当自变*量从小到大依次取值时对应的一列函数值。 反过来， 对于函数 y=f(x),如果 f(i) （i=1、 3、 2、 4?） 有意义， 那么我们可以得到一个数列 f(1)、 f(2)、f(3)、 f(4)?，f(n)，?6．数列的分类： 1）根据数列项数的多少分： 有穷数列：项数有限的数列.例如数列 1，2，3，4，5，6。是有穷数列 无穷数列：项数无限的数列.例如数列 1，2，3，4，5，6?是无穷数列 2）根据数列项的大小分： 递增数列：从第 2 项起，每一项都不小于它的前一项的数列。 递减数列：从第 2 项起，每一项都不大于它的前一项的数列。 常数数列：各项相等的数列。 摆动数列：从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 观察：课本 P33 的六组数列，哪些是递增数列，递减数列，常数数列，摆动数列？ [范例讲解] 课本 P34-35 例 1 Ⅲ.课堂练习 课本 P36[练习]3、4、5 [补充练习]：根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1) 3, 5, 9, 17, 33,??； (2)6 8 10 2 4 , , , , , ??； 3 15 35 63 99(3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,??； (4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ??； (5) 2, －6, 12, －20, 30, －42,??Ⅳ.课时小结 本节课学习了以下内容：数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前 n 项求一 些简单数列的通项公式。 Ⅴ.课后作业 课本 P38 习题 2.1A 组的第 1 题 ●板书设计 ●教学后记课题: §2.1 数列的概念与简单表示法 授课类型：新授课 （第２课时） ●教学目标 知识与技能：了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列 的前几项；理解数列的前 n 项和与 a n 的关系 过程与方法：经历数列知识的感受及理解运用的过程。 情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。 ●教学重点 根据数列的递推公式写出数列的前几项 ●教学难点 理解递推公式与通项公式的关系 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 [复习引入] 数列及有关定义 Ⅱ.讲授新课 数列的表示方法 1、 通项公式法如果数列 ?a n ?的第 n 项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这 个数列的通项公式。如数列 的通项公式为 的通项公式为 ； ；的通项公式为 2、 图象法；启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项数为横坐标，相应的项为纵坐标，即以为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列为例，做出一个 轴的右侧，数列的图象） 所得的数列的图形是一群孤立的点， ， 因为横坐标为正整数， 所以这些点都在而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势． 3、 递推公式法 知识都来源于实践，最后还要应用于生活 用其来解决一些实际问题． 观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型． 模型一：自上而下： 第 1 层钢管数为 4；即：1 ? 4＝1+3王新敞奎屯 新疆第 2 层钢管数为 5；即：2 ? 5＝2+3 第 3 层钢管数为 6；即：3 ? 6＝3+3 第 4 层钢管数为 7；即：4 ? 7＝4+3 第 5 层钢管数为 8；即：5 ? 8＝5+3 第 6 层钢管数为 9；即：6 ? 9＝6+3 第 7 层钢管数为 10；即：7 ? 10＝7+3 若用 a n 表示钢管数，n 表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且 an ? n ? 3(1 ≤n≤7） 运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型， 运用这一关系， 会很快捷地求 出每一层的钢管数 这会给我们的统计与计算带来很多方便。 让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？（启发学生寻找规律） 模型二：上下层之间的关系 自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多 1。王新敞奎屯 新疆即 a1 ? 4 ； a2 ? 5 ? 4 ? 1 ? a1 ? 1 ； a3 ? 6 ? 5 ? 1 ? a 2 ? 1 依此类推： a n ? a n ?1 ? 1 （2≤n≤7） 对于上述所求关系，若知其第 1 项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要。 定义： 递推公式：如果已知数列 ?a n ?的第 1 项（或前几项） ，且任一项 a n 与它的前一项 a n ?1 （或前 n 项）间 的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式 递推公式也是给出数列的一种方法。 如下数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89 递推公式为： a1 ? 3, a2 ? 5, an ? an?1 ? an?2 (3 ? n ? 8) 数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：列表法， 图象法，解析式法．相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用 示第一项，??，用 4、列表法．简记为 ．表示第一项，用表表示第项，依次写出成为[范例讲解]a1 ? 1 ? ? 例 3 设数列 ?a n ?满足 ? 写出这个数列的前五项。 1 ? an ? 1 ? a ( n ? 1). n ?1 ?[补充例题] 例 4 已知 a1 ? 2 ， an?1 ? 2an 写出前 5 项，并猜想 a n ．Ⅲ.课堂练习 课本 P36 练习 2 [补充练习] 1．根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式 (1) a1 ＝0, a n ?1 ＝ a n ＋(2n－1) (n∈N)； (2) a1 ＝1, a n ?1 ＝2a n (n∈N)； an ? 2(3) a1 ＝3, a n ?1 ＝3 a n －2 (n∈N).Ⅳ.课时小结 本节课学习了以下内容： 1．递推公式及其用法； 2．通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项（或 n 项）之间的关 系. Ⅴ.课后作业 习题 2。1A 组的第 4、6 题 ●教学后记课题:§2.2 等差数列授课类型：新授课 （第 1 课时）●教学目标 知识与技能：了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差 数列; 正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指 定的项 过程与方法：经历等差数列的简单产生过程和应用等差数列的基本知识解决问题的过程。 情感态度与价值观：通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维， 追求新知的创新意识。 ●教学重点 等差数列的概念，等差数列的通项公式。 ●教学难点 等差数列的性质 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 [创设情境] 上两节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示的数列的几种方法――列举法、通项公式、递推公 式、图象法.这些方法从不同的角度反映数列的特点。下面我们看这样一些例子。 课本 P41 页的 4 个例子： ①0，5，10，15，20，25，? ②48，53，58，63 ③18，15.5，13，10.5，8，5.5 ④1，1，10366 观察：请同学们仔细观察一下，看看以上四个数列有什么共同特征？ ?共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）（误：每相邻两项的差 ； 相等――应指明作差的顺序是后项减前项） ，我们给具有这种特征的数列一个名字――等差数列 Ⅱ.讲授新课 1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列 就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示） 。 ⑴．公差 d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求； ⑵．对于数列{ a n },若 a n － a n ?1 =d (与 n 无关的数或字母)，n≥2，n∈N ，则此数列是等差数 列，d 为公差。 思考：数列①、②、③、④的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？ 2．等差数列的通项公式： a n ? a1 ? (n ? 1)d 【或 a n ? a m ? (n ? m)d 】 等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得 若一等差数列 ?a n ?的首项是 a1 ，公差是 d，则据王新敞奎屯 新疆?其定义可得：a2 ? a1 ? d 即： a 2 ? a1 ? da3 ? a 2 ? d 即： a3 ? a2 ? d ? a1 ? 2da 4 ? a3 ? d 即： a 4 ? a3 ? d ? a1 ? 3d?? 由此归纳等差数列的通项公式可得： a n ? a1 ? (n ? 1)d ∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项 a1 和公差 d，便可求得其通项 a n 。 由上述关系还可得： a m ? a1 ? (m ? 1)d 即： a1 ? a m ? (m ? 1)d 则： a n ? a1 ? (n ? 1)d = a m ? (m ? 1)d ? (n ? 1)d ? a m ? (n ? m)d 即等差数列的第二通项公式 [范例讲解] 例 1 ⑴求等差数列 8，5，2?的第 20 项 ⑵ -401 是不是等差数列-5，-9，-13?的项？如果是，是第几项？a n ? a m ? ( n ? m) d∴ d=am ? an m?n例 3 已知数列{ a n }的通项公式 a n ? pn ? q ， 其中 p 、q 是常数， 那么这个数列是否一定是等差数列？ 若是，首项与公差分别是什么？ 分析：由等差数列的定义，要判定 ?a n ?是不是等差数列，只要看 a n ? a n ?1 （n≥2）是不是一个与 n 无关的常数。注：①若 p=0，则{ a n }是公差为 0 的等差数列，即为常数列 q，q，q，… ②若 p≠0, 则{ a n }是关于 n 的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数 y=px+q 的图 象上,一次项的系数是公差,直线在 y 轴上的截距为 q. ③数列{ a n }为等差数列的充要条件是其通项 a n =pn+q (p、q 是常数)，称其为第 3 通项公式。 ④判断数列是否是等差数列的方法是否满足 3 个通项公式中的一个。 Ⅲ.课堂练习 课本 P45 练习 1、2、3、4 [补充练习] 1.（1）求等差数列 3，7，11，??的第 4 项与第 10 项. 分析：根据所给数列的前 3 项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项.解：根据题意可知： a1 =3,d=7－3=4.∴该数列的通项公式为： a n =3+（n－1）×4,即 a n =4n－1（n ≥1,n∈N*）∴ a 4 =4×4－1=15, a10 =4×10－1=39. 评述：关键是求出通项公式. （2）求等差数列 10，8，6，??的第 20 项. 解：根据题意可知： a1 =10,d=8－10=－2. ∴该数列的通项公式为： a n =10+（n－1）×（－2）,即： a n =－2n+12,∴ a 20 =－2×20+12=－28. 评述：要注意解题步骤的规范性与准确性. （3）100 是不是等差数列 2，9，16，??的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由. 分析： 要想判断一数是否为某一数列的其中一项， 则关键是要看是否存在一正整数 n 值， 使得 a n 等 于这一数. 解：根据题意可得： a1 =2,d=9－2=7. ∴此数列通项公式为： a n =2+（n－1）×7=7n－5. 令 7n－5=100,解得：n=15, ∴100 是这个数列的第 15 项.1 ，－7，??的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由. 2 1 7 7 解：由题意可知： a1 =0,d=－3 ∴此数列的通项公式为： a n =－ n+ , 2 2 2 7 7 47 7 7 令－ n+ =－20,解得 n= 因为－ n+ =－20 没有正整数解，所以－20 不是这个数列的项. 2 2 7 2 2（4）－20 是不是等差数列 0，－3 Ⅳ.课时小结 通过本节学习， 首先要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式：a n － a n ?1 =d ， （n≥2， n∈N ） . 其次，要会推导等差数列的通项公式： a n ? a1 ? (n ? 1)d ，并掌握其基本应用.最后，还要注意一重要 关系式： a n ? a m ? (n ? m)d 和 a n =pn+q (p、q 是常数)的理解与应用. Ⅴ.课后作业 课本 P45 习题 2.2[A 组]的第 1 题 ●板书设计 ●授后记?课题:§2.2 等差数列授课类型：新授课 （第２课时）●教学目标 知识与技能： 明确等差中项的概念； 进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式, 能通过通项公式 与图像认识等差数列的性质，能用图像与通项公式的关系解决某些问题。 过程与方法：通过等差数列的图像的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想。 情感态度与价值观：通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透 特殊与一般的辩证唯物主义观点。 ●教学重点 等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用 ●教学难点 灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 首先回忆一下上节课所学主要内容： 1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即 a n － a n ?1 =d ， （n≥2，n∈N ? ） ，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母 “d”表示） 2．等差数列的通项公式：王新敞奎屯 新疆a n ? a1 ? (n ? 1)d( a n ? a m ? (n ? m)d 或 a n =pn+q (p、q 是常数))3．有几种方法可以计算公差 d ① d= a n － a n ?1 ② d=a n ? a1 n ?1③ d=an ? am n?mⅡ.讲授新课 问题：如果在 a 与 b 中间插入一个数 A，使 a ，A， b 成等差数列数列，那么 A 应满足什么条件？ 由定义得 A- a = b -A 反之，若 A ? ，即： A ?a?b ，则 A- a = b -A 2 a?b 由此可可得： A ? ? a, b, 成等差数列 2[补充例题] 例a?b 2在等差数列{ a n }中，若 a1 + a 6 =9, a 4 =7, 求 a 3 , a 9 .分析：要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必须知道这个数列 中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项（知道任意两项就知道公差） ，本题中，只已知一 项，和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手?? 解：∵ {an }是等差数列 ∴ a1 + a 6 = a 4 + a 3 =9 ? a 3 =9－ a 4 =9－7=2∴ d= a 4 － a 3 =7－2=5∴ a 9 = a 4 +(9－4)d=7+5*5=32∴ a 3 =2, a 9 =32[范例讲解] 课本 P44 的例 2 解略 课本 P45 练习 5 已知数列{ a n }是等差数列 （1） 2a5 ? a3 ? a 7 是否成立？ 2a5 ? a1 ? a 9 呢？为什么？ （2） 2an ? an ?1 ? a n?1 (n ? 1) 是否成立？据此你能得到什么结论？ （3） 2an ? an ? k ? a n?k (n ? k ? 0) 是否成立？？你又能得到什么结论？ 结论： （性质）在等差数列中，若 m+n=p+q，则， a m ? a n ? a p ? a q 即 m+n=p+q ? a m ? a n ? a p ? a q (m, n, p, q ∈N ) 但通常 ①由 a m ? a n ? a p ? a q 推不出 m+n=p+q ，② a m ? a n ? a m ? n 探究：等差数列与一次函数的关系 Ⅲ.课堂练习 1.在等差数列 ?a n ?中，已知 a 5 ? 10 ， a12 ? 31 ，求首项 a1 与公差 d 2. 在等差数列 ?a n ?中, 若 a5 ? 6 Ⅳ.课时小结 节课学习了以下内容： 1． A ?a8 ? 15 求 a14a?b ? a, A, b, 成等差数列 22．在等差数列中， m+n=p+q ? a m ? a n ? a p ? a q (m, n, p, q ∈N ) Ⅴ.课后作业 课本 P46 第 4、5 题 ●板书设计 ●授后记 课题: §3.3等差数列的前 n 项和授课类型：新授课 （第 1 课时）●教学目标 知识与技能： 掌握等差数列前 n 项和公式及其获取思路； 会用等差数列的前 n 项和公式解决一些简单的 与前 n 项和有关的问题 过程与方法：通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律， 初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与 广阔性的训练，发展学生的思维水平. 情感态度与价值观：通过公式的推导过程，展现数学中的对称美。 ●教学重点 等差数列 n 项和公式的理解、推导及应●教学难点 灵活应用等差数列前 n 项公式解决一些简单的有关问题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 “小故事”: 高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说: “现在给大家出道 题目: 1+2+?100=?” 过了两分钟,正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10?算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说： “1+2+3+?+100=5050。 教师问： “你是如何算出答案的？ 高斯回答说：因为 1+100=101； 2+99=101；?50+51=101，所以 101×50=5050” 这个故事告诉我们： （1）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某 些规律性的东西。 （2）该故事还告诉我们求等差数列前 n 项和的一种很重要的思想方法，这就是下面我们要介绍的“倒 序相加”法。 Ⅱ.讲授新课 1．等差数列的前 n 项和公式 1： S n ? 证明：n(a1 ? a n ) 2① ②S n ? a1 ? a 2 ? a3 ? ? ? a n?1 ? a n S n ? an ? an?1 ? an?2 ? ? ? a2 ? a1①+②： 2S n ? (a1 ? a n ) ? (a 2 ? a n ?1 ) ? (a3 ? a n ?2 ) ? ? ? (a n ? a n ) ∵ a1 ? a n ? a 2 ? a n ?1 ? a3 ? a n?2 ? ?? ∴ 2S n ? n(a1 ? a n ) 由此得： S n ?n(a1 ? a n ) 2王新敞奎屯 新疆从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性 2． 等差数列的前 n 项和公式 2： S n ? na1 ?n(n ? 1)d 2用上述公式要求 S n 必须具备三个条件： n, a1 , a n 但 a n ? a1 ? (n ? 1)d 代入公式 1 即得： S n ? na1 ?n(n ? 1)d 2此公式要求 S n 必须已知三个条件： n, a1 , d （有时比较有用） [范例讲解] 课本 P49-50 的例 1、例 2、例 3由例 3 得与 a n 之间的关系： 由 S n 的定义可知，当 n=1 时， S 1 = a1 ；当 n≥2 时， a n = S n - S n ?1 ， 即 an = ??S1 (n ? 1) . ?S n ? S n ?1 ( n ? 2)Ⅲ.课堂练习 课本 P52 练习 1、2、3、4 Ⅳ.课时小结 本节课学习了以下内容： 1.等差数列的前 n 项和公式 1： S n ?n(a1 ? a n ) 2n(n ? 1)d 22.等差数列的前 n 项和公式 2： S n ? na1 ? Ⅴ.课后作业 课本 P52-53 习题[A 组]2、3 题 ●板书设计 ●授后记课题: §2.3 等差数列的前 授课类型：新授课 （第２课时）n 项和●教学目标 知识与技能：进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前 n 项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用 它们解决一些相关问题；会利用等差数列通项公式与前 项和的公式研究 的最值；过程与方法：经历公式应用的过程； 情感态度与价值观：通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于 生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题。 ●教学重点 熟练掌握等差数列的求和公式 ●教学难点 灵活应用求和公式解决问题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 首先回忆一下上一节课所学主要内容： 1.等差数列的前 n 项和公式 1： S n ?n(a1 ? a n ) 22.等差数列的前 n 项和公式 2： S n ? na1 ? Ⅱ.讲授新课 探究：――课本 P51 的探究活动n(n ? 1)d 2结论：一般地，如果一个数列 ?a n ?, 的前 n 项和为 Sn ? pn 2 ? qn ? r ，其中 p、q、r 为常数，且 p ? 0 ， 那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？ 由 Sn ? pn 2 ? qn ? r ，得 S1 ? a1 ? p ? q ? r 当 n ? 2 时 an ? Sn ? Sn ?1 = ( pn ? qn ? r ) ? [ p(n ? 1) ? q(n ? 1) ? r ] = 2 pn ? ( p ? q)2 2? d ? an ? an?1 ? [2 pn ? ( p ? q)] ? [2 p(n ? 1) ? ( p ? q)] =2p对等差数列的前 n 项和公式2： S n ? na1 ?n(n ? 1)d 可化成式子： 2Sn ?d 2 d n ? (a 1 ? )n ，当 d≠0，是一个常数项为零的二次式 2 2[范例讲解] 等差数列前项和的最值问题 课本 P51 的例 4 解略 小结： 对等差数列前项和的最值问题有两种方法: （1） 利用 a n : 当 a n &0，d&0，前n项和有最大值 可由 a n ≥0，且 a n ?1 ≤0，求得n的值王新敞奎屯 新疆王新敞奎屯新疆当 a n &0，d&0，前n项和有最小值 可由 a n ≤0，且 a n ?1 ≥0，求得n的值王新敞奎屯 新疆王新敞奎屯新疆（2） 利用 S n ： 由 Sn ?d 2 d n ? (a 1 ? )n 利用二次函数配方法求得最值时 n 的值 2 2Ⅲ.课堂练习 1．一个等差数列前 4 项的和是 24，前 5 项的和与前 2 项的和的差是 27，求这个等差数列的通项公式。 2．差数列{ a n }中, a 4 ＝－15, 公差 d＝3, 求数列{ a n }的前 n 项和 S n 的最小值。 Ⅳ.课时小结2 1．前 n 项和为 Sn ? pn ? qn ? r ，其中 p、q、r 为常数，且 p ? 0 ，一定是等差数列，该数列的首项是 a1 ? p ? q ? r 公差是 d=2p 通项公式是 an ? ??S1 ? a1 ? p ? q ? r , 当n ? 1 时? S n ? S n ?1 ? 2 pn ? ( p ? q ), 当n ? 2 时2．差数列前项和的最值问题有两种方法:（1）当 a n &0，d&0，前n项和有最大值 可由 a n ≥0，且 a n ?1 ≤0，求得n的值。王新敞奎屯 新疆当 a n &0，d&0，前n项和有最小值 可由 a n ≤0，且 a n ?1 ≥0，求得n的值。王新敞奎屯 新疆（2）由 S n ?d 2 d n ? (a 1 ? )n 利用二次函数配方法求得最值时n的值 2 2Ⅴ.课后作业 课本 P53 习题[A 组]的 5、6 题 ●板书设计 ●授后记课题: §2.4 等比数列 授课类型：新授课 （第 1 课时） ●教学目标 知识与技能：掌握等比数列的定义；理解等比数列的通项公式及推导； 过程与方法：通过实例，理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质，能在具体的问 题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；体会等比数列与指数函数的关系。 情感态度与价值观：充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现 实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。 ●教学重点 等比数列的定义及通项公式 ●教学难点 灵活应用定义式及通项公式解决相关问题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入? 复习：等差数列的定义： a n － a n ?1 =d ， （n≥2，n∈N ）等差数列是一类特殊的数列，在现实生活中，除了等差数列，我们还会遇到下面一类特殊的数列。 课本 P41 页的 4 个例子： ①1，2，4，8，16，? ②1，1 1 1 1 ， ， ， ，? 2 4 8 16③1，20， 202 ， 203 ， 204 ，? ④ 18 ， 182 ， 183 ， 184 ， 185 ，?? 观察：请同学们仔细观察一下，看看以上①、②、③、④四个数列有什么共同特征？ 共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数。 Ⅱ.讲授新课 1．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么 这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母 q 表示（q≠0） ，即：an =q a n ?1（q≠0） 1?“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q) ｛ a n ｝成等比数列 ?a n ?1 =q（ n ? N ? ,q≠0） an2? 隐含：任一项 a n ? 0且q ? 0 “ a n ≠0”是数列｛ a n ｝成等比数列的必要非充分条件． 3? q= 1 时，{an}为常数。 2.等比数列的通项公式 1: a n ? a1 ? q n ?1 (a1 ? q ? 0) 由等比数列的定义，有：a 2 ? a1q ；a3 ? a 2 q ? (a1 q)q ? a1 q 2 ；a 4 ? a3 q ? (a1 q 2 )q ? a1 q 3 ；? ? ? ? ? ? ?a n ? a n?1q ? a1 ? q n?1 (a1 ? q ? 0)王新敞奎屯新疆3.等比数列的通项公式 2: a n ? a m ? q m?1 (a1 ? q ? 0) 4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列 探究：课本 P56 页的探究活动――等比数列与指数函数的关系 等比数列与指数函数的关系： 等比数列｛ a n ｝的通项公式 a n ? a1 ? q n ?1 (a1 ? q ? 0) ,它的图象是分布在曲线 y ? 的一些孤立的点。 当 a1 ? 0 ，q &1 时，等比数列｛ a n ｝是递增数列； 当 a1 ? 0 ， 0 ? q ? 1 ，等比数列｛ a n ｝是递增数列； 当 a1 ? 0 ， 0 ? q ? 1 时，等比数列｛ a n ｝是递减数列； 当 a1 ? 0 ，q &1 时，等比数列｛ a n ｝是递减数列； 当 q ? 0 时，等比数列｛ a n ｝是摆动数列；当 q ? 1 时，等比数列｛ a n ｝是常数列。 [范例讲解] 课本 P57 例 1、例 2、P58 例 3 Ⅲ.课堂练习 课本 P59 练习 1、2 [补充练习] 解略。a1 x q （q&0）上 q2.（1） 一个等比数列的第 9 项是4 1 ，公比是－ ，求它的第 1 项（答案： a1 =2916） 9 3a （2） 一个等比数列的第 2 项是 10， 3 项是 20， 第 求它的第 1 项与第 4 项 （答案： 1 =Ⅳ.课时小结 本节学习内容：等比数列的概念和等比数列的通项公式． Ⅴ.课后作业 课本 P60 习题 A 组 1、2 题 ●板书设计 ●授后记 课题: §2.4 等比数列 授课类型：新授课 （第２课时）a2 =5, a 4 = a 3 q=40） q●教学目标 知识与技能： 灵活应用等比数列的定义及通项公式； 深刻理解等比中项概念； 熟悉等比数列的有关性质， 并系统了解判断数列是否成等比数列的方法 过程与方法：通过自主探究、合作交流获得对等比数列的性质的认识。 情感态度与价值观：充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现 实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。 ●教学重点 等比中项的理解与应用 ●教学难点 灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 首先回忆一下上一节课所学主要内容： 1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数 列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母 q 表示（q≠0） ，即： 0） 2.等比数列的通项公式: a n ? a1 ? q n ?1 (a1 ? q ? 0) ， a n ? a m ? q n ?m (a m ? q ? 0) 3． a n ｝成等比数列 ? ｛ 充分条件 4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列 Ⅱ.讲授新课 1．等比中项：如果在 a 与 b 中间插入一个数 G，使 a,G，b 成等比数列，那么称这个数 G 为 a 与 b 的等比中项. 即 G=± ab （a,b 同号）an =q（q≠ a n ?1a n ?1 =q（ n ? N ? ,q≠0） “ a n ≠0”是数列｛ a n ｝成等比数列的必要非 an如果在 a 与 b 中间插入一个数 G，使 a,G，b 成等比数列，则 反之，若 G 2 =ab,则 [范例讲解]G b ? ? G 2 ? ab ? G ? ? ab ， a GG b ? ，即 a,G,b 成等比数列。∴a,G,b 成等比数列 ? G 2 =ab（a?b≠0） a G课本 P58 例 4 证明：设数列 ?a n ?的首项是 a1 ，公比为 q1 ; ?bn ? 的首项为 b1 ，公比为 q 2 ，那么数 列 ?a n ? bn ?的第 n 项与第 n+1 项分别为：a1 ? q1n ?1? b1 ? q 2n ?1与a1 ? q1 ? b1 ? q 2 即为a1b1 (q1q 2 ) n?1 与a1b1 (q1q 2 ) nn n?a n ?1 ? bn ?1 a b (q q ) n ? 1 1 1 2 n ?1 ? q1 q 2 . a n ? bn a1b1 (q1 q 2 )它是一个与 n 无关的常数，所以 ?an ? bn ?是一个以 q1q2 为公比的等比数列 拓展探究： 对于例 4 中的等比数列{ an }与{ bn }，数列{an }也一定是等比数列吗？ bn an a ，则 cn ?1 ? n ?1 bn bn ?1探究：设数列{ an }与{ bn }的公比分别为 q1和q2 ，令 cn ?an ?1 a cn ?1 bn ?1 a b q ? ? ? ( n ?1 )? n ?1 ) ? 1 ，所以，数列{ n }也一定是等比数列。 ( an bn cn an bn q2 bn课本 P59 的练习 42 2 已知数列{ an }是等比数列， （1） a5 ? a3 a7 是否成立？ a5 ? a1a9 成立吗？为什么？ 2 （2） an ? an ?1an ?1 (n ? 1) 是否成立？你据此能得到什么结论？ 2 an ? an ?k an ? k (n ? k ? 0) 是否成立？你又能得到什么结论？结论：2．等比数列的性质：若 m+n=p+k，则 a m a n ? a p a k 在等比数列中，m+n=p+q， a m , a n , a p , a k 有什么关系呢？m ?1 由定义得： a m ? a1 qa n ? a1 q n ?12a p ? a1 q p ?1p ?k ?2a k ? a1 ? q k ?1a m ? a n ? a1 q m? n ? 22， a p ? a k ? a1 q则 am an ? a p akⅢ.课堂练习 课本 P59-60 的练习 3、5 Ⅳ.课时小结 1、若 m+n=p+q， a m ? a n ? a p ? a q2、若 ?a n ?, ?bn ?是项数相同的等比数列，则 ?an ? bn ?、{ Ⅴ.课后作业 课本 P60 习题 2.4A 组的 3、5 题 ●板书设计 ●授后记an }也是等比数列 bn课题: §2.5 等比数列的前 授课类型：新授课 （2 课时）n 项和●教学目标 知识与技能： 掌握等比数列的前 n 项和公式及公式证明思路； 会用等比数列的前 n 项和公式解决有关等 比数列的一些简单问题。 过程与方法：经历等比数列前 n 项和的推导与灵活应用，总结数列的求和方法，并能在具体的问题情 境中发现等比关系建立数学模型、解决求和问题。 情感态度与价值观：在应用数列知识解决问题的过程中，要勇于探索，积极进取，激发学习数学的热 情和刻苦求是的精神。 ●教学重点 等比数列的前 n 项和公式推导 ●教学难点 灵活应用公式解决有关问题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 [创设情境] [提出问题]课本 P62“国王对国际象棋的发明者的奖励” Ⅱ.讲授新课 [分析问题]如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是 1，公 比是 2，求第一个格子到第 64 个格子各格所放的麦粒数总合就是求这个等比数列的前 64 项的和。下面 我们先来推导等比数列的前 n 项和公式。 1、 等比数列的前 n 项和公式： 当 q ? 1 时， S n ?a1 (1 ? q n ) ① 1? q或 Sn ?a1 ? a n q 1? q②当 q=1 时， S n ? na1 当已知 a1 , q, n 时用公式①；当已知 a1 , q, a n 时，用公式②. 公式的推导方法一： 一般地，设等比数列 a1 , a 2 ? a3 ,? a n ? 它的前 n 项和是S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ? an由??S n ? a1 ? a 2 ? a3 ? ? a nn ?1 ?a n ? a1 q2 n?2 n ?1 ? ?S n ? a1 ? a1 q ? a1 q ? ? a1 q ? a1 q 得? ?qS n ? a1 q ? a1 q 2 ? a1 q 3 ? ? a1 q n ?1 ? a1 q n ?? (1 ? q) S n ? a1 ? a1q na1 (1 ? q n ) ∴当 q ? 1 时， S n ? ① 1? q当 q=1 时， S n ? na1 公式的推导方法二： 有等比数列的定义，或 Sn ?a1 ? a n q 1? q②a a 2 a3 ? ??? n ? q a1 a 2 a n ?1 a 2 ? a3 ? ? ? a n S ? a1 ? n ?q a1 ? a 2 ? ? ? a n ?1 S n ? a n根据等比的性质，有即S n ? a1 ? q ? (1 ? q) S n ? a1 ? a n q （结论同上） S n ? an围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式． 公式的推导方法三：S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ? an ＝ a1 ? q(a1 ? a2 ? a3 ? ? an?1 )＝ a1 ? qSn ?1 ＝ a1 ? q( S n ? a n )? (1 ? q) S n ? a1 ? a n q （结论同上）[解决问题] 有了等比数列的前 n 项和公式，就可以解决刚才的问题。 由 a1 ? 1, q ? 2, n ? 64 可得Sn ?a1 (1 ? q n ) 1? (1 ? 264 ) 64 = = 2 ? 1。 1? q 1? 2264 ? 1这个数很大，超过了 1.84 ?1019 。国王不能实现他的诺言。[例题讲解] 课本 P65-66 的例 1、例 2 Ⅲ.课堂练习 课本 P66 的练习 1、2、3 Ⅳ.课时小结 例 3 解略等比数列求和公式：当 q=1 时， S n ? na1 Ⅴ.课后作业 课本 P69 习题 A 组的第 1、2 题 ●板书设计 ●授后记当 q ? 1 时， S n ?a1 ? a n q 1? q或 Sn ?a1 (1 ? q n ) 1? q课题: §2.5 等比数列的前 授课类型：新授课 （第２课时） ●教学目标n 项和知识与技能：会用等比数列的通项公式和前 n 项和公式解决有关等比数列的 S n , a n , a1 , n, q 中知道三个 数求另外两个数的一些简单问题；提高分析、解决问题能力 过程与方法：通过公式的灵活运用，进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想. 情感态度与价值观：通过公式推导的教学，对学生进行思维的严谨性的训练，培养他们实事求是的科 学态度. ●教学重点 进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前 n 项和公式 ●教学难点 灵活使用公式解决问题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 首先回忆一下前一节课所学主要内容： 等比数列的前 n 项和公式： 当 q ? 1 时， S n ?a1 (1 ? q n ) ① 1? q或 Sn ?a1 ? a n q 1? q②当 q=1 时， S n ? na1 当已知 a1 , q, n 时用公式①；当已知 a1 , q, a n 时，用公式② Ⅱ.讲授新课 1、等比数列前 n 项，前 2n 项，前 3n 项的和分别是 Sn，S2n，S3n，2 2 求证： S n ? S2 n ? S n (S2 n ? S3n )2、设 a 为常数，求数列 a，2a ，3a ，?，na ，?的前 n 项和； （1）a=0 时，Sn=0 （2）a≠0 时，若 a=1，则 Sn=1+2+3+?+n=n-1 n23n1 n( n ? 1) 2若 a≠1，Sn-aSn=a（1+a+?+a -na ） ，Sn=a [1 ? ( n ? 1)a n ? na n ?1 ] 2 (1 ? a )Ⅲ.课堂练习Ⅳ.课时小结Ⅴ.课后作业●板书设计 ●授后记课题：数列复习小结 2 课时教学目的： 1．系统掌握数列的有关概念和公式。 2．了解数列的通项公式 a n 与前 n 项和公式 S n 的关系。 3．能通过前 n 项和公式 S n 求出数列的通项公式 a n 。 授课类型：复习课 课时安排：2 课时 教学过程： 一、本章知识结构二、知识纲要 (1)数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列． (2)等差、等比数列的定义． (3)等差、等比数列的通项公式． (4)等差中项、等比中项． (5)等差、等比数列的前 n 项和公式及其推导方法． 三、方法总结 1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想． 2．等差、等比数列中，a 1 、 a n 、n、d(q)、 S n “知三求二” ，体现了方程(组)的思想、整体思想， 有时用到换元法． 3．求等比数列的前 n 项和时要考虑公比是否等于 1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论 的思想． 4．数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价 转化等． 四、知识精要：1、数列 [数列的通项公式] a n ? ??a1 ? S1 (n ? 1) ?S n ? S n?1 (n ? 2)[数列的前 n 项和] S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an2、等差数列 [等差数列的概念] [定义]如果一个数列从第 2 项起， 每一项与它的前一项的差等于同一个常数， 那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示。 [等差数列的判定方法] 1． 定义法：对于数列 ?a n ?，若 a n ?1 ? a n ? d (常数)，则数列 ?a n ?是等差数列。 2．等差中项：对于数列 ?a n ?，若 2a n ?1 ? a n ? a n ? 2 ，则数列 ?a n ?是等差数列。 [等差数列的通项公式] 如果等差数列 ?a n ?的首项是 a1 ，公差是 d ，则等差数列的通项为 a n ? a1 ? (n ? 1)d 。 [说明]该公式整理后是关于 n 的一次函数。 [等差数列的前 n 项和] 1． S n ?n(a1 ? a n ) 22.S n ? na1 ?n(n ? 1) d 2[说明]对于公式 2 整理后是关于 n 的没有常数项的二次函数。 [等差中项] 如果 a ， A ， b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项。即： A ?a?b 或 2A ? a ? b 2[说明]：在一个等差数列中，从第 2 项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一 项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。 [等差数列的性质] 1．等差数列任意两项间的关系：如果 a n 是等差数列的第 n 项， a m 是等差数列的第 m 项，且 m ? n ， 公差为 d ，则有 a n ? a m ? (n ? m)d 2． 对于等差数列 ?a n ?，若 n ? m ? p ? q ，则 a n ? a m ? a p ? a q 。a1 n ??????a???? ? ? a , a2 , a3 ,?, an? , an? , a ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ?? ，如图所示： 1 ??? ??2 ?1 n ? ?? a2 ?an ?1也就是： a1 ? an3．若数列 ?a n ?是等差数列， S n 是其前 n 项的和， k ? N * ，那么 S k ， S 2 k ? S k ， S 3k ? S 2 k 成等差数 列。如下图所示：???????????S 3k ??????????? ? ? ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ak ? ak ?1 ? ? ? a2k ? a2k ?1 ? ? ? a3k ???? ??? ? ? ?? ??? ??? ?? ? ? ? ?Sk S 2k ? S k S 3k ? S 2 k3、等比数列 [等比数列的概念] [定义]如果一个数列从第 2 项起， 每一项与它的前一项的比等于同一个常数， 那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 q 表示（ q ? 0 ） 。 [等比中项] 如果在 a 与 b 之间插入一个数 G ，使 a ， G ， b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项。 也就是，如果是的等比中项，那么 [等比数列的判定方法] 1． 定义法：对于数列 ?a n ?，若a n ?1 ? q(q ? 0) ，则数列 ?a n ?是等比数列。 anG b 2 ? ，即 G ? ab 。 a G2 2．等比中项：对于数列 ?a n ?，若 a n a n ? 2 ? a n ?1 ，则数列 ?a n ?是等比数列。[等比数列的通项公式] 如果等比数列 ?a n ?的首项是 a1 ，公比是 q ，则等比数列的通项为 a n ? a1 q n ?1 。 [等比数列的前 n 项和] 1 ○ Sn ?a1 (1 ? q n ) (q ? 1) 1? q2 ○ Sn ?a1 ? a n q (q ? 1) 1? q3 ○当 q ? 1 时， S n ? na1[等比数列的性质] 1．等比数列任意两项间的关系：如果 a n 是等比数列的第 n 项， a m 是等差数列的第 m 项，且 m ? n ， 公比为 q ，则有 a n ? a m q n?m 3． 对于等比数列 ?a n ?，若 n ? m ? u ? v ，则 a n ? a m ? au ? ava ?????1?an???? ? ? a , a2 , a ,?, an? , an? , a 也就是： a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ?? 。如图所示： 1 ??3 ? ?2 ? 1 n ? ? ? ? a2 ?an ?14．若数列 ?an ?是等比数列， S n 是其前 n 项的和， k ? N * ，那么 S k ， S 2k ? S k ， S 3k ? S 2k 成等比数列。 如下图所示：???????????S 3k ??????????? ? ? ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ak ? ak ?1 ? ? ? a2k ? a2k ?1 ? ? ? a3k ???? ??? ? ? ?? ??? ??? ?? ? ? ? ?Sk S 2k ? S k S 3k ? S 2 k4、数列前 n 项和 （1）重要公式：1 ? 2 ? 3 ? ?n ?n(n ? 1) ； 212 ? 2 2 ? 32 ? ? n 2 ?n(n ? 1)( 2n ? 1) ； 61 13 ? 2 3 ? ? n 3 ? [ n(n ? 1)] 2 2王新敞奎屯新疆（2）等差数列中， S m? n ? S m ? S n ? mnd （3）等比数列中， S m? n ? S n ? q n S m ? S m ? q m S n （4）裂项求和：1 1 1 ； n ? n!? (n ? 1)!?n!） （ ? ? n(n ? 1) n n ? 1第三章不等式课题: §3.1 不等式与不等关系 第 1 课时 授课类型：新授课 【教学目标】 1． 知识与技能： 通过具体情景， 感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系， 理解不等式 （组） 的实际背景，掌握不等式的基本性质； 2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法； 3．情态与价值：通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯。 【教学重点】 用不等式 （组） 表示实际问题的不等关系， 并用不等式 （组） 研究含有不等关系的问题。 理解不等式 （组） 对于刻画不等关系的意义和价值。 【教学难点】 用不等式（组）正确表示出不等关系。 【教学过程】1.课题导入在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。如两点之间线段最短，三角形两 边之和大于第三边，等等。人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于 等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。在数学中，我们用不等式来表示不等关系。 下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。2.讲授新课1）用不等式表示不等关系 引例 1：限速 40km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度 v 不超过 40km/h，写成不 等式就是：v ? 40引例 2： 某品牌酸奶的质量检查规定， 酸奶中脂肪的含量应不少于 2.5%， 蛋白质的含量 p 应不少于 2.3%， 写成不等式组就是――用不等式组来表示? f ? 2.5% ? ? p ? 2.3%问题 1：设点 A 与平面 ? 的距离为 d,B 为平面 ? 上的任意一点，则 d ?| AB | 。问题 2：某种杂志原以每本 2.5 元的价格销售，可以售出 8 万本。据市场调查，若单价每提高 0.1 元， 销售量就可能相应减少 2000 本。若把提价后杂志的定价设为 x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍 不低于 20 万元呢？ 解：设杂志社的定价为 x 元，则销售的总收入为 (8 ? 收入仍不低于 20 万元”可以表示为不等式x ? 2.5 ? 0.2) x 万元，那么不等关系“销售的总 0.1(8 ?x ? 2.5 ? 0.2) x ? 20 0.1问题 3：某钢铁厂要把长度为 4000mm 的钢管截成 500mm 和 600mm 两种。按照生产的要求，600mm 的数量 不能超过 500mm 钢管的 3 倍。怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？ 解：假设截得 500 mm 的钢管 x 根，截得 600mm 的钢管 y 根。根据题意，应有如下的不等关系： （1）截得两种钢管的总长度不超过 4000 （2）截得 600mm 钢管的数量不能超过 500mm 钢管数量的 3 倍； （3）截得两种钢管的数量都不能为负。 要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：?500 x ? 600 y ? 4000; ? 3 x ? ? ? x ? 0; ? ? y ? 0. ?3.随堂练习1、试举几个现实生活中与不等式有关的例子。 2、课本 P82 的练习 1、24.课时小结用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。5.评价设计课本 P83 习题 3.1[A 组]第 4、5 题 【板书设计】【授后记】 第 2 课时 授课类型：新授课 【教学目标】 1．知识与技能：掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式； 2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法； 3．情态与价值：通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力. 【教学重点】 掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式； 【教学难点】 利用不等式的性质证明简单的不等式。 【教学过程】1.课题导入在初中，我们已经学习过不等式的一些基本性质。 请同学们回忆初中不等式的的基本性质。（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不改变； 即若 a ? b ? a ? c ? b ? c （2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变； 即若 a ? b, c ? 0 ? ac ? bc （3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。 即若 a ? b, c ? 0 ? ac ? bc2.讲授新课1、不等式的基本性质： 师：同学们能证明以上的不等式的基本性质吗？ 证明：1）∵(a＋c)－(b＋c) ＝a－b＞0， ∴a＋c＞b＋c2）? (a ? c) ? (b ? c) ? a ? b ? 0 ， ∴a?c ?b?c．实际上，我们还有 a ? b, b ? c ? a ? c ，（证明：∵a＞b，b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0． 根据两个正数的和仍是正数，得 (a－b)＋(b－c)＞0， 即 a－c＞0， ∴a＞c． 于是，我们就得到了不等式的基本性质： （1） a ? b, b ? c ? a ? c （2） a ? b ? a ? c ? b ? c （3） a ? b, c ? 0 ? ac ? bc （4） a ? b, c ? 0 ? ac ? bc 2、探索研究思考，利用上述不等式的性质，证明不等式的下列性质： （1） a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d ； （2） a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd ； （3） a ? b ? 0, n ? N , n ? 1 ? a n ? n a ? n b 。 证明： 1）∵a＞b， ∴a＋c＞b＋c． ∵c＞d， ∴b＋c＞b＋d． 由①、②得 a＋c＞b＋d． ② ①2）a ? b, c ? 0 ? ac ? bc ? ? ? ac ? bd c ? d , b ? 0 ? bc ? bd ?3）反证法）假设 n a ? n b ，n则：若na ? a ?n nb ?a?b b ?a?b这都与 a ? b 矛盾，∴n a ? n b ． [范例讲解]： 例 1、已知 a ? b ? 0, c ? 0, 求证c c ? 。 a b 1 证明：以为 a ? b ? 0 ，所以 ab&0, ?0。 ab 1 1 1 1 于是 ，即 ? a? ? b? ab ab b a c c 由 c&0 ，得 ? a b3.随堂练习 11、课本 P82 的练习 3 2、在以下各题的横线处适当的不等号： (1)（ 3 ＋ 2 ）2 ６＋2 6 ；（2） 3 － 2 ）2 （ （3）（ 6 －1）2；1 5?21 ； 6? 5log 1 b2(4)当 a＞b＞0 时，log 1 a2答案：(1)＜（2）＜（3）＜（4）＜[补充例题] 例 2、比较(a＋3)（a－５）与（a＋2） a－4）的大小。 （ 分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项 之后，判断差值正负(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要)。根据实数运算的 符号法则来得出两个代数式的大小。比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题。 解：由题意可知： （a＋3） （a－５）－（a＋2） （a－4） 2 2 ＝（a －2a－1５）－（a －2a－８） ＝－７＜0 ∴（a＋3） （a－５）＜（a＋2） （a－4）随堂练习 21、 比较大小： 2 （1） x＋５） x＋７）与（x＋６） （ （ （2） x ? 5x ? 6与2 x ? 5 x ? 92 24.课时小结本节课学习了不等式的性质， 并用不等式的性质证明了一些简单的不等式， 还研究了如何比较两个实数 （代数式）的大小――作差法，其具体解题步骤可归纳为： 第一步：作差并化简，其目标应是 n 个因式之积或完全平方式或常数的形式； 第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论； 第三步：得出结论5.评价设计课本 P83 习题 3.1[A 组]第 2、3 题；[B 组]第 1 题 【板书设计】 课题: §3.2 一元二次不等式及其解法 第 1 课时 授课类型：新授课 【教学目标】 1．知识与技能：理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等 式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力； 2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不 等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法； 3．情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍 联系的辩证思想。 【教学重点】 从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。【教学难点】 理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。 【教学过程】1.课题导入从实际情境中抽象出一元二次不等式模型： 教材 P84 互联网的收费问题 教师引导学生分析问题、解决问题，最后得到一元二次不等式模型： x 2 ? 5 x ? 0 …………………………(1)2.讲授新课 1）一元二次不等式的定义象 x 2 ? 5 x ? 0 这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式，称为一元二次不等式2）探究一元二次不等式 x 2 ? 5 x ? 0 的解集怎样求不等式（1）的解集呢？ 探究： （1）二次方程的根与二次函数的零点的关系 容易知道：二次方程的有两个实数根： x1 ? 0, x2 ? 5 二次函数有两个零点： x1 ? 0, x2 ? 5 于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点。 （2）观察图象，获得解集 画出二次函数 y ? x ? 5 x 的图象，如图，观察函数图象，可知：2当 x&0，或 x&5 时，函数图象位于 x 轴上方，此时，y&0,即 x 2 ? 5 x ? 0 ； 当 0&x&5 时，函数图象位于 x 轴下方，此时，y&0,即 x 2 ? 5 x ? 0 ； 所以，不等式 x 2 ? 5 x ? 0 的解集是 ? x | 0 ? x ? 5? ，从而解决了本节开始时提出的问题。3）探究一般的一元二次不等式的解法ax ? bx ? c ? 0, (a ? 0)或ax ? bx ? c ? 0, (a ? 0) 任意的一元二次不等式， 总可以化为以下两种形式：2 2一般地，怎样确定一元二次不等式 ax 2 ? bx ? c &0 与 ax 2 ? bx ? c &0 的解集呢？ 组织讨论： 从上面的例子出发，综合学生的意见，可以归纳出确定一元二次不等式的解集，关键要考虑以下两点： (1)抛物线 y ? ax 2 ? bx ? c 与 x 轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程 ax 2 ? bx ? c =0 的根的情 况 (2)抛物线 y ? ax 2 ? bx ? c 的开口方向，也就是 a 的符号 总结讨论结果： （l）抛物线 y ? ax 2 ? bx ? c （a& 0）与 x 轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程ax2 ? bx ? c =0 的判别式 ? ? b 2 ? 4ac 三种取值情况(Δ& 0，Δ=0，Δ&0）来确定.因此，要分二种情况讨论 （2）a&0 可以转化为 a&0 分 Δ&O，Δ=0，Δ&0 三种情况，得到一元二次不等式 ax 2 ? bx ? c &0 与 ax 2 ? bx ? c &0 的解集 一元二次不等式 ax ? bx ? c ? 0或ax ? bx ? c ? 0?a ? 0? 的解集：2 2设相应的一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0?a ? 0? 的两根为 x1、x2 且 x1 ? x2 ， ? ? b 2 ? 4ac ，则不等式2的解的各种情况如下表：(让学生独立完成课本第 86 页的表格)??0y ? ax2 ? bx ? c二次函数??0y ? ax2 ? bx ? c??0y ? ax2 ? bx ? cy ? ax 2 ? bx ? c（ a ? 0 ）的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根ax ? bx ? c ? 02?a ? 0?的根ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集x1 , x2 ( x1 ? x2 )x1 ? x2 ? ?b 2a无实根?x x ? x 或x ? x ?1 2? b? ?x x ? ? ? 2a ? ?Rax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集[范例讲解] 例2?x x1? x ?x2???(课本第 87 页)求不等式 4 x 2 ? 4 x ? 1 ? 0 的解集.解：因为 ? ? 0 , 方程 4 x 2 ? 4 x ? 1 ? 0 的解是 x1 ? x2 ? 所以，原不等式的解集是 ? x x ?1 . 2? ?1? ? 2?例 3 (课本第 88 页)解不等式 ? x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 . 解：整理，得 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 . 因为 ? ? 0 , 方程 x ? 2 x ? 3 ? 0 无实数解，2所以不等式 x2? 2 x ? 3 ? 0 的解集是 ? .从而，原不等式的解集是 ? .3.随堂练习课本第 89 的练习 1（1）（3）（5）（7） 、 、 、4.课时小结解一元二次不等式的步骤： ① 将二次项系数化为“+” ：A= ax 2 ? bx ? c &0(或&0)(a&0) ② 计算判别式 ? ，分析不等式的解的情况： . ? &0 时，求根 x1 & x 2 ， ??若A ? 0，则x ? x1或 ? x 2； ?若A ? 0，则x1 ? x ? x 2 .?若A ? 0，则x ? x0的一切实数； ? . ? =0 时，求根 x1 ＝ x 2 ＝ x 0 ， ?若A ? 0，则x ? ?； ?若A ? 0，则x ? x . 0 ?. ? &0 时，方程无解， ? ③ 写出解集.?若A ? 0，则x ? R； ?若A ? 0，则x ? ? .5.评价设计课本第 89 页习题 3.2[A]组第 1 题 【板书设计】 课题: §3.2 一元二次不等式及其解法 第 2 课时 授课类型：新授课 【教学目标】 1．知识与技能：巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系；进一步熟练解一元二次不等 式的解法； 2．过程与方法：培养数形结合的能力，一题多解的能力，培养抽象概括能力和逻辑思维能力； 3．情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会从不同侧面观 察同一事物思想 【教学重点】 熟练掌握一元二次不等式的解法 【教学难点】 理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系 【教学过程】1.课题导入1．一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系 2．一元二次不等式的解法步骤――课本第 86 页的表格2.讲授新课[范例讲解] 例 1 某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离 s m 和汽车的速度 x km/h 有如下的关系：s?1 1 2 x? x 20 180在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于 39.5m，那么这辆汽车刹车前的速度是多少？（精确到 0.01km/h） 解：设这辆汽车刹车前的速度至少为 x km/h，根据题意，我们得到 移项整理得： x 2 ? 9 x ? 7110 ? 0 显然1 1 2 x? x ? 39.5 20 180? ? 0 ，方程 x2 ? 9 x ? 7110 ? 0 有两个实数根，即x1 ? ?88.94, x2 ? 79.94 。所以不等式的解集为 ? x | x ? ?88.94, 或x ? 79.94?在这个实际问题中，x&0，所以这辆汽车刹车前的车速至少为 79.94km/h. 例 4、一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量 x（辆）与创 造的价值 y（元）之间有如下的关系：y ? ?2 x 2 ? 220 x若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收 6000 元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多 少辆摩托车？ 解：设在一个星期内大约应该生产 x 辆摩托车，根据题意，我们得到?2 x 2 ? 220 x ? 6000移项整理，得x2 ? 110 x ? 3000 ? 0因为 ? ? 100 ? 0 ，所以方程 x 2 ? 110 x ? 3000 ? 0 有两个实数根x1 ? 50, x2 ? 60由二次函数的图象，得不等式的解为：50&x&60 因为 x 只能取正整数，所以，当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在 51―59 辆之 间时，这家工厂能够获得 6000 元以上的收益。3．随堂练习 1课本第 89 页练习 2 [补充例题] ▲ 应用一（一元二次不等式与一元二次方程的关系） 例：设不等式 ax 2 ? bx ? 1 ? 0 的解集为 {x | ?1 ? x ? 1} ，求 a? ? b 3 ▲ 应用二（一元二次不等式与二次函数的关系） 例：设 A ? {x | x ? 4 x ? 3 ? 0}, B ? {x | x ? 2 x ? a ? 8 ? 0} ，且 A ? B ，求 a 的取值范围.2 2改：设 x 2 ? 2 x ? a ? 8 ? 0 对于一切 x ? (1,3) 都成立，求 a 的范围. 改：若方程 x 2 ? 2 x ? a ? 8 ? 0 有两个实根 x1 , x2 ，且 x1 ? 3 ， x2 ? 1 ，求 a 的范围.随堂练习 21、已知二次不等式 ax 2 ? bx ? c ?