2013高考数学导数与函数的综合问题试题解析汇编
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2013高考数学导数与函数的综合问题试题解析汇编
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2013高考数学导数与函数的综合问题试题解析汇编
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文 章 来源 莲山 课件 w w w.5 Y k J.cOM 课时作业(十六)　[第16讲　导数与函数的综合问题]
[时间：45分钟　分值：100分] 基础热身1．若函数y＝－43x3＋bx有三个单调区间，则b的取值范围是________．2．若函数y＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是________．3．方程2x3＋7＝6x2在(0,2)内的实根个数为________．4．下列不等式在(0，＋∞)上恒成立的是________．(填序号)①lnx&x；②sinx&x；③tanx&x；④ex&x＋1.能力提升5．当x≠0时，a＝ex，b＝1＋x，则a，b的大小关系是________．6．方程x3－6x2＋9x－4＝0的实根的个数为________．7．以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是________．&图K16－18．若函数y＝ex＋mx有极值，则实数m的取值范围是________．9．若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是________．10．[;镇江统考]& 已知函数f(x)＝lnx＋2x，若f(x2＋2)&f(3x)，则实数x的取值范围是________．11．[;南通模拟]& 已知函数g(x)＝1sinθ•x＋lnx在[1，＋∞)上为增函数，且θ∈(0，π)，则θ的值为________．12．[;海安检测]& 已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈(－∞，0)时不等式f(x)＋xf′(x)&0成立，若a＝30.3•f(30.3)，b＝logπ3•f(logπ3)，c＝log319•flog319，则a，b，c的大小关系是________．
13．(8分)已知函数f(x)＝14x4＋x3－92x2＋cx有三个极值点．证明：－27&c&5. 14．(8分)已知函数f(x)＝alnxx＋1＋bx，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0.(1)求a，b的值；(2)证明：当x&0且x≠1时，f(x)&lnxx－1.&
15．(12分)[;苏南联考]& 已知函数f(x)＝lnx＋1x－1.(1)求函数的定义域，并证明f(x)＝lnx＋1x－1在定义域上是奇函数；
(2)若x∈[2,6]，f(x)&lnmx－17－x恒成立，求实数m的取值范围．
16．(12分)已知函数f(x)＝x2－8lnx，g(x)＝－x2＋14x.(1)求函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若函数f(x)与g(x)在区间(a，a＋1)上均为增函数，求a的取值范围；(3)若方程f(x)＝g(x)＋m有惟一解，试求实数m的值．&&课时作业(十六)【基础热身】1．(0，＋∞)　[解析] y′＝－4x2＋b，函数有三个单调区间，即y′值有正、有负，则b&0.2.13，＋∞　[解析] y′＝3x2＋2x＋m，因为函数y＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，故Δ＝4－4×3m≤0，从而m≥13.3．1　[解析] 设f(x)＝2x3－6x2＋7，则f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，因为x∈(0,2)，所以有f′(x)&0，所以f(x)在(0,2)内单调递减，又f(0)＝7&0，f(2)＝－1&0，所以在(0,2)内存在惟一的x0，使f(x0)＝0，因此，方程2x3＋7＝6x2在(0,2)内的实根个数为1.4．③④　[解析] 当x＝1时，①，②不成立；对于③，设f(x)＝tanx－x，则f′(x)＝1cos2x－1＝1－cos2xcos2x＝sin2xcos2x≥0，因此f(x)在(0，＋∞)上是增函数，f(x)min&f(0)＝0，符合题意；对于④，令f(x)＝ex－x－1，f′(x)＝ex－1，在(0，＋∞)上f(x)是增函数，故f(x)min&f(0)＝0，符合题意．【能力提升】5．a&b　[解析] 设y＝ex－1－x，∴y′＝ex－1，∴x&0时，函数y＝ex－1－x是递增的；x&0时，函数y＝ex－1－x是递减的，∴x＝0时，y有最小值0.故x≠0时，y&0，即a&b.6．2　[解析] 令f(x)＝x3－6x2＋9x－4，则f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)．由f′(x)&0得x&3或x&1；由f′(x)&0得1&x&3.∴f(x)的单调增区间为(3，＋∞)，(－∞，1)，单调减区间为(1,3)，∴f(x)在x＝1处取极大值，在x＝3处取极小值，又∵f(1)＝0，f(3)＝－4&0，∴函数f(x)的图象与x轴有两个交点，即方程x3－6x2＋9x－4＝0有两个实根．7．③④　[解析] 导函数的图象为抛物线，其变号零点为函数的极值点，因此③、④不正确．8．m&0　[解析] y′＝ex＋m，由条件知ex＋m＝0有实数解，∴m＝－ex&0.9．－2&a&2　[解析] f′(x)＝3x2－3，f(x)极大＝f(－1)＝2＋a，f(x)极小＝f(1)＝－2＋a，函数f(x)有3个不同零点，则2＋a&0且－2＋a&0，因此－2&a&2.10．(1,2)　[解析] 由f(x)＝lnx＋2x⇒f′(x)＝1x＋2xln2&0(x∈(0，＋∞))，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(x2＋2)&f(3x)&#＋2&3x⇒x∈(1,2)．11.π2　[解析] 由题意，g′(x)＝－1sinθ&#x≥0在[1，＋∞)上恒成立，即sinθ•x－1sinθ&#.∵θ∈(0，π)，∴sinθ&0.故sinθ•x－1≥0在[1，＋∞)上恒成立，只需sinθ&#≥0，即sinθ≥1，只有sinθ＝1.结合θ∈(0，π)，得θ＝π2.12．c&a&b　[解析] 令g(x)＝xf(x)，则由于f(x)是R上的奇函数，所以g(x)为R上的偶函数，又当x∈(－∞，0)时不等式f(x)＋xf′(x)&0成立，即g′(x)＝f(x)＋xf′(x)&0，故当x∈(－∞，0)时，g(x)单调递减，从而g(x)在(0，＋∞)上单调递增．又由于2&30.3&1，logπ3∈(0,1)，log319＝－2，所以g(－2)＝g(2)&g(30.3)&g(logπ3)，即c&a&b.13．[解答] 证明：因为函数f(x)＝14x4＋x3－92x2＋cx有三个极值点，所以f′(x)＝x3＋3x2－9x＋c＝0有三个互异的实根．设g(x)＝x3＋3x2－9x＋c，则g′(x)＝3x2＋6x－9＝3(x＋3)(x－1)，当x&－3时，g′(x)&0，g(x)在(－∞，－3)上为增函数；当－3&x&1时，g′(x)&0，g(x)在(－3,1)上为减函数；当x&1时，g′(x)&0，g(x)在(1，＋∞)上为增函数．所以函数g(x)在x＝－3时取极大值，在x＝1时取极小值．因为g(x)＝0有三个不同实根，所以g(－3)&0且g(1)&0.即－27＋27＋27＋c&0且1＋3－9＋c&0，解得c&－27且c&5，故－27&c&5.14．[解答] (1)∵f′(x)＝ax＋1x－lnxx＋12－bx2，由题意知：fǡ＝1，f′ǡ＝－12，即b＝1，a2－b＝－12，∴a＝b＝1.(2)证明：由(1)知f(x)＝lnxx＋1＋1x，所以f(x)－lnxx－1＝11－x22lnx－x2－1x.设h(x)＝2lnx－x2－1x(x&0)，则h′(x)＝－x－1&#.当x≠1时，h′(x)&0，而h(1)＝0，故当x∈(0,1)时，h(x)&0，当x∈(1，＋∞)时，h(x)&0.得11－x2h(x)&0，从而，当x&0且x≠1时，f(x)－lnxx－1&0，即f(x)&lnxx－1.15．[解答] (1)由x＋1x－1&0，解得x&－1或x&1，∴函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，当x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f(－x)＝ln－x＋1－x－1＝lnx－1x＋1＝lnx＋1x－1－1＝－lnx＋1x－1＝－f(x)，∴f(x)＝lnx＋1x－1在定义域上是奇函数．(2)由x∈[2,6]时，f(x)&lnmx－17－x恒成立，∴x＋1x－1&mx－17－x&0，x∈[2,6]，∴0&m&(x＋1)(7－x)在x∈[2,6]上恒成立．令g(x)＝(x＋1)(7－x)＝－x2＋6x＋7，x∈[2,6]，令g′(x)≥0，即－2x＋6≥0，得x≤3；令g′(x)&0，即－2x＋6&0，得x&3.故x∈[2,3]时函数单调递增，x∈[3,6]时函数单调递减，x∈[2,6]时，g(x)min＝g(6)＝7，∴0&m&7.16．[解答] (1)因为f′(x)＝2x－8x，所以切线的斜率k＝f′(1)＝－6，又f(1)＝1，故所求切线方程为y－1＝－6(x－1)，即y＝－6x＋7.(2)因为f′(x)＝2x＋2x－2x，又x&0，所以当x&2时，f′(x)&0；当0&x&2时，f′(x)&0.即f(x)在(2，＋∞)上递增，在(0,2)上递减，又g(x)＝－(x－7)2＋49，所以g(x)在(－∞，7)上递增，在(7，＋∞)上递减，欲f(x)与g(x)在区间(a，a＋1)上均为增函数，则a≥2，a＋1≤7，解得2≤a≤6.(3)原方程等价于2x2－8lnx－14x＝m，令h(x)＝2x2－8lnx－14x，则原方程即为h(x)＝m.因为当x&0时原方程有惟一解，所以函数y＝h(x)与y＝m的图象在y轴右侧有惟一的交点．又h′(x)＝4x－8x－14＝2x－42x＋1x，且x&0，所以当x&4时，h′(x)&0；当0&x&4时，h′(x)&0.即h(x)在(4，＋∞)上递增，在(0,4)上递减．故h(x)在x＝4处取得最小值，从而当x&0时原方程有惟一解的充要条件是m＝h(4)＝－16ln2－24. 文 章 来源 莲山 课件 w w w.5 Y k J.cOM
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若只有当x=x0时，函数y=f（x）的一阶二阶导数均为0，那么能否说明函数y=f（x）无极值
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不能 ，y=x^4
实际上是否为极值，是跟n阶导数中第一个不为0的导数是奇数阶导数还是偶数阶导数有关例子的话就是幂函数，证明用中值定理，不难，但一般的高数书和数分数不会讲到这种程度
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关于数学导数分类讨论后面导数的大题总是让讨论参数的范围然后求单调性什么的总是不知道该如何下手去讨论,从哪个方面去想.
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这个得因题而异……可以把题目类型说详细一点吗?我的理解……你问的是对参数分类讨论么?先说说我的想法吧,首先分离参数法把参数解出来,利用函数定义域确定参数的范围,然后想法子给参数分类.这类题目确定参数范围讨论方法一般就几种：求导因式分解后让两个因式相等解出一个参数值；解出导函数等于0的x值（当然带着参数）后让x与其所能取到的范围中的极值相等,解出参数（比如某题题目限定x属于[0,1],就分别让x等于0、等于1,解出参数范围；二次函数中利用二次函数的求根公式（△大于小于等于0的……）当然还少不了与题中给好的参数范围综合一下,这样可以把参数的范围分成几个区间（可以把特殊点单独列出来）.看看如果有可以合并为同种情况讨论的就合起来讨论,分成各种情况分别再讨论就好了.
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