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浅析洛必达法则求函数极限
本科学年论文论文题目：用洛必达法则求极限的方法学生姓名： 学 专 班 号： 业： 级：卫瑞娟
数学与应用数学 数学 1002 班 严惠云指导教师：完成日期： 2013 年 3 月 8 日用洛必达法则求未定式极限的方法内容摘要极限运算是微积分学的基础， 在众多求极限方法中， 洛必达法则是一种简单而又方便的 求极限方法。但在具体使用过程中，一旦疏忽，解题就很可能出错。本文就针对利用此法则 求极限的过程及解题过程中常见问题，对洛必达法则求函数极限的条件及范围、应用、何时 失效做了整体分析与探讨，并举例说明。除此之外，还介绍了除洛必达法则之外其他求函数 极限的方法以及同洛必达法则的比较，最后对洛必达法则进行小结。关键词：洛必达法则函数极限无穷小量1目 录一、洛必达法则求极限的条件及适用范围…………………………（1）（一） 洛必达法则定理?????????????????????? （1） （二） 洛必达法则使用条件??????????????????? （2） 二、 洛必达法则的应用?????????????????????? （2） （一） 洛必达法则应用于基本不定型??????????????? （2） （二） 洛必达法则应用于其他不定型??????????????? （3）三、洛必达法则对于实值函数失效问题?????????????（5） （一）使用洛必达法则后极限不存在????????????（5） （二）使用洛必达法则后函数出现循环???????????（6） （三）使用洛必达法则后函数越来越复杂??????????（6） （四）使用洛必达法则中求导出现零点???????????（6） 四、洛必达法则与其他求极限方法比较?????????????（6）（一）洛必达法则与无穷小量替换求极限法???????????（7） （二） 洛必达法则与利用极限运算和已知极限求极限??????? （8） （三） 洛必达法则与夹逼定理求极限??????????????? （9）五、 洛必达法则求极限小结?????????????????? （10） （一） 洛必达法则条件不可逆?????????????????? （10） （二） 使用洛必达法则时及时化简???????????????（11） （三） 使用洛必达法则前不定型转化?????????????? （11） 参考文献???????????????????????????（13）序言数学分析中几乎所有的概念都离不开极限。因此，极限概念是数学分析的重要概念，极限理 论是数学分析的基础理论。 极限法的引入与完善是出于社会实践的需要， 是许多人奋斗的结 果，不是哪一个数学家苦思冥想出来的。 极限的求法很多，主要包括有：①利用极限的定义；②利用极限的运算法则求极限；③利用 极限存在的条件和准则求极限； ④利用两个重要极限求极限； ⑤利用等价无穷小量和泰勒展 开求极限； ⑥利用函数的连续性求极限； ⑦利用洛必达法则求极限； ⑧利用中值定理求极限； ⑨利用导数或定积分的定义求极限； ⑩利用级数收敛的必要条件求极限。 在此我只对利用 “洛 必达法则”求极限的这一方法进行了分析与概括。一、 洛必达法则求函数极限的条件及适用范围（一）洛必达法则定理定理 1[1]若函数 f (x) 与函数 g (x) 满足下列条件：（1）在 a 的某去心邻域 v(x) 内可导，且 g ' ( x) ? 0 （2） lim f ( x ) ? 0x?a ?0 x?a ?0lim g ( x ) ? 0（3）x ?a ? 0limf ' ( x) ?A g ' ( x)则 limx ?a ? 0f ( x) f ' ( x) ? lim ? A （包括 A 为无穷大的情形） g ( x) x ?a ? 0 g ' ( x)定理 2 若函数 f (x) 和 g (x) 满足下列条件 （1）在 a 的某去心邻域 v(x) 内可导，且 g ' ( x) ? 0 （2） lim f ( x) ? ?x ?a ?0x?a ?0lim g ( x) ? ?（3）x ?a ? 0limf ' ( x) ?A g ' ( x)则 limx ?a ? 0f ( x) f ' ( x) ? lim ? A （包括 A 为无穷大的情形） g ( x) x ?a ? 0 g ' ( x)此外法则所述极限过程对下述六类极限过程均适用：x ? x0 , x ? x0 , x ? x0 , x ? ? , x ? ?? , x ? ?? 。定理证明：作辅助函数??1? f ( x),当x ? (a, a ? ? ), F ( x) ? ? 当x ? a ? 0, ? g ( x),当x ? (a, a ? ? ), G ( x) ? ? 当x ? a ? 0,于是函数 F(x)及 G(x)在[ a, a ? ? ） 连续， ?a, a ? ? ?可导， 在 并且 G ' ( x) ? 0. 今对 ?a, a ? ? ? 内任意一点 x ，利用柯西中值定理得F ( x) F ( x) ? F ( a ) F ' ( x0 ) ? ? , x0 ? (a, x). G ( x) G ( x) ? G ( a ) G ' ( x 0 )由 F ( x)及G( x) 的定义，上式即f ( x) f ' ( x 0 ) ? g ( x) g ' ( x0 )所以当 x ? a ? 0 时（这时显然有 x0 ? a ? 0 ），对上式两端取极限，即x ?a ? 0limf ' ( x0 ) f ( x) ? lim ?A g ( x) x ?a ? 0 g ' ( x 0 )证毕。 关于定理二的证明方法也同定理 1 类似，这里就不点出。当然，还有其他不同的证明方 法。（二）洛必达法则使用条件只有在分子、分母同时趋于零或者同时趋于无穷大时，才能使用洛必达法则。 连续多次使用法则时，每次都要检查是否满足定理条件，只有未定式方可使用，若是检查结 果满足法则使用条件，才可连续使用洛必达法则，直到求出函数极限或者为无穷大，否则就 会得出错误的结果，下面举个例子来说明。 例 1：求 limx??x ? sin x x ? sin x ? 型，所以可以使用洛必达法则，但是 ?分析：根据洛必达法则使用条件，此式为limx ? sin x 1 ? cos x ? lim ，结果所得非不定式，所以只能使用一次洛必达法则， x ? ? x ? sin x x ? ? 1 ? cos x而不能再进行第二次。 解： limx ? sin x 1 ? cos x sin x ? lim ? lim(? ) ? ?1 x ? ? x ? sin x x ? ? 1 ? cos x x ?? sin x2x ? sin x 事实上， lim ? lim x ?? x ? sin x x ??sin x x ? 1 ，这里为了说明问题，才使用上面的解法， sin x 1? x 1?这里也可以看出，寻找最为简便的解题方法才是正确解题的关键。二、洛必达法则的应用（一） 基本类型：不定式直接应用法则求极限1 ? cos x . x ?0 x2 0 解： 这是 待定型。运用洛必达法则，我们有 0例 2：求 limlimx ?01 ? cos x (1 ? cos x)' sin x ? lim ? lim 2 2 x ?0 x ?0 2 x x ( x )'limx?0因为 从而 例 4：求 limsin x ?1 x 1 ? cos x 1 sin x 1 lim ? lim ? . 2 x ?0 x ?0 2 x 2 xln x (? ? 0). x ? ?? x ? ? 解：上述极限是 待定型，于是 ? 1 ln x 1 lim ? ? lim x ?1 ? lim ? ? 0 ? x ??? x ? ?? ?x x ??? ?x（二） 未定式的其它类型： 0 ? ? 、 ? ? ? 、 0 0 、 ? 0 、 1? 型极限的求解? 型 这两种待定型外，还可以通过转化，来解其他待定型。譬如 ? 0 ? 0 ? ?，? ? ?，0 ， ，? 0 . 等待定型，由于他们都可以转化为 型或 型 ， 0 1? 0 ?此外，除了 型或0 0因此，也可以用洛必达法则来求出他们的值 。 关于如何转换，例如 lim f ( x) ? 0, lim g ( x) ? ?, 则 limf ( x) g ( x) 是 0 ? ? 形式，这时， 可以写为 f ( x) g ( x) ?[2]0 ? f ( x) g ( x) ? 0 00 或 ， 这就转化为 型或 型 了。 此外对于 1 ， ，? 等 1 1 0 ? g ( x) f ( x)3不定式，可以取对数化为 0 ? ? 的形式，再运用如上方法便可转化为 型或 对这些待定型一一举例解答以作说明 。 例 5： lim(x ?0[3]0 0? 型 了，下面 ?1 ? c tan 2 x). 2 x 0 形式： 0解：这是 ? ? ? 型，设法化为lim(x ?01 sin 2 x ? x 2 cos2 x ? c tan2 x) ? lim x ?0 x2 x 2 sin 2 xsin x ? x cos x sin x ? x cos x ? x ?0 sin x x 2 sin x sin x ? x cos x = (1 ? 1) lim x ?? x 2 sin x x sin x = 2 lim x ?0 2 x sin x ? x 2 cos x= lim = 2 lim1 2 ? . x ?0 x 3 2? cos x sin x例 6：求 lim(2 ? x)x ?1?tan?x2.解：这是 1 型lim(2 ? x)x ?1tan?x2? ? ? ? exp?lim tan x ln(2 ? x)? x ?1 2 ? ?? ? ? ln(2 ? x) ? =exp ?lim x ?1 ? ? ? cot x ? 2 ? ? ?1 ? ? ? 2 2? x ? =exp ?lim x ?1 ? ? ? ? (? csc2 ) ? 2 ? ?2=e?例 7：求 lim ( x ? 1 ? x )2 x ? ??1 ln x0 解:这是 ? 待定型，经变形得 lim ( x ? 1 ? x )21 ln xx ? ??? lim ex ??ln? x ? 1? x 2 ? ? ? ? ? ln x，41而 lim2 ln(x ? 1 ? x ) x ? lim 1 ? x ? lim ?1 x ? ?? x ? ?? x ? ?? 1 ln x 1 ? x2 x 21故 例 8：求 lim x ln xx ? 0?x ? ??lim ( x ? 1 ? x 2 ) ln x ? e解：这是 0 ? ? 待定型，可变形为 x ln x ?? ln x ，成了 待定型，于是 1 ? x1 ln x lim x ln x ? lim ? lim x ? lim (? x) ? 0 x ?0 ? x ?0 ? 1 x ?0 ? 1 x ?0 ? ? 2 x x例 9：求 lim xx ?0 ? x解：这是 0 待定型，由对数恒等式知， x ? e0 xx ln x，运用例 8 可得x ?0 ?lim x x ? lim e x ln x ? e x?0x ?0 ?lim x ln x? e0 ? 1三、洛必达法则对于实值函数的失效问题洛必达法则可谓是在求不定式极限中作用最为显赫的一种方法， 当然， 它也有失效的时 候。“失效”的原因则是因为题目本身不满足可以使用洛必达法则的几个条件。所以，在要 使用洛必达法则时， 则要检验该题目是否符合洛必达法则条件， 洛必达法则失效的基本原因 有以下几种。（一）使用洛必达法则后，极限不存在（非 ? ），也就是不符合以上定理 1、2 的条件（3）[4]x ? sin x x ? ? x ? sin x sin x 1? x ?1 解：原式= lim x ?? sin x 1? x例 10：计算 lim（二）使用洛必达法则后，函数出现循环，而无法求出极限，也就是不符合定理 1、定理 2 的条件（3）例 11：计算 lime x ? e? x ? ( 型) x ?? e x ? e? x ?5解：原式= lim1 ? e ?2 x =1 x ?? 1 ? e? 2 x（三） 使用洛必达法则后， 函数越来越复杂， 无法简单判断出函数是否存在极限， 也就是不符合定理 1、定理 2 的条件（3）e 0 ( 型) x 0? 1 x例 12：计算 limx ?0 ?1 e?t t ? lim t ? 1 解：令 t ? ，则原式= lim x ?0? 1 x ?0? e x t（四）求导后有零点，也就是不满足条件例如lime 2 x (cos x ? 2 sin x) ? e ?2 x sin 2 x x ?? e x sin x ，π ? ?(n ? ?) ，此时分母的导数是有零点的。 4的极限是不存在的，事实上，取 x ? nπ -四、洛必达法则与其它求极限方法比较使用洛必达法则时不要忽视别的求极限方法，并不是所有不定型用洛必达法则最为方 便，在关注使用洛必达法则的同时，我们还要注意到其他求极限的方法，依题目而选定最合 适的方法。 对于解函数极限的题，若是不定式符合洛必达法则条件，确实可使用洛必达法则，但也 不是说单一只能使用洛必达法则， 也可以试着洛必达法则同其他方法一起， 可能可以使解题 更为简便。（一）洛必达法则与无穷小代替法应用等价无穷小量代替法化简，牢记下列等价无穷小量：当 x ? 0 时，sin x ~ x， x ~ x, arcsin x ~ xex ? 1 ~ x, ln(1 ? x) ~ x, tanx2 1 ? cos x ~ ，1 ? x ? 1 ? x ~ x 2用此方法应要注意，加减的无穷小量不能用等价无穷小量代替，需是无穷小量比的形 [5] 式，或是极限中的乘积因子为无穷小量，且替换后极限存在，才能用等价无穷小量替换 ， 下面举个例子作为比较。 例 13 求 lim1 ? cos x 2 x ? 0 x 2 sin x 26解 1：（运用无穷小量代替法）1 4 x 1 ? cos x 1 2 lim 2 ? lim 4 ? x ?0 x sin x 2 x ?0 x 22解 2：（利用洛必达法则）lim1 ? cos x 2 2 x sin x 2 = lim 3 x ?0 x 2 sin x 2 x ?0 2 x cos x 2 ? sin x 2= limx ?0sin x 2 x 2 cos x 2 ? sin x 2= lim2 x cos x 2 x ?0 2 x cos x 2 ? 2 x 3 sin x 2 ? 2 x cos x 2cos x 2 = lim x ?0 2 cos x 2 ? x 2 sin x 2=1 2分析：此题若直接用洛必达法则，则会较麻烦，相反，若之前先用无穷小量替代，就 可简化解题过程。1 2 x x ? sin x x ? sin x 1 ? cos x 1 2 解： lim 2 x = lim ? lim ? lim 2 ? . 3 2 x ?0 x (e ? 1) x ?0 x ?0 x ?0 3x 6 x 3x（二）洛必达法则与运用极限的运算和已知的极限求极限比较[6]利用极限的定义和适当放大法也是可以求出一些较为“简单”形式变量的极限。一旦我 们知道了一些极限后， 用加减乘除的方法就可以计算出一些较为复杂的极限， 这也是极限运 算中比较常见、便捷的方法。如下几个例子，就可以运用加减乘除简便的求出函数的极限。 例 14：求 limn 8 ? 9n 4 ? 5 . n ?? 7 n 8 ? 4 n 3 ? 6 n 2 ? 1 n 8 ? 9n 4 ? 5 lim 8 . n ?? 7 n ? 4 n 3 ? 6 n 2 ? 1解 1:9 5 ? 8) 4 1 n n = lim ? n ?? 8 4 6 1 7 n (7 ? 5 ? 6 ? 8 ) n n n 1 1 1 1 这里运用到了 lim 4 ? lim 5 ? lim 6 ? lim 8 ? 0 n ? ?? n n ? ?? n n ? ?? n n ? ?? n n 8 (1 ?7解 2：此题若是使用洛必达法则，则需要使用洛必达法则四次，显的尤为繁琐，这里可以给 出洛必达法则求此极限的解题过程，以做说明。limn 8 ? 9n 4 ? 5 . n ?? 7 n 8 ? 4 n 3 ? 6 n 2 ? 1= lim8n 7 ? 36n3 n ? ? 56n 7 ? 12n 2 ?12n（第一次运用洛必达法则）8n6 ? 36n 2 = lim n ? ? 56n 6 ? 12n ? 12= lim48n5 ? 72n n ? ? 336 5 ? 12 n 8n5 ? 12n n ? ? 56n 5 ? 2 40n 4 ? 12 n ? ? 56 ? 5n 4（第二次运用洛必达法则）= lim= lim（第三次运用洛必达法则）= lim8 ? 5 ? 5n3 1 ? n ? ? 56 ? 5 ? 4n3 7（第四次运用洛必达法则）所以原式=1 。 7单已例 14 为例，纵观用极限运算和已知极限来求函数极限同使用洛必达法则求极限， 显而易见前者要显的简单的多，在实际极限运算中，要灵活应用，找出最适合该题的解法。（三）洛必达法则与利用夹逼定理求函数极限比较夹逼定理也是求函数极限的一种有效方法。 定理内容： 如果对于点 x0 的某一零域内的 一切 x ，但 x0 本身可以除以（或对于绝对值大于某一正数的一切 x ）有不等式g ( x) ? f ( x) ? h( x) 成立，且 lim g ( x) ? lim h( x) ? I ，则 lim f ( x) ? I 。使用两边夹法则求函数极限，关于在于把 x0或f ( x) 适当放大或者缩小。下面举个例子分别用洛必达法则和 夹逼定理来求函数极限，以作比较。 例 15：求 lim (1 ?x ??1 x ) x解 1：（运用两边夹定理） 对于任意 x ? 1 ，当 n ? x ? n ? 1时，有81 ? ? 1 ? 1 ? ? ? 1? ? ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? n ? 1 ? ? ?x? ? 1 ? ? x ? ? ?x? ?n x?x ?? x ??1? 1? ? ?1 ? ? ? n?n ?1且 lim?1 ?? x ?? ?1 ? ? 1? ? ? lim?1 ? ? n ? 1 ? x ??? n ?x ??nn ?1?e根据两边夹定理，则 lim (1 ? 解 2：（利用洛必达法则）1 x ) ?e x?分析：首先可以看出原式是属于 1 形式，所以要利用转换，把原式化为洛必达法则标准形 式，但是这里，需要运用到两次转换，过程显得有些繁琐。x ln? 1? ? 1 lim(1 ? ) x ? lim e ? x ? x ?? x ?? x? 1? lim x ln? 1? ? ? x??1?（第一次转换）? e x??? 1? ln?1 ? ? x? ? 1? 先求 lim x ln?1 ? ? ? lim ? x ?? 1 ? x ? x ?? x1 x2 1 (1 ? ) x = lim x ?? 1 x2 1 = lim ?1 x ?? 1 (1 ? ) x综上：原式= e ? e1（第二次转换）纵观这两种解法比较，若说篇幅，单是解题过程，两边夹定理要比洛必达法则简便，但 是若说难易程度，则洛必达法则要比两边夹定理的应用来的简单易懂些。五、洛必达法则求极限注意事项小结诚然，洛必达法则的内容简单，使用方便，但在使用过程中，一但疏忽以下几点，很可 能造成运算出错。（一）洛必达法则条件不可逆洛必达法则的条件是充分的，但不是必要的。因此，在0 ? f ?( x) 型或 型中， lim 存 0 ? g ?( x)9在，并不能断言 limf ( x) 不存在，只是这是不能使用法则，而必须寻找其他合适的解题方 g ( x)法，以下例子可以明显看出。 例 16：求 limx ? sin x x ?? x分析：根据洛必达法则使用条件，此题属于 则 limx ??x ? sin x 1 ? cos x ? lim ，显而易见极限不存在，但是是否原式的极限也不存 x ?? x 1? 型，此时若使用洛必达法则 ?在？答案是否定的，下面我们用其他方法来解此题。 解：limx ? sin x ? lim x ?? x ?? x1?sin x x ?1 1结果为 1，所以原式的极限是存在的。所以，法则失效时要寻求别的方法来求极限。（二）使用洛必达法则时，应及时化简使用洛必达法则时，应及时化简，主要是指代数、三角函数的变形，经常使用的就有 [7] 无穷小量代替法、分离极限不为零的因子、变量代换等??下面通过例子说明 。1 2? x ? 3 ?1 ? x ? x ?e ? 1 ? x 2 ? ? 例 17： lim x ?0 x3分析：此题若是直接使用洛必达法则，察其复杂程度，求导定会带来复杂运算，直接使用无 穷小量代换又不知分子如何代换，故可以考虑拆开来看，具体解题过程如下。1 2? x 1 2? x ? ? 3 ?1 ? x ? x ?e ? 1 ? x ?1 ? x ? x ?e ? 1 1 ? x3 ?1 2 ? 2 ? ? ? ? lim ? lim 解： lim x ?0 x ?0 x ?0 x3 x3 x3 1 ? ? 1 3 e x ?1 ? x ? x 2 ? e ? x ? x 2 ? ? ? lim 2 = lim x ?0 x ?0 x 3 x31? x ?= limx ?01 2 ?x x ?e 1 2 ? 3 x 2? 1 ? x ? e? x 1 ? = lim x ?0 3x 2 2= lim1 ? e? x 1 1 1 1 ? ? ? ?? x ?0 6x 2 6 2 310上题运用了无穷小量代替法、 分离极限不为零的因子、 洛必达法则等几种方法， 由这题可知， 洛必达法则不可贸然使用，必要时应同其他方法结合使用，以化简解题过程。（三）不定型转换从上面洛必达法则介绍中可知，使用洛必达法则的只有 对其进行转换，变为 究。 对 0 ? ? 型进行转化时，谁放分子，谁放分母是有讲究的，如下例子说明。 例 18：求 lim xex ? ?? ?x0 ? 和 ，对于其他不定型只有 0 ?0 ? 或 不定型，才能使用洛必达法则求解。然，转换过程也有一定讲 0 ?分析：明显此题是属于 0 ? ? 不定型，若如下转换：lim xe ? x ? limx ??e?x ? e ?x ? lim ?? x ? ?? 1 x ? ?? 1 ? 2 x x极限反倒变复杂了，所以替换应看清如何简便计算，以进行合适的替换。 解：x ? ??lim xe ? x ? limx ? ??x 1 ? lim x ? 0 x x ? ?? e e .以上几点注意只能说明洛必达法则中常出现的几点， 但是也不可能涵盖到出现的所有情 况完全，在解题过程中，只有根据题目，灵活运用各种所学的知识，才能方便解题，提高解 题效率。11参考文献[1]欧阳光中.朱学炎.金福临.陈传璋.数学分析. [M] .北京.高等教育出版社.1997 [2]沈燮昌.邵品琮.数学分析纵横谈. [M] .北京：北京大学出版社，1991 [3]吴炯圻.陈跃辉.唐振松.高等数学及其思想方法与实验. [M] .厦门：厦门大学出版社. [4]汪林.戴正德.杨富春.郑喜印.数学分析问题研究与评注.[M].北京：科学出版社.1995 [5]同济大学数学系.高等数学第六版[M] . 北京.高等教育出版社.2007 [6]魏少华.蒋晨宏.李敏.求极限各种方法总结极其推广[J] .学术交流. [7]杨黎霞.使用洛必达法则求极限的几点注意[J] .科技文汇.12
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to find out more about this error.简述求极限的若干方法摘要：微积分中的重要概念，如连续、导数、定积分、级数等都是用不同类型的极限来定义的，由此可见极限的重要性。既要准确理解极限的概念、性质 和极限存在的条件，又要准确地求出各种极。求极限的方法很多，综合起来主要 有： 1. 利用极限的四则运算与幂指数运算法则； 2. 利用函数的连续性； 3. 利用洛必达法则； 4. 分别求左、右极限； 5. 利用变量替换与两个重要极限； 6. 数列极限转化为函数极限； 7. 利用夹逼定理； 8. 利用导数的定义求极限； 9. 利用泰勒公式。关键字：夹逼准则 单调有界 无穷小量的性质 洛必达法则求函数极限的方法很多，但是每一种都有局限性，都不是万能的。对某个具 体的求极限的问题， 我们应该追求最简便的方法。在求函数极限的过程中必然以相关的概念定理及公式为依据， 并借助一些重要的方法和技巧。本文主要归纳了 集中常见的求函数极限的方法。 首先，我们先来回顾一下极限的定义及其基本性质：一．极限的概念与性质㈠极限的定义定义 1.1lim an ? A ? 对于任给的常数 ? ? 0 ， 存在正整数 N ， 使得 n ? Nn??时，就有 an ? A ? ? . 若数列 ?a n ?存在极限（有限数） ，又称数列 ?a n ?收敛，否则称数列 ?a n ?发散。 定义 1.2lim f ?x ? ? A ? 对于任给的常数 ? ? 0 ，存在正数 X ，使得当x ??x ? X 时就有 f ?x ? ? A ? ? .类似可定义单侧极限 lim f ? x ? ? A 与 lim f ? x ? ? Ax ? ?? x ? ??定义 1.3x ? x0lim f ? x ? ? A ? 对于任给的常数 ? ? 0 ，存在正数 ? ，使得当0 ? x ? x0 ? ? 时就有 f ?x ? ? A ? ? .类似可定义 f ? x ? 当 x ? x0 时的右极限与左极限：f ? x0 ? 0 ? ? lim? f ? x ? ? A, f ? x0 ? 0 ? ? lim? f ? x ? ? Ax ? x0 x ? x0㈡极限的基本性质1. 数列极限基本性质 定理 1.1（极限的不等式性质）设 lim an ? a ， lim bn ? b ，若 a ? b ，则 ?N ，n?? n ??当 n ? N 时， an ? bn ；若 n ? N 时， an ? bn ，则 a ? b . 定理 1.2（收敛数列的有界性）设 a n 收敛，则 a n 有界（即 ? 常数 M ? 0 ，an ? M ， n ? 1,2,? ）.2.函数极限基本性质 定理 1.3（极限的不等式性质）设 lim f ? x ? ? A ， lim g ? x ? ? B .x ? x0 x ? x0若 A ? B ,则存在 ? ? 0 ，当 0 ? x ? x0 ? ? 时有 f ?x ? ? g ?x ? . 若存在 ? ? 0 ，使得当 0 ? x ? x0 ? ? 时有 f ?x ? ? g ?x ? ，则 A ? B . 推论（极限的保号性） lim f ? x ? ? A .x ? x0若 A ? 0 ,则存在 ? ? 0 ，当 0 ? x ? x0 ? ? 时有 f ?x ? ? 0 . 若存在 ? ? 0 ，使得当 0 ? x ? x0 ? ? 时有 f ?x ? ? 0 ，则 A ? 0 . 定理 1.4 （存在极限的函数局部有界性） 设存在极限 lim f ? x ? ? A ， f ? x ? 在 则x ? x0x0 的空心邻域 U 0 ?x0 , ? ? ? ?x 0 ? x ? x0 ? ? ?内有界，即存在 ? ? 0 与 M ? 0 ，使得当0 ? x ? x0 ? ? 时，有 f ? x ? ? M .二．极限存在性判别㈠夹逼定理定 理 2.1 （ 数 列 情 形 ） 若 ?N ， 当 n ? N 时 ， bn ? an ? cn ， 且 有n ? ??lim bn ? lim cn ? a 则 lim an ? a .n ? ??n ? ??定 理 2.2 （ 函 数 情 形 ） 若 存 在 ? ? 0 ， 使 得 当 0 ? x ? x0 ? ? 时 有lim lim h?x ? ? f ?x ? ? g ?x ? ，又 x ? x h? x ? ? x ? x g ? x ? ? A ，则 lim f ? x ? ? A .0 0x ? x0㈡单调有界数列必收敛定理定理 2.3 若数列 ?a n ?单调上升有界， an ?1 ? an 即?n ? 1,2,??，并存在一个n ? ??数M ， 使得对一切的 n 有 an ? M ， ?a n ?收敛。 则 即存在一个数 a ， 使得 lim an ? a ， 且有 an ? a?n ? 1,2,?? . ?n ? 1,2,??，并存在一个数 m ，使若数列 ?a n ?单调下降有下界，即 an ?1 ? an得对一切的 n 有 an ? m ，则 ?a n ? 收敛。即存在一个数 a ，使得 lim an ? a ，且有n ? ??an ? a?n ? 1,2,?? .㈢极限存在充要条件定x?x0理2.4x?x 0（函x?x 0数极限 存在的充要 条件）lim f ?x? ? A ? lim? f ?x? ? lim? f ?x? ? A .? g ? x ?, x0 ? ? ? x ? x0 对于分段函数 f ? x ? ? ? ， 考察 lim f ? x ? 是否存在就需要分 x ? x0 ? h? x ?, x0 ? x ? x0 ? ?别求 lim? f ?x ? ? lim? h?x ? 与 lim? f ?x ? ? lim? h?x ? ，并确定二者是否相等。x?x 0 x? x0 x?x 0 x? x0定理 2.5（数列极限存在的充要条件） lim xn ? A ? lim x2 n ? lim x2 n ?1 ? A .n ?? n ?? n ??例 2.1 证明：1 lim sin 不存在。 x ?0 x 1 1 取 xn ? ，则均有 xn ? 0, yn ? 0 , yn ? ? 2n? 2n? ? 2证明?n ? ??? ，但n ? ??lim sin1 1 1 ? 0, lim sin ? 1，因此 lim sin 不存在。 n ? ?? x ?0 xn yn x三．求极限的方法㈠利用极限的四则运算法则与幂指数运算法则求极限定理 3.1（四则运算法则）若 lim f ( x ) ? A ， lim g ( x ) ? B ，则x ? x0 x ? x0(1) lim ? f ( x) ? g ( x)? ? lim f ( x ) ? lim g ( x ) ? A ? Bx ? x0 x? x0 x ? x0(2) lim ? f ( x) ? g ( x)? ? lim f ( x) ? lim g ( x) ? A ? Bx ? x0 x ? x0 x ? x0(3)若 B≠0则：x ? x0limlim f ( x) f ( x ) x ? x0 A ? ? g ( x) lim g ( x) Bx ? x0（4） lim c ? f ( x) ? c ? lim f ( x) ? cAx ? x0 x ? x0（c 为常数）定 理 3.2 （ 幂 指 数 运 算 法 则 ） 设 lim f ( x ) ? A ? 0 ， lim g ( x ) ? B ， 则x ? x0 x ? x0x? x0lim f ( x) g ? x ? ? AB ? A ? 0?上述性质对于 x ? ?, x ? ??, x ? ??时也同样成立 。 例 3.1 求下列极限： ⑴ w ? lim4x2 ? x ?1 ? x ?1 x ? sin x2 x ? ??⑵ w ? limx ?01 ? x sin x ? cos x arcsin2 x? 1 1 1? x? 4 ? ? 2 ? 1 ? ? ? x x x ? 2 ?1 ?? w ? lim ? ?3 解：⑴ x ? ?? 1 sin x x 1? 2 x⑵ w ? limx ?01 ? x sin x ? cos x 1 ? 1 ? cos x sin x ? 1 ? 1 ? 3 ? lim ? ? ? ? ? ? 1? ? 2 x ?0 ? x 2 x ? 2?2 ? 4 x 2 1 ? x sin x ? cos x??㈡利用洛必达法则求未定式的极限定理 3.3 设 i） lim f ? x ? ? lim g ? x ? ? 0（或 ? ） ；ii） f ? x ?, g ?x ? 在 x ? a 的空心邻域x?a x?a中可导， g ' ?x ? ? 0 ；iii） limx?af ' ?x ? f ?x ? ? A ，则 lim ? A ,其中 A 可以是有限数 x ?a g ? x ? g ' ?x ?也可以是 ? 或 ? ? . 0 ? 求 型或 型极限方法有： 0 ? 1.通过恒等变形约去分子、分母中极限为零或 ? 的因子，然后用极限四则运算法 则； 2.洛必达法则； 3.泰勒公式； 4.变量替换与重要极限公式； 5.等价无穷小因子替换。1 ? tan x ? 1 ? sin x ⑴ w ? lim x ?0 x 2 ? x ln ?1 ? x ?例 3.21 x ⑵ w ? lim x ?0 ? ? cos x ? ln ? ? x ? 1 1 3 sin x ? x 2 cos解：⑴恒等变形：分子分母同乘 1 ? tan x ? 1 ? sin x ，得tan x ? sin x 1 ? x?x ? ln ?1 ? x ?? 1 ? tan x ? 1 ? sin x tan x?1 ? cos x ? 1 ? lim ? lim x ? 0 x?x ? ln ? ? x ?? x ? 0 1 ? tan x ? 1 ? sin x 1 1 1 ? cos x 1 sin x 1 sin x ?1 ? x ? ? 1 ? lim ? lim ? lim x ? 0 ? ln ? ? x ? x ?0 x ?0 1 2 1 2 2 x 2 1? 1? x w ? limx ?0⑵恒等变形：分子分母同除以 x ，得1 w ? lim lim x ?0 1 ? cos x x ?03 sin x ? x 2 cos ln ?1 ? x ?1 sin x 1 3 ? x cos 1 x ? lim x x ? 1 ?3 ? 3 ln ?1 ? x ? 2 x ?0 2 2 x例 3.3求 w ? lime x ? esin x 极限。 x ?0 x ? sin x0 解：属 型。根据其特点可先作恒等变形与变量替换后在用洛必达法则求极限。 0esin x e x ?sin x ? 1 et ? 1 sin x w ? lim ? lim e lim ? 1 ，其中 t ? x ? sin x . x ?0 x ?0 t ?0 x ? sin x 1??0 ? 型和 型未定式的极限基本相同。必 0 ? 0 须注意的是为使用洛必达法则需根据函数的特点先将 0 ? ? 型未定式化为 型或 0 ? 型。 ? 0 ? 求 ? ? ? 型未定式的极限一般需用适当方法将其化为 型或 型未定式。若 0 ? 0 ? 是两个分式函数之差的 ? ? ? 型未定式，则用通分将其化为 型或 型未定式； 0 ? 0 若是与根式函数之和、 差有关的 ? ? ? 型未定式， 则需用有理化等方法将其化为 0 ? 型或 型未定式。 ?求 0 ? ? 型未定式的极限的方法与求例 3.41 ? 1 ? ?ax ?bx ? ⑴ w ? lim x? ? x ? ?? ? ??a, b ? 0?1 ? 1 ? ⑵ w ? lim ? 2 ? 2 ? 2 x ?0 sin x x cos x ? ?解：⑴属 ? ? 0 ，可化为0 型。 0 1 ? ? 1 ? a x ? bx ?t ? 1 a t ? bt a ? w ? lim x? ? lim a t ln a ? b t ln b ? ln x lim x ? ?? ? t ?0 t ?0 1 ? t b ? ? ? x ???⑵属 ? ? ? 型。先化成x 2 cos2 x ? sin 2 x 0 型。即 w ? lim 2 ，作等价无穷小因子替换 x ?0 x cos2 x sin 2 x 0与恒等变形再用洛必达法则即得 x cos x ? sin x x cos x ? sin x 1 ? x sin x 2 w ? lim ? lim lim ? 2 lim ?? 3 2 2 x ?0 x ?0 x ?0 cos x x ?0 x x 3x 31? ,00 , ? 0 型未定式的极限 lim f ?x ?g ?x?? elim g ? x ?ln f ? x ? ， lim g ?x ? ln f ?x ? 必为 0 ? ? 而型未定式的极限，需再化为求 如果 lim f ? x ? 是 lim f ?x ? 计算。g ?x?g ?x?0 ? 型或 型未定式。 0 ?是 1? 型的未定式， 由于 lim f ?x ? ? 1 ， f ?x ? ? ln? f ?x ? ? 1 ? 1? ~ f ?x ? ? 1 于 ln? elim g ? x ?ln f ? x ? ? elim?g ? x ?? f ? x ??1?? ， 这种等价无穷小因子替换有时可以简化例 3.5 ⑴ w ? lim ?arctan x ?x ?0ln ?1? x ?1? ? ? ?1 ? x ? x ? ⑵ w ? lim ? ? x ?0 ? e ? ? ??1 x解：⑴属 0 0 型。t ? tan x ? ln t lim ?ln ?1 ? x ? ln ?arctan x ?? ? lim ?? x ln ?arctan x ?? lim ?? tan t ln t ? ? lim x ?0 ? x ?0 ? t ?0 ? t ?0 ? 1 t1 ? lim ? t ? 0 t ?0 ? 1 ? 2 t其中用了等价无穷小因子替换： ln ?1 ? x ? ~ ? x ?x ? 0?, tan t ~ t ?t ? 0? 因此 w ? e lim ?ln ?1 ? x ? ln ?arctan x ?? ? e 0 ? 1x ?0 ?1? ? ? 1 ?1 ? x ? x ? ? 1?1 ln ?1 ? x ? ? x ?? ⑵由于 lim ?? ln ? ? lim ?? ? ln ?1 ? x ? ? 1?? ? lim x ?0 x ?0 x ?0 e ? ? x2 ?? ? x?x ? x ? ?1 ?1 1 ?1 ? x 1 1? x ? lim ? lim ? x ?0 x ?0 ? 2 x ? ? x ? ? 2x 1 2因此 w ? e .1 2㈢利用函数的连续性求极限1.设 f ? x ? 在 x ? a 连续，按定义就有 lim f ? x ? ? f ?a ? 。因此对连续函数求极限x?a就是用代入法求函数值。 2,一切初等函数在它的定义域上连续。因此，若 f ? x ? 是初等函数，且 a 属于 它的定义域，则 lim f ? x ? ? f ?a ? 。x?a3.设 lim g ? x ? ? A ， 若补充定义 g ?a ? ? A ， g ? x ? 在 x ? a 连续。 则 若又有 y ? f ?u ?x?a在 u ? A 连续，则由复合函数的连续性得 lim f ?g ?x ?? ? f ? A? .x?a㈣利用变量替换法和两个重要极限求极限通过变量替换，把求某个极限转化为求另一个极限，若后者能算得出来，问 题就解决了。u ? ? ?x ? lim f ?u ? ? A 1.设 lim ? ? x ? ? ?? 且 lim f ?u ? ? A ，则 lim f ?? ?x ??x ? ?? u ? ??x ? ??u ? ??(若把 x ? ?? 改成 x ? ?? 或 x ? x0 上述结论仍成立。 ）lim 2.设 x ? x ? ? x ? ? u 0 且 f ?u ? 在 u 0 连续，则0u ? ? ?x ? lim f ?? ?x ?? lim f ?u ? ? f ?u0 ? x ? x0 当x ? x0时u ? u0 u ?u0例 3.6?? ? 求 w ? lim ? cos ? 极限。 n?? n? ?n2 2n2?? ? 解： ? lim ? cos2 ? w n ?? n? ?故w?e? n2 2而 ? e J ， J ? limn2 ? 2 ? ? 1 2 s i ? cos ? 1? ? ? lim n n n ?? 2 n ? 2 n ?? ?2?n???2n，.㈤利用等价无穷小因子替换求极限利用等价无穷小因子替换求极限可大大减少计算量。 但在利用等价无穷小因 子替换求极限时应注意下面两点：1.只在极限的乘除运算中使用等价无穷小因子替换， 不能随意在极限的加减 运算中使用。 只是因为： 由等价无穷小的性质 1 知道， 作等价无穷小因子替换时， 必须将分子和分母的整体分别换成它们各自的等价无穷小（由于 ? ~ ? , ? ~ ? ， 故保持分子或分母不变也是可以的） 。但如果对分子（或分母）中的某个加项作 替换，则不能保证替换后的新分子（或分母）与原来的的分子（或分母）是等价 无穷小。 2.除要熟练应用后面所列重要等价无穷小因子替换外， 还要会运用等价无穷 小量的传递性质以及无穷小量阶的运算性质，并结合洛必达法则、变量替换（即 换元法）等以简化计算过程。 常见的等价无穷小： 当 x ?0 时sin x ~ x ln ?1 ? x ? ~ x tan x ~ x e ?1 ~ xx narcsin x ~ x a ? 1 ~ x ln axarctan x ~ x 1 1 ? cos x ~ x 2 2?1 ? ?x ?? ? 1 ~ ?? x例 3.71? x ?1 ~41 1 x log a ?1 ? x ? ~ x n ln a?a ? 0, a ? 1?ex ?1 求 w ? lim 极限 x ?0 1 ? cos x 1 ? cos x??解：注意 x ? 0 时， 1 ? cos x 1 ? cos x ~? w ? lim x4 ?4 1 4 x 4??4 1 2 1 x ?1 ? cos x ? ~ x 4 ， e x ? 1 ~ x 4 2 4x ?0㈥分别求左右极限求得函数极限 以函数极限存在的充要条件为根据， 求分段函数在分界点处的极 限， 或函数表达式中含有左、 右极限不相等的项时， 要通过分别求左、 右极限来得出函数极限。? ex ?1 , x?0 ? 2x 例 3.8 求极限 lim f ? x ? ： f ?x ? ? ? 0, x?0 ? x ?0 ? 1 ? x ?1 , ?1 ? x ? 0 ? x ?解：由于 limx ?0 ?f ?x ? ? lim x ?01 ? x ?1 1 e x ?1 1 ? ， ? ， lim? f ?x ? ? lim? ? x ?0 x ?0 x 2 2x 2因此， lim f ?x ? ? .x ?01 2㈦利用函数极限求数列极限若 lim f ? x ? ? A ，则对于 ?an ? ?? ，有 lim f ?an ? ? A 。由这一结论，可以x ? ?? n ? ??得到求数列极限 lim bn 的如下方法：若数列 ?bn ? 可以看成某函数 f ? x ? 在数列 ?a n ? n?? 上 的 值 ， 即 bn ? f ?an ??n ? 1,2,?? ， 且 an ? ?? . 若 lim f ? x ? ? A ， 则x ? ??lim bn ? lim f ?an ? ? lim f ?x ? ? A .n ?? n ?? x ? ??特别的，若 lim f ? x ? ? A ， bn ? f ?n ? ，则 lim bn ? A .x ? ?? n??求数列极限转化为求函数极限的主要目的是为了用洛必达法则。 对于其它极 限过程也有类似的结果。 例 3.9 求数列极限 w ? lim nn ???nn ?1 .?1解：由 lim n n ? 1 ? n n ? 1 ? e nn ??ln n?1 ~1 ln n ?n ? ? ? .用等价无穷小因子替换 n得1 1 w ? lim n ? ln n ? lim ln n n ?? n ?? n n引入 f ?x ? ?1 2 ln x ?x ? 0? ，则 ln x 2 ? x xw ? lim fn ??? ?? 1 n ? lim f ?x ? 2 lim ? 0 ? x ? ?? x ? ?? x 洛必达法则㈧用适当放大缩小法求极限用夹逼定理求极限 lim an ，就是通过将数列 ?a n ? 分别放大与缩小成满足n??cn ? an ? bn ?n ? 1,2,?? ，且保证极限 lim bn 与 lim cn 相等的两个数列 ?bn ? 与 ?cn ? 来 n?? n??求数列 ?a n ?的极限。 简单的放大缩小手段利用 n 个正数之和不超过其中最大数乘以 n ，不小于其中最小数乘以 n ；分 子与分母同为正数，把分母放大则分数值缩小；若干个正数的乘积中，把小于 1 的因子略去则乘积放大， 把大于 1 的因子略去则乘积缩小等方法直接放大或缩小 要求极限的数列以求得其极限。1? 3 ? 5 ? ? ? ?2n ? 1? ，求 lim xn n?? 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n例 3.10 设 xn ? n解：作恒等变形，再用简单手段作适当放大与缩小。n?2n ? 1? ? 1 ? n 1 ? 3 ?? ? ?2n ? 1? ? 1 1 3 5 ? xn ? n ? ? ? ? ?2n ? 2? 2n 2 4 2n 2 4 2nn?? n ??注意，已知 lim n n ? 1, lim n 2 ? 1 ，于是 lim nn ??1 1 ? ?1 n 2n lim 2 n nn ????因此 lim xn ? 1 .n ??1.利用极限的不等式性质进行放大或缩小Mn ?M ? 0为常数? 例 3.11 求数列极限： lim n ?? n!解：存在自然数 k ， k ? M ，使 1 ?0?M M M ? ? ? ? ，当 n ? k 时，有 k ?1 k ? 2 k ? 3Mn M M M M M M M M k M M k ?1 1 ? ? ??? ? ? ??? ? ? ? ? ? n! 1 2 k k ?1 k ? 2 n ?1 n k! n k! n即当 n ? k 时，有 0 ?Mn ? 0. n ?? n!M n M k ?1 1 M k ?1 1 ? ? .又 是常数，且 lim ? 0 ，因而由 n ?? n k! n! k! n夹逼定理知 lim2.对积分的极限可利用积分的性质进行放大或缩小 例 3.12 设 f ? x ? 在 ?0,1? 连续，求 lim ? x n f ?x ?dx .1 n?? 0解：因 ? x n dx ?011 ，且连续函数 f ? x ? 在 ?0,1? 存在最大值与最小值，分别记 n ?1为 M 与 m ，则1 1 1 m M ? m? x n dx ? ? x n f ?x ?dx ? M ? x n dx ? 0 0 0 n ?1 n ?1 1 m M 又 lim ? lim ? 0 ，故 lim ? x n f ?x ?dx ? 0 . n ?? n ? 1 n ?? n ? 1 n?? 0㈨递归数列极限的求法数列 ?a n ?如果满足方程 an?1 ? f ?an ??n ? 1,2,?? ，其中 f 是已知的一元连续函 数，则称 ?a n ?为递归数列。由递归方程知，由 a1 可求出 a2 ，由 a2 可求出 a3 ，以 此类推可求出任意项 a n .常用如下两种方法求递归数列的极限。 方法 1.先证明递归数列 ?a n ? 收敛（常用单调有界数列收敛定理） ，然后设lim xn ? A ，再对递归方程 an?1 ? f ?an ? 取极限得 A ? f ? A? ，最后解出 A 即可。n??方法 2.先设 lim xn ? A ，对递归方程取极限后从 A ? f ? A? 解得 A，再用适当n??方法证明 lim xn ? A .再注意到递归数列 an?1 ? f ?an ? 的单调性与函数 f 的单调性n??相关。 例 3.13 已知数列 ?xn ?满足： x0 ? 25, xn ? arctan xn?1 ?n ? 1,2,?? ，证明 ?xn ?的 极限存在，并求其极限。 证明： 设 f ?x ? ? arctan x ? x ，则 f ?0? ? 0 .f ' ?x ? ? 1 x2 ?1 ? ? ?0 1? x2 1? x2所以 f ? x ? 单调减少，当 x ? 0 时， f ?x ? ? f ?0? ? 0 ，即 arctanx ? x ，于是有xn ? arctanxn?1 ? xn?1 .由此可知，数列 ?xn ?单调递减。 又 x0 ? 25, xn ? arctan 25 ? 0,? ，且对每个 n ，都有 xn ? 0 ，根据极限存在准 则即知 lim xn 存在.n??设 lim xn ? a ，在 xn ?1 ? arctanxn 两边取极限得 a ? arctana ，所以 a ? 0 ，即n ??lim xn ? 0 .n ??（十）利用导数定义求极限1.设 f ' ?x ? 存在，若所求极限可化为 lim 即是 f ' ?x ? .x ?0f ?x ? x ? ? f ?x ? 的形式，则按导数定义 x2.设 f ' ?x ? 存在，由数列极限与函数极限的关系还可得，当 lim xn ? 0 时n ??limn ??f ? x ? xn ? ? f ? x ? ? f ' ?x ? . xn例 3.14 设 limn?af ?x ? ? b sin f ?x ? ? sin b ? A ，则 lim ? n ?a x?a x?a.解：补充定义 f ?a ? ? b ，则有f ' ?a ? ? limx ?af ?x ? ? f ?a ? f ?x ? ? b ? lim ? A. x ?a x?a x?a于是 sin f ?x ? ? sin b sin f ?x ? ? sin f ?a ? lim ? lim ? ?sin f ?x ??' x ?a ? cos f ?a ? ? f ' ?a ? ? A cosb . n ?a n ?a x?a x?a（十一）利用泰勒公式求未定式的极限设 f ? x ? 与 g ? x ? 在 x ? a 的泰勒公式分别是f ?x ? ? A?x ? a ? ? ? ?x ? a ? ， g ?x ? ? B?x ? a ? ? ? ?x ? a ? ，n n m m????其中 A ? 0, B ? 0 ，则f ?x ? A?x ? a ? ? ? ?x ? a ? ? lim g ?x ? x?a B?x ? a ?m ? ? ?x ? a ?mn nlimx ?a? ?? ??A ?B , m ? n ? ? ? 0, n ? m ? ?, n ? m ? ?当易求 f ? x ? ， g ? x ? 的泰勒公式，而 f ? x ? ， g ? x ? 的导数计算较复杂时，可用 泰勒公式求极限 limf ?x ? . g ?x ?x? a例 3.15x2 ?1? 1? x2 求极限 I ? lim 2 . 2 x ?0 cos x ? e x sin x 2??解：因x2 x2 1 ? 1 ? 1 ?1? 1? x2 ? ? 1 ? ?1 ? x 2 ? x 4 ? ? ? x 4 ? x 4 ? ? x 4 ， 2 2 8 ? 8 ? 2? ?? ?2 3 ? 1 ? cos x ? e x ? ?1 ? x 2 ? ? 1 ? x 2 ? ? x 2 ? ? x 2 ? ? x 2 ， 2 ? 2 ??? ? ?? ?1 4 1 x ? ? x4 1 8 又 sin x 2 ~ x 2 ?x ? 0? ，所以 I ? lim ? 8 ?? . x ?0 ? 3 3 12 ? ? x2 ? ? x2 ? ? x2 ? ? 2 2 ? ?? ?? ?在实际学习中很多题是多种方法综合运用求解的。所以求极限时，首先观察 数列或函数的形式．选择适当方法，只有方法得当，才能准确、快速、灵活的求 解极限。结论本文主要归纳了数学分析中求极限的十四种方法,以上只是众多求解极限方 法的一小部分，或许并不全面，大家如有兴趣可以继续探索新的求解方法。因为 数学知识博大精深，我们目前只接触到一点点而已，我们应不停的接受知识，虽 然我们还处在那数学的基础层，但这并不妨碍我们对数学的喜爱与学习。参考文献：[1] 李永乐，李正元，数学复习全书（数学三），国家行政学院出版社 [2] 华东师范数学系，数学分析（第四版）上下册，高等教育出版社
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