【概率论】有哪些违背直觉的数学问题？
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【概率论】有哪些违背直觉的数学问题？
说到违反直觉，那么这个必须要提著名的“三门问题”，亦称为蒙特霍问题或蒙提霍尔悖论，大致出自美国的一档电视游戏节目Let's Make a Deal。问题名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔（Monty Hall）。' class='origin_image zh-lightbox-thumb' width='2000' data-original=''&这个游戏的玩法如下，非常简单：这个游戏的玩法如下，非常简单：现场有三扇关闭了的门，其中一扇的后面有辆跑车，而另外两扇门后面则各藏有一只山羊。参赛者需要从中选择一扇门，如果参赛者选中后面有车的那扇门就可以赢得这辆跑车，当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。接下来参赛者会被问到：是否保持他的原来选择，还是转而选择剩下的那一道门？' data-rawwidth='720' data-rawheight='400' class='origin_image zh-lightbox-thumb' width='720' data-original=''&那么问题来了，请问如果你是参赛者，为了得到门后的跑车大奖，你会做哪种选择，使得自己获奖的概率会更大呢？或者增加点难度，换和不换的获胜概率分别是多少？为了避免歧义，先明确如下的限制条件： 参赛者只能在三扇门中挑选一扇，而且他并不知道内里有什么。 主持人明确知道每扇门后面有什么。 主持人必须开启剩下的其中一扇门，并且必须提供换门的机会。 那我们可以按照日常直觉分析如下：参赛者在做出最开始的决定时，对三扇门后面的事情一无所知，因此他选择正确的概率是1/3，这个非常直观，合乎直觉。然后，主持人排除掉了一个错误答案（有羊的门），于是剩下的两扇门必然是一扇是羊，一扇是跑车，那么此时无论选择哪一扇门，胜率都是1/2，依然合乎直觉。所以感觉上，参赛者换不换都无必要，获胜概率均为1/2。但事情并没有这么简单，其实在历史上，这个“三门问题”刚被提出的时候却引起了相当大的关注，自然而言也引发了一些学者的关注。' data-rawwidth='300' data-rawheight='373' class='content_image' width='300'&玛丽莲·沃斯·莎凡特——吉尼斯认定的最高智商人类（IQ：228）对于这个问题，著名的高智商学者，最聪明的人类，莎凡特在她专栏的回答是改选会更有优势，她认为换了之后有2/3的概率赢得车，不换的话概率只有1/3。链接地址：Y you should switch. The first door has a 1/3 chance of winning, but the second door has a 2/3 chance. Here’s a good way to visualize what happened. Suppose there are a million doors, and you pick door #1. Then the host, who knows what’s behind the doors and will always avoid the one with the prize, opens them all except door #777,777. You’d switch to that door pretty fast, wouldn’t you?是的，你应该换。你第一次选的门只有1/3胜率，但是剩下的另一扇门却有2/3的机会。但是，这个结论好像和直觉有点不一样，难道换不换不应该都是1/2吗？' data-rawwidth='435' data-rawheight='395' class='origin_image zh-lightbox-thumb' width='435' data-original=''&其时不仅仅有些读者会觉得这个答案奇怪且荒谬，当时莎凡特的回答在美国也引起了激烈的争议：人们寄来了数千封抱怨信，很多寄信人是科学老师或学者。一位来自佛罗里达大学的读者写道：“这个国家已经有够多的数学文盲了，我们不想再有个世界上智商最高的人来充数！真让人羞愧！”另一个人写道：“我看你就是那只山羊！”美国陆军研究所(US Army Research Institute)的埃弗雷特·哈曼(Everett Harman)写道，“如果连博士都要出错，我看这个国家马上要陷入严重的麻烦了。”因为直觉告诉人们：如果被打开的门后什么都没有，这个信息会改变剩余的两种选择的概率，哪一种都只能是1/2。持有这种观点的大约有十分之一是来自数学或科学研究机构，有的人甚至有博士学位。还有大批报纸专栏作家也加入了声讨莎凡特的行列。在这种情况下，莎凡特向全国的读者求救，有数万名学生进行了模拟试验。一个星期后，实验结果从全国各地飞来，是2/3和1/3。随后，MIT的数学家和阿拉莫斯国家实验室的程序员都宣布，他们用计算机进行模拟实验的结果，支持了莎凡特的答案。后来的著名节目《流言终结者》也做实验，印证了莎凡特的答案。节目链接：可以看出，这是一个概率论和人的直觉不太符合的例子，这告诉我们在做基于量化的判断的时候，要以事实和数据为依据，而不要凭主观和直觉来决定。下面是正确的分析，记得我第一次看这道题目是中学，当时我也是坚信换不换都是1/2。==========================================================================那么1/3和2/3是怎么来的呢？那就是有一个十分重要隐藏条件：显然，作为知道答案的主持人，不可能选择开启有车的门。所以他永远都会挑一扇有山羊的门，也就是说主持人选择开启其中一扇门时，他的选择并不是一个纯随机事件。那么有以下推论。 如果参赛者选择了一扇有山羊的门，主持人必须挑另一扇有山羊的门。 如果参赛者选择了一扇有跑车的门，主持人随机在另外两扇门中挑一扇有山羊的门。 我们可以遍历所有可能性，那么假设参赛者选择1号门，那么如下图所示，存在3中等可能情形：参赛者选择汽车 主持人选择山羊甲 转换失败参赛者选择山羊甲 主持人选择山羊乙转换成功参赛者选择山羊乙 主持人选择山羊甲 转换成功可见转换选择后的成功概率为2/3.' data-rawwidth='841' data-rawheight='385' class='origin_image zh-lightbox-thumb' width='841' data-original=''&我还想跟大家介绍一个非常有用的数学工具——贝叶斯公式，可以很简单的解决这个问题。我还想跟大家介绍一个非常有用的数学工具——贝叶斯公式，可以很简单的解决这个问题。我们用事A代表你第一次选择的门后是跑车，B代表主持人翻开的门后是山羊。那么已知B的情况下，A发生的条件概率P{A|B}用贝叶斯公式可得：显然，第一次选对的概率，即但是由于不知道主持人的行为，所以无法计算和那么我们具体分析：因为主持人【知道】门后对应的东西，所以只选择开启有羊的门，于是主持人一定选择山羊，事件B一定发生，即：主持人一定选择山羊，事件B一定发生：那么所以不换的胜率是1/3，因此一定要换。但如果改变条件，主持人并【不知道】门后有什么东西，那么：得到也就是是说，换与不换无所谓。附加题：开心辞典比赛中，每道题目有4个选项，其中1个选项正确，另外3个选项错误。那么你作为参赛者，面对一道完全不会的题目，于是先随机选了一个答案。之后使用锦囊去除了一个错误答案。其原则是如果逆选择正确，那么在剩下3个错误答案中任意去处1个；如果你的选择错误，则在剩下2个没被选择的错误答案中任意去处1个。那么之后要不要换选项？换和不换概率分别是多少？提示：用贝叶斯公式非常简单哦~聪明的小朋友们，你们知道答案了吗？' data-rawwidth='640' data-rawheight='400' class='origin_image zh-lightbox-thumb' width='640' data-original=''&【Tips】现已开启微信公众号：科研学徒(kystudent)，欢迎大家关注，会不定期分享一些趣事杂谈和科研路上的心得体会。欢迎大家与我交流。类似问题：
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&概率论中的问题
概率论中的问题
作者 yxh821011
一个口袋装有6只球，其中4只白球，2只黑球，现从中无放回地取球两次，每次随机地取一只，求事件A={两球均为白球}的概率。
解法1：S中含C61*C51=30个样本点，A中含C41*C31=12个样本点数，故P(A)=12/30=2/5;
解法2：由于取球方式是无放回的，所以题目所说的取两次每次取一只球，可以理解为取一次同时取两只球，因此S中包含的样本点总数为从6只球中任取2只的取法总数，即C62=15种。同理，A中包含的样本点数为从4只白球中任取2只的取法总数，即C42=6种，故P(A)=6/15=2/5.
虽然两种解法的结果相同，但到底哪种解释是对的呢？毕竟样本空间含的样本点数应该是确定的啊。
样本空间是基本结果的集合，不是确定的，取决于对“基本”的认定，不同的观察者可以有不同的样本空间。
随机事件是样本空间的子集，因此随机事件的表示也是不确定的，对于求概率而言，重要的是随机事件
和样本空间要匹配。
The first method is correct. The second method is an equivalent explanation to compute the probability. The sampling space includes 30 events.
个人感觉，两者主要区别在于考虑的方向不太一样，前者是分布步进行考虑的，各步之间进行乘法计算。后者是整体来考虑的，对于初学者，可能前者容易接受理解，不过对于有经验者，大多会考虑后者的思维，仅供参考！
无放回取样，本题中样本的空间是30个事件，所以第一种方法是正确的。对第二种方法恰好在于取到的是相同的球，看上去是对的，但是若事件A={两球是一黑一白}的概率，第二种方法就不行了。
引用回帖:: Originally posted by wwwd at
无放回取样，本题中样本的空间是30个事件，所以第一种方法是正确的。对第二种方法恰好在于取到的是相同的球，看上去是对的，但是若事件A={两球是一黑一白}的概率，第二种方法就不行了。 “样本空间是基本结果的集合，不是确定的，取决于对“基本”的认定，不同的观察者可以有不同的样本空间。
随机事件是样本空间的子集，因此随机事件的表示也是不确定的，对于求概率而言，重要的是随机事件
和样本空间要匹配。”我觉得二楼的这个解释也应该没什么问题吧。&&样本空间的定义是&随机试验的所有可能结果组成的集合&第二种解法无非是换了一种思路来解决问题，思路不同对应的样本空间自然不，
引用回帖:: Originally posted by wwwd at
无放回取样，本题中样本的空间是30个事件，所以第一种方法是正确的。对第二种方法恰好在于取到的是相同的球，看上去是对的，但是若事件A={两球是一黑一白}的概率，第二种方法就不行了。 两种思考方式的区别仅仅是是否按照有无顺序的取小球
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与700万科研达人随时交流关于2018年考研数学试题概率部分的解析|数学试题|概率|2018考研_新浪教育_新浪网
关于2018年考研数学试题概率部分的解析
　　2018考研数学已落下帷幕，整体难度较去年有所增加，这与考前海文预测的较2017年难，比2016年容易基本吻合。对海文的学生来说，应该是早有心理准备。
　　与往年一样，试题也是注重基础知识的考查，同时对计算能力也有一定要求。
　　数一、数三第7题是相同的求随机变量概率的问题。这个我们在冲刺课上也讲过类似的题目。就是看到正态分布，想到对称性和标准化。只是这里需要用特殊值的方法，将概率密度看成正态分布，利用对称性即可。
　　数一第8题是假设检验的问题，海文的冲刺教材最后一题与此类似，海文的考生对此题应该并不陌生。它不是重点，也不是难点。因而这部分内容多年一遇，这次的考生不幸遇上了。这是继1998年之后又一次考了假设检验。虽然难度不大，但相隔时间太远，我们冲刺课复习的时候要求考生考前2天再看看，如果考前再看过的考生解答此题应该不难。
　　数三的第8题考查了抽样分布，教材上有这样的结论，只要抽样分布的定义清楚，就没问题，也是常规题。
　　填空题的第14题数一、数三均考查了事件的概率计算，虽然题目不同，但考点类似，包含了事件运算、条件概率、和事件的概率，难度不大。在海文的冲刺课上讲过类似题目，与海文2016年的冲刺题更吻合。
　　数一、数三第22题考的题目相同，考查了随机变量的协方差，常见分布的数字特征、随机变量的独立性，以及函数的分布问题，这里考查的均为离散型随机变量，在计算概率时利用了全概率公式，是一道简单题。
　　数一、数三第22题考的题目类似，第一问考查了最大似然估计，这道题是一个常规题，在海文的冲刺课教材上多次出现了这种题型，难度不大。
　　本次试题概率的特点：
　　1。考查点分布广：考查了随机事件及概率、一维随机变量、二维随机变量，以及他们的分布、数字特征、统计量的数字特征，计算估计量的数学期望和方差，以及参数估计、假设检验。这些内容也是概率考试常考的知识点，与海文平时授课强调的重点知识一致。
　　2。多年未考的知识点假设检验又出现了。
　　总体而言，比去年难度有所增加，但比2016年容易。数学的计算量大也较正常，这就要求考生平时要注重计算能力的训练。同时对教材上出现的知识点、方法都要熟悉，至少不陌生。对那些生冷的知识点，不能因为不重要而忽视。同时解题时要注意运用灵活的方法，如特殊值法在应试中很有用。
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def boxes_setup():
'''Return a tuple represent three boxes. Integer 0 represent empty box and integer 1 represent reward box. For example tuple(0,1,0) means reward in the 2nd box.'''
boxes = [0,0,0]
boxes_index = (0,1,2)
reward_box_index = random.choice((boxes_index))
boxes[reward_box_index] = 1
return tuple(boxes)
def player_box(boxes):
'''Return an integer 0 or 1, represent the player's box. 0 means empty box and 1 means reward box.'''
# Player choose the 1st box.
box = boxes[0]
# Take one empty box out in 2nd and 3rd boxes, and player choose the one left.
# If both 2nd and 3rd boxes are empty, take out the 2nd box and choose the 3rd box.
if boxes[1] == 0:
box = boxes[2]
elif boxes[2] == 0:
box = boxes[1]
return box
if __name__ == "__main__":
# loop 10000 times
times = 10000
for i in range(times):
boxes = boxes_setup()
result = player_box(boxes)
if result:
print(wins/times)
得出的结果是：&&& [evaluate untitled-1.py]
结论：如果程式没写错的话，应该换。（已经尽量按照事件经过来写）165 条评论分享收藏感谢收起282 条评论分享收藏感谢收起