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在△ABC中,a、b、c是∠A、B、C所对的边,且满足a²+c²-b²=ac设m向量=（sinA,cos2A）,n向量=（-6,-1）,求m向量·n向量的最小值
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cosB=(a²＋c²－b²)/(2ac)=1/2,则：B=60°W=m*n=－6sinA－cos2A=2sin²A－6sinA－1=2[sinA－(3/2)]²－(7/2)因为0°
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2014年高考数学三角函数试题汇编
作者：佚名 资料来源：网络 点击数： &&&
2014年高考数学三角函数试题汇编
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文 章来源 莲山 课 件 w w w.5Y k J. c oM &&&&&&&&&&&&&&&&&& 数&&& 学&C单元　三角函数&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& C1& 角的概念及任意角的三角函数6．、[;新课标全国卷Ⅰ] 如图1&1，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]上的图像大致为(　　) 6．C　 C2& 同角三角函数的基本关系式与诱导公式16．、、[;福建卷] 已知函数f(x)＝cos x(sin x＋cos x)－12.(1)若0&α&π2，且sin α＝22，求f(α)的值；(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．16．解：方法一：(1)因为0&α&π2，sin α＝22，所以cos α＝22.所以f(α)＝22×22＋22－12＝12.(2)因为f(x)＝sin xcos x＋cos2x－12＝12sin 2x＋1＋cos 2x2－12＝12sin 2x＋12cos 2x＝22sin2x＋π4，所以T＝2π2＝π.由2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－3π8≤x≤kπ＋π8，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为kπ－3π8，kπ＋π8，k∈Z.方法二：f(x)＝sin xcos x＋cos2x－12＝12sin 2x＋1＋cos 2x2－12＝12sin 2x＋12cos 2x＝22sin2x＋π4.(1)因为0&α&π2，sin α＝22，所以α＝π4，从而f(α)＝22sin2α＋π4＝22sin3π4＝12.(2)T＝2π2＝π.由2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－3π8≤x≤kπ＋π8，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为kπ－3π8，kπ＋π8，k∈Z.17．，，[;重庆卷] 已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)ω&0，－π2≤φ&π2的图像关于直线x＝π3对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若fα2＝34π6&α&2π3，求cosα＋3π2的值．17．解：(1)因为f(x)的图像上相邻两个最高点的距离为π，所以ƒ(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝2πT＝2.又因为f(x)的图像关于直线x＝π3对称，所以2×π3＋φ＝kπ＋π2，k＝0，±1，±2，….因为－π2≤φ＜π2，所以φ＝－π6.(2)由(1)得ƒα2＝3sin(2×α2－π6)＝34，所以sinα－π6＝14.由π6＜α＜2π3得0＜α－π6＜π2，所以cosα－π6＝1－sin2α－π6＝1－142＝154.因此cosα＋3π2＝sin α＝sin（α－π6）＋π6＝sinα－π6cosπ6＋cosα－π6sinπ6＝14×32＋154×12＝3＋158.
C3& 三角函数的图象与性质9．[;辽宁卷] 将函数y＝3sin2x＋π3的图像向右平移π2个单位长度，所得图像对应的函数(　　)A．在区间π12，7π12上单调递减B．在区间π12，7π12上单调递增C．在区间－π6，π3上单调递减D．在区间－π6，π3上单调递增9．B　3．[;全国卷] 设a＝sin 33°，b＝cos 55°，c＝tan 35°，则(　　)A．a&b&c& B．b&c&a& C．c&b&a& D．c&a&b3．C　6．、[;新课标全国卷Ⅰ] 如图1&1，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]上的图像大致为(　　) 6．C　14．、[;新课标全国卷Ⅱ] 函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)的最大值为________．14．1　17．，，[;重庆卷] 已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)ω&0，－π2≤φ&π2的图像关于直线x＝π3对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若fα2＝34π6&α&2π3，求cosα＋3π2的值．17．解：(1)因为f(x)的图像上相邻两个最高点的距离为π，所以ƒ(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝2πT＝2.又因为f(x)的图像关于直线x＝π3对称，所以2×π3＋φ＝kπ＋π2，k＝0，±1，±2，….因为－π2≤φ＜π2，所以φ＝－π6.(2)由(1)得ƒα2＝3sin(2×α2－π6)＝34，所以sinα－π6＝14.由π6＜α＜2π3得0＜α－π6＜π2，所以cosα－π6＝1－sin2α－π6＝1－142＝154.因此cosα＋3π2＝sin α＝sin（α－π6）＋π6＝sinα－π6cosπ6＋cosα－π6sinπ6＝14×32＋154×12＝3＋158.
C4　函数 的图象与性质3．[;四川卷] 为了得到函数y＝sin (2x＋1)的图像，只需把函数y＝sin 2x的图像上所有的点(　　)A．向左平行移动12个单位长度B．向右平行移动12个单位长度C．向左平行移动1个单位长度D．向右平行移动1个单位长度3．A　
11．[;安徽卷] 若将函数f(x)＝sin2x＋π4的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y轴对称，则φ的最小正值是________．11.3π8　14．[;北京卷] 设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A&0，ω&0)．若f(x)在区间π6，π2上具有单调性，且fπ2＝f2π3＝－fπ6，则f(x)的最小正周期为________．14．π&16．、、[;福建卷] 已知函数f(x)＝cos x(sin x＋cos x)－12.(1)若0&α&π2，且sin α＝22，求f(α)的值；(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．16．解：方法一：(1)因为0&α&π2，sin α＝22，所以cos α＝22.所以f(α)＝22×22＋22－12＝12.(2)因为f(x)＝sin xcos x＋cos2x－12＝12sin 2x＋1＋cos 2x2－12＝12sin 2x＋12cos 2x＝22sin2x＋π4，所以T＝2π2＝π.由2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－3π8≤x≤kπ＋π8，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为kπ－3π8，kπ＋π8，k∈Z.方法二：f(x)＝sin xcos x＋cos2x－12＝12sin 2x＋1＋cos 2x2－12＝12sin 2x＋12cos 2x＝22sin2x＋π4.(1)因为0&α&π2，sin α＝22，所以α＝π4，从而f(α)＝22sin2α＋π4＝22sin3π4＝12.(2)T＝2π2＝π.由2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－3π8≤x≤kπ＋π8，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为kπ－3π8，kπ＋π8，k∈Z.7．、[;广东卷] 若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是(　　)A．l1⊥l4& B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行& D．l1与l4的位置关系不确定7．D　&17．、、、[;湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－3cosπ12t－sinπ12t，t∈[0，24)．(1)求实验室这一天的最大温差．(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？17．解：(1)因为f(t)＝10－232cosπ12t＋12sinπ12t＝10－2sinπ12t＋π3，又0≤t&24，所以π3≤π12t＋π3&7π3，－1≤sinπ12t＋π3≤1.当t＝2时，sinπ12t＋π3＝1；当t＝14时，sinπ12t＋π3＝－1.于是f(t)在[0，24)上取得的最大值是12，最小值是8.故实验室这一天的最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.(2)依题意，当f(t)&11时，实验室需要降温．由(1)得f(t)＝10－2sinπ12t＋π3，故有10－2sinπ12t＋π3&11，即sinπ12t＋π3&－12.又0≤t&24，因此7π6&π12t＋π3&11π6，即10&t&18.故在10时至18时实验室需要降温．16．、[;江西卷] 已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋acos(x＋2θ)，其中a∈R，θ∈－π2，π2.(1)当a＝2，θ＝π4时，求f(x)在区间[0，π]上的最大值与最小值；(2)若fπ2＝0，f(π)＝1，求a，θ的值．16．解：(1)f(x)＝sinx＋π4＋2cosx＋π2＝22(sin x＋cos x)－2sin x＝22cos x－22sin x＝sinπ4－x.因为x∈[0，π]，所以π4－x∈－3π4，π4，故f(x)在区间[0，π]上的最大值为22，最小值为－1.(2)由fπ2＝0，f（π）＝1，得cos θ（1－2asin θ）＝0，2asin2θ－sin θ－a＝1.又θ∈－π2，π2，知cos θ≠0，所以1－2asin θ＝0，（2asin θ－1）sin θ－a＝1，解得a＝－1，θ＝－π6.12．、[;新课标全国卷Ⅱ] 设函数f(x)＝3sinπxm，若存在f(x)的极值点x0满足x20＋[f(x0)]2＜m2，则m的取值范围是(　　)A．(－∞，－6)∪(6，＋∞)B．(－∞，－4)∪(4，＋∞)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)12．C16．，[;山东卷] 已知向量a＝(m，cos 2x)，b＝(sin 2x，n)，函数f(x)＝a•b，且y＝f(x)的图像过点π12，3和点2π3，－2.(1)求m，n的值；(2)将y＝f(x)的图像向左平移φ(0＜φ＜π)个单位后得到函数y＝g(x)的图像，若y＝g(x)图像上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y＝g(x)的单调递增区间．16．解：(1)由题意知，f(x)＝＝msin 2x＋ncos 2x.因为y＝f(x)的图像过点π12，3和点2π3，－2，所以3＝msinπ6＋ncosπ6，－2＝msin4π3＋ncos4π3，即3＝12m＋32n，－2＝－32m－12n，解得m＝3，n＝1.(2)由(1)知f(x)＝3sin 2x＋cos 2x＝2sin2x＋π6.由题意知，g(x)＝f(x＋φ)＝2sin2x＋2φ＋π6.设y＝g(x)的图像上符合题意的最高点为(x0，2)．由题意知，x20＋1＝1，所以x0＝0，即到点(0，3)的距离为1的最高点为(0，2)．将其代入y＝g(x)得，sin2φ＋π6＝1.因为0&φ&π，所以φ＝π6.因此，g(x)＝2sin2x＋π2＝2cos 2x.由2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z得kπ－π2≤x≤kπ，k∈Z，所以函数y＝g(x)的单调递增区间为kπ－π2，kπ，k∈Z.2．[;陕西卷] 函数f(x)＝cos2x－π6的最小正周期是(　　)A.π2& B．π& C．2π& D．4π2．B　16．，，，[;四川卷] 已知函数f(x)＝sin3x＋π4.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，fα3＝45cosα＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．16．解：(1)因为函数y＝sin x的单调递增区间为－π2＋2kπ，π2＋2kπ，k∈Z，由－π2＋2kπ≤3x＋π4≤π2＋2kπ，k∈Z，得－π4＋2kπ3≤x≤π12＋2kπ3，k∈Z.所以，函数f(x)的单调递增区间为－π4＋2kπ3，π12＋2kπ3，k∈Z.(2)由已知，得sinα＋π4＝45cosα＋π4(cos2α－sin2α)，所以sin αcosπ4＋cos αsinπ4＝45cos α cosπ4－sin& αsinπ4(cos2 α－sin2 α)，即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，得α＝3π4＋2kπ，k∈Z，此时，cos α－sin α＝－2.当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，得cos α－sin α&0，此时cos α－sin α＝－52.综上所述，cos α－sin α＝－2或－52.15．、、[;天津卷] 已知函数f(x)＝cos x•sinx＋π3－3cos2x＋34，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在闭区间－π4，π4上的最大值和最小值．15．解：(1)由已知，有f(x)＝cos x•12sin x＋32cos x－3cos2x＋34＝12sin x•cos x－32cos2x＋34＝14sin 2x－34(1＋cos 2x)＋34＝14sin 2x－34cos 2x＝12sin2x－π3，所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)因为f(x)在区间－π4，－π12上是减函数，在区间－π12，π4上是增函数，f－π4＝－14，f－π12＝－12，fπ4＝14，所以函数f(x)在区间－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12.4．[;浙江卷] 为了得到函数y＝sin 3x＋cos 3x的图像，可以将函数y＝2cos 3x的图像(　　)A．向右平移π4个单位& B．向左平移π4个单位C．向右平移π12个单位& D．向左平移π12个单位4．C　17．，，[;重庆卷] 已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)ω&0，－π2≤φ&π2的图像关于直线x＝π3对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若fα2＝34π6&α&2π3，求cosα＋3π2的值．17．解：(1)因为f(x)的图像上相邻两个最高点的距离为π，所以ƒ(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝2πT＝2.又因为f(x)的图像关于直线x＝π3对称，所以2×π3＋φ＝kπ＋π2，k＝0，±1，±2，….因为－π2≤φ＜π2，所以φ＝－π6.(2)由(1)得ƒα2＝3sin(2×α2－π6)＝34，所以sinα－π6＝14.由π6＜α＜2π3得0＜α－π6＜π2，所以cosα－π6＝1－sin2α－π6＝1－142＝154.因此cosα＋3π2＝sin α＝sin（α－π6）＋π6＝sinα－π6cosπ6＋cosα－π6sinπ6＝14×32＋154×12＝3＋158.
C5& 两角和与差的正弦、余弦、正切14．、[;新课标全国卷Ⅱ] 函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)的最大值为________．14．1
16．、[;安徽卷] 设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，A＝2B.(1)求a的值；(2)求sinA＋π4的值．16．解： (1)因为A＝2B，所以sin A＝sin 2B＝2sin Bcos B，由余弦定理得cos B＝a2＋c2－b22ac＝sin A2sin B，所以由正弦定理可得a＝2b•a2＋c2－b22ac.因为b＝3，c＝1，所以a2＝12，即a＝2 3.(2)由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc＝9＋1－126＝－13.因为0&A&π，所以sin A＝1－cos2A＝1－19＝2 23.故sinA＋π4＝sin Acosπ4＋cos Asinπ4＝2 23×22＋－13×22＝4－26.7．、[;广东卷] 若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是(　　)A．l1⊥l4& B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行& D．l1与l4的位置关系不确定7．D　&16．、[;广东卷] 已知函数f(x)＝Asinx＋π4，x∈R，且f5π12＝32.(1)求A的值；(2)若f(θ)＋f(－θ)＝32，θ∈0，π2，求f3π4－θ.17．[;湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－3cosπ12t－sinπ12t，t∈[0，24)．(1)求实验室这一天的最大温差．(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？17．解：(1)因为f(t)＝10－232cosπ12t＋12sinπ12t＝10－2sinπ12t＋π3，又0≤t&24，所以π3≤π12t＋π3&7π3，－1≤sinπ12t＋π3≤1.当t＝2时，sinπ12t＋π3＝1；当t＝14时，sinπ12t＋π3＝－1.于是f(t)在[0，24)上取得的最大值是12，最小值是8.故实验室这一天的最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.(2)依题意，当f(t)&11时，实验室需要降温．由(1)得f(t)＝10－2sinπ12t＋π3，故有10－2sinπ12t＋π3&11，即sinπ12t＋π3&－12.又0≤t&24，因此7π6&π12t＋π3&11π6，即10&t&18.故在10时至18时实验室需要降温．17．、[;辽宁卷] 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a&c.已知BA→•BC→＝2，cos B＝13，b＝3.求：(1)a和c的值；(2)cos(B－C)的值．17．解：(1)由BA→•BC→＝2得c•a•cos B＝2，又cos B＝13，所以ac＝6.由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accos B，又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×2＝13.解ac＝6，a2＋c2＝13，得a＝2，c＝3或a＝3，c＝2.因为a＞c，所以a＝3，c＝2.(2)在△ABC中，sin B＝1－cos2B＝1－132＝223.由正弦定理，得sin C＝cbsin B＝23•2&& 23＝ 4 29.因为a＝b＞c，所以C为锐角，因此cos C＝1－sin2C＝1－4 292＝79.所以cos(B－C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C＝13×79＋2 23×4 29＝2327.17． [;全国卷] △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3acos C＝2ccos A，tan A＝13，求B.17．解：由题设和正弦定理得3sin Acos C＝2sin Ccos A，故3tan Acos C＝2sin C.因为tan A＝13，所以cos C＝2sin C，所以tan C＝12.所以tan B＝tan[180°－(A＋C)]＝－tan(A＋C)＝tan A＋tan Ctan Atan C－1＝－1，所以B＝135°.8．[;新课标全国卷Ⅰ] 设α∈0，π2，β∈0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则(　　)A．3α－β＝π2& B．3α＋β＝π2C．2α－β＝π2& D．2α＋β＝π28．C　13．，[;四川卷] 如图1&3所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高度是46 m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，3≈1.73)&图1&3
13．60　16．，，，[;四川卷] 已知函数f(x)＝sin3x＋π4.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，fα3＝45cosα＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．16．解：(1)因为函数y＝sin x的单调递增区间为－π2＋2kπ，π2＋2kπ，k∈Z，由－π2＋2kπ≤3x＋π4≤π2＋2kπ，k∈Z，得－π4＋2kπ3≤x≤π12＋2kπ3，k∈Z.所以，函数f(x)的单调递增区间为－π4＋2kπ3，π12＋2kπ3，k∈Z.(2)由已知，得sinα＋π4＝45cosα＋π4(cos2α－sin2α)，所以sin αcosπ4＋cos αsinπ4＝45cos α cosπ4－sin& αsinπ4(cos2 α－sin2 α)，即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，得α＝3π4＋2kπ，k∈Z，此时，cos α－sin α＝－2.当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，得cos α－sin α&0，此时cos α－sin α＝－52.综上所述，cos α－sin α＝－2或－52.15．、、[;天津卷] 已知函数f(x)＝cos x•sinx＋π3－3cos2x＋34，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在闭区间－π4，π4上的最大值和最小值．15．解：(1)由已知，有f(x)＝cos x•12sin x＋32cos x－3cos2x＋34＝12sin x•cos x－32cos2x＋34＝14sin 2x－34(1＋cos 2x)＋34＝14sin 2x－34cos 2x＝12sin2x－π3，所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)因为f(x)在区间－π4，－π12上是减函数，在区间－π12，π4上是增函数，f－π4＝－14，f－π12＝－12，fπ4＝14，所以函数f(x)在区间－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12.10．，[;重庆卷] 已知△ABC的内角A，B，C满足sin 2A＋sin(A－B＋C)＝sin(C－A－B)＋12，面积S满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则下列不等式一定成立的是(　　)A．bc(b＋c)&8& B．ab(a＋b)&162& C．6≤abc≤12& D．12≤abc≤2410．A　
C6& 二倍角公式15．、[;全国卷] 直线l1和l2是圆x2＋y2＝2的两条切线．若l1与l2的交点为(1，3)，则l1与l2的夹角的正切值等于________．&15.43　16．、[;全国卷] 若函数f(x)＝cos 2x＋asin x在区间π6，π2是减函数，则a的取值范围是________．16．(－∞，2]　
16．、、[;福建卷] 已知函数f(x)＝cos x(sin x＋cos x)－12.(1)若0&α&π2，且sin α＝22，求f(α)的值；(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．16．解：方法一：(1)因为0&α&π2，sin α＝22，所以cos α＝22.所以f(α)＝22×22＋22－12＝12.(2)因为f(x)＝sin xcos x＋cos2x－12＝12sin 2x＋1＋cos 2x2－12＝12sin 2x＋12cos 2x＝22sin2x＋π4，所以T＝2π2＝π.由2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－3π8≤x≤kπ＋π8，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为kπ－3π8，kπ＋π8，k∈Z.方法二：f(x)＝sin xcos x＋cos2x－12＝12sin 2x＋1＋cos 2x2－12＝12sin 2x＋12cos 2x＝22sin2x＋π4.(1)因为0&α&π2，sin α＝22，所以α＝π4，从而f(α)＝22sin2α＋π4＝22sin3π4＝12.(2)T＝2π2＝π.由2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－3π8≤x≤kπ＋π8，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为kπ－3π8，kπ＋π8，k∈Z.16．，，，[;四川卷] 已知函数f(x)＝sin3x＋π4.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，fα3＝45cosα＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．16．解：(1)因为函数y＝sin x的单调递增区间为－π2＋2kπ，π2＋2kπ，k∈Z，由－π2＋2kπ≤3x＋π4≤π2＋2kπ，k∈Z，得－π4＋2kπ3≤x≤π12＋2kπ3，k∈Z.所以，函数f(x)的单调递增区间为－π4＋2kπ3，π12＋2kπ3，k∈Z.(2)由已知，得sinα＋π4＝45cosα＋π4(cos2α－sin2α)，所以sin αcosπ4＋cos αsinπ4＝45cos α cosπ4－sin& αsinπ4(cos2 α－sin2 α)，即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，得α＝3π4＋2kπ，k∈Z，此时，cos α－sin α＝－2.当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，得cos α－sin α&0，此时cos α－sin α＝－52.综上所述，cos α－sin α＝－2或－52.15．、、[;天津卷] 已知函数f(x)＝cos x•sinx＋π3－3cos2x＋34，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在闭区间－π4，π4上的最大值和最小值．15．解：(1)由已知，有f(x)＝cos x•12sin x＋32cos x－3cos2x＋34＝12sin x•cos x－32cos2x＋34＝14sin 2x－34(1＋cos 2x)＋34＝14sin 2x－34cos 2x＝12sin2x－π3，所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)因为f(x)在区间－π4，－π12上是减函数，在区间－π12，π4上是增函数，f－π4＝－14，f－π12＝－12，fπ4＝14，所以函数f(x)在区间－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12.
C7& 三角函数的求值、化简与证明16．、[;广东卷] 已知函数f(x)＝Asinx＋π4，x∈R，且f5π12＝32.(1)求A的值；(2)若f(θ)＋f(－θ)＝32，θ∈0，π2，求f3π4－θ.17．、、、[;湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－3cosπ12t－sinπ12t，t∈[0，24)．(1)求实验室这一天的最大温差．(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？17．解：(1)因为f(t)＝10－232cosπ12t＋12sinπ12t＝10－2sinπ12t＋π3，又0≤t&24，所以π3≤π12t＋π3&7π3，－1≤sinπ12t＋π3≤1.当t＝2时，sinπ12t＋π3＝1；当t＝14时，sinπ12t＋π3＝－1.于是f(t)在[0，24)上取得的最大值是12，最小值是8.故实验室这一天的最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.(2)依题意，当f(t)&11时，实验室需要降温．由(1)得f(t)＝10－2sinπ12t＋π3，故有10－2sinπ12t＋π3&11，即sinπ12t＋π3&－12.又0≤t&24，因此7π6&π12t＋π3&11π6，即10&t&18.故在10时至18时实验室需要降温．16．、[;江西卷] 已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋acos(x＋2θ)，其中a∈R，θ∈－π2，π2.(1)当a＝2，θ＝π4时，求f(x)在区间[0，π]上的最大值与最小值；(2)若fπ2＝0，f(π)＝1，求a，θ的值．16．解：(1)f(x)＝sinx＋π4＋2cosx＋π2＝22(sin x＋cos x)－2sin x＝22cos x－22sin x＝sinπ4－x.因为x∈[0，π]，所以π4－x∈－3π4，π4，故f(x)在区间[0，π]上的最大值为22，最小值为－1.(2)由fπ2＝0，f（π）＝1，得cos θ（1－2asin θ）＝0，2asin2θ－sin θ－a＝1.又θ∈－π2，π2，知cos θ≠0，所以1－2asin θ＝0，（2asin θ－1）sin θ－a＝1，解得a＝－1，θ＝－π6.16．，，，[;四川卷] 已知函数f(x)＝sin3x＋π4.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，fα3＝45cosα＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．16．解：(1)因为函数y＝sin x的单调递增区间为－π2＋2kπ，π2＋2kπ，k∈Z，由－π2＋2kπ≤3x＋π4≤π2＋2kπ，k∈Z，得－π4＋2kπ3≤x≤π12＋2kπ3，k∈Z.所以，函数f(x)的单调递增区间为－π4＋2kπ3，π12＋2kπ3，k∈Z.(2)由已知，得sinα＋π4＝45cosα＋π4(cos2α－sin2α)，所以sin αcosπ4＋cos αsinπ4＝45cos α cosπ4－sin& αsinπ4(cos2 α－sin2 α)，即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，得α＝3π4＋2kπ，k∈Z，此时，cos α－sin α＝－2.当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，得cos α－sin α&0，此时cos α－sin α＝－52.综上所述，cos α－sin α＝－2或－52.
C8　解三角形12．[;天津卷] 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b－c＝14a，2sin B＝3sin C，则cos A的值为________．12．－14　
16．、[;新课标全国卷Ⅱ] 设点M(x0，1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．16．[－1，1]　
12．[;广东卷] 在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.已知bcos C＋ccos B＝2b，则ab＝________．12．2　
&16．、[;安徽卷] 设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，A＝2B.(1)求a的值；(2)求sinA＋π4的值．16．解： (1)因为A＝2B，所以sin A＝sin 2B＝2sin Bcos B，由余弦定理得cos B＝a2＋c2－b22ac＝sin A2sin B，所以由正弦定理可得a＝2b•a2＋c2－b22ac.因为b＝3，c＝1，所以a2＝12，即a＝2 3.(2)由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc＝9＋1－126＝－13.因为0&A&π，所以sin A＝1－cos2A＝1－19＝2 23.故sinA＋π4＝sin Acosπ4＋cos Asinπ4＝2 23×22＋－13×22＝4－26.15．[;北京卷] 如图1&2，在△ABC中，∠B＝π3，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，cos∠ADC＝17.(1)求sin∠BAD；(2)求BD，AC的长．&图1&2
15．解：(1) 在△ADC中，因为cos ∠ADC＝17，所以sin ∠ADC＝4 37.所以sin ∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)＝sin ∠ADCcos B－cos ∠ADCsin B＝4 37×12－17×32＝3 314.(2)在△ABD中，由正弦定理得BD＝AB•sin ∠BADsin ∠ADB＝8×.在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB•BC•cos B＝82＋52－2×8×5×12＝49，所以AC＝7.12．[;福建卷] 在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2　3，则△ABC的面积等于________．12．2　318．、[;湖南卷] 如图1&5所示，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝7.&图1&5(1)求cos∠CAD的值；(2)若cos∠BAD＝－714，sin∠CBA＝216，求BC的长．18．解：(1)在△ADC中，由余弦定理，得cos∠CAD＝AC2＋AD2－CD22AC•AD，故由题设知，cos∠CAD＝7＋1－427＝277.(2)设∠BAC＝α，则α＝∠BAD－∠CAD.因为cos∠CAD＝277，cos∠BAD＝－714，所以sin∠CAD＝1－cos2∠CAD＝1－，sin∠BAD＝1－cos2∠BAD＝1－－.于是sin α＝sin (∠BAD－∠CAD)　 ＝sin∠BADcos∠CAD－cos∠BADsin∠CAD　　 ＝3－－714×217　　 ＝32.在△ABC中，由正弦定理，得BCsin α＝ACsin∠CBA.故BC＝AC•sin αsin∠CBA＝7×32216＝3.4．[;江西卷] 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝π3，则△ABC的面积是(　　)A．3& B.9 32& C.3 32& D．3 34．C　17．、[;辽宁卷] 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a&c.已知BA→•BC→＝2，cos B＝13，b＝3.求：(1)a和c的值；(2)cos(B－C)的值．17．解：(1)由BA→•BC→＝2得c•a•cos B＝2，又cos B＝13，所以ac＝6.由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accos B，又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×2＝13.解ac＝6，a2＋c2＝13，得a＝2，c＝3或a＝3，c＝2.因为a＞c，所以a＝3，c＝2.(2)在△ABC中，sin B＝1－cos2B＝1－132＝223.由正弦定理，得sin C＝cbsin B＝23•2&& 23＝ 4 29.因为a＝b＞c，所以C为锐角，因此cos C＝1－sin2C＝1－4 292＝79.所以cos(B－C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C＝13×79＋2 23×4 29＝2327.17． [;全国卷] △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3acos C＝2ccos A，tan A＝13，求B.17．解：由题设和正弦定理得3sin Acos C＝2sin Ccos A，故3tan Acos C＝2sin C.因为tan A＝13，所以cos C＝2sin C，所以tan C＝12.所以tan B＝tan[180°－(A＋C)]＝－tan(A＋C)＝tan A＋tan Ctan Atan C－1＝－1，所以B＝135°.16．[;新课标全国卷Ⅰ] 已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)•(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，则△ABC面积的最大值为________．16.34．[;新课标全国卷Ⅱ] 钝角三角形ABC的面积是12，AB＝1，BC＝2，则AC＝(　　)A．5& B.5& C．2& D．14．B　12．，[;山东卷] 在△ABC中，已知AB→•AC→＝tan A，当A＝π6时，△ABC的面积为______．12.16　16．，，[;陕西卷] △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.(1)若a，b，c成等差数列，证明：sin A＋sin C＝2sin(A＋C)；(2)若a，b，c成等比数列，求cos B的最小值．16．解：(1)∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b.由正弦定理得sin A＋sin C＝2sin B.∵sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，∴sin A＋sin C＝2sin(A＋C)．(2)∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac.由余弦定理得cos B＝a2＋c2－b22ac＝a2＋c2－ac2ac≥2ac－ac2ac＝12，当且仅当a＝c时等号成立，∴cos B的最小值为12.13．，[;四川卷] 如图1&3所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高度是46 m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，3≈1.73)&图1&3
13．60 18．　[浙江卷] 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a≠b，c＝3，cos2A－cos2B＝3sin Acos A－3sin Bcos B.(1)求角C的大小；(2)若sin A＝45，求△ABC的面积．18．解：(1)由题意得1＋cos 2A2－1＋cos 2B2＝32sin 2A－32sin 2B，即32sin 2A－12cos 2A＝32sin 2B－12cos 2B，sin2A－π6＝sin2B－π6.由a≠b，得A≠B，又A＋B∈(0，π)，得2A－π6＋2B－π6＝π，即A＋B＝2π3，所以C＝π3.(2)由c＝3，sin A＝45，asin A＝csin C，得a＝85.由a&c，得A&C，从而cos A＝35，故sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝4＋3 310.所以，△ABC的面积为S＝12acsin B＝8 3＋1825.10．，[;重庆卷] 已知△ABC的内角A，B，C满足sin 2A＋sin(A－B＋C)＝sin(C－A－B)＋12，面积S满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则下列不等式一定成立的是(　　)A．bc(b＋c)&8& B．ab(a＋b)&162& C．6≤abc≤12& D．12≤abc≤2410．A　[解析] 因为A＋B＋C＝π，所以A＋C＝π－B，C＝π－(A＋B)，所以由已知等式可得sin 2A＋sin(π－2B)＝sin[π－2(A＋B)]＋12，即sin 2A＋sin 2B＝sin 2(A＋B)＋12，所以sin[(A＋B)＋(A－B)]＋sin[(A＋B)－(A－B)]＝sin 2(A＋B)＋12，所以2 sin(A＋B)cos(A－B)＝2sin(A＋B)cos(A＋B)＋12， 所以2sin(A＋B)[cos(A－B)－cos(A＋B)]＝12，所以sin Asin Bsin C＝18.由1≤S≤2，得1≤12bcsin A≤2.由正弦定理得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，所以1≤2R2•sin Asin Bsin C≤2，所以1≤R24≤2，即2≤R≤2　2，所以bc(b＋c)&abc＝8R3sin Asin Bsin C＝R3≥8.
&&&& C9& 单元综合16．、[;新课标全国卷Ⅱ] 设点M(x0，1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．16．[－1，1]　
17．、、、[;湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－3cosπ12t－sinπ12t，t∈[0，24)．(1)求实验室这一天的最大温差．(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？17．解：(1)因为f(t)＝10－232cosπ12t＋12sinπ12t＝10－2sinπ12t＋π3，又0≤t&24，所以π3≤π12t＋π3&7π3，－1≤sinπ12t＋π3≤1.当t＝2时，sinπ12t＋π3＝1；当t＝14时，sinπ12t＋π3＝－1.于是f(t)在[0，24)上取得的最大值是12，最小值是8.故实验室这一天的最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.(2)依题意，当f(t)&11时，实验室需要降温．由(1)得f(t)＝10－2sinπ12t＋π3，故有10－2sinπ12t＋π3&11，即sinπ12t＋π3&－12.又0≤t&24，因此7π6&π12t＋π3&11π6，即10&t&18.故在10时至18时实验室需要降温．18．、[;湖南卷] 如图1&5所示，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝7.&图1&5(1)求cos∠CAD的值；(2)若cos∠BAD＝－714，sin∠CBA＝216，求BC的长．18．解：(1)在△ADC中，由余弦定理，得cos∠CAD＝AC2＋AD2－CD22AC•AD，故由题设知，cos∠CAD＝7＋1－427＝277.(2)设∠BAC＝α，则α＝∠BAD－∠CAD.因为cos∠CAD＝277，cos∠BAD＝－714，所以sin∠CAD＝1－cos2∠CAD＝1－，sin∠BAD＝1－cos2∠BAD＝1－－.于是sin α＝sin (∠BAD－∠CAD)　 ＝sin∠BADcos∠CAD－cos∠BADsin∠CAD　　 ＝3－－714×217　　 ＝32.在△ABC中，由正弦定理，得BCsin α＝ACsin∠CBA.故BC＝AC•sin αsin∠CBA＝7×32216＝3.21．、[;辽宁卷] 已知函数f(x)＝(cos x－x)(π＋2x)－83(sin x＋1)，g(x)＝3(x－π)cos x－4(1＋sin x)ln3－2xπ.证明：(1)存在唯一x0∈0，π2，使f(x0)＝0；(2)存在唯一x1∈π2，π，使g(x1)＝0，且对(1)中的x0，有x0＋x1&π.21．证明：(1)当x∈0，π2时，f′(x)＝－(1＋sin x)•(π＋2x)－2x－23cos x&0，函数f(x)在0，π2上为减函数．又f(0)＝π－83&0，fπ2＝－π2－163&0，所以存在唯一x0∈0，π2，使f(x0)＝0.(2)记函数h(x)＝3（x－π）cos x1＋sin x－4ln3－2πx，x∈π2，π.令t＝π－x，则当x∈π2，π时，t∈0，π2.记u(t)＝h(π－t)＝3tcos t1＋sin t－4 ln1＋2πt，则u′(t)＝3f（t）（π＋2t）（1＋sin t）.由(1)得，当t∈(0，x0)时，u′(t)&0，当t∈x0，π2时，u′(t)&0.故在(0，x0)上u(t)是增函数，又u(0)＝0，从而可知当t∈(0，x0]时，u(t)&0，所以u(t)在(0，x0]上无零点．在x0，π2上u(t)为减函数，由u(x0)&0，uπ2＝－4ln 2&0，知存在唯一t1∈x0，π2，使u(t1)＝0，故存在唯一的t1∈0，π2，使u(t1)＝0.因此存在唯一的x1＝π－t1∈π2，π，使h(x1)＝h(π－t1)＝u(t1)＝0.因为当x∈π2，π时，1＋sin x&0，故g(x)＝(1＋sin　x)h(x)与h(x)有相同的零点，所以存在唯一的x1∈π2，π，使g(x1)＝0.因为x1＝π－t1，t1&x0，所以x0＋x1&π.21．、[;辽宁卷] 已知函数f(x)＝(cos x－x)(π＋2x)－83(sin x＋1)，g(x)＝3(x－π)cos x－4(1＋sin x)ln3－2xπ.证明：(1)存在唯一x0∈0，π2，使f(x0)＝0；(2)存在唯一x1∈π2，π，使g(x1)＝0，且对(1)中的x0，有x0＋x1&π.21．证明：(1)当x∈0，π2时，f′(x)＝－(1＋sin x)•(π＋2x)－2x－23cos x&0，函数f(x)在0，π2上为减函数．又f(0)＝π－83&0，fπ2＝－π2－163&0，所以存在唯一x0∈0，π2，使f(x0)＝0.(2)记函数h(x)＝3（x－π）cos x1＋sin x－4ln3－2πx，x∈π2，π.令t＝π－x，则当x∈π2，π时，t∈0，π2.记u(t)＝h(π－t)＝3tcos t1＋sin t－4 ln1＋2πt，则u′(t)＝3f（t）（π＋2t）（1＋sin t）.由(1)得，当t∈(0，x0)时，u′(t)&0，当t∈x0，π2时，u′(t)&0.故在(0，x0)上u(t)是增函数，又u(0)＝0，从而可知当t∈(0，x0]时，u(t)&0，所以u(t)在(0，x0]上无零点．在x0，π2上u(t)为减函数，由u(x0)&0，uπ2＝－4ln 2&0，知存在唯一t1∈x0，π2，使u(t1)＝0，故存在唯一的t1∈0，π2，使u(t1)＝0.因此存在唯一的x1＝π－t1∈π2，π，使h(x1)＝h(π－t1)＝u(t1)＝0.因为当x∈π2，π时，1＋sin x&0，故g(x)＝(1＋sin　x)h(x)与h(x)有相同的零点，所以存在唯一的x1∈π2，π，使g(x1)＝0.因为x1＝π－t1，t1&x0，所以x0＋x1&π. 文 章来源 莲山 课 件 w w w.5Y k J. c oM
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