初一几何证明题题

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-04-19 11:15 标签： 初一几何证明题
浅议如何有效突破初中几何证明题难点
朱淑芬摘 要：初中几何证明是初中数学教学的重点，也是初中学生数学学习中普遍认为的难点。如何教授几何，何学习几何，如何进行几何题证明，成为老师和学生共同关心的问题。学好初中几何不仅仅是初中数学对学生提出的要求，初中时期良好的几何基础，也是升入高中后，学生顺利进行几何学习的重要保障，因此探讨如何进行几何教育和学习是十分重要的。关键词：几何；证明；基础；逆向思维几何，是研究空间结构及性质的一门学科，初中数学中的几何证明主要是平面几何证明。初中几何证明除了引导学生认识图形结构，学习基本的几何定理之外，更是对学生动手能力、推理能力、空间认知能力以及逻辑思维能力等多方面能力的锻炼。几何与代数、与分析的不同之处在于，几何与图形的联系更加紧密，甚至说任何几何都离不开图形也不为过。我认为这就是大多数学生对几何难以入门的重要原因之一。另外，初中几何与别的数学知识不同，虽然小学时候也有接触，但是就内容和解题方式来说，几何对初中生还是比较新的存在，也是导致很多初中生开始很难适应几何的原因。除此之外就是几何对学生的逻辑思维能力和推理能力要求更高，很多学生的思维方式还停留在小学阶段，尚未进入学习状态，因此觉得初中几何证明题无从下手。综上，如何有效突破初中几何证明，确实是一个迫在眉睫的问题。下面，我根据现实的教学经验，谈一谈如何引导初中学生学习几何，突破几何证明题的难点。一、注重基础理论学习“罗马不是一天建成的。”“千里之行，始于足下。”无论是什么样的知识，基础是至关重要的，于几何而言，也是如此。对于几何来说，基础有两个：原理和作图。就几何原理来说，对基础原理的记忆不可少，但是老师带领学生追本溯源，讨论每一个原理的推导过程不容忽视。原理只有一个，但是图形和条件是千变万化的，所以在几何教学中应该注重活学活用。另外当读完一道几何证明题时，要引导学生先根据条件画图，再根据图形和求证解题。不论几何证明题是简单抑或是复杂，读完题的第一件事应该是画图，甚至可以训练学生边读题边画图。以图形为基础分析问题，也是几何证明的一个重要特征。比如，在推导角平分线的性质时，就会涉及我上面所说的两方面内容。老师让学生用纸剪一个角，然后将角的两条边对折，得到一条角的平分线，在平分线上取一点分别做两条边的垂线段。引导学生测量两条线段的特点，并且总结规律。这是引导学生进行原理的推导。最后将推导过程用数学语言表述，OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足，由已知事项推出的是PD=PE。再举一个学生比较容易混淆的三角形全等的定理，在学习全等三角形一课时，一些学生容易错误地认为两个三角形三个角相等，那么这两个三角形全等。要更正这个错误的认知，其实很简单，就是给学生画图举个例子，选择最容易画的等腰直角三角形让学生作图，只要画一个直角，保证两条直角边相等，这个直角等腰三角形大小可以随意变化，但是三个角的度数始终都会保持在90°、45°、45°，也就是说AAA不能证明三角形全等。所以教会学生理论推导，以及画图是非常重要的，也是几何证明的基础。二、学会逆向思维逆向思维，既反其道而行之。在几何证明题中就是根据所要证明的结果，一步步往回推导所需要的已知条件。很多学生在做几何证明题时无从下手，很大原因就是没有建立起逆向思维解题的思维体系。数学很多原理具有“互逆性”，这是逆向思维的体现。比如，前面一部分我所提到的角平分线的定理，已知∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足，PD=PE。首先根据已知画图，结合直角三角形全等的条件，Rt△PEO≌Rt△PDO（HL），所以∠AOP=∠BOP，所以OP是∠AOB的角平分线。以上是原理中逆向思维的体现，下面我会在具体的几何证明题中，解释说明如何利用逆向思维解题。如图，在△ABC中，过C作∠BAC的平分线AD的垂线，垂足为D，DE//AB交AC于E，求证：AE=CE.利用逆向思维要求证AE=CE，首先作图（图见本文第三部分论证过程旁），然后将已知条件放入图中，逆向思考虑要求证同一条线段上的两段线段相等，可以直接证明E是中点，或者可以把它们放在两个三角形中考虑，再或者通过一些媒介来沟通，即A=C，B=C，得出A=B。根据逆向思维观察图形，前面两者显然行不通，首先中点你无法证明。接下来是放在三角形中证明，两条线段分别在△AED和△ECD中，无法产生联系。所以就需要构筑桥梁产生联系，但是已知显然是不够的，所以需要借助辅助线，分别延长AB和CD相交于点P，此时再进行分析证明。因为AD平分∠PAC，AD⊥PC，所以△PAD≌△CAD，因为AB//DE，AD平分∠PAC，∠PAD=∠DAC=∠EDA，所以AE=DE，再证明DE=CE就行，具体解题过程在下部分进行梳理。这就是逆向思维解题的思考过程。三、有理有据规范答题理论学习是基础，逆向思维是思考方式以及思考过程，而最终结果的反应就是学生最终在解题过程中呈现出来的证明过程。前两步如果认为是几何证明题的知识储备以及知识调取，那么最后一步证明则是将几何知识付诸于实践中。很多学生在证明过程中都是将证明步骤、原理、已知条件随意堆砌，最后得出证明结果。这种情况一方面体现了学生在证明过程中条理并不清晰，另一方面，要指出的是在证明过程中，一些既定的格式、约定俗成的流程不能乱。使用一些格式并不是禁錮思维，或者是不够变通，只是为了方便和高效率，就像斑马线、红绿灯的出发点，最终目的还是方便大家，觉得不方便只是因为不遵守。在几何证明过程中，一些特定的推导符号还是不能少，思考过程不等于最后的证明过程，证明过程是通过梳理的，更加清晰的推导过程。以第二部分中的例题为例，来进行证明过程梳理，最终表现结果如下。证明：延长CD交AB的延长线于P，在△ADP和△ADC中，∵AD⊥PC，AD平分∠PAC，∠PAD=∠CADAD=AD∠ADP=∠ADC∴△ADP≌△ADC（ASA）∴∠P=∠ACP又∵DE∥AP∴∠ADE=∠PAD=∠DAC∠EDC=∠P=∠ACP∴AE=DE，DE=EC∴AE=EC规范的书写表达可以清晰明了地反映出证明过程，对于刚开始接触几何证明的初中学生最好把每一步的原理清晰地写明，一方面强化了基础知识，另一方面，也防止学生在学习过程中含混模糊。除了以上两点，规范证明书写过程，也能够让学生在梳理过程中重新对题目进行认知思考，训练思维方式。四、因人制宜，多层次要求上面三部分是就具体几何知识教授而言，最后这一部分则强调老师在几何教学过程中不能一把抓，不同的学生要求也要不同。每个学生的擅长方面是不同的，有的人擅长科学，有的人擅长文学，有的人对代数敏感，有的人对几何敏感，不同的学生在空间感知、思维方式等方面都是不同的，因此不能以同样的要求来要求每一个学生。对空间感较好的学生，可以带领他们探索一些比较复杂的几何证明题，对相对不敏感的学生，要着重抓基础，不能让他们对几何证明失去信心，对数学失去信心。初中几何证明是对学生动手能力、推理能力、空间认知能力以及逻辑思维能力等多方面能力的综合训练。抓住基础知识、学会逆向思维、规范化答题是解决初中几何证明题难点的关键。学好几何证明，不仅有利于提高初中生数学成绩，而且重要的是能提高学生分析问题的能力，为高中继续学习几何打下良好的基础。参考文献：[1]钟广祥.浅议如何有效突破初中几何证明题难点[J].中学数学研究（华南师范大学版），2015（11）：48.[2]杨崇良.浅谈初中几何证明题的解题策略[J].教育科学（引文版），2016（7）：134.[3]聂亚晶.浅谈如何进行初中几何证明问题的教学[J].读写算（教育教学研究），2015（44）.编辑 谢尾合
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初中几何证明题
在三角形ABC中，角C=90度，D是AB的中点。E.F分别在BC.AC上，连接DE.DF且DE垂直于DF。求证：EF的平方=AF的平方+BE的平方
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