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高数 高等数学 A 上 复习 资料
高等数学 A 上册资料第一、二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 函数、极限与连续 导数与微分 微分中值定理与导数应用 不定积分 定积分 无穷级数第一、二章函数、极限与连续第一讲 函数教学目的和要求：深刻理解一元函数的概念，熟悉函数的几种特性、运算，能熟练作出 基本初等函数的图形。 知识点：一元函数的定义、函数的特性、函数的运算、基本初等函数、分段函数。 重点：一元函数的定义（着重要强调自变量与因变量之间的单值对应关系） ，函数的几 种特性，基本初等函数。 难点：复合函数、反函数、分段函数 教学方式：多媒体，讲授 教学思路：本讲实际上是复习中学有关一元函数的内容，通过这一次课，让学生对一元 函数 y = f(x)有一个统一、准确的认识，尤其要深刻理解其中 x 与 y 之间的单值对应关系，熟 悉函数的特性、运算、图形、强调对分段函数的讲解，为以后讲函数的连续、求导做准备。 教学过程： 一、函数的概念 定义 1 设 A、B 是两个实数集，称映射 f: A→B 为一元函数，简称函数，记作 f : x |? y ? f ( x ), x ? A 其中 x 称为自变量，y 称为因变量，f(x)表示函数 f 在 x 处的函数值，A 为 f 的定义域， 记作 D(f)、f(A)={y | y= f(x)、x∈A}称为 f 的值域，记作 R（f） 。1注意：函数的两个基本要素：定义域和对应法则，x 与 y 之间必须是单值对应关系。 函数常用的表示方法：列表法、图示法、公式法。 1 例 1 求函数 y ? 4 ? x 2 ? 的定义域。 x ?1 解：必须满足条件：?4 ? x 2 ? 0 ? ?x ?1 ? 0?| x |? 2 即 ? ?x ? 1得 1? x ? 2∴函数的定义域为： （1,2） 。 例 2 求函数 y ? 6 x 2 ? 7 x ? 2 ? arcsin 解：x 必须满足条件2x 的定义域。 1? x&1& &2&?6 x 2 ? 7 x ? 2 ? 0 ? ? 2x ? ?1 ? 1 ? x ? 1, x ? ?1 ?由&1& 6 x 2 ? 7 x ? 2 ? (3x ? 2)(2 x ? 1) ? 0 ，解之得2 1 x ? (??, ? ) [? , ??) 3 2 由&2&，当 x ? ?1 ，即 x ? 1 ? 0 时，&2&变为 ?(1 ? x) ? 2 x ? 1 ? x ，无解。当 x ? ?1 ，即 x ? 1 ? 0 时，&2&变为 ?(1 ? x ) ? 2 x ? 1 ? x ，解之得： x ? [? ,1] ∴ 函数的定义域为： x ? [? ,1] 分段函数：在定义域的不同子集上用不同的表达式来表示对应法则的函数。 例 3 符号函数1 31 3?1 ? y ? sgn x ? ?0 ? ?1 ?x &0 x =0 x &0例 4 取整函数 y ? [ x ],( x ? R ),[ x ] 表示不超过 x 的最大整数。 如：[?3.2]= ?4 [3.55]=3[ 3] ? 1[? ]? 3[ ] ?1 2例5 例6 即?[ ]?0 4??? x x ? 0 y ?| x |? ? x?0 ?xy ?| x ? 1| ? | x ? 2 |?3 ? 2 x ? y ? ?1 ?2x -3 ?2x ?1 1 ? x &2 x?2例7 设? ? x2 ? 1 ? f ( x ) ? ?sin x ? ?e x ?x &0 1&x &2 x &0 求f ( ?1), f (0) f ( ), f (? ), f (5) 2?解：略 通过分段函数的学习，进一步理解函数的概念，扩大学生认识函数的范围，为以后讲 解函数的连续性创造条件。 二、函数的图形 定义 2 称集合 {( x, y ) | y ? f ( x ), x ? D( f )} 为函数 f 的图形，记为 G(f)。函数 f 的图形 是坐标平面上一些特定点（x,y）的集合。 注意：与 x 轴垂直的直线与函数曲线最多只能有一个交点。 三、函数的几种特性 1．函数的有界性 设函数 y ? f ( x ) 的定义域为 D，数集 X ? D ，如果存在正数 M，使对于任意 x ? X 都 有| f ( x ) |? M 则称函数 y ? f ( x ) 在集 X 上有界，否则称 f ( x ) 在 X 上无界。2．函数的单调性 设函数 y ? f ( x ) 的定义域为 D，区间 I ? D ，若对于任意的 x1 , x2 ? I ，当 x1 ? x2 时， 有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ，或 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ，则分别称 f ( x ) 是区间 I 上的单调增加函数或单调减少 函数。 单调增加或单调减少的函数统称为单调函数。 3．函数的奇偶性 设函数 y ? f ( x ) 的定义域 D 关于原点对称， 如果对于任意 x ? D ， 都有 f ( ? x ) ? ? f ( x ) ， 则称 f ( x ) 为奇函数；如果对于任意 x ? D 都有 f ( ? x ) ? f ( x ) ，则称 f ( x ) 为偶函数。 奇函数的图形关于原点对称，因为 ( ? x, ? f ( x )) 也在图形上。 同理可以说明偶函数的图形关于 y 轴对称。 4．函数的周期性 设函数 y ? f ( x ) 的定义域为 D，如果存在一个不为零的数 T，使得对于任意 x ? D ，有 ( x ? T ) ? D ，且 f ( x ? T ) ? f ( x) 则称 f ( x ) 为周期函数，T 称为周期。 若 T 是 f ( x ) 的周期，则 nT (n ? N ) 也是 f ( x ) 的周期，周期中的最小正值称为最小正周 期，通常周期均指最小正周期，如 y ? sin x ， T ? 2? 。 例 8 证明下列函数在所示区间内有界31） f ( x ) ? lg x / x 2） f ( x ) ? lg x / x 证明 1）只要证明 f ( x ) ? 设1 [ , 1] 2 [1, ? + ) lg x 1 在 [ , 1] 上是单调的，则有界。 x 21 ? x ? x2 ? 1 ，则 2f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? lg x1 lg x2 x2 lg x1 ? x1 lg x2 ? ? x1 x2 x1 x2而 lg x1 ? lg x2 , x2 ? 0 ，有 x2 lg x1 ? x2 lg x2 于是f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?( x2 ? x1 )lg x2 x1 x2由于x2 ? x1 ? 0, x1 x2 ? 0,lg x2 ? 0所以f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?( x2 ? x1 )lg x2 ?0 x1 x2即lg x 1 在 [ , 1] 上是单调的或 | f ( x ) |? 2lg 2 因而有界。 x 2 lg x 2）因 x ? 1 ，则 ?0 x lg x ) 10 x ? x ，故 设 x ? [ 1 ,? ? ，则 ? 1。 x 0 ? f ( x ) ? 1 或 | f ( x ) |? 1 (m ? 1) x ? [1, ??), f ( x ) 有界 所以 f ( x) ?例 9 讨论函数 f ( x) ? ln( x ? 1 ? x2 ) 的奇偶性。 解：函数 f ( x ) 的定义域 ( ??, ??) 因f ( ? x )? l n ?( x ?? 1 2x ? )1 ln( x ? 1 ? x2)? ? ln( x ? 1 ? x2 ) ? ? f ( x)所以， f ( x ) 是 ( ??, ??) 上的奇函数。例 10 试证?2 x ? 3 ? f ( x )? ? 0 ?2 x ? 3 ?? x ?0 ? 是奇函数 x? 0 ?? ? x ? 0证明： 设 x ? [?? ,0) ，则 ? x ? (0,? ] ，由于 f ( x ) ? 2 x ? 3f ( ? x ) ? 2( ? x ) ? 3 ? ?(2 x ? 3),? f ( ? x) ? ? f ( x)设x ? ( 0? , ，则 ) ? x ? [?? ,0) ，由于 f ( x ) ? 2 x ? 34f ( ? x ) ? 2( ? x ) ? 3 ? ?(2 x ? 3) ? f ( ? x) ? ? f ( x)x ? [?? ,? ] ，都有 f ( ? x ) ? ? f ( x ) ，从而 f ( x ) 是奇函数。 ? ，于是对于任何 0 又 f(0) 例 11 函数 f ( x ) ? x ? [ x ] 是否为周期函数，如果是确定其最小正周期。 解：对任何 x，存在整数 n，使 n ? x ? n ? 1,[ x ] ? n ， )? x ? T? [ x ? ] T? x ?[ ]x ? T?[ x ? ]T ?[ ]x 则 f ( x? T) ? f( x 。当 T 为整数时，由于 n ? T ? x ? T ? n ? 1 ? T ， ] ? ，于是有 T 故 [ x ? T ] ? n ? T ?[ x f ( x ? T ) ? f ( x ) ? 0 (T ? Z )? f ( x ) ? x ? [ x ] 是周期函数，最小正周期为 1。四、函数的运算 1．函数的四则运算 设 f, g 是定义域分别为 D( f ), D( g ) 的函数，定义 f, g 的和、差、积、商如下：( f ? g )( x) ? f ( x) ? g ( x)x ? D( f )D( g )( fg )( x) ? f ( x) ? g ( x )x ? D( f )D( g )f f ( x) ( )( x ) ? x ? D( f ) ? D( g ) 且 g ( x ) ? 0 g g ( x) 特别地 (? f )( x ) ? ? f ( x ), x ? D( f ), ? ? R ， ? f 称为 f 与 ? 的数。2．复合函数 定义 3 设有两个函数 u ? ? ( x ) 和 y ? f (u ) ， 如果函数 u ? ? ( x ) 将集合 D? 映入 ? ( D? ) ， 函数 y ? f (u ) 将集合 D f 映入 f ( D f ) ，若 ? ( D? ) ? D f ，则得到了一个从 D? 到 f ( D f ) 的一个 新的函数， 也称为由函数 u ? ? ( x ) 和 y ? f (u ) 复合而成的复合函数， 记作 y ? f [? ( x )] ，u 称 为中间变量。 例 12 设 u ? 解 ： 由x ， f ( x ) ? sin u ，求复合函数 f [? ( x)] 。于? ( D? ) ? [0, ??) ? D f ? (??, ??)可构成复合函数f [? ( x)] ? sin x ,反之可否构成 ? [ f ( x )] ，D f ? (??, ??) ? x ?[0, ??) ， ? D? ? [0, ??) 不可定义 4 设函数 y ? f ( x ) 的定义域为 D，值域为 f(D)，则对于任一 y0 ? f ( D) ，必有唯 一的 x0 ? D 使 f ( x0 ) ? y0 ， 从而确定了一个新的函数， 这个函数称为函数 y ? f ( x ) 的反函数， 记作x ? f ?1 ( y )它的定义域是 f(D)，值域是 D。 注意： y ? f ( x ) 是单值对应的，但其反对应关系不一定是单值的，从而不一定能构成 单值函数。5如： y ? x2 , x ? ( ??, ??), y ? sin x , x ? (??, ??) ，函数 y ? f ( x ) 与 x ? f ?1 ( y ) 的定义域 与值域是互换的，因而在 xoy 面上图形相同，习惯上用 y ? f ?1 ( x ) 表示 y ? f ( x ) 的反函数， 若点 P（a, b）在 y ? f ( x ) 的图形上，则 Q（b, a）就在其反函数 y ? f ?1 ( x ) 的图形上，反之 亦然。而 P（a, b）与 Q（b, a）是关于直线 y=x 对称的，从而 y = f(x)与其反函数 y ? f ?1 ( x ) 的图形是关于直线 y=x 对称的。 五、基本初等函数 常数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数这六类函数统称为基本初 等函数。 1．见教材即可 注意：对这些函数的定义式、定义域、值域、图形及相关的性质要了如指掌。 六、初等函数 定义 5 由基本初等函数经过有限次的四则运算与有限次复合步骤所构成并可用一个 式子表示的函数，称为初等函数。 注意：一般地、分段函数不是初等函数 但： y ?| x |? 我们所讨论的函数一般都是初等函数，如：?? x x ? 0 是初等函数 x2 ? ? x?0 ?xy ? x2 ? 2 x ? 3, y ? ln(sin2 x), y ?双曲函数：见教材 反双曲函数：见教材arc sin x ， y ? x x ? e x ln x 等 x ? ex小结：抽象地讲，一元函数 y ? f ( x ) 就是讨论两个变量 x 与 y 之间的一种动态关系，不 过要求 x 与 y 的对应关系是单值的，与其相关的有界性、单调性、奇偶性、周期性都会在这 一动态过程中得到体现。推而广之，世界上的万事万物如果可以量化的话，不都可看成以时 间为自变量的函数吗？因为它们都是随时间的变化而变化的。第二讲 极限（一）教学目的和要求：深刻理解数列极限的定义，掌握数列极限的性质，深刻理解 x 无限增 大时函数极限的定义。 知识点：数列极限的定义，数列极限的性质，x 无限增大时函数极限的定义。 重点：两个定义及数列极限的性质 难点：x 无限增大时函数极限的定义 教学方式：多媒体，讲授 教学思路： 通过数列的实例的变化趋势引入数列极限的定义， 着重解释如何用精确的数 学语言来表达对“无限增大” ， “无限接近”这些直观的描述，再由数列极限的定义推广到 x6无限增大时函数的极限 教学过程： 一、数列极限的概念 以自然数为自变量的函数 xn ? f (n) 的函数值按自然数的顺序排列起来，就构成一个数 列。x1 , x2 ,, xn ,，简记为 ?xn ? ，xn 为通项。例如 1） {n}:1,2,3, 2） { }:1, , ,, n,1 1 1 , , 2 3 n n 1 2 3 n 3） { }: , , , , , n ?1 2 3 4 n ?1 n ? ( ?1) n ?1 1 4 n ? ( ?1) n ?1 }: 2, , , , , 4） { n 2 3 n5） {(?1)n?1}:1, ?1,1, ?1,1 n,(?1)n?1,将这些数列的若干项表示在数轴上， 当 n ??? 时， 观察它们的变化规律， 会发现 {n} 无 限增大， { } 无限接近于 0， { 定。 1． {n} 2． { }1 nn ? ( ?1) n ?1 n } 无限接近于 1， {( ?1)n ?1} 变化趋势不确 }、{ n n ?11 nn } n ?1 n ? ( ?1) n ?1 } 4． { n3． { 如果当 n 无限增大时，xn 无限接近某个确定的常数 a，则称{xn}以 a 为极限，或称{xn} 收敛于 a，记为：1 n ?1 n ? ( ?1) n ?1 ? 0,lim ? 1,lim ?1 n ?? n n ?? n n ?? n n ?1 以（3）为例，当 n ?? 时， { } 的各项无限接近于 1，也就是说，随着 n 的增大， n lim数列各项n ?1 n ?1 n ?1 ? 1 （即点 与 1 之差的绝对值 与 1 的距离）就可以越来越小，任意 n n n小，要多小有多小，可以小于任意给定的正数 ? 。就是说，对于任意给定的正数 ? ，不论它 有多么小，只要 n 足够大， 都可以使n ?1 ? 1 ? ? ，换句话说，只要存在正整数 N，对于 n&N n的所有项都满足不等式n ?1 ? 1 ? ? 就行了。 n7如：取 ? ? 0.01 ，要使n ?1 1 ? 1 ? 0.01 ，即 | |? 0.01 ，得 n ? 100 ，取 N=100，当 n&N n n时，就一定有n ?1 ? 1 ? 0.01 。也就是说该数列从第 101 项开始，后面所有的各项与 1 的距 n离都小于 0.01。再取 ? ? 0.001, 定义 1 设有数列 {xn } ，若存在一个常数 a，对于任意给定的正数 ? （不论它多么小） ， 总存在正整数 N， 使得当 n&N 时， 有 | xn ? a |? ? 成立， 则称数列 {xn } 存在极限， 并称 a 为 {xn } 的极限记作lim xn ? a 或 xn ? a(n ? ?) 。n??此时，也称数列 {xn } 收敛于 a，或 {xn } 为收敛数列，否则称数列为发散数列。 上述定义用逻辑符号表述为：?? ? 0, ?N ? N ，使得当 n&N 时，恒有 | xn ? a |? ? ，则称 a 为数列 {xn } 的极限。 注意：定义中，正数 ? 是任意给定的可以充分小，它刻画了 xn 接近于 a 的程度，正整 数 N 与 ? 有关， 用 n&N 刻画 n 足够大， 它是保证 | xn ? a |? ? 成立的条件， 对于一个给定的 ? ? 0 ， N 不是唯一的。{xn } 以 a 为极限的几何意义：对于数轴上的点 a 的任意给定的 ? 邻域 (a ? ? , a ? ? ) ，总存在自然数 N， 使得点列 {xn } 从第 N+1 项起所有的点：xN ?1 , xn?2 , 内，而在此邻域之外至多只有 {xn } 的有限项 x1 , x2 , 前有限项无关。 例 1 用数列极限的定义证明： lim ， 都落在 (a ? ? , a ? ? ) 之, xN ，因此可知，数列的收敛性与它的n ? ( ?1)n ?1 ?1 n ?? nn??证明：[分析] 利用 ? ? N 定义证明 lim xn ? a 关键是对 ?? ? 0 ，视 n 为未知数，通过| xn ? a |? ? 不易解出 n，可设法将 | xn ? a | 适当放大为 | xn ? a |? ? (n) ，然后由 ? (n) ? ? ，解出 n ? g (? ) ，再取 N ? [ g (? )] ，因| xn ? a ? |n( ? 1 n)?1 1 ? 1? ，要使 n n| xn ? a |? ? ，即要1 1 1 ? ? 或 n ? ，所以，对 ?? ? 0 ，取 N ? [ ] ，则当 n&N 时，有： n ? ?n ? ( ?1)n ?1 ?1 ? ? n8∴ 例2limn ? ( ?1)n ?1 ?1。 n ?? n用数列极限的定义证明， lim3n ? 1 3 ? n?? 2n ? 1 25 5 ? 。 2(2 n ? 1) n证明：因 | xn ? a |?3n ? 1 3 5 5 ，而 ? ?? ? 2n ? 1 2 2(2n ? 1) 2(2n ? 1)所以，要使3n ? 1 3 5 5 5 ? ? ? ，只要 ? ? ，即 n ? ，于是，对 ?? ? 0 ，取 N ? [ ] 2n ? 1 2 n ? ? 3n ? 1 3 ? ? ? 成立。 2n ? 1 2当 n&N 时，恒有∴lim3n ? 1 3 ? 。 n?? 2n ? 1 2n2 ? a 2 1 ? 2n 2例 3 用“ ? ? N ”语言证明： limn ??证明：因| xn ? a |?n2 ? a2 1 ? 2n 2?n2 ? a2 ? n a2 ? 2n 2n ( n 2 ? a 2 ? n )而 于是n2 ? a 2 ?a2n2 ? ,n2 n (?2 2 n ? a ? ) n ?4 2n2n ( n 2 ? a 2 ? n )a2 ， 要使 4n 2a2 n2 ? a2 1 |a | ? ?? ， 只要 2 ? ? ， 即 n? 4n 2n 2 2 ?所以，对 ?? ? 0 ，取 N ? [|a | ] ，当 n&N 时，恒有 2 ?n2 ? a2 1 ? ? ? 成立。 2n 2∴limn ??n2 ? a 2 1 ? 2n 2n ??例 4 用“ ? ? N ”语言证明： lim qn ? 0 (| q |? 1) 证明：当 q ? 0 时，结论显然成立。 现设 0 ?| q |? 1 ，因 | xn ? a |?| qn ? 0 |?| qn | ，要使 即 n?| qn |? ? ，取对数得： n lg | q |? lg ?lg ? （不妨设 0 ? ? ? 1 ） 。 lg | q |? lg ? ? 所以， ?? ? 0 ，取 N ? ? ? ，当 n&N 时，恒有 ? lg | q | ?9| qn ? 0 ? | ? 。∴。 lim qn ? 0n??二、数列极限的性质 定理 1 （极限的唯一性） ，收敛数列的极限是唯一的 证明： 用反证法，如果 lim xn ? a,lim xn ? b ，且 a&b，取n?? n??? ? (b ? a )? 01 2由 有lim xn ? a 知，存在正整数 N1，当 n ? N1 时n??1 | xn ? a |? (b ? a) 2n??又由 lim xn ? b 知，存在正整数 N2，当 n & N2 时 有 取1 | xn ? b |? (b ? a) 2N ? max{N1 , N 2 } ，当 n & N 时，上两不等式都成立b ? a ?| b ? xn ? xn ? a | 。于是有1 1 ?| xn ? a | ? | xn ? b |? (b ? a) ? (b ? a) ? b ? a 2 2矛盾，假设不成立，定理成立。 设数列{xn}，若 ?L ? 0 ，使得当 n ? N 恒有 xn ? L ，则称{xn}有上界 L。类似可定义{xn} 有下界。若{xn}既有上界，也有下界，则称{xn}是有界的，否则称{xn}无界。 定理 2 （收敛数列的有界性） ，如果数列收敛，则数列必有界。 证明：设 lim xn ? a ，则对于 ? ? 1 ，存在正整数 N，当 n&N 时，n??有，从而 | xn ? a ? | 1| xn |?| xn ? a ? a |?| xn ? a | ? | a ? ? 1? | a |取m ? max{| x1 |,| x2 |,,| xn |,1? | a |} ，当 n ? N 时都有| xn |? m∴ 数列{xn}有界。 注意：有界性是数列收敛的必要条件，不是充分条件，也就是说有界数列不一定收敛， 如数列 {( ?1)n ?1} ，有界但不收敛，若数列{xn}无界，必发散，如数列 {n sin n? } 无界，因而发 散。 子数列的概念：在数列{xn}中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列{xn}中的先后次 序，这样得到的数列称为原数列{xn}的子数列（子列） 。 如{xn}中取出 xn1 , xn2 ,, xn ,k(nk ? k ) 。定理 3 （收敛数列与子数列间的关系） ，如果数列{xn}收敛于 a，那么它的任一子数列 也收敛，且极限也是 a。 证明：设数列 xnk 是数列{xn}的任一子数列，10? ?由于 lim xn ? a ，均对于 ?? ? 0 ， ? N ，当 n&N 时n??恒有| xn ? a |? ? 成立。取 K=N，则当 R ? K 时， nR ? nK ? nN ? N 于是 ∴| xn ? a |? ? 成立klim xn ? a 。n??k注意：如果子数列 {xnk } 收敛，但原数列{xn}不一定收敛，如 {( ?1)n ?1} 思考题：猎狗的奔跑速度为 10m/s，兔子的奔跑速度为 5m/s，猎狗沿直线追赶兔子， 兔子提前一秒钟开始跑，如图，当兔子跑到 B 点时，狗追到 A 点，当兔子跑到 C 点时，猎 狗追到 B 点，这样追下去，似乎猎狗永远也追不到兔子，为何？ 三、自变量 x 无限增大时函数的极限 x 无限增大包括三种情况： x ???, x ???, x ?? 。 如果在 x ?? 的过程中， 函数值 f ( x ) 无限地接近于确定的常数 A， 则 A 就叫做函数 f ( x ) 当 x ?? 时的极限。 定义 2 设 f: D( f ) ? R 是一函数，其中 D( f ) ? ( ??, ?? ) 存在常数 A? R ，满足关系： ?? ? 0, ?X ? 0 ，使得当 | x |? X 时，恒有 | f ( x) ? A |? ? 。 那么称 A 是 f(x)当 x ?? 时的极限，记作(? , ??) ? ? R,? ? 0 ，若lim f ( x) ? A 或 f ( x ) ? A( x ? ?)x??这时，我们说，当 x ?? 时，f(x)极限存在。 当 x ?? 时，定义中的 | x |? X 改为 x ? X 就可得 lim f ( x) ? A 的定义x???当 x ?? 时，定义中 | x |? X 改为 x ? ? X 就可得 lim f ( x) ? A 的定义x???定 义 的 几 何 意 义 ： 对 ?? ? 0 ， 总 能 在 x 轴 上 找 到 一 点 X ， 使 得 函 数 的 图 形G( f ) ? { (x , y ) |y ?f (x ) ? ,x ??( ?? ,? ) ?? ( , 在直线 ) } x ? X 右边的部分与直线 x ? ? X 左边的部分位于平面带形 ( X , ??) ? ( A ? ? , A ? ? ) ( ??, ? X ) ? ( A ? ? , A ? ? ) 内 定理 4lim f ( x) ? A ? lim f ( x) ? A ? lim f ( x)x?? x??? x???证明：必要性 设 lim f ( x) ? A ，由定义可知：x??对于 ?? ? 0, ?X ，当 | x |? X 时， | f ( x) ? A |? ? ，即当 x ? X ( X ? 0) 或 x ? ? X 时| f ( x) ? A |? ?∴x???l i mf x( ? )x??lf im x ?( A)11充分性，设 lim f ( x) ? A ? lim f ( x)x??? x???对于 ??1 ? 0, ?X 1 ，当 x ? X 1 时， | f ( x) ? A |? ?1 对于 ?? 2 ? 0, ?X 2 ，当 x ? ? X 2 时， | f ( x ) ? A |? ? 2 取 ? ? min{?1 , ? 2 }, X ? max{X1 , X 2 } ，当 | x |? X 时 恒有 ∴ 例5x??| f ( x) ? A |? ? 成立。 l i mf x ( ? ) Alimx??3x ? 1 3 ? 2x ? 1 23x ? 1 3 1 1 1 ? ? ? 2 x ? 1 2 2 | 2 x ? 1 | 2 2 | x | ?11 1 ? ? ，即 2 2 | x | ?1证明：因要使| f (x ) ? A?|? ，只要| x |?1 1 ? 2 4?3x ? 1 3 ? ? ? 成立 2x ? 1 2于是对于 ?? ? 0 ，取 X ?1 1 ? ，当 | x |? X 时，就有 2 4?∴lim3x ? 1 3 ? x?? 2 x ? 1 2小结： 数列的极限实际上是一元函数当自变量无限增大时极限的一种特殊情形， 数列极 限是自变量 n“离散地”取正整数无限增大时，函数值 f ( n ) ? xn 的变化趋势。而一元函数 当自变量无限增大时的极限是自变量 x“连续地”取实数无限增大时，函数值 f ( x ) ? y 的变 化趋势，一个是“离散变量” ，一个是“连续变量” 。第三讲极限（二）教学目的和要求：深刻理解函数极限的定义，掌握用定义证明函数极限的方法、熟悉函 数极限的性质。 知识点： ? ? ? 定义，函数极限的性质 重点： ? ? ? 定义 难点： ? ? ? 定义，用定义证明函数的极限 教学方式：多媒体，讲授 教学思路：利用函数极限的几何意义，详细、形象、深刻地讲解 ? ? ? 定义，适当地增 加用定义证明函数极限的例题，让学生熟练地掌握用定义证明极限的方法。 教学过程：12一、自变量趋于有限值时函数的极限? ? x 趋于 x0 有三种情况： x 从 x0 的右侧趋于 x0 ， 即为 x ? x0 ； x 从左侧趋于 x0， 记为 x ? x0 ；x 从左、右趋于 x0，记作 x ? x0 。 如果在 x ? x0 的过程中，对应的函数值 f ( x ) 无限接近于确定的数值 A，那么 A 叫做函 数 f ( x ) 当 x ? x0 时的极限。 在 x ? x0 的过程中， f ( x ) 无限接近于 A，就是 | f ( x) ? A | 能任意小，要多小有多小， 可小于任意给定的正数 ? ，即 | f ( x ) ? A |? ? ，而 f ( x ) 无限接近 A 是在 x ? x0 的过程中实 现的，所以对于任意给定的正数 ? ，只要充分接近于 x0 的 x 所对应的函数 f ( x ) 满足不等式| f ( x ) ? A |? ? 即可。而充分接近 x0 的 x 可表示为 0 ?| x ? x0 |? ? ，其中 ? 是某个正数。适合不等式 0 ?| x ? x0 |? ? 的全体 x，就是 x0 的去心 ? 邻域 U ( x 0 , ? ) ， ? 则体现了 x 与 x0 的接近程度。 定义 1 设 f ： U ( x0 ) ? R 是一函数，若存在一个常 A ? R ，满足关系：?? ? 0 ， ?? ? 0 ，使得当 0 ?| x ? x0 |? ? 时，恒有则称 A 是 f ( x ) 当 x ? x0 时的极限，记作x ? x0| f ( x ) ? A |? ?lim f ( x ) ? A 或 f ( x) ? A( x ?x 0 )此时，也称当 x ? x0 时， f ( x ) 存在极限。 注意：f ( x ) 在 x ? x0 时的极限只与 f ( x ) 在 x0 的去心邻域 U ( x0 ) 的值有关， 与 f ( x) 在x0 处是否有定义或 f ( x ) 在 x0 处的值的大小无关。因为极限是考虑 x ? x0 时，函数的变化趋势，与 f ( x ) 在 x0 处的状态无关。 几何意义：对于任意给定的 ? ? 0 ，总能找到一个 ? ? 0 ，使得函数 f 的图形G ( f ) ? ?( x, y ) y ? f ( x )x ? U ( x0 )?在宽为 2 ? 的竖直带形内的部分全落在长方形 ( x ? ? , x0 ? ? ) ? ( A ? ? , A ? ? ) 内. 例 1 证明 lim C ? C （C 为常数）x ? x013证明： 因 f ( x) ? A ? C ? C ? 0 ， 对于 ?? ? 0 ， 可任取一正数 ? （此处 ? 与 ? 无关） ， 当 0 ?| x ? x0 |? ? 时，能使不等式 例 2 证明 lim x ? x 0x ? x0f ( x) ? A ? C ? C ? 0 ? ? 成立。? lim C ? Cx ? x0证明：因 f ( x) ? A ? x ? x0 对 于 ?? ? 0 ， 取 ? ? ?要使 f ( x) ? A ? x ? x0 ? ? ， 当 0 ?| x ? x0 |? ? 时 ， 就 有 不 等 式f ( x) ? A ? x ? x0 ? ?例 3 证明 limx ? x0成立? lim x ? x0x ? x0x2 ? 4 ? 4。 x?2x2 ? 4 证明：因 f ( x ) ? A ? ? 4 ? x ? 2 ，要使 f ( x) ? A ? ? ，即要 x ? 2 ? ? x?2对于 ?? ? 0 ，即 ? ? ? ，当 0 ? x ? 2 ? ? 时，就有不等式x2 ? 4 ?4 ?? x?2成立? limx ? x0x2 ? 4 ? 4。 x?2x ? x0分析： 用 ? ? ? 定义验证 lim f ( x ) ? A 的关键是对于任给 ? ? 0 ，在不等式 f ( x ) ? A ? ? 中视 x ? x0 为未知数，从 f ( x ) ? A ? ? 中解出 x ? x0 ? g (? ) ，取 ? ? g (? ) 即可。如从不等 式f ( x) ? A ? ? 中 不 易 解 出 x ? x0 ? g (? ) 可 设 法 将 f ( x ) ? A 适 当 放 大 为f ( x) ? A ? ? ( x) ? ? ，再从 ? ( x ) ? ? 中解出 x ? x0 ? g (? ) ，再取 ? ? g (? ) 即可。例 4 证明：当 x0 ? 0 时， lim x ?x ? x0x0 。证明：因 f ( x ) ? A ?x ? x0 ?x ? x0 1 ? x ? x0 x ? x0 x0要 使 f ( x) ? A ? ? 只 要1 x ? x0 ? ? 或 x ? x0 ? x0 ? ， 且 x ? 0 ， 而 x ? 0 可 用 x0x ? x0 ? x0 得证。对于 ?? ? 0 ，即 ? ? min{x0 , x0 ? } ，当 0 ?| x ? x0 |? ? 时，不等式：14x ? x0 ? ? 成立，? lim x ? x0x ? x0例 5 证明 limx?2 1 ? x?2 x 2 ? 4 4x?2 x?2 1 ， 而x?2， 可限定 x ? 2 ? 1 ， 则 x ? 2 ? 3， ? ? 2 x ?4 4 4 x?2证明： 因 f ( x) ? A ? 于是得到放大的不等式f ( x) ? A ?要 使 f ( x) ? A ? ? ， 只 要x?2 x?2 ? 4 x?2 12x?2 ? ? ， 即 x?2 ? 1 ? 2 ， 于 是 对 于 ?? ? 0 ， 取 12? ? m i n {1 , ?1 ， 2当 }0 ?| x ? x0 |? ? 时， 就有例 6 证明 limx?2 1 ? ?? x2 ? 4 4成立， ? limx?2 1 ? 。 x??1 x 2 ? 4 4x??12x ? 1 1 ?? 3? x 25 x ?1 2x ? 1 1 ，而 x ? ?1 ，可限定 x ? (?1) ? 1 ，即 ? (? ) ? 3? x 2 2 x?3证明：因 f ( x ) ? A ??2 ? x ? 0 ，则 x ? 3 ? 1 ，于是得到放大的不等式：f ( x) ? A ?要使 f ( x ) ? A ? ? ，只要5 x ?1 5 ? x ?1 2 x?3 25 2? 。 x ? 1 ? ? ，即 x ? 1 ? 2 5 2 于是对于 ?? ? 0 ，取 ? ? min{1, ? } ，当 0 ?| x ? ( ?1) |? ? 时 5就有2x ? 1 1 2x ? 1 1 ? ? ，? lim ?? 。 x??1 x ? 3 x?3 2 2x2 1 ? 。 x ?1 2例 7 证明 limx ?1证明：因x2 1 2 x2 ? x ? 1 2 x x ? 1 ? x ? 1 1 ? ? ? ，而 x ? 1 ，可限定 0 ? x ? 1 ? ， x ?1 2 2( x ? 1) 2 x ?1 3则x?1 3 4 1 5 ? （因 x ? 1 ? 2 ? x ? 1 ? 2 ? ? ） ， 3 3 3 2 x ? 1 10于是得到放大的不等式x2 1 2 x ?1 11 ? ? ? x ?1 ? x ?1 x ?1 2 2 x ?1 1015要 使 f ( x) ? A ? ? ， 只 要11 10 x ? 1 ? ? ， 即 x ? 1 ? ? ， 于 是 对 于 ?? ? 0 ， 取 10 11x2 1 ? ?? x ?1 2成立，? limx ?1? ? m i n { , ? ，当 } 0 ? x ? 1 ? ? 时，就有1 10 3 11x2 1 ? 。 x ?1 2? ? 类似可以定义 x ? x0 ， x ? x0 时函数的极限：设函数 f ： ( x0 ? ? , x0 ) ? R(? ? 0 常数） ，若存在数 A? R ，满足关系：?? ? 0, ?? ? 0 ，使得当 x ? ( x0 ? ? , x0 ) 时恒有则称 A 为 f ( x ) 当 x ? x0 的左极限，记作f ( x) ? A ? ?? f ( x0 ? 0) ? lim f ( x ) ? A 或 f ( x) ? A( x ? x0 )? x ? x0同样可定义 f 当 x ? x0 的右极限，记作? f ( x0 ? 0) ? lim f ( x ) ? A 或 f ( x) ? A( x ? x0 )? x ? x0定理 1x ? x0lim f ( x ) ? A ? lim f ( x ) ? lim f ( x ) ? A? x ? x0 ? x ? x0注意： x ? x0 时， f ( x ) 的极限为 A 的充要条件是 f ( x ) 的左、右极限存在并且相等，如 果左、右极限有一个不存在，或都存在但不相等，则 lim f ( x ) 不存在。x ? x0?2 x ? 1 x ? 1 ? 例 8 设 f ( x) ? ? 0 x ? 1 ， 证明 lim f ( x) 不存在。 x?1 ? x x ?1 ?证明：因为x?1?lim f ( x) ? lim(2 x ? 1) ? 3x?1?x?1?lim f ( x) ? lim x ? 1x?1?? lim f ( x) ? lim f ( x)x?1? x?1?故 lim f ( x) 不存在。x?1思考题：?2 x ? 1 x ? 1 ? 设 f ( x) ? ? 0 x ? 1 ， lim f ( x) 是否存在？与 f (1) 是否有关系？ x?1 ? x x ?1 ?在函数极限不存在的情况中，有一种比较特别： 设 f ： U ( x0 ) ? R 是任一函数，若 ?M ? 0 ， ?? ? 0 ，使得 当 0 ?| x ? x0 |? ? 时，恒有f ( x) ? M16则称当 x ? x0 时， f ( x ) 的极限为无穷大，记作x ? x0lim f ( x ) ? ? 或 f ( x ) ? ?( x ? x0 )类似地，有 lim f ( x ) ? ?? 和 lim f ( x ) ? ?? 等。x ? x0 x ? x0二、函数极限的性质： 定理 2 若 lim f ( x ) 存在，则极限唯一。x ? x0证明：依照数列极限唯一性的证明方法。 定理 3 （局部有界性）若 lim f ( x ) 存在，则 ?M ? 0 与 ? ? 0 ，使得 ?x ?U ( x0 ,? ) 都有x ? x0f ( x) ? M 。证明：设 lim f ( x ) ? A ，由极限定义，对于 ? ? 1 ， ?? ? 0x ? x0当 x ?U ( x0 ,? ) 时，有 f ( x) ? A ? 1 从而， f ( x) ? f ( x) ? A ? A ? f ( x) ? A ? A ? 1 ? A ? M 。 定理 4 （局部保界性）如果 lim f ( x ) ? A ，且 A ? 0 （或 A ? 0 ） ，则 ?? ? 0 ，当x ? x0。 x ? U( x0 ,? ) 时，有 f ( x ) ? 0 （或 f ( x ) ? 0 ） 证明：设 A ? 0 ，取正数 ? ? A ，由 lim f (x )? A 的定义，对于此 ? ， ?? ? 0 ， 当x ? x0x ? U( x 0 ,? ) 时，不等式故f ( x) ? A ? ?即A ? ? ? f ( x) ? A ? ?成立。f ( x )? A?? ? 0 。类似可证明 A ? 0 的情形。i m ( f )x ? A ， 定理 5 （局部保序性） 若 ?? ? 0 ， 当 x? 且l Ux ( 0, ? ) 时， f ( x ) ? g ( x ) ，x ? x0x ? x0lim g ( x ) ? B ，那么 A ? B 。证明：反证法，设 B ? A ，取 ? ? 则 ?? ? 0 ，当 x ?U ( x0 ,? ) 时，有1 ( B ? A) 21 f ( x) ? A ? ( B ? A) 2 1 g ( x) ? B ? ( B ? A) 2有 有1 (B ? A) 2 1 g ( x)? ( B ? A) 矛盾。 2 f ( x)?17小结：极限的作用就是描述因变量 y 随自变量 x 在一定的变化过程中的终极状态（或变 化趋势） ，它是分析数学中最基本的概念之一，是研究若干数学问题最基本的方法之一，极 限概念的理解对后面学习函数的连续性、导数、微分、积分都是至关重要的。第四讲极限的运算法则教学目的和要求：熟练掌握极限的运算法则，以及极限存在的两个准则，进一步熟练用 定义证明极限存在的方法。 知识点：函数及数列极限的运算法则，极限存在的两个准则。 重点：函数极限的运算法则，极限存在的两个准则。 难点：极限的运算。 教学方式：多媒体、讲授 教学思路： 通过对极限四则运算法则的证明进一步熟悉用 “ ? ? ? 定义” 证明极限存在， 通过一些典型例题的计算尽可能多地掌握函数极限的计算方法以及两个准则的运用。 教学过程： 定理 1 （四则运算法则）设 lim f ( x ) ? A ， lim f ( x ) ? B ，则x ? x0 x ? x01） lim[ f ( x ) ? g ( x )] ? lim f ( x ) ? lim g ( x ) ? A ? Bx ? x0 x ? x0 x ? x02） lim[ f ( x ), g ( x )] ? lim f ( x ) ? lim g ( x ) ? ABx ? x0 x ? x0 x ? x03） limx ? x0lim f ( x ) A f ( x) x ?x ? ? g ( x ) lim g ( x ) B0( B ? 0)x ? x0此定理对于 x ?? 等情形也成立。 证明：2）因f ( x ) ? g ( x ) ? AB ? f ( x ) ? g ( x ) ? Ag ( x ) ? Ag ( x ) ? AB ? g ( x) ? f ( x) ? A ? A ? g ( x) ? B由 lim f ( x ) ? A ，对于正数x ? x0?2M( M ? 0) ，存在 ? 1 ，当 x ?U ( x0 ,?1 ) 时，有 又f ( x) ? A ??2Mx ? x0lim g x( ?) B ，对于正数 M，及?2A，存在 ? 2 ，当x ?U ( x0 ,?1 ) 时有g ( x) ? Mg ( x) ? B ??2A。18取 ? ? min{?1 , ? 2 } ，当 x ?U ( x0 ,? ) 时，上述三个不等式同时成立?于是f ( x ) g ( x ) ? AB ? M ??2M? A??2A??x ? x0lim ? f ( x ) g ( x ) ? ? AB 。3）因 lim g ( x ) ? B ? 0 对于正数x ? x0|B| ，存在 U ( x0 ,? ) ，当 x ?U ( x0 ,? ) 时，有 2 B B g ( x) ? B ? ，? g ( x ) ? g ( x ) ? B ? B ? B ? g ( x ) ? B ? 2 21 2 1 ? ， 在 U ( x0 ,? ) 内有界。 g ( x) g ( x) BB 1 ? M ，对于正数 ? ，当 x ?U ( x0 ,? ) 时，有 M g ( x) B ? ，从而 M即设g ( x) ? B ?g ( x) ? B M B 1 1 ? ? ? ? ? ?? g ( x) B B ? g ( x) B M再由（2）可知， lim 定理 2x ? x0x ? x0f ( x) 1 A ? lim f ( x ) ? ? g ( x ) x? x g ( x) B0（复合运算法则）设函数 ? ? g ( x ) ，当 x ? x0 时的极限存在且等于 ?0 ，又] 当 x ? x0 时 的 极 限 也 存 在 ， 且 lim f (? ) ? A ， 则 复 合 函 数 f [ g ( x ) ，? ? ?0x ? x0lim f [ g ( x )] ? lim f ( ? ) ? A 。证明：因为 lim f ( ? ) ? A ，所以? ? ?0?? ? 0 ， ?? ? 0 ，使得当 ? ?U ( ?0 ? ) 时，恒有f (?) ? A ? ?又由于x ? x0lim g x( ?) ?0 ，故对于上式的 ? ? 0 ， ??1 ? 0使得当 x ?U ( x0 ,?1 ) 时，恒有g ( x) ? ?0 ? ?设在 x0 的的心领域 U ( x0 ,? 0 ) 内， g ( x ) ? ?0 ，取 ? ? min{? 0 , ?1} ，则当 x ?U ( x0 ,? ) 时 恒有x ? x00 ? ? ? ?0 ? ? ，即 ? ?U ( ?0 ,? ) ，从而有 f [ g ( x)] ? A ? ?? ? ?0? lim f [ g ( x )] ? A ? lim g ( ? ) 。定理表明：求 lim f [ g ( x )] 可通过变量代换求 ? ? g ( x ) ，化为求 lim f ( ? ) 的极限问题。x ? x0? ? ?019例 1 求 lim(3x ? 2) 。x?1解：原式 ? lim(3x) ? lim2 ? 1x?1 x?1例 2 求 limx ?2x2 ? x ? 1 x3 ? 2 x2 ? x ? 2解：原式 ?lim( x 2 ? x ? 1) lim( x ? 2 x ? x ? 2)2 x ?2 x ?2 3?3 4一般地对于多项式 P( x) ? a0 x n ? a1 x n?1 ? 有理函数： F ( x) ? P( x)? an ，则 lim P ( x ) ? P ( x0 ) 。x ? x0Q( x )有x ? x0lim F ( x ) ?P( x0 ) ? F ( x0 ) Q ( x0 )如果 lim Q ( x ) ? 0 ，则不能用法则。x ? x0x 2 ? 3x ? 2 x ?1 x 2 ? 3 x ? 4 解：当 x ? 1 时，分子、分母的极限为零，不能用运算法则，对这类极限通常是将函数 式作适当变形，消去分子、分母中趋于零的因式后，再用运算法则。 ( x ? 1)( x ? 2) x?2 1 ? lim ?? 原式 ? lim x ?1 ( x ? 1)( x ? 4) x ?1 x ? 4 5例 3 求 lim 例 4 求 limx?2x3 ? 8 x 2 ? 3x ? 2解： （略）0 型的未定式。 0 2 x3 ? x2 ? x ? 1 例 5 求 lim x ?? 3 x 3 ? 2 x 2 ? 8 解：当 x ?? 时，分子、分母的极限都是 ? ，不可用运算法则，以 x 3 除分子、分母就以上两例中的极限式称为 可以了。 原式 ? lim2?x ??1 1 1 ? ? x x2 x3 ? 2 。 2 8 3 3? ? 3 x xx ( x ? 1 ? x ? 1)例 6 求 lim 解： （略）x ???12 ? ? 1 ? 3 例 7 求 lim ? ? x ?2 x ? 2 x ?8? ?20x2 ? 2 x ? 8 x?4 1 ? lim 2 ? 。 x ?2 x ?2 x ? 2 x ? 4 x3 ? 8 2 0 此例中的极限式称为 ??? 型未定式，可化为 型未定式。 0解：原式 ? lim 例 8 求 lim e xx ?22?2 x ?3解：由极限的复合运算法则，设 ? ? x 2 ? 2 x ? 3lim ? ? lim( x 2 ? 2 x ? 3) ? 3x ?2 x ?2? lim e xx ?22?2 x ? 3? lim e ? ? e? ?33关于数列，也有类似的极限运算法则。 定理 3 设 lim xn ? A ， lim yn ? B ，则n?? n??1） lim( xn ? yn ) ? A ? Bn??2） lim( xn yn ) ? ABn??3） limn ??xn A ? yn B(B ? 0 )例 9 求 limn ??n ?1 ? n 。 n?2 ? n原式 ? limn ??解：( n ? 1 ? n )( n ? 1 ? n )( n ? 2 ? n ) ( n ? 2 ? n )( n ? 1 ? n )( n ? 2 ? n )n?2 ? n 1 ? lim ? n ?? 2( n ? 1 ? n ) 2。极限的运算法则提供了求极限的方法， 但前提是极限存在， 而且需要利用一些已知极限 的结果。 极限存在的两个准则： 准则 I（夹逼原理）如果数列 {xn } 、 { yn } 及 {zn } 满足下列条件： 1） yn ? xn ? znn?? n??(n ? 1,2,3)2） lim yn ? a ， lim zn ? a 那么数列 {xn } 的极限存在，且 lim xn ? a 。n??证明：因为 lim yn ? a ， lim zn ? a ，由数列极限的定义有n?? n???? ? 0 ， ?N1 ? N ，当 n ? N1 时，有 yn ? a ? ?当 n ? N 2 时，有 zn ? a ? ? ，取N ? max{N1 , N 2 } ，则当 n ? N 时，有21yn ? a ? ? ， zn ? a ? ? 同时成立。又， yn ? xn ? zn? 当 n ? N 时，有 a ? ? ? yn ? xn ? zn ? a ? ? ，即于是xn ? a ? ?。lim xn ? a 。n??上述准则对函数也成立。 准则 I’ （夹逼原理）如果 1）当 x ?U ( x0 , r ) 时，有 g ( x ) ? f ( x ) ? h( x ) 成立 2） lim g ( x ) ? A ， lim h ( x ) ? Ax ? x0 x ? x0那么： lim f ( x ) 存在，且等于 A。x ? x0准则Ⅱ（单调有界准则）单调增加（减少）有上（下）界的数列必定收敛。单调增加数列 {xn } ： 单调减少数列 {xn } ：x1 ? x 2 ? x 3 ?? xn ? xn ? ? 1x1 ? x 2 ? x 3 ?? xn ? xn ? ? 1单调增加、单调减少的数列统称为单调数列。 我们知道：收敛数列一定有界，但有界数列不一定收敛。 准则Ⅱ表明：如果数列不仅有界，而且是单调的，则数列的极限存在，也就是说数列一 定收敛。 例 10 计算下列极限 1） lim(1 ? 2n ? 3n ) nn?? 1?1 1 2） lim ? 2 ? ? n ?? n (n ? 1)2 ?1 1 n n?1 ? (n ? n )2 ? ?解：1）因?? 1 ?n ? 2 ?n ? n (1 ? 2n ? 3 ) ? 3 ?? ? ? ? ? ? 1? ?? 3 ? ? 3 ? ? ? ?n n而?1? ? 2? 1 ? ? ? ? ? ? ?1? 3 ? 3? ? 3?1 ?? 1 ?n ? 2 ? n ? n n 3 ? 1 ? 3 ?? ? ? ? ? ? 1? ? 3 ? 3 ? ? ?? 3 ? ? 3 ? ? 1 n 1有又l i m (? 3n 1? ) ， 3 lim3 ? 3n ? 3n?? n??11由夹逼原理l i m (? 1 n? 2n??1 n n3?) 。 322）因n ?1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ?3 ? 2 2 2 2 2 4n (2 n ) n (2 ) n(2 n ) n? ( 1) n?n ( 1 1 1 n? 1 ? 2 ? 2 ? ? 2? n n n n 222)而n ?1 n ?1 ， lim 2 ? 0 lim 2 ? 0 n?? 4n n?? n? 1 ? ?0。 (n ? n)2 ? ?, xn ? 2 ? xn ?1收敛，并求其极限。?1 1 ? lim ? 2 ? ? n ?? n (n ? 1)2 ?例 11 证明数列 x1 ? 2, x2 ? 2 ? 2 , 证明：先证明其单调性（数学归纳法） 当 n ? 1 时，有 x2 ? 2 ? 2 ? 2 ? x1 ， 设当 n ? k 时，有 xk ?1 ? 2 ? xk ? xk ， 则 即当2 ? xk ?1 ? 2 ? xk ，n ? k ? 1 时，有xk ?2 ? xk ?1 。所以，对一切自然数 n ， xn ?1 ? xn ，故数列是单调增加的，再证其有界（数学归纳法） 当 n ? 1 时， x1 ? 2 ? 2 ，设 xk ? 2 ， 则xk ?1 ? 2 ? xk ?。 2? 2 ? 2所以，对一切自然数 n，都有 xn ? 2 ，故数列有上界 2。 根据单调有界准则， lim xn 存在。n ??设lim xn ? a ，由n??2 xn?1 ? 2 ? xn ， xn ?1 ? 2 ? xn当 n ?? 时，两边求极限得 解之得： a ? 2 ， a ? ?1a2 ? 2 ? an??显然 xn ? 0 ， a 不能为负。? lim xn ? 2 。思考题： 1）求 limx ?02x ?1 2x ?1112） lim2n n ?? n !小结：直接用运算法则和准则求极限一般较容易，难点在于对函数式的变形，为了达到 好的学习效果，务必要有针对性地做适量的练习，通过练习归纳、总结行之有效的方法，熟 练法则、准则的运用。第五讲两个重要极限教学目的和要求：深刻理解两个重要极限的意义，能熟练运用两个重要极限的结果，求23解与之相关的极限问题。 知识点：两个重要极限。 重点：两个重要极限。 难点： lim(1 ?x ??1 x ) ? e 的证明。 x教学方式：多媒体、讲授。 教学思路：通过两个重要极限的证明，加深对它们的理解。在与之相关的例题与练习之 中，进一步熟练运算法则、准则的运用，解题力争做到简洁、明了。 教学过程：一、 limsin x ?1 x ?0 x2 ?AOB 的面积&扇形 AOB 面积& ?AOD 的面积 1 1 1 x 1 ? 所以： sin x ? x ? tan x 。即： sin x ? x ? tan x ，除 sin x 就有 1 ? 2 2 2 sin x cos x sin x sin x ? ? 1。 或 cos x ? 以 ? x 代 x, cos x, 都不变， 上述不等式在 （ ? ,0 ） 内的一切 x 也 x x 2是成立的。 从而有： 0 ? 1 ?证明：设 0 ? x ??，作单位圆，由图可知：sin x x x x2 ? 1 ? cos x ? 2 sin 2 ? 2 ? ( ) 2 ? x 2 2 2x ?0由夹逼原理得： lim(1 ?sin x )?0 xlim(1 ? c o sx) ? 0 ，即x ?0因而由上面的证明还可知lim c o sx ? 1 。x ?0由此结果，可得：圆周上任一弦与其对应弧的长度之比当弧长超于 0 时的极限为 1 事实上，弧 AB ? x 弦 AB ? 2 sinx 。 2x x 2 sin sin 2 ? lim 2 ? 1。 ? lim ? lim AB ?0 x? 0 x? 0 x x AB 2 tan x 例 1 求 lim ? 。 x ?0 x sin x 1 sin x 1 ? ) ? lim lim ?1 解：原式= lim( x ?0 x ? 0 x ? 0 x cos x x cos x 1 ? cos x 例 2 求 lim x ?0 x2 ABx x? ? 2 sin sin ? ? 1 2 ? lim 2 解：原式= lim ? x ? 2 x ?0 x ? 0 2? x ? ? 2 ?2224? sin ? ? 1 1 lim ? ? ? ? ? 0 2 2 ? ? ? 1 例 3 求 lim x arcsin x ?? x令? ?x 221 令 arcsin ?t x解：原式limt ?0t 1 ? lim ? 1。 sin t t ?0 sin t t例 4 求 lim x sinx??1 x令? ?解：原式1 xlim? ?0sin ???1例5lim 求 ?x? 2令t ? x ?cos x x?? 2?2? sin t ? ?1 t?2 cos解：原式limt ?0例 6 求 lim xn , xn ? cosx ???22cos?2n(0 ? ? ??2)解：因c o s c o s 2 ??c o s n s i n n 2 2 2 2 xn ? ? sin n 2????cos cos 2 ??cos n?1 sin n?1 2 2 2 2 ? ?? ? sin ? 。 = ? ? 2 sin n 2 n sin n 2 2 ? ? ? lim n ? 0 。 ? 不随 n 变化，且 0 ? ? ? n?? 2 2????? lim xn ? limn?? n??sin ? 2n sin?n= limn??sin ?2n sin ? sin ? 。 ? 2 ? ? lim 2 ? ? sin ? ? n?? sin ? ? 2n 2n n??例 7 求 limsin x 。 x ?? x2 1? 2?解：原式 ? lim? 2 sin(? ? x) ?2 sin(? ? x) ? ? lim ? lim ? 。 x?? ? ? x x?? x?? (? ? x)(? ? x) ? ?x 225例 8 求 limsec x ? cos x 。 x ?0 x解：原式 ? lim 例 9 求 limx ?01 ? cos2 x sin 2 x x ? lim 2 ? ?0。 x?0 x cos x x?0 cos x xcos ?x ? cos ?x 。 x2 ?x ?x 2(sin 2 ? sin 2 ) 2 2 。 解：原式 ? lim x ?0 x2? ?2 2 ? sin ? 2 ? lim ? x ?0 2 ? ?x ? ? 2? ? ?x ? ? ? 2 ? sin 2 2 ? 2 ? ? ? ?? ? ? lim ? ? x?0 2 ? ?x ? 2 ? ? ? 2 ? ? ?22或先将 cos?x ? cos?x 化积，再变形。 此类极限问题关键是要将极限式化为 limsin f ( x) sin x ? 1 的结果。 的形式，再用 lim x ?0 f ( x ) ?0 x f ( x)x 二、 lim(1 ? ) ? e x ?01 x先考虑 x 取正整数趋于 ? ? 的情形，设 x n ? (1 ? 有上界。由二项公式，有1 n ) ，可以证明 ?xn ?是单调增加，并且 n1 1 n(n ? 1) 1 n( n ? 1)( n ? 2) 1 xn ? (1 ? )n ? 1 ? n ? ? ? 2? ? 3? n n 2! n 3! n n(n ? 1)(n ? 2) ( n ? n ? 1) 1 ? ? n n! n 1 1 1 1 2 1 1 2 ? 1 ? 1 ? (1 ? ) ? (1 ? )(1 ? ) ? ? (1 ? )(1 ? ) 2! n 3! n n n! n nxn?1 ? (1 ?(1 ?n ?1 ) n1 n ?1 ) n ?1 1 1 1 1 2 ? 1 ? 1 ? (1 ? ) ? (1 ? )(1 ? ) ? ?? 2! n ? 1 3! n ?1 n ?1 1 1 2 n ?1 1 2 2 n ? (1 ? )(1 ? )??(1 ? )? (1 ? )(1 ? )??(1 ? ) n! n ?1 n ?1 n ? 1 (n ? 1)! n ?1 n ?1 n ?1比较 xn 与 x n ?1 的展开式，每一项均为正数，除前两项外， xn 的每一项都小于 x n ?1 的对 应项，且 x n ?1 还多一项，于是 xn ? xn?1 ，即数列 ?xn ?是单调增加的。26又xn ? 1 ? 1 ?1 1 1 ? ? ?? ? 2! 3! n! 1?1 1 1 1 2n ? 3 ? 1 ? 3 ? 1 ? 1 ? ? 2 ? ?? ? n?1 ? 1 ? 1 2 2 2 2 n?1 1? 2这说明数列 ?xn ?有上界，根据单调有界准则， lim xn 存在，设极限为 e ，从而得：n ??1 lim(1 ? ) n ? e n ?? ne 为无理数， ?xn ?的每一项是有理数，而极限是无理数。再考虑 x 为实数的情形： 先证 设x? ? ?l i m (? 11 xx? )en ? [ x] ，则 n ? x ? n ? 1 ，从而有(1 ?1 n 1 1 ) ? (1 ? ) x ? (1 ? ) n?1 n ?1 x n当 x ? ?? 时， n ? ?? ，并且1 n?1 ) 1 n n ? 1 lim(1 ? ) ? lim ?e n ?? n??? 1 n ?1 (1 ? ) n ?1 1 1 1 lim (1 ? ) n?1 ? lim (1 ? ) n (1 ? ) ? e n??? n ? ?? n n n 1 x 由夹逼原理可得： lim (1 ? ) ? e 。 x ? ?? x 1 x 再证 lim (1 ? ) ? e ，令 t ? ?x ，当 x ? ?? 时， t ? ?? ，从而有 x ??? x 1 1 t t lim(1 ? ) x ? lim(1 ? ) ?t ? lim ( ) x ?? t ?? t ??? t ? 1 x t (1 ?1 t ?1 1 ? ? ? lim ?(1 ? ) (1 ? ) ? e ?1 ? e t ??? t ?1 t ?1 ? ? ?所以：1 lim(1 ? ) x ? e 。 x ?? x1 令 1 ?t x x利用极限的复合运算：lim(1 ? x)x ?01 lim(1 ? )t ? e t ?? t27例 10 求 lim(1 ?x ??解：令 t ? ?x ，则当 x ? ? 时， t ? ? ，于是 原式 ? lim(1 ? ) ?t ? limt ??1 x ) 。 x1 t例 11 求 lim (x ??2x ?1 x ) 。 2x ? 3 2x ?1 4 ? 1? 解：? ， 2x ? 3 2x ? 3 1 4 3 令 ? ，则 x ? 2t ? ，当 x ? ? 时， t ? ? t 2x ? 3 231 1 ? 。 t ?? 1 (1 ? ) t e t1 2t ? 1 ? 1 ? ? 原式= lim(1 ? ) 2 = lim?(1 ? ) t ? ? (1 ? ) 2 ? e 2 。 t ?? t ?? t t ? t ?123例12求 lim(1 ? 2 x ) x 。22x ?01 ? 2 ? ? 2 2x 解：原式= lim?(1 ? 2 x ) ? x?0 ? ? ? ??2? e ?2例 13 求 lim ?x?0ex?1 。 x解：令 ex?1 ? t, x ? ln(1? t )t ? ln(1 ? t ) 1t ?0 ?? ? 当 x ? 0 时， t ? 0 ， ? 原式 ? lim ?t ?0lim ln(1 ? t )1 t?1x) 例 14 求 lim(tan ?x? 4tan 2 x解：原式= lim ?1 ? (tan x ? 1)?1?tan2 xx?2 tan x?4= lim ?1 ? (tan x ? 1)? tan x ?1x?1???2 tan x tan x ?14= e （因 limx??1?4?2 tan x ? ?1 ） tan x ? 128? 1 ? 此类极限问题关键是将极限式化成 lim ?1 ? f ( x )?? f ( x) ? ? ?再用 lim(1 ?x ??f ( x)或 lim ?1 ? f ( x)? f ( x ) 的形式，f ( x ) ?011 x ) 的结果。 x小结： 两个重要极限在实践中有很重要的应用， 它们的证明应用了夹逼原理和单调有界 准则，证明的方法非常简练，值得借鉴，对两个重要极限的认识不能仅仅停留在它们的结果 上。第六讲函数的连续性教学目的和要求：深刻理解函数连续性的概念，熟悉间断点的分类、连续函数的运算及 性质。 知识点：函数连续的定义，间断点的定义及分类，连续函数的运算及闭区间上连续函数 的性质。 重点：函数连续的概念，间断点及其分类。 难点：间断点及其分类。 教学方式：多媒体、讲授。 教学思路：结合极限的定义，深刻、透彻地讲解函数连续的定义，利用分段函数解释函 数的间断点及其分类，通过函数的图形直观地解释连续函数的性质。 一、连续函数的概念 定义 1 设有函数 f : U ( x0 ) ? R ? R ，若x ? x0lim f ( x) ? f ( x0 )则称函数 f 在 x0 处连续。 用 ? ? ? 语言表达： ?? ? 0, ?? ? 0 ，使得当 x ?U ( x0 ) 时，恒有 则称函数 f 在 x0 处连续。 注意：在此定义中要求函数 f 在 x0 处有定义，与极限定义不同。该函数 y ? f ( x) 在 x0 的某邻域内有定义，当自变量从 x0 变到 x 时，对应的函数值从 f(x0)变到 f(x)，称 ?x ? x ? x0 为自变量的增量， ?y ? f ( x) ? f ( x0 ) ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 为函数的增量。 定义 1’ 设函数 f : U ( x0 ) ? R ? R ，若x ? x0f ( x) ? f ( x0 ) ? ?lim ?y ? 029则称函数 f 在 x0 处连续。 此定义表明当自变量在某点的增量充分接近于零， 对应的函数的增量可以任意接近于零， 则函数就在该点连续。 类似于左极限、右极限，还可以定义函数在 x0 处的左连续、右连续，若? x ? x0lim f ( x ) ? f ( x0 ) ? lim? f ( x ) ? f ( x ) ? ?x ? ? ? x0 ?则称 f 在 x0 处左连续（右连续） ，不难证明： 函数 f 在 x0 处连续 ? f 在 x0 处既左连续又右连续。 若 f 在开区间（a,b）内每一点连续，则称它在开区间（a,b）内连续；若 f 在（a,b）内 连续，并且在左端点右连续，在右端点左连续，则称它在闭区间[a,b]上连续，半开半闭区间 上的连续性可类似定义，若 f 在定义区间 I 上连续，则称它是该区间上的连续函数。 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线。 如： f ( x) ? x 2 , f ( x) ? 2x ? 1 。 例 1 证明 y ? sin x 在 (??,??) 内连续。 证明：任取 x0 ? (??,??) ，由和差化积公式sin x ? sin x0 ? 2cosx ? x0 x ? x0 x ? x0 sin ? 2 sin ? x ? x0 2 2 2所以，对于任给 ? ? 0 ，取 ? ? ? ，当 x ? x0 ? ? 时sin x ? sin x0 ? x ? x0 ? ?于是 lim sin x ? sin x0 。即 sin x 在 x0 处连续，由 x0 的任意性可知 sin x 是 (??,??) 上x ? x0的连续函数。 类似地，可以证明 y ? cos x 也是 (??,??) 上的连续函数。 例 2 证明 y ? a (a ? 0, a ? 1) 在 (??,??) 上连续。xa ? 1(a ? 1) ； 证明：先证 lim ?x x?0x x 对于 ?? ? 0 ，为使 a ? 1 ? a ? 1 ? ? ，只要 x ? loga(1 ? ? ) ，取 ? ? loga(1 ? ? ) ，x 则当 0 ? x ? ? 时，就有 a ? 1 ? ?a ? 1。 即 lim ?x x ?0a ? 1(a ? 1) ； 再证 lim ?x x?0由于 x ? 0 等价于 ? x ? 0 ，所以30??x ?0lim a x ? lim? ?? x ?01 ?1 a ?x故x ?0lim a x ? lim a x ? lim a x ? 1(a ? 1) ? ?x ?0 x ?0 x?0类似可证明lim a x ? 1(0 ? a ? 1)令x ? x0 ?tx x? x x x? x x ?x0 ? (??,??) ，因 lim a ? lim a 0 ? a 0 ? a 0 lim a 0 x? x0 x? x0 x? x0a x0 lim a t ? a x0t ?0因此 a x 是 (??,??) 上的连续函数。 例 3 证明 f ( x ) ? ??x 2 ?2 x ? 12 x ?1x ?1 x ?1x ?1在 x ? 1 处连续。f ( x) ? lim x ? 1 ， lim f ( x) ? lim (2 x ? 1) ? 1 。 证明：因 lim ? ? ? ?x ?1x ?1所以lim f ( x) ? 1 ? f (1) ，故 f ( x) 在 x ? 1 处连续。x ?1二、函数的间断点及其分类 由定义、函数 f 在 x0 处连续当且仅当满足下列三个条件： 1） f ( x) 在 x0 处有定义。f ( x) 与 lim f ( x) 存在且相等。 2） lim f ( x ) 存在，即 lim ? ?x ? x0x? x0 x? x03） lim f ( x) ? f ( x0 )x ? x0如果其中有一个条件不满足，即 f 有下列三种情形之一： 1） f ( x) 在 x0 处无定义。 2） f ( x) 虽在 x0 处有定义，但 lim f ( x ) 不存在。x ? x03） f ( x) 虽在 x0 处有定义，且 lim f ( x ) 存在，但 lim f ( x) ? f ( x0 ) ，则 f ( x) 在 x0 处x ? x0 x ? x0不连续。 使函数 f ( x) 不连续的点 x0 称为 f ( x) 的间断点。 函数 f ( x) 的间断点分为两类： 一类是左、 右极限都存在的间断点， 称为第一类间断点， 其余的称为第二类间断点。x2 ? 4 例 4 设 f ( x) ? ，问 x ? 2 是否是间断点？第几类？ x?2解：显然 f ( x) 在 x ? 2 处没有定义， x ? 2 是间断点，而31lim f ( x) ? limx ?2 x ?2x2 ? 4 ?4 x?2? x ? 2 是第一类间断点。补充定义： f (2) ? 4 ，则函数 f ( x ) 在 x ? 2 处就连续了。? ?sin x ? ? 例 5 设 f ( x) ? ? 2 ? ? 2? ? ? ?? ?x? x? x?? ? ?2 2 22x? ?问x ??2是否为间断点？第几类？f ( x) ? lim? sin x ? 1 ， lim? f ( x) ? lim? 解：因 lim ?x? 2 x? 2x? 2 x? 2??1而 f( )?2?2? lim f ( x) ? 1 ? f ( ), x ? 是第一类间断点。 ? 2 2 x?2??补充定义： f ( ) ? 1 ，则函数 f ( x) 在 x ???22处就连续了。以上两例中的间断点称为可去间断点，其特点是：函数在该点处的左、右极限存在且相 等， 但函数在该点无定义或者虽有定义但极限值与该点的函数值不相等。 重新定义函数在该 点的值，可以使之成为连续点。? x2 x ? 0 例 6 设 f ( x) ? ? ?x ? 1 x ? 0x ?0 x ?0问 x ? 0 是否为间断点，第几类？2f ( x) ? lim x ?0 f ( x) ? lim ( x ? 1) ? 1 ， lim 解：因 lim ? ? ? ?x ?0 x?0左、右极限存在，但不相等，所以 x ? 0 是第一类间断点。 左、右极限存在但不相等的间断点称为跳跃间断点。 可去间断点和跳跃间断点都是第一类间断点。 例7f ( x) ? tan x ，问 x ??2是否为间断点，第几类？解：因 f ( x) 在 x ? 无穷间断点。 例8?2处无定义，且 lim tan x ? ? ，所以 x ?x??2?是第二类间断点，也称21 1 f ( x ) ? sin ，在 x ? 0 处没有定义，且 lim sin 不存在，且当 x ? 0 时，函数 x ? 0 x x值在?1 与 1 之间变动无限多次。称此类间断点为振荡间断点（图见教材 P43） 。 无穷间断点与振荡间断点属于第二类间断点。 三、连续函数的运算及初等函数的连续性 由连续的定义及极限的运算法则可得连续函数的下列性质：32定理 1设函数 f , g : U ( x0 ) ? R ? R 在 x0 处连续，则：1） f ( x ) ? g ( x ) 2） f ( x) ? g ( x) 3） f ( x) / g ( x) （ g ( x0 ) ? 0 ） 都在 x0 处连续。 定理 2 设 y ? f ?g ( x)? 是由 y ? f (? ) 与 ? ? g ( x) 复合而成的函数， 若 g 在 x0 处连续，f 在对应的 ?0 ? g ( x0 ) 处连续，则 f ?g ( x)? 也在 x0 处连续。证明：因为 lim g ( x) ? g ( x0 ) ，令 ? ? g ( x) ，即x ? x0 x ? x0lim ? ? ? 0所以： lim f ? g ( x)?x? x0? ?g ( x )? ??0lim f ( ? ) ? f ( ?0 ) ? f ? g ( x0 ) ?说明复合函数 f ?g ( x)? 在 x0 处连续。 此定理表明：x ? x0lim f ( x) ? f ( x0 ) ? f ( lim x)x ? x0x ? x0lim f ?g ( x)? ? f ?g ( x0 )? ? f ? lim g ( x)? ? ? ? x? x0 ??1也就是说，在求连续函数的极限时，极限符号与函数符号可以交换次序。 定理 3 设 f : [a, b] ? R 是单调增加（或单调减少）的连续函数，则其反函数 f 在对应的区间 I y ? ?y | y ? f ( x), x ?[a, b]? 上单调增加（或单调减少）且连续。 由 sin x, cos x 在 (??,??) 上的连续性，可知 tan x,cot x,sec x,csc x 在其定义域内连续。 由于 y ? sin x 在 ??? ? ?? 上单调增加且连续，则 y ? arcsin x 在[?1，1]上也是单调增 , ? 2 2? ?加且连续，??反三角函数 arcsin x ,arccos x ,arctanx ,arc cot x 在它们的定义域内都是连 续的。由于 a (a ? 0, a ? 1) 在 (??,??) 内是单调连续的，则 loga x(a ? 0, a ? 1) 在 (0,??)x内单调且连续。幂函数 x ? e?? ln x(? ? R) 可以看成是连续函数 y ? et 与 t ? ? ln x 的复合函数，所以它在 (0,??) 上连续。 综上所述得： 基本初等函数在其定义域内都连续。 由初等函数的定义及基本初等函数的 连续性，可得： 定理 4 所有初等函数在其定义区间内都是连续的， 定义区间是包含在定义域内的区间。332 如： y? sin x ?1 定 义 域 是 离 散 的 点 集 ??? ? ? k? , k ? z ? 不 是 区 间 ， 那 么 ?2 ?y ? sin 2 x ? 1 是不能谈连续的。初等函数的连续性提供了求极限的一种方法。 例 9 求 limx?01 ? x 2 ?1 x( 1 ? x 2 ? 1)( 1 ? x 2 ? 1) x ( 1 ? x 2 ? 1) ? limx ?0解：原式= limx ?0x ( 1 ? x 2 ? 1)?0例 10 求 limlog a (1 ? x ) x ?0 x1 x1 ? ? 1 解：原式= lim loga (1 ? x) ? loga ?lim(1 ? x) x ? = log a e ? x ?0 x ?0 ln a ? ?例 11 求 limx ?0ax ?1 xx 解：令 a ? 1 ? t ，则 x ? loga (1 ? t ) ， x ? 0 时， t ? 0于是原式= limt ?0t ? ln a 。 loga (1 ? t )四、闭区间上连续函数的性质 定理 5 设 f 在[a,b]上连续，则 f 在[a,b]上有界。 定义 2 对于在区间 I 上有定义的函数 f ( x) ，如果有 x0 ? I ，使得对于任一 x ? I 都有f ( x) ? f ( x0 )(或f ( x) ? f ( x0 ))则称 f ( x0 ) 是函数 f ( x) 在区间 I 上的最大值（最小值） 。 定理 6 （最大值和最小值定理）在闭区间[a,b]上连续的函数一定能取得它的最大值和 最小值，即至少存在两点 ? ,? ? [a, b] ，使得f (? ) ? f ( x) ? f (? )x ? [ a, b]图：见教材 P45 图 2-8 注意： 此定理中， 函数 f 的定义域必须是闭区间， 并且是连续的， 否则结论不一定成立。 举例说明之。 定理 7（零点定理） 设函数 f 在[a,b]上连续，若 f (a) f (b) ? 0 ，则至少存在一点34? ? (a, b) ，使 f (? ) ? 0 。几何意义：如果闭区间上的连续曲线弧段的两个端点位于 x 轴的不同侧，那么这段曲线 弧与 x 轴至少有一个交点。图：见教材 P46 图 2-10。 定理 8（介值定理） 设 f 在[a,b]上连续， f (a) ? f (b) ，则对于 f ( a ) 与 f (b) 之间的 任意数 c ，至少存在一点 ? ? (a, b) ，使得 f (? ) ? c 。 证 明 ： 设 F ( x) ? f ( x) ? c ， 则 F ( x) 在 [a,b] 上 连 续 ， 且 F (a) ? f (a) ? c ，F (b) ? f (b) ? c ， F (a) F (b) ? 0 。由零点定理，至少存在一点 ? ? (a, b) ，使 F (? ) ? 0 ，即 f (? ) ? c 。 几何意义：闭区间上的连续曲线弧 y ? f ( x) 与水平直线 y ? c 至少相交于一点。图：见 教材 P46 图 2-11。 推论：设 f 在[a,b]上连续，则 f 能取得介于它的最大值 M 与最小值 m 之间的任一值。 例 12 证明方程 x 3 ? 4 x 2 ? 1 ? 0 在区间（0，1）内至少有一根。 证明：设 f ( x) ? x 3 ? 4 x 2 ? 1 ，显然 f ( x) 在[0，1]上连续。 又 f (0) ? 1 ? 0, f (1) ? ?2 ? 0 ，由零点定理，至少有一点 ? ? (0,1) ，使 f (? ) ? 0 即： ? ? 4? ? 1 ? 03 23 2 此等式说明 x ? 4 x ? 1 ? 0 在（0，1）上至少有一个根 ? 。例 13 设 f ( x) 在[a,b]上连续， 且 f (a) ? a, f (b) ? b ， 证明在 （a,b） 内至少有一点 ? ， 使 f (? ) ? ? 。 证明：令 F ( x) ? f ( x) ? x, 则 F ( x) 在[a,b]上连续 且 F (a) ? f (a) ? a ? 0, F (b) ? f (b) ? b ? 0 ，由介值定理，至少有一点 ? ? (a, b) ，使f (? ) ? ? ? 0 ，即 f (? ) ? ? 。小结： 函数的连续性描述函数的一种连绵不断变化的状态， 即自变量的微小变动只会引 起函数值的微小变动的情况， 其图形是一条连续不间断的曲线。 连续函数的性质可在其图形 上得到直观的表现。35第七讲无穷小与无穷大、无穷小的比较教学目的和要求：深刻理解无穷小、无穷大的概念以及它们之间的关系，熟练运用无穷 小的运算性质。熟悉无穷小的比较。 知识点：无穷小、无穷大的定义，无穷小的运算，无穷小与无穷大的关系，无穷小的比 较。 重点：无穷小的运算性质，无穷小与无穷大的关系，无穷小的比较。 难点：等价无穷小的利用 教学方式：多媒体、讲授。 教学思路：通过具体的实例理解无穷小、无穷大的概念，无穷小与无穷大是函数在变化 过程两种比较特别的变化趋势，要加强对“趋势”二字的解释。 教学过程： 一、无穷小与无穷大 定义 1（无穷小） 当 x ? x0 ( x ? ?) 时 ， 以 零 为 极 限 的 函 数 ? ( x) 称 为 当x ? x0 ( x ? ?) 时的无穷小量，简称无穷小。注意：无穷小是一个变量，是在某个变化过程中绝对值越来越小的一个变量，不能把绝 对值很小的常数当作无穷小，常数中只有零是无穷小。 如：当 x ? 0 时， x 2 , sin x, ln( 1 ? x),2x 等都是无穷小量；当 x ? ? 时， 是无穷小量，可结合函数的图形加以讲解。 无穷小与函数极限的关系： 定理 1 的无穷小。 证明：必要性： 设 lim f ( x) ? A ，则 lim ? f ( x) ? A? ? 0x ? x0 x ? x0 x ? x01 1 , 等都 x x ?1lim f ( x) ? A 的充分必要条件是 f ( x) ? A ? ? ( x) ，其中 ? ( x) 是当 x ? x0 时令 ? ( x) ? f ( x ) ? A ，则 ? ( x ) 是当 x ? x0 时的无穷小， 并且f ( x) ? A ? ? ( x)充分性：设 f ( x) ? A ? ? ( x) ， ? ( x) 是当 x ? x0 时的无穷小。 则x ? x0? A ? ? ( x)? ? A ? l i m l i mf ( x) ? l i m ? ( x) ? A 。x ? x0 x ? x0此定理对于 x ? ? 时的情形同样成立。 由极限的运算法则，可得到无穷小的运算性质。 定理 2 对于自变量相同变化趋势下的无穷小，有如下性质： 1）有限个无穷小的和是无穷小。 2）有限个无穷小的乘积是无穷小。36定理 3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小。 证明：设函数 ? 在 x0 的某一去心邻域 U ( x0 , ? ) 内有界，即 ?M ? 0 ，使当 x ?U ( x0 , ? ) 时，恒有? ( x) ? M ，又设 ? ( x) 是当 x ? x0 时的无穷小，从而， ?x ?U ( x0 ,? )? ( x ) ? ? ( x) ? M ? ( x)即? M ? ( x) ? ? ( x)?( x) ? M ? ( x)x ? x0 x ? x0由于 lim ? ( x ) ? 0 ，所以 lim ? ( x) ? ? ( x) ? 0 即 ? ( x) ? ? ( x) 是当 x ? x0 时的无穷小。 类似证明，若 ? ( x) 是当 x ? ? 时的无穷小，? ( x) 在 x ? ? 时有界，则 ? ( x) ? ? ( x) 是 当 x ? ? 时的无穷小。 推论 常数与无穷小的乘积是无穷小。2 例 1 求 lim x sin x ?01 。 x 1 1 2 为有界函数，故 x sin 是无穷小。 x x解：当 x ? 0 时， x 2 是无穷小， sin 于是1 lim x 2 s i n ? 0 。 x ?0 x sin x 例 2 求 lim x ?? x 1 1 解：因 lim ? 0 ， 是当 x ? ? 时的无穷小，而 sin x ? 1 ，由定理 3 可知 x ?? x x sin x lim ?0 x ?? x sin x ? 1 的区别。 注意：此例与第一个重要极限 lim x ?? xx 2 sin例 3 求 limx ?01 xsin x解：原式= lim? x ? sinx?01 x ? lim x ? 0 x sin x因 lim x ? 0 ， sinx ?01 x ? 1 ， lim ? 1，从而 原式=0。 x ?0 sin x x定义 2（无穷大）设 f： U ( x0 ) ? R 是一函数，若37x ? x0lim f ( x) ? ?则称函数 f ( x) 是当 x ? x0 时的无穷大量，简称无穷大。 若 lim f ( x) ? ?? （或 lim f ( x) ? ?? ） ，则称 f ( x) 为当 x ? x0 时的正无穷大（负无x ? x0 x ? x0穷大） ，类似还可以定义当 x ? ? 时的无穷大及正（负）无穷大。 注意：无穷大量是变量，是在某个变化过程中绝对值越来越大的变量。绝对值很大的数1 12 1 ? 3 ? ， x ? 2 x ?8 2 无穷大与有界函数的乘积也不一定是无穷大，如当 x ? ? 时， x sin x 等。不是无穷大， 两个无穷大的代数和不一定是无穷大， 如： 当 x ? 2 时， 在几何上，若 lim f ( x) ? ?? ，则称直线 x ? x0 是曲线 y ? f ( x) 的铅直渐近线；若x ? x0lim f ( x) ? A ，则称直线 y ? A 是曲线 y ? f ( x) 的水平渐近线。x ??无穷小与无穷大之间的关系： 定理 4 若 f ( x) 是无穷小，且 f ( x) ? 0 ，则1 是无穷大；若 f ( x) 是无穷大，则 f ( x)1 是无穷小。 f ( x)例 4 求 limsin x x ? ?? e x 1 ? 0 ，而 sin x ? 1 。 exx 解：当 x ? ?? 时， e ? ?? ，? limx ? ??sin x ?0 exx ??例 5 求? lim x sin1 x1 sin 1 x 令t ? 1 lim sin t ? 1 。 解：当 x ? ? 时， ? 0 ，于是，原式= lim x ?? 1 x x t ?0 t x定理 5 1）有限个无穷大量的乘积是无穷大，2）无穷大与有界量之和是无穷大。 二、无穷小的比较2 两个无穷小的商的极限会有不同的结果，例如，当 x ? 0 时，3 x, x , sin x, x sin1 都是 x无穷小。3x x2 sin x 但 lim ? 3, lim ? 0, lim ? 1, lim x?0 x x?0 x x?0 x?0 x38x sin1 x 不存在， lim 3x ? ? x ?0 x 2 x不同的结果，反映了不同的无穷小趋近于零的速度各不相同。定义 3 设 ? ( x), ? ( x) 是在同一自变量的变化过程中的无穷小，而 lim 个变化过程中的极限，且 ? ( x) ? 0 。 1） 若m i l? ( x) 也是在这 ? ( x)? ( x) 则称 ? ( x) 是 ? ( x) 的高阶无穷小， 或 ? ( x) 是 ? ( x) 的低阶无穷小， ?0， ? ( x)用小 o 记作 ? ( x ) ? o(? ( x)) 。 2 ）若 lim? ( x) ? C ， C 是一个非零常数，则称 ? ( x) 与 ? ( x) 是同阶无穷小，记作 ? ( x)? ( x) ? O(? ( x)) ，特别地，C=1 时，称 ? ( x) 与 ? ( x) 是等价无穷小。记作 ? ( x) ~ ? ( x) 。3）若 lim? ( x) ? C ，C 是一个非零常数，k&0，则称 ? ( x) 是关于 ? ( x) 的 k 阶无穷 [? ( x)]k小。 例 6 当 x ? 0 时，比较下列无穷小的阶。 1） ? ( x) ? sin x,? ( x) ? x 3） ? ( x) ? arcsin x,? ( x) ? x 2） ? ( x) ? 1 ? cos x,? ( x) ?1 2 x 24） ? ( x) ? ln(1 ? x),? ( x) ? x2x x? ? ? sin ? ? ( x) 1 ? cos x 2 ? lim? 2 ? ?1 ? lim ? lim 解：2）由于 lim n ?0 ? ( x ) n ?0 n ?0 n ?0 ? 1 2 1 2 x ? x x ? ? 2 2 ? 2 ? 2 sin 2所以，当 x ? 0 时，1 ? cos x 与1 1 2 x 是等价无穷小，即 1 ? cos x ~ x 2 类似可得（1） 、 2 2（3） 、 （4） ：当 x ? 0 时， sin x ~ x ， arcsin x ~ x ， ln(1 ? x) ~ x 。 例 7 设 f ( x) ? sin x ? 2 sin 3x ? sin 5x ， g ( x) ? Ax ，求 A，n 使当 x ? 0 时， f ( x)n与 g ( x) 是等价无穷小。解：因f ( x )? s i x n?s ixn ?5x s? in 3x2 s i n x3 ? c o sx 22 sin 3? ?2sin 3x(1 ? cos2 x) ? ?4sin 2 x sin 3x而lim? 4 sin 2 x sin 3x ? ?12 ，所以取 A ? ?12 ， n ? 3 ， g ( x) ? ?12x 3 3 x?0 x39当 x ? 0 时， limx?0f ( x) ? 4 sin 2 x sin 3x ? lim ? ?1 g ( x) x?0 ? 12x 3故当 x ? 0 时， f ( x) ~ g ( x) 例 8 证明当 x ? 0 时， e x ? 1 ~ x 证明：令 e x ? 1 ? t ，则 x ? ln( 1 ? t ) ，当 x ? 0 时， t ? 0 于是lime x ?1 t ? lim ? lim x?0 t ?0 ln( x 1 ? t ) t ?01 l n1 (? t )1 t?1? 当 x ? 0 时， e x ? 1 ~ x例 9 证明当 x ? 0 时， n 1 ? x ? 1 ~n1 x n证明：因为limx ?01 ? x ?1 nx ? lim ?1 n ?1 n?2 x ?0 1 n n x ( 1 ? x ) ? ( 1 ? x ) ? ? ? 1 x n??∴当 x ? 0 时， n 1 ? x ? 1 ~1 x n定理 6 因此? ( x) 与 ? ( x) 是等价无穷小的充分必要条件是： ? ( x) ? ? ( x) ? o(? ( x))? ( x )? ? (x ? ) o? ( x (。 ))证明：必要性： 设 ? ( x) ~ ? ( x) 则lim因此? ? ( x) ? ? ( x) ? ? ( x) ? ( x) ? lim? ? 1? ? lim ?1 ? 0 ? ? ? ( x) ? ( x) ? ? ( x) ?? ( x) ? ? ( x) ? o(? ( x))即： ? ( x) ? ? ( x) ? o(? ( x)) 充分性： 设 ? ( x) ? ? ( x) ? o(? ( x)) 则lim因此? o(? ( x)) ? ? ( x) ? ( x) ? o(? ( x)) ? lim ? lim ?1 ? ?1 ? ( x) ? ( x) ? ( x) ? ? ?? ( x) ~ ? ( x)定理 7 设 ? ( x) ~ ? ?( x) ， ? ( x) ~ ? ?( x) 且 lim40? ?( x) ? ( x) 存在，则 lim 也存在，且 ? ?( x) ? ( x)lim? ( x) ? ?( x) = lim 。 ? ( x) ? ?( x)证明lim? ? ( x) ? ? ?( x) ? ? ?( x) ? ? ( x) = lim? ? ? ( x) ? ? ?( x)? ?( x) ? ? ( x) ?= lim? ?( x) ? ( x) ? ?( x) ? ?( x) ? lim ? lim = lim ? ( x) ? ?( x) ? ?( x) ? ?( x)此定理称为等价无穷小的替换定理。 例 10 求 lim1 ? 2 x2 ? 1 x ?0 x x arcsin ? arcsin 2 31 ? 2x2 ? x2 22 解：因为当 x ? 0 时， 1 ? 2 x ? 1 ~所以lim1 ? 2 x2 ? 1 x2 ? lim ?6 x ?0 x x x ?0 x x arcsin ? arcsin ? 2 3 2 31? 1 1 ? ? ? ? x ?0 x sin x tan x ? ?1 2 x ， x sin x ~ x 2 2例 11 求 lim解：因为当 x ? 0 时， 1 ? cos x ~1 2 x 1 ? cos x 1 2 故 原式= lim ? lim 2 ? x?0 x sin x x?0 x 2例 12 求 lim ?x?1ln(1 ? x ? 1) arcsin(2 x ? 1)? 解：因为当 x ? 1 时， x ?1 ? 0ln(1 ? x ? 1) ~ x ? 1故 原式= lim ?x ?1arcsin(2 x ? 1) ~ 2 x ? 1x ?1 1 ? 2 x ?1 2注意：等价替换只能对分子分母中的无穷小因子进行，而limtan x ? sin x x?x ? lim 3 3 x ?0 x ?0 x x小结： 无穷小， 无穷大都是变量， 是自变量的某个变化过程中， 函数值的两种变化趋势，41对他们的认识一定要有动态的眼光。第八讲习题课教学目的与要求：加强对本部分内容全局性的认识，加深对基本概念的认识和理解，进 一步熟练极限的运算，间断点的判别。 知识点：函数，极限，连续 重点：极限，连续 难点：极限的运算 教学方式：多媒体，讲授，课堂练习 教学思路：用框图对本部分内容作一概述，使学生对内容的条理更加明确，列举一些综 合性较强的例题，加强极限的运算，间断点的判别，以及对函数连续性的认识。 教学过程： 一、知识网络图 二、举例?? x 2 ? 例 1 设 f ( x) ? ? ?? e x ?x?0，x?0? ( x) ? ln x1）求 f [? ( x)] 及其定义域； 2）可以复合成形如 ?[ f ( x)] 的函数吗？ 解： 1） 因 ? ( x) 的定义域是 （ 0,?? ） ， 值域是 （ ? ?,?? ） ， 而 f ( x) 的定义域是 （ ? ?,?? ） ，? ( x) 的值域在 f ( x) 的定义域内，故 f [? ( x )] 有意义，因而2 ?? ? ? ( x) f [? ( x )] ? ? ? ( x ) ? ? ?e? (x ) ? 0 ? (x ) ? 0即? ? l n2 x f [? (x ) ? ]? ?? xx? 0 ? x ?11。从上式看出 f [? ( x )] 的定义域是（ 0,?? ） 。 2）由于 f ( x ) 的值域是 ( ??,0] ， ? ( x ) 的定义域是 (0, ??) ，它们无公共部分，不能复 合成形如 ? [ f ( x )] 的函数。 例 2 试证函数 f ( x) ? x ? sin x 没有周期。42证明：反证法设 f ( x) 的周期为 T，由 f ( x ? T ) ? f ( x)有x ? T ? sin(x ? T ) ? x ? sin x即T ? s i nx(? T ) ? s i n xx?R。取 x ? 0 ，得 T ? sin T ? 0 ，从而 T ? 0 矛盾。 例3 设 y?t2 1 f (t ? x) 且 y x?1 ? ? t ? 5 求 f ( x) 。 2x 2 t2 1 ? t ? 5 ? f (t ? 1) ， 2 2即解：由已知，有f (t ? 1) ? t 2 ? 2t ? 10 ? (t ? 1)2 ? 9? f ( x) ? x 2 ? 9例 4 ：判定函数 f ( x) ?e x ?1 1 ? x ln 的奇偶性。 ex ?1 1? x解： f ( ? x ) ?e? x ? 1 1 ? x (1 ? e x ) 1 ? x ln ? ? ln ? f ( x ) ，? e? x ? 1 1 ? x ex ? 1 1 ? xf ( x) 是偶函数。例 5 求 lim2 ? 3n ? 3 ? (?2) n 。 n?? 3nn ??2 3 1 1 1 例 6 求 lim(1 ? 2 )(1 ? 2 )?(1 ? 2 ) 。 n ?? 2 3 nn 解：原式= lim[ 2 ? 3 ? (? ) ] ? 2 。解： 因为 1 ?1 K 2 ?1 K ?1 K ?1 ? ? ? , K ? 1,2?n 。 K K K2 K2所以(1 ?1 1 1 1 )(1 ? 2 ) (1 ? )(1 ? 2 ) 2 2 2 3 ( n ? 1) n 。 1 3 2 4 3 n ? 2 n n ?1 n ?1 n ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 3 3 4 n ?1 n ?1 n n 2nn ??故原式= limn ?1 1 ? 。 2n 2例 7 设 x0 ? 1, x1 ? 1 ?x0 xn ?? xn?1 ? 1 ? 1 ? x0 1 ? xnlim xn 存在， 试证： 并求此极限值。n ??43解：由已知 xn ? 1(n ? 0,1,2?) 且 x1 ? x0 ? 设 xn ? xn ? 1 则1 ?0 2即 x1 ? xxn?1 ? xn ? (1 ?xn x ?1 xn ? xn ? 1 ) ? (1 ? n )? ?0 1 ? xn 1 ? xn ? 1 (1 ? xn )(1 ? xn ? 1)所以 {xn } 是单调增加的，又xn ? 1 ?xn ? 1 1 ? 2? ?2 1 ? xn ? 1 1 ? xn ? 1n ?? n??从而 {xn } 有上界，根据单调有界准则， lim xn 存在。令 lim xn ? a ，则有a ? 1?解得： a ?a 1? a2 即 a ? a ?1 ? 01? 5 1? 5 ，而 a ? 0 ，? lim xn ? 。 n?? 2 2思考题：设 x1 ? a ? 0 ，且 xn?1 ? axn , (n ? 1,2?) ，证明 lim xn 存在，并求此极限。n ??提示：用归纳法证明 {xn } 单调减少，且有下界。 例 8： 求 lim38 cos2 x ? 2 cos x ? 1 ? 2 cos2 x ? cos x ? 1 x?解：原式= limx??3(4 cos x ? 1)(2 cos x ? 1) 4 cos x ? 1 ? lim ?2， ? (cosx ? 1)(2 cos x ? 1) x? cos x ? 13例 9 求 lim ?x??1 ? cos x sin xx x ?1 ? 2 cos 2 2 解： 原式 ? lim? ? lim? x ?? x ?? x x sin x 2 sin cos 2 2 2 1 2 ? lim? ? ? ?? x ?? 2 sin x 2 2 1 ? 2 cos2例 10 求 lime x ? e?x x ?? e x ? e ? x44解：原式= lime2x ? 1 x ?? e 2 x ? 1 1 ? e ?2 x ?1 x ??? 1 ? e ?2 x。当 x ? ?? 时，原式= lim当 x ? ?? 时，原式= lime2 x ? 1 ? ?1 x ??? e 2 x ? 1?e x ? e?x lim x 不存在。 x ?? e ? e ? x1例11求 lim(cosx)x ?0x2解:原式 ? lim(1 ? cos x ? 1)x ?01 x2x 2 ? lim(1 ? 2sin ) x x ?0 22 1 ?2sin 2 x2 x 2 x 2] x 2?( )2 2 sin 21x ? lim(1 ? 2sin ) x ?0 22?2sin 2x 2??ex ?0lim [ ??e?1 2例 12求 limx? x0ln x ? ln x0 x ? x0( x0 ? 0)x x ? x0 1 ln(1 ? ) x ? x0 1 x ? x0 x0 1 x0 x0 解:原式 ? lim ? lim ? lim ln(1 ? ) ? x ? x0 x ? x x ? x0 x ? x x ? x x0 0 x0 x0 0 0 x 0? x0 ln例 13 求 lim1 ? cos(1 ? cos 2 x) x ?0 x4解：当 x ? 0 时， 1 ? cos x ~x2 1 2 ，所以 1 ? cos[1 ? cos 2 x] ~ (1 ? cos 2 x) 2 2? 4x 2 ? 2 (1 ? cos2 x) 原式 ? lim ? lim? 2 4 x ?0 x ?0 ? 2 x 2x4 ? ?思考题：求 lim? ? ? ? 2。 ? ? ?2cos 3x ? cos 5 x 。 x ?0 x245例 14求 lim arccosx ?01? x ?1 sin x1 x 2解：当 x ? 0 时， 1 ? x ? 1 ~? lim 原式= arccos? 1 ? x ?1 ? x ? 1 ? ? ? ? lim ? ? arccos ? 。 ? x?0 sin x ? ? arccos x ?0 2 sin x 2 3 ? ? ? ?x 的连续性，并判断间断点的类型。 tan x例 15. 讨论函数 f ( x ) ?解： 显然 f ( x ) 的间断点为 x ? nx ??2（ n ? 0, ? 1, ? 2 ?） 及 x ? n? ，f ( x ) 在 （??，? ? ）内其余的点都连续。而当 x ? n? ??当 x ? 0 时， tan x ? 0x ?n? ? 2?2时， tan x ? ?lim ? f ( x ) ? lim ?x ?n? ? 2x ?0 tan x? lim f ( x ) ? limx ?0 x ?0故 x ? n? ?， x ? 0 是第一类（可去）间断点。 2 当 x ? n? （ n ? ?1, ? 2 ? ）时， tan x ? 0 x ? lim f ( x ) ? lim ? ?? x ?n? x ?n? tan x 故?x cos x ? lim ?1 x ? 0 sin x tan x xx ? n? 是第二类（无穷）间断点。? 1 x ? 例 16．讨论函数 f ( x ) ? ?1 ? e x ?1 ?1 ?f ( x ) ? lim 解：当 x ? 0 时， lim ? ?x ?0 x ?0x ?1 x ?11 1 ? e x ?1 1 1 ? e x ?1x x的连续性。? ??x ?0lim f ( x ) ? lim ? ?x ?0? ??? x ? 0 是 f ( x ) 的第二类（无穷）间断点。当 x ? 1 时，lim f ( x ) ? lim ? ?x ?1 x ?11 1 ? e x ?1 1 1 ? e x ?146x x?1lim f ( x ) ? lim ? ?x ?1 x ?1?0? x ? 1 是 f ( x ) 的第一类（跳跃）间断点。于是 f ( x ) 在（ ? ? ，0） （0，1） （1， ? ? ）上是连续的。 例 17．讨论函数 f ( x ) ? limn ??x n ?2 ? x ? n 的连续性，并判断间断点的类型。 x n ? x ?n2 n ?2? ?1 x ?1 ? 解，若 x ? 0 ， f ( x ) ? lim 2 n ?? 0 n?? x ?1 ? 2 ?x当 x ? ?1 时， lim? f ( x ) ? 1 ，x ? ?1 x ? ?1?0 ? x ?1 x ?1 x ?1lim f ( x ) ? ?1当 x ? 0 时， lim f ( x ) ? ?1x ?0f ( x ) ? ?1 ， 当 x ? 1 时， lim ?x ?1x ?1?lim f ( x ) ? ?1? x ? ?1 ，0 是 f ( x ) 的第一类间断点，其中 x ? 0 是可去间断点， x ? ?1 是跳跃间断点。 ， （?1，0） ， （0，1） ， （1， ? ? ）上连续。 f ( x ) 在（ ? ? ，?1）思考题：求 f ( x ) ?ln x x ? 3x ? 22x ?0的间断点，并指出类型。提示： lim f ( x ) ? ?1 ， lim f ( x ) ? ?? ， lim f ( x ) ? ? 。x ?1 x ?2小结：函数是研究变量间的关系，而极限是讨论变量的变化趋势，连续是讨论变量的变 化状态，对这些概念的认识一定要用动态的方法，要有大局观。第三章 导数与微分第一讲导数的概念教学目的与要求： 1、掌握导数的定义，导数的极限表示的各种形式，导数的几何意义、物理意义。 2、知道可导与连续间的关系。473、熟记 8 个简单初等函数的求导公式，并会应用。 知识点：导数的定义，导数的物理、几何意义，导数与连续的关系，8 个初等函数的求 导公式。 重点：导数的定义，及它的几种极限表示式 难点：分段函数的可导问题 教学方式：讲授为主 教学思路：从引例出发引出导数概念，明确指出导数的几种极限形式，左、右导数的表 示式，以加深对导数的概念的理解。例题以加深导数定义的题目为主，求导例题等为辅，导 数应用题为辅。 教学过程： 一、导数的定义 引例 1：直线运动的速度 一汽车一天行车 8 小时，走了 240 公里，平均每小时走 30 公里，但这仅是平均速度，8 小时期间，有时速度超过 30 公里，但有时会小于 30 公里。 我们现在关心瞬时速度。 设物体作变速直线运动，已知位移随时间变化规律为 S=S（t） ，当时间从 t0→t0+Δ t，物 体在Δ t 时间内所经过的距离为：?S ? S (t0 ? ?t ) ? S (t0 )但这段时间里平均速度为：V??s S (t0 ? ?t ) ? S (t0 ) ? ?t ?t V (t0 ) ? ?s ?t但当Δ t 很小时，t0 时刻的瞬时速度应有：且Δ t 越小近似程度越好，于是规定V (t0 ) ? limS (t 0 ? ?t ) ? S (t 0 ) ?s ? lim ?t ?0 ?t ?t ?0 ?t引例 2： 平面曲线的切线的斜率 设 C 是一条连续的平面曲线 y=f(x)（如图）如何定义曲线在 M(x0,y0)处的切线，其斜率 为多少？ 设想在曲线 C 上任取一点 N(x0+Δ x，f(x0+Δ x))作割线 MN，当Δ x→0 时，点 N 沿曲线 C 趋向 M，割线 MN 在转动，绕点是 M 点，它的根限位置在 MT，定义 MT 为曲线 C 在点 M 处的切线，因此当Δ x→0 割线 MN 的斜率 k 趋向于切线 MT 的斜率 k，因此k ? tan ? ? lim tan ? ? lim?x ?0?y f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) ? lim ?x ?0 ? x ?x ?0 ?x以上两个引例显然属于两个不同的领域，一个是物理问题，一个是数学问题，但解决问 题的数学型式却一样， 都是用函数的改变量除以自变量的改变量在自变量的改变量趋于零过 程中的极限值来表示，抽象成数学概念。 定义 1：设函数 f(x)在 x0 的某邻域 U(x0)内有定义，在邻域内自变量 x0 有增量Δ x，相应 地函数有增量Δ y=f(x0+Δ x)?f(x0)，若48f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x lim（1）存在， 则称函数 f(x)在 x0 可导， 并称此极限为 f(x)在 x0 处的导数， 记作 f ?( x0 ) ，df ( x ) ， dx x ? x0否则极限不存在， 则称 f 在 x0 不可导， 若为 ? ， 则称 f 在 x0 处导数为无穷大， 记作 f ?( x0 ) ? ? 。 关于定义： 1°若 f(x)在 x0 处可导，即差商极限式（1）极限存在，故可导的充要条件是差商式左、 右极限存在且相等，于是定义f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x ?0 ?x f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) f ?? ( x0 ) ? lim? ?x ?0 ?x f ?? ( x0 ) ? lim?分别称为 f(x)在 x0 处的左、右导数，因此就有：? ( x0 ) ? f ??( x0 ) ” “f(x)在 x0 可导 ? f(x)在 x0 的左、右导数存在，且 f ?2°导数的几种极限表式：设 f(x)在 x0 的邻域 U(x0)有定义，可导的定义有：f ?( x0 ) ? lim?x ?0f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x（1） （2）f ?( x0 ) ? limx?x0f ( x) ? f ( x0 ) x ? x0特别当 x0 ? 0f ?(0) ? lim?x ?0f (?x) ? f (0) ?x或 f ?(0) ? limx ?0f ( x) ? f (0) x（3）3°y=f(x)在区间 I 上每一点都可导，此时 ?x ? I 都有 f ?( x ) 存在，这样 f ?( x ) x ? I 为 I 上的新函数，叫 f(x)的导函数，且 f ?( x0 ) ? f ?( x) x? x 二、几个求导公式 （1） (C )? ? 0 （2） （C 为常数）0( x n )? ? nx n?1 (n ? N ,? ? ? x ? ??)x x （3） ( a )? ? a ln a( a ? 0, a ? 1, ?? ? x ? ??)x x （4） (e )? ? e（5） (log a x )? ? （6） (ln x )? ?1 x ln a(a ? 0, a ? 1,0 ? x ? ??)1 x49（7） (sin x )? ? cos x （8） (cos x)? ? ? sin x 证： （1） (C )? ? lim （2） ( x )? ? limn?x?0f ( x ? ?x) ? f ( x) 0 ? lim ?0 ?x ?0 ?x ?x( x ? ?x )n ? x n C1 x n ?1?x ? ? ( ?x )n ? lim n ? nx n ?1 ?x ?0 ?x ?0 ?x ?x(3) ( a x )? ? lima x ? ?x ? a x a ?x ? 1 e ?x ln a ? 1 ? a x lim ? lim a x ?x ? 0 ?x ? 0 ?x ? 0 ?x ?x ?x ? x ln a ? lim a x ? ? a x ln a ?x ? 0 ?x当 a=e 有（4）?x log a (1 ? ) log a ( x ? ?x ) ? log a x x (5) (log a x )? ? lim ? lim ?x ? 0 ?x ? 0 ?x ?x ?x ?xx 1 log a e 1 ? lim log a (1 ? ) ? ? ? ?x ? 0 x x x x ln a当 a=e(ln x )? ?1 x?x ?x 2 cos( x ? )sin sin( x ? ?x ) ? sin x 2 2 (7) (sin x )? ? lim ? lim ?x ? 0 ?x ? 0 ?x ?x ?x ?x sin 2 ? lim cos( x ? ) ? cos x ?x ? 0 ?x 2 2类似(cosx)? ? ? sin x例 1 研究函数 f ( x) ? x 在 x=0 处的可导性。 解： f ?? (0) ? limx?0x ?0 f ( x) ? f (0) x ? lim ? lim ?1 ? ? x?0 x?0 x x xf ?? (0) ? limx?0f ( x) ? f (0) ?x ? lim ? ?1 ? x ? 0 x x? ( x0 ) ? f ??( x0 ) ，故 f(x)在 x=0 不可导。 所以 f ? （但 f(x)在 x=0 处连续） 。例 2．研究函数 f ( x) ? 3 x 在 x=0 处的可导性。50解：因为 limx ?02 ? f ( x ) ? f (0) x ?0 ? lim ? lim x 3 ? ? x ?0 x ?0 x x1 3所以 f ?(0) ? ? 从 f(x)的图象看 f ( x) ? 3 x 在点（0，0）处有切线 x=0，因此 f(x)在某点 x0 处 f ?( x0 ) 存在一定对应 f(x)在 x0 的切线，但 f(x)在 x0 有切线，但在 x0 未必可导。 例3 设函数 y=f(x)， x ? (0,??) ，在 x=1 处可导，且 f(xy)=f(x)+f(y)，证明： 函数在 (0,??) 内处处可导，并求 f ?( x ) 。 证：由 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ， 令 x=y=1, f (1) ? 2 f (1) 即 f (1) ? 0 且f ( x ? ?x) ? f ( x) ? f [ x(1 ?所以?x ?x ?x )] ? f ( x) ? f ( x) ? f (1 ? ) ? f ( x) ? f ( x ? ) x x xf ( x ? ?x) ? f ( x) f ?( x) ? lim ? lim ?x?0 ?x?0 ?x ? f ?(1) ? 1 x?x ?0f (1 ??x ?x ) f (1 ? ) ? f (1) 1 x lim x ? ?x?0 ?x ?x x x例 4 设 f(x)可导， 且满足条件 处的切线的斜率为（ （A）2 ）limf (1) ? f (1 ? x) ? ?1 ， 则曲线 y=f(x)在点 （1,f(1)） ， 2x 1 2（D）?2（B）?1（C）解：选择 D，因为：f ?(1) ? limx ?0f (1 ? x ) ? f (1) f (1 ? x ) ? f (1) f (1) ? f (1 ? x ) ? lim ? lim ? 2 ? ?1 ? 2 ? ?2 x ?0 x ?0 x ?x 2x通过此例学生可进一步重视导数的极限表示式，并熟悉此表示式。 三、导数的几何意义与实际意义 从引例 2 知曲线 y=f(x)在(x0,f(x0))处的切线的斜率应为 f ?( x) ? tan? （其中?是切线与 x 轴正向的夹角） 。 （1）当 ? ? （2）当 ? ?? ?2 2，切线为 x=0 ，切线： y ? y0 ? f ?( x0 )(x ? x0 ) 法线： y ? y0 ??1 ( x ? x0 ) f ?( x0 )51例 5 求等边双曲线 y ? 方程。 解： k1 ? y ? x ? 1 ? ?21 1 在点（ ,2 ）处的切线的斜率，并写出在该点处的切线和法线 x 21 x2x?1 2? ?41 24x ? y ? 4 ? 0所以切线： y ? 2 ? ?4( x ? ) ， 即 法线： y ? 2 ? 一般来说1 1 (x ? ) 4 2或2 x ? 8 y ? 15 ? 0dy 表示函数 y 关于 x 的变化快慢。 dxx ? [0, l ] ，在 x0 处的线密度 ? ?例 6 细棒的线密度 m ? f ( x )dm 。 dx例 7 生物群的增长率 N=N(t)为在 t 时刻的个数，当 t=t0，增长率为 例8dN(t ) dt t ?t 0经济学中的边际成本。设 C=C(x)表某公司生产 x 个某种产品的总成本，C?( x) ?dC dx称为边际成本。x ? x0四、导数与连续的关系 定理 1： 设函数 f(x)在 x0 处可导，则 f(x)在 x0 处连续。 证明：由导数定义知 从而 故 或 所以?y l i m ? f ?( x0 ) ?x?0 ?x?y ? f ?( x ( x) 0 )? ? ? ?x?y ? f?( x ?? (? x )? ? x 0 )? x ?y ? f?( x ? ( x ) 0 )? o?x ? 0lim ?y ? 0故 f(x)在 x0 可导则在 x0 处连续。 思考题：?2 3 ?3 x 设f ( x) ? ? ?x 2 ?x ?1则 f(x)在 x=1 处（ ）x ?1（B）左导数存在，右导数不存在 （D）左、右导数均存在（A）左、右导数都存在 （C）左导数不存在，右导数存在 （答案：B）52第二讲求导法则教学目的与要求： 1、熟练掌握函数的和、差、积、商的求导法则 2、熟练掌握复合函数的求导法则 3、掌握反函数的求导法则 4、通过学习基本初等函数的求导公式及以上法则，对初等函数的求导熟练掌握。 知识点：和、差、积、商的求导法则，复函数的求导法则，反函数的求导法则，并由此 推出 16 个基本初等函数的求导公式，从而对初等函数顺利求导。 重点：复合函数的求导 难点：复合函数的求导 教学方式：讲练结合 教学思路： 1、突破难点从分析函数结构开始，通过复合函数求导公式，总结出朗朗上口的求复合 函数导数的打油诗，并运用于实际，以便顺利地学会对复合函数的导数计算，提醒学生，切 忌丢项。 2、讲练结合，课前有题启发，课后有题小结，从各方面调动学生学习积极性，学会这 应用整个始终的导数求法。 教学过程： 一、课前题复习导数概念1 ? x?0 ? x sin 3 例 1 讨论函数 f ( x) ? ? 在 x=0 处的连续性与可导性。 ?0 x?0 ? 1 x s i n ? 0 （无穷小?有界函数） 解： （1）连续性 l i m x ?0 x 1 x sin ? 0 f ( x ) ? f (0) 1 x （2）可导性： lim ? lim ? limsin 不存在 x ?0 x ?0 x ?0 x x x所以 f(x)在 x=0 处连续，但不可导。? 2 ?x 例 2 设 f ( x) ? ? ?ax ? b ?x ?1，为使 f(x)在 x=1 处可导，应如何选择 a,b？x ?1x ?1解： f(x)在 x=1 处可导连续， 则有 f (1 ? 0) ? f (1) ? f (1 ? 0), f (1 ? 0) ? lim x 2 ? f (1) ? 1 ?f (1 ? 0) ? lim( ax ? b) ? a ? b ，所 a+b=1 ?x ?1又 f(x)在 x=1 处可导，从而有 f ? ? (1) ? f ? ? (1)53f ??(1) ? lim ?x ?1f ( x ) ? f (1) x2 ? 1 ? lim ? lim( x ? 1) ? 2 x ?1? x ? 1 x ?1? x ?1f ( x ) ? f (1) ax ? b ? 1 ax ? a ? lim ? lim ?a ? ? x ?1 x ?1 x ?1 x ?1 x ?1 x ?1 故 a=2 b=－1 二、函数的和、差、积、商的导数 定理 1： （导数的四则运算法则）设 u(x),v(x)在区间 I 上可导，则： f ??(1) ? lim ?（1）函数 u ? v 在 x 处可导，且 (u ? v)? ? u ? ? v? （2）函数 uv 也在 x 处可导，且 (uv)? ? u?v ? uv? 特别地 (cu)? ? cu ? （3）当 v ? 0 ，函数u u ?? u?v ? uv ? 在 x 可导，且 ? ? ? ? v v2 ?v?证明： （1）设 y=u(x)+v(x) ?y ? u( x ? ?x) ? v( x ? ?x) ? u( x) ? v( x) ? ?u ? ?v?y ?u ? ?v ?u ?v ? lim ? lim ( ? ) ? u ? ? v? ? x ? 0 ? x ? 0 ?x ?x ?x ?x 即 (u ? v)? ? u ? ? v? 类似可证 (u ? v)? ? u ? ? v? （2）令 y ? u( x)v( x) 则 ?y ? u( x ? ?x)v( x ? ?x) ? u( x)v( x) y ? ? lim?x ?0由 由u( x? ? x) ? u ( x)?? u得 v ( x? ? x) ? v( x)? ? v得?x ?0u ( ? x? v ( ? x?)x ? )x ?? u ? ? v ? vu故 y ? ? lim?y (u ? ?u )( v ? ?v) ? uv ?v ?u ?u ? lim ? lim (u ? ?v? ? ?u ? ) ? x ? 0 ? x ? 0 ?x ?x ?x ?x ?x由 u ?, v? 存在，而 u 在点 x 可导必连续，故 ?x ? 0 时 ?u ? 0 ，因此 y? ? u?v ? uv?（3）令y?u ( x) v( x)则 ?y ?u ( x ? ?x) u ( x) u ? ?u u ? ? ? v( x ? ?x) v( x) v ? ?v v故u ? ?u u ? ( u ? ?u ) v? v ( ? ?v u) ? u ? v ? ?v ? u y? ? l i mv ? ?v v ? l i m ? lim ?x ?0 ?x ? 0 ?x ? 0 v ?x ( v ? ?u ) v ? ?x ( ? ?v ?)v ? ?x ?u ?v v? u ?x