高等数学C1习题解答习题一一．单项选择题1、A
3、C二．填空题3x2?3x?11、
2、（－9，1） (x?1)2三．计算题1、（1）解 函数要有意义，必须满足?x?0?x?0即
定义域为(?1,0)?(0,1] ??21?x?0?1?x?1??（2）解
函数要有意义，必须满足?3?x?0???x?0解得x??1或1?x?3??1?1?1?x?3．（1）解
由y?e（2）解
得 x?lny?1
交换x、y得反函数为y?lnx?1 1?yx?11?x
交换x、y得反函数为y?
1?yx?11?x24．（1）解 只有t=0时，能；t取其它值时，因为 1?t?1，arcsinx无定义（2）解
不能，因为?1?x?1，此时y?5．解（1）y?eu1x?1无意义 2v?arccosww?2x?1
u?v2(2) 令y?y2?y2则y1?lnvy2?euv?1?u?x2?1 u?v3v?sin(x?m)m?eww?2x??x2?6．解
g[f(x)]???(1?x)2?1?x?7．解
设f(x)?ax?bx?c 2x?0?1?x?0x??1?a?b?c?2?
所以?4a?2b?c?1
c?4?c?4? 1a?125b?? 2习题二一．单项选择题1、A
3、D二．填空题1、&1
2、单调增加三．计算题1、（1）解 因为f(?x)??xsin(?x)?xsinx?f(x)
所以函数是偶函数（2）解
因为f(?x)?ln(?x?x)?ln所以函数是奇函数 21?x2?x??ln(?x2?x)??f(x)x?0??x?1?x?0??(x?1)???x?0??0x?0??f(x) （3）解
f(?x)??0??x?1?x?0??(x?1)x?0??所以函数是奇函数2．解
因为 y?sinx?211?cos2x 222
而cos2x的周期为?，所以y?sinx是周期函数，周期为?3．解
由V?123v?rh
得h?2 3?r129v21222r?h?2?r??r??rr?24??r2?2r6?9v2??r2(r?0) 表面积： s?2r?rex?1ex(1?e?x)?x??f(x) 四 证明
f(?x)?x?xe?1e(1?e)习题三一．单项选择题1、C
4、C二．填空题1、1
5、1三．判断正误1、对；
3、错四．（1） 证明
令xn?xn?0?只要n?n 2n?1nn1???? n2?1n2n，取N?[] 11??当n?N时，恒有xn?0??所以limn?0 n??n2?12 （2）证明 因为limf(x)?A(A?0)，对取定的??x???A，存在M&0，当x&M时，有 2f(x)?A?f(x)?A?故当x&M时，f(x)?习题四一．单项选择题1、B
4、D二．填空题
A 2A 21、e
4、2，－2三．判断正误1、错；
3、错；四．计算题1、原式＝lima(x?2)(x?1)x?21??lim? x?1(1?x)(1?x)x?1x?1212、原式＝lim1x?1?xx????limx???x?0 1??1x?lim1?x?x21?x?3 23、原式＝lim(1?x)(1?x?x2)(1?x)(1?x)x?1x?13n2n12n1??()?n?1n?1?lim?1 4、原式＝limn???n??2231?()n?11?()n?133?(?)????(?)?] n???n?121111
?lim(??)? n??22n?1221n(n?1)(2n?1)?n?2???n)?n6、、原式＝lim ?lim22n???n??3n3n321n?n?1
?limn??23n25、原式＝lim[(1?)??xx?1 7、因为 lime?0
sinx????xx?0
limesinx??? 3 习题五一、1.B， 2.A,
3. B二、1.sinx?x?tanx 2．０ 三、1.（1）解：limsin7x7?x?0tan5x5（2）解：这是有界函数乘无穷小量，故limxsinx?0?0xsin5xsin5x1?1??5x?sin5x（3）解：lim?lim?lim??1 x?0x?sin3xx?0x?01?1??3x3xsinx1（4）解：原式=lim?limxsin?1(后一项是无穷小量乘有界函数)x?0?x?0?xx2．2?22n2n22（1）原式?lim(1?)?lim[(1?)2]2?lim(1?)2?e2?1?e2n??n??n??nnn?（2）原式=lim(1?)x??1x(?x)???1???1???lim?1??x?????x?x2?2?(?3)3?x?1??e??2?1（3）原式＝lim(1?x??3)x2?21?33x??3?x3?2???lim(1?2)?e?3 ?x??x?2?????3(4)原式?lim(1?3x)x?0?e3(中间思维过程同前)?2n?222n2n)?limnln(1?)?limln(1?)?limln(1?)2?1 （5）原式?limnln(n??n??n??nnn??nn四．1.证明： ??n......?? 而n?1,故由夹逼准则知,原式成立.2.证明：只要证明原数列单调有界就可以达到目的22?xn?1??xn?2xn,即xn?1?xn?xn?xn?xn?1?xn?而0&xn&1,故xn?1?xn??0,即xn?1?xn?0,xn?1?xn.故数列单调递增且有界,极限存在.22?xn?1??xn?2xn??(xn?2xn?1)?1?1?(xn?1)2?1?limxn?1n?? 4 习题六一、1．B，2．B，3．B，4．B，5。B二、1．(??,1)?(2,??)，2。可去，3。1个三、1．解：?2??,x?1x?1a3??x?1x?1b故是同阶无穷小.又当a?2,b?3时,是等价无穷小.2．解：f(x)?limf(x)?f(0)有a?1
由lim??x?0x?0四、证明：设 f(x)=x5?3x?1,f(x)显然在区间?1,2?上连续,且f(1)??3?0,f(2)?25?0.由零点定理知,在区间?1,2?上至少存在一点?,使f(?)?0.原问题得证.习题七一、1．A，2．C二、1．充分，必要，2。-2，3。必要三、1．（1）解：原式=lim
1?32?43?5(n?1)(n?1) ???...?222n???2234n1?2?32?42?...?(n?1)2?n?(n?1)(n?1)1?lim?
?lim2222n???n???2n22?3?4?...?n （2）解：?0n?mx?
原式?lim??1n?m x?0x??n?m?n??xx?0?x?0
x?0为第二类间断点 2．解：f(x)??1?1/xx?0?3.解：(1?a)x2?(b?a)x?b?1原式为
lim?0 有 a?1b??1 x??x?1四、1。证明：?0?f(x)?1,f(x)在[0,1]上连续,由介值定理知结论成立2．证明：5 设f(x)?x?cosx,f(x)在[-??,]上连续.又f(?)???0,f()??0,222222????由零点定理知,至少存在一点?,使得f(?)=0,即使方程x=cosx有根??[-习题八一、1．B，2．A，3。D二、1．-2， ??
]22f(2x)f(2x)f(x)??4?2lim??4?lim??2,x?0x?0x?0x2xxf(x)?f(0)f(x)?f(0)又f'(0)?lim?lim(奇函数)x?0x?0
xxf(x)?f(0)f(x)?f(0)f(x)?f'(0)?f'(0)?lim?lim?2f'(0)?2limx?0x?0x?0xxx故f'(0)??2)(?lim2．1(?h?0时，f(x0?2h)?f(x0)?2h是h的高阶无穷小?limh?0f(x0?2h)?f(x0)?2h?0,hf(x0?2h)?f(x0)f(x0?2h)?f(x0)?2)?0?lim??2?h?0h?0hhf(x0?2h)?f(x0)(?2)lim??2?2h?0?2hf(x0?2h)?f(x0)?lim?1?f?(x0)?1?2h?0?2h?lim(三、1．（1）解：?yf(x??x)?f(x)[(x??x)2?(x??x)?1]?[x2?x?1]f(x)?lim?lim?lim?x?0?x?x?0?x?0?x?x
2?x?2x?x??x?lim?lim(2x??x?1)?2x?1?x?0?x?0?x?（2）解：13?y??2x?1,令y??0(切线平行于x轴，斜率为0)，得x?,代入原方程得y?。24
13故切点坐标为（242．（1）解：原式??lim?x?0f(x0??x)?f(x0)??f'(x0)??A ??x（2）解：[f(x0?h)?f(x0)]?[f(x)f(x?0?f(x?0h)]0h)?f(x)0?f'(x0)?limh?0h?0
h?h?2f'(x0)?2A原式?lim3．（1）解：62(1??x)?2?1(1??x)2?12?lim?2,lim??2.左右导数存在且相等， ?x?0?
?x?0?x?x故在分段点x=1处可导。（2）解：
lim?x?0f(0??x)?f(0)?lim??x?0?x?xksin?x1?0(无穷小量乘有界函数)，在分段点x=0处可导。4。解： (1)要在x=0处连续，须limf(x)?f(0),即lim?f(x)?a?lim?f(x)?1,x?0x?0x?0a?b?x?ae?x?1(2)要在x=0处可导，须f+(0)=f-(0),即lim?f(0)?lim??b?lim?f(0)?lim??1.?x?0?x?0?x?0?x?0?x?x故a?b?1时,f(x)在x=0处连续可导。习题九 一、1．D，2．D，3．A1111?1?二、1．f?，2.-2(??f()??f?()?(?2)??f?()??x)xxxx?x?'?5?3.3ln3?9, x66三、1．（1）3x?3，（2）。e212xx?2x?2（3）。2enis?，x2x2?3x2lnx（4）。 x，6xx2?22．（1）?3(3?x)，（2）(2x?1)sin(x?x)，（3）2
（5）?2sin(2?4x)，（6）xlnx，（4）2 1?4x2? 1，（7xlnxlnlnx?1?
（8）2xcos2x?2sinx3xx?xx?x2x2x2x3、（1）(e?e)f?(e?e)， (2)2x[f(e)?2xef?(e)], (3)cosxf?(sinx)?2xf?(x?1),(4)?f?(cosx)?2cosx?1,?f?(x)?2x?1?f?(sinx)?2sinx?1 四（1）
证明：2222?f(?x)??f(x)?f?(?x)?(?x)???f?(x)??f?(?x)??f?(x)?f?(?x)?f?(x)同理：f(?x)?f(x)?f?(?x)?(?x)??f?(x)?f?(?x)??f?(x),原命题得证。 （2）证明：（x?T）??f?(x?T)?f?(x)，即原命题得证。 ?f(x?T)?f(x)?f?(x?T)?f?(x)?f?(x?T)?7 习题十一、1．D
2．C二、1．8!x?9 2．0三、计算题1．求下列函数的高阶导数(1)y?e2xsin3x，求y"解：y??2e2xsin3x?3e2xcos3xy????5e2xsin3x?12e2xcos3x(2)设y?解：y'?11111(n)求（提示：y?(?)） x2?1x2?12x?1x?1111111(n)2，[??]y?(?1)n![?] 22n?!n?12(x?1)2(x?1)(x?1)(x?1)d2yd3y2．设f(x)和?(x)都三阶可导，y?f[?(x)]，求2，3 dxdx解：y????(x)f?[?(x)]y??????(x)f?[?(x)]????(x)?f??[?(x)]y???????(x)??(x)f??[?(x)]?????(x)f?[?(x)]????(x)???(x)f???[?(x)]?2??(x)???(x)f??[?(x)]?3???(x)??(x)f??[?(x)]?????(x)f?[?(x)]????(x)???(x)f???[?(x)]3、 （1） xy?y3?3y?1 2解：3x?3y?3xy??3yy??3y??0y?x2y??2 y?x?1（2）解：y??e(xyxyxyy?xy?) 2yy??2ye?y?xe4、 （1）解：lny?y x?ylnx11y??lnx?yxy?ln lnx?2) lnx （2）解：lny?4ln(2x?3)?11ln(x?2)?ln(2x?1) 238 1812 y????y2x?32(x?2)3(2x?1)?812?y?????2x?32x?46x?3)? ??5、 解：3x?3yy??3ay?3axy??0 226x?6y(y?)2?3y2y???3ay??3ay??3axy???0 y??x2?ayax?y2y???2x?2y(y?)2?2ay?ax?y26、求曲线y?1x在x?12处的切线方程，法线方程解：k?y?x?1??121??2xx?42切线方程： y?14??4(x?12)法线方程：y?1114?4(x?2) 习题十一一、1．A C 2．A 3．B二、1．A?x 2．2xf?(x2)dx?2xf?(?x2)dx 3．2x?c?x2?x22三、1、（1）dy?(?x1?x2)dx（2）f??(x)??ex2df??(x)??2xxe2d x（3）ydx?xdy?exdx?eydy?0 dy?y?exey?xdx2、（1）dy?2dtan(1?2xx)9 12sinx2?c?e?x?cln1?x?c?212d(1?2x) 2cos(1?2x)?8xdx cos(1?2x2)dyx?1?（2）dy?8dx cos31110xd(1?e)?de5x 10x5x2(1?e)1?(e)1e5x5dx10x ? e(10dx)?1?e10x1?(e5x)2dyx?0?15dx 2x?1(?0.02)?2、arctan0.98?arctan1??arctanx??3、V??4?0.01 43?r3r?r%?V?dv?4?r2dr ?4?r3% ?V4、y??2xe?x?x2e?xy?x(2xe?x?x2e?xx)? y? yx2e?x?2?xQ25、R(Q)?PQ?10Q? 5R(Q)?R(Q)Q?10? Q52 Q5p11p17、 （1）??Q???e????p Q55e?p55 R?(Q)?10?（2）略 习题十二一、1．D 2．A 3．C 4．B 5．D 6．A 二、1．1 2．1 0 3．0 4．aneax 5．xx(1?lnx)?exxx(1?lnx)?eeex10xx三、1、原式=hinf(3x)?f(0)3?f?(0) x?02x23?2??3 2x2、（1）y?xy??xx(lnx?1)y?x?a?aa(lna?1)xx?aalim?aa(lna?1) x?ax?a(ax?aa)?(xa?aa) （2）lim?aalna?aaa?1?aa(lna?1) x?ax?a3、（1）ex?y(1?y?)?(y?xy?)?0y?0e0(1?y?(0))?(0?0y?(0))?0 x?0y?(0)??1（2）(y?xy?)?1y??0 yx?0y?e(?e0?y?)1?y(?0) 0e2??e2 dx?0??ed x y?(0)4、 f?(x)?2xsinf?(o)?limx?0111?x2cos(?2)xxx1x2sin?0?0 xx?05、设f(x)处处可导 有eax?1?b?a?2b(1?sinx)?a?2?b?a?2?lim lim ?x?0?x?0xxeax?b?a?3bsinx?lim 既 lim x?0?x?0?xxeax?b?a?3lim?b x?0?xx?0lim?aeax?b 且lim(eax?b?a?3)?0 ?x?0既 a?b 且 a?b??2有 a?b??16、f?(x)?2(x?a)?(x)?(x?a)??(x) f?(a)?0 211 ?lif?(x)?f?a()x?ax?a ?lim2(x?a)?(x)?(x?a)2??(x)?0x?ax?a ?limx?a?2?(x)?(x?a)??(x)??2?(a )四、∵limf(x)x?0x?A ∴limx?0f(x)?0 又∵limx?0f(x)?f(o) ∴f(o)?0 于是∴limf(x)?f(o)x?0x?0?limf(x)u?0x?A即：f?(o)?A可寻 习题十三一、1．A 2．D 二、1．3 2．?2三、计算题：1、 （1）原式??o?3x2?6x?o???limx?13x2?2x?1??1x?2（2）原式????cos2x?????lim??lim?x?22x?2cos2x2x?2?lim?2co?ssinxx?221?0（3）原式??0?ex?e?x?0???limx?0cosx?21（4）原式 ?o????liminx1x?0?1?limx?0??limx?0x(?x)?0x?1x2（5）原式 ?????????n1xlim???2ne2x?0（6）原式 ????m???(m?n)am?n????? n1m?n m1n???(n?m)an?m12m?nex?1?x（7）原式??????lim() x?0x(ex?1)ex?1ex?limx?limx?? x?0(e?1)?xexx?0e?ex?xex（8）原式=lim(1?sinx)x?01sinx?e sinx1f1(sin2x)2sinxcoxf1(sin2x)2、原式=lim ?limx?0x?04x32x2f11(sin2x)2sinxcox6?lim??3 x?04x2四、证明题：（1）证：区间编点为(a,pa?qa?r),(b,pb?qb?r) 22f(a)?f(b)?p(a?b)?q a?bf(a)?f(b) 又∵?f1(?) a?b 两点连线斜率为∴p(a?b)?q?2p??q于是??a?b 2即?总是位于区间的正中点112x2 （2）(arctyx2?arctq2)1??x1?x41?(1)2x2x2x???0 441?x1?x12∴arctyx?arctq2?c x?当x?1时，arcty?arctq?c∴c?11222?? 442212? x2214、设y?mx ∴ma?mb?(a?b) 即：arctyx?arctq?a11?(a?b)?(a?b) b?ba即：abm?a(a?b) b∴m13 abm3、设f(x)?x?e?2f(0)??1xxa?b(a?b) b0f(?2) f?(x)?1?e?0则只有一实根 习题十四一、1．C 2．C 3．B 4．B二、1．f?(x)?0三、计算题： f?(x)不? 2．0 3． (0, 0)1、解：y?(x?1)?(x?1)(x?1)?(x?1)?2(2x?1) 令y?0得x??1,x?1f(x)在(??,)内递减， 21在(,??)内递增。 22、解：f?3x?2ax?bf(1)?3?2a?b?0∴a?10,b??133、解：f(1)?a?b??2∴a??121f(1)?1?a?b??12 f11(x)?6ax?2bf11(1)?6a?2b?0 13,b??时，点（1，-2）为曲线的拐点。 22y?1为水平渐近线 (x?1)3?14、解：limx??(x?1)3(x?1)3?? limx??1(x?1)3四、证明题： x??1为垂直渐近线1、证：当f(x)?m(1?x)?x1f1(x)??x1?xx?0时 f(x)?0 ∴0?f(o)?f(x)?m(1?x)?x即m(1?x)?x2、证：f(x)?x?x?27f(o)??2?0f(2)??0∴f(x)在（0，2）内至少有??使f(x)?0，?为一个根 又∵f?(x)?7x?1?06 ∴f(x)?14 ∴x?x?2只有一个负根 习题十五 导数的应用 总习题一、计算题1、计算下列极限 7x1(?2)1?x2（1）原式=lim?lim?1 x???x???x?x21?1?x21e（2）原式=limx?0x2（3）原式=limex???x令t?1xet?lim?limet??? t???tt???1lnxx?limex???lnxx?elnxx???xlim?e1x???xlim?e0?13ax2?4x3（4）原式=lim， x?a?2a3?6ax2?4x3233因为lim(3ax?4x)??a,x?alim(?2a3?6ax2?4x3)?0，所以 x?a原式=?aaaa?arctanarctan?arctan?lim? （5）原式=limn??x???11n2x21a1a(?2)?[?]2x2(x?1)21?()1?()?lim? ?3x????2xarctanax3(2x?1)?lim?a x???2[(x?1)2?a2](x2?a2)（6）令t?11，则x?，x??时，t?0 xt11t?ln(1?t)ln(1?t)]?lim?limt?0t?0tt2t2?121?原式=lim[?t?01?lim1?1 t?02(1?t)2t22、解：由题意，limf(x)?f(0)?e?x?01x1x 1(1?x)f(x)?lim[]?lim?e而limx?0?x?0?x?0e(1?x)xxln[]e1??ex?0?limln(1?x)?xx……（1） 1?1ln(1?x)?x11又lim ?lim?lim???2???x?0x?0x?0x2x2(1?x)215 代入（1）式，得：limf(x)?e?x?0?12 ?12所以limf(x)?limf(x)?f(0)?e??x?0x?0，即函数f(x)在x=0连续。3、解：f'(x)?2x?2x2?(x?1)(x?1)，令f'(x)?0，得x??1。列表： 2nnn4、解：f'(x)?[?(x?a)]'??[(x?a)]'??2(x?a)?2nx?2?a22iiii?1i?1i?1i?1ni1n令f'(x)?0，得x??ai；又f''(x)?2n?0 ni?11n所以，当x??ai时，f(x)取得极小值。 ni?1二、证明题：1、证：由已知， f(x)在[a,c]连续，在(a,c)可导，由拉格朗日中值定理，??1?(a,c)，使得f'(?1)?f(c)?f(a)，……（1） c?a因为c?a,f(a)?0,f(c)?0，有f'(?1)?0同理，对f(x)在[c,b]应用拉格朗日中值定理，再结合已知，??2?(c,b)，使得f'(?2)?f(b)?f(c)?0……（2） b?c对f'(x)在[?1,?2]应用拉格朗日中值定理，???(?1,?2)?(a,b)，使得f''(?)?由（1），（2）式可见f''(?)?0 f(?2)?f(?1)， ?2??12、证：设f(x)?e?(1?x)，有f'(x)?e?1，f''(x)?e令f'(x)?0，得唯一解：x?0；又f''(x)?e?0所以x?0是f(x)?e?(1?x)唯一的极小值点，因而是f(x)?e?(1?x)的最小值点。所以?x?R，都有f(x)?f(0)，因此e?1?x，等号仅在x?0时成立。16xxxxxxx 3、证：设F(x)?e?xf(x)，任取f(x)的两个零点f(x1)?f(x2)，不妨设x1?x2?x由已知，F(x)?ef(x)在[x1,x2]可导，在(x1,x2)连续，且F(x1)?F(x2)?0由罗尔中值定理，???(x1,x2)，使：F'(?)?0即e[?f(?)?f'(?)]?0??f(?)?f'(?)?0由此即证得在f(x)的任意两个零点间，必有?f(x)?f'(x)的零点4、证：设f(x)?a1sinx?a2则f(x)在[0,??sin3xsin(2n?1)x， ?...?an32n?1]连续，在(0,)可导，且f(0)?0， 22aa??f()?a1?2?...?(?1)n?1n?0，则f()?f(0) 232n?12??由罗尔中值定理，???(0,?2)，使：f'(?)?0而f'(x)?a1cosx?a2cos3x?...?ancos(2n?1)x即方程a1cosx?a2cos3x?...?ancos(2n?1)x?0在(0,?2)内至少有一根x3x2?x?sinx，则f'(x)??1?cosx，f''(x)?x?sinx 5、证：设f(x)?62因为0?x??2时，x?sinx，所以f''(x)?0，即f'(x)单调增加，有f'(x)?f'(0)?0，又有f(x)单调增加，x3x3?x?sinx?0?sinx?x? 得f(x)?f(0)?0，即66 17 习题十六 不定积分的概念与性质一、单项选择题：1、A 2、D 3、B 4、C 5、C二、填空题：1、F'(x)?f(x)，F(x)?C（C为任意常数）2、C 3、函数f(x)在区间[a,b]连续4、积分，y?Y?f(x0)(x?x0)（注：Y?[f(x)dx]|x?x0）三、计算题：）原式=?xdx??x2?C （2）原式=?x8dx?x8?C 315?52?(2e?)x(2e?)x?C??C （3）原式=?(2e?)dx?ln(2e?)1?ln2?ln?x1?x2?11（4）原式=?dx?(1?)dx?x?arctanx?C 22?1?x1?x25()x2x5?2x（5）原式=?[2?5()]dx?2x??C?2x?x?C 33(ln2?ln3)ln3111（6）原式=?(1?cosx)dx?x?sinx?C 222242??(x?2?2x?x32)dx?(2x?x3?x5)?C （7）原式=35（8）原式= 1112dx?secxdx?tanx?C ?2cos2x?2218 习题十七 不定积分的换元积分法一、单项选择题：1、D 2、C 3、C 4、D二、填空题：?x1、?F(e)?C 2、C 3、1F(ax?b)?C a三、计算题11?5(2x?3)d(2x?3)??(2x?3)?4?C ??2811（2）原式=??e?3xd(?3x)??e?3x?C 331（3）原式=?d(lnx)?ln|lnx|?C lnx1、（1）原式=(2x?3)?5dx?）原式=?(x?5)2d(x?5)?(x?5)2?C 2311（5）原式=??ed??ex?C x1x（6）原式=11113x13xdx?d()?arctan?C 4?1?()26?1?()22622211(3x)?arcsin(3x)?C 333（7）原式=14cosx?C ?41?3?2（9）原式=??cosxdcosx?cosx?C 2（8）原式=?cosxdcosx??32（10）原式=?(1?x)dx??(1?x)d(1?x)?(1?x)?C 339（11）原式=1xxde?ln(e?1)?C x?e?11(x2?2x?3)?C 2（12）原式=（13）原式=e?sinxdsinx?esinx?Cxx（14）原式=cos(2e?4)de???11xxcos(2e?4)d(2e?4)?sin(2ex?4)?C ?22（15）原式=tanx?tanxdx?tanx(secx?1)dx? 22?22tan3x??tanxdtanx??tanxdx???(sec2x?1)dx? 32219 tan3x??tanx?x?C 3（16）原式=11xxxedx??e2x?1?(ex)2?1de?arctane?C2、（1）解：令x?sint，则dx?costdt原式=cost112ttdt?(1?)dx?(1?sec)dx?t?tan?C ?1?cost?1?cost?222t ?2?C 因为t?arcsinx，tan原式=arcsinx（2）解：令3x22?sint，则x?sint，dx?costdt 2332原式=42sint242???costdt?sintdt? ?2cost327?221(1?cos2t)dt?(t?sin2t)?C ?272723x3x3x? ，sin2t?2sintcost?2?222因为t?arcsin原式=23xarcsinC 272（3）解：原式=?? ???C ??1(3x?1)3（4）解：原式=而?ln|x?C，所以原式=ln|(3x?1)?C（5）解：令t?13，则x?t6，dx?6t5dt206t56t2t2?1?11原式=?34dt??dt?6?dt?6?(t?1?)dt? t?t1?t1?t1?t?3t2?6t?6ln|1?t|?C?6ln(1?Ct2?3（6）解：令t?x?，dx?tdt 2原式=t1dt?(1??t?1?t?1)dt?t?ln|1?t|?C?ln(1?C21 习题十八 不定积分分部积分法一、填空题：xx?2xcos?C 2、xe?x?e?x?C 2213、xcosx?sinx?C，cosx2?C 21、4sin二、计算题：1、求下列不定积分：（1）原式=?xde??x??(xe?x??e?xdx)??xe?x?e?x?C（2）原式=xarcsinx?xdarcsinx?xarcsinx????xarcsinxC（3）原式=x(secx?1)dx?xsecxdx?xdx其中xsecxdx?xdtanx?xtanx?tanxdx?xtanx?ln|cosx|?C1 ?2?2??2??x2所以原式=xtanx?ln|cosx|??C 2（4）设I?coslnxdx则I?xcoslnx?xdcoslnx?xcoslnx?sinlnxdx? ????xcoslnx?xsinlnx??xdsinlnx?xcoslnx?xsinlnx??coslnxdx 即I?xcoslnx?xsinlnx?I，解得：I?x1x(coslnx?sinlnx)?C 21?cos2xex1xex1xdx??dx??ecos2xdx???ecos2xdx （5）原式=?e22222I??excos2xdx，则：I?excos2x??exdcos2x?excos2x?2?exsin2xdx??excos2x?2(exsin2x??exdsin2x)?excos2x?2exsin2x?4?excos2xdx 即，I?ecos2x?2esin2x?4I，解得：I?xx1x(ecos2x?2exsin2x)?C1 5ex1x?(ecos2x?2exsin2x)?C 代入原式=210（6）令t?x?t2，dx?2tdtttt原式=2edt?2(te?e)?C?21)?C ?22 lnxdx?(xlnx?xdlnx)?xlnx?xdx? ?3?333?11?x3lnx?x3?C 391（8）原式=?lnxdx3?xln2x??xdln2x?xln2x?2?lnxdx? 3（7）原式=?xln2x?2(xlnx??xdlnx)?xln2x?2xlnx?2?dx??xln2x?2xlnx?2x?C（9）原式=111xsin2xdx??xdcos2x??(xcos2x??cos2xdx)? ??24411??xcos2x?sin2x?C 48（10）令I?e??xcosxdx，则：I???cosxde?x??(e?xcosx??e?xdcosx)??e?xcosx??e?xsinxdx???e?xcosx??sinxde?x??e?xcosx?e?xsinx??e?xdsinx 即I??e?x1cosx?e?xsinx?I，解得：I?e?x(sinx?cosx)?C 2（11）令I?secxdx，则： ?3I??secxsec2xdx??secxdtanx?secxtanx??tanxdsecx? ?secxtanx??secxtan2xdx?secxtanx??sec3xdx??secxdx 即I?secxtanx?11?sinxln?I，解得： 21?sinx111?sinxI?secxtanx?ln?C 241?sinx（12）原式=xdf'(x)?xf'(x)???f'(x)dx?xf'(x)?f(x)?C32、解：xf'(x)dx?xdf(x)?xf(x)?3xf(x)dx 由已知，f(x)?(?3?3?2sinxxcosx?sinx，所以： )'?2xx?x3f'(x)dx?x(xcosx?sinx)?3?(xcosx?sinx)dx所以xf'(x)dx?(x?6)cosx?4xsinx?C ?3223 习题十九 不定积分总习题一．选择题：1．若df(x)?dg(x)，则有（ A、B、C ）A．f(x)?g(x) B．f'(x)?g'(x)C．df(x)?dg(x) D．d2．下列等式正确的是（ A ）A．???f'(x)dx?d?g'(x)dx df(x)dx?f(x) B．?f?(x)dx?f(x) ?dxC．df(x)?f(x) D．d??f(x)dx?f(x)3．若f(x)的导函数是sinx，则f(x)有一个原函数为（ D ）A．1?sinx B．1?sinx C．1?cosx D．1?cosx *4．若f(x)连续，F(x)是f(x)的一个原函数，则（ A ）A．当f(x)是奇函数时F(x)必为偶函数B．当f(x)是偶函数时F(x)必为奇函数C．当f(x)是周期函数时F(x)必为周期函数D．当f(x)是单调函数时F(x)必为单调函数二．填空题：1．设3是f(x)的一个原函数，则x?f(x)dx?3x?C。x2．设f'(lnx)?1?x，则f(x)?3．设f(t)连续,2df(t)dsint?f(t)cost dt?x24*．f(x?1)?ln2，且：f[g(x)]?lnx，则?g(x)dx?x?2lnx?1?C x?2三．计算题：1．求下列不定积分：(1)x (2)??(1?x)3dx解：xx?1?1?2sindx?? 解：???(1?x)3?(1?x)3d(1?x) ??C ??11d(1?x)?d(1?x) 23?(1?x)(1?x)24 ??111???C 21?x2(1?x)sinxcosx(3)?dx 41?sinxx7 (4)?4dx 2(x?1)x71x4sinxcosx解：?dx??4dx4 dx 解：?4224(x?1)4(x?1)1?sinx1(x4?1)?1sinx4 ?d(x?1) ??dsinx424?4(x?1)1?sinx? ?d(x?1)?d(x?1) dsinx4424???4(x?1)4(x?1)21?sinx1111?C ?arctan(sin2x)?C ?ln(x4?1)?44(x4?1)2x?x2(5) ?xcos3xdx (6) ?dx 24?x2xx212解：?xcos3xdx??xdsin3x 解：原式??dx??dx 4?x24?x23211(4?x2)?41222d(4?x)??dx ?xsin3x??xsin3xdx ??1214?x2sin3x??xdcos3x ?ln(4?x2)?x??dx 3924?x212211?x2sin3x?xcos3x??cos3xdx ?ln(4?x2)?x??dx 39921?()221221x?x2sin3x?xcos3x?sin3x?C ?ln(4?x2)?x?2arctan?C 392722（7）11 （8）dx?x2(1?x2)?x2?x?5dx 解：原式?1111 解：原式dx?dx?d(x?) ?x2?1?x2?12212(x?)?24x1?C ???arctanx?C?x22．设f'(sinx)?cosx,f(0)?1，求f(x)。 2225 解：f'(sinx)?cosx?1?sinx ?f?(x)?1?x 222f(x)??x2f?(x)dx??(1?x)dx?x??C 2x2又f(0)?1，故C?1，即f(x)?x??1 23*．设f(x)?0且有二阶连续导数，求?f??(x)[f?(x)]2?dx 2f(x)[f(x)]解：?f??(x)[f?(x)]2f??(x)?f(x)?[f?(x)]2?dx??dx f(x)[f(x)]2[f(x)]2??(f?(x)f?(x))?dx??C f(x)f(x) 26 第一章 函数 自测题一、填空题：1. x?3 2. ?1?x?3 3. x?1二、解答题1. 解 因为2?6??3，所以 ???1????。而，故有 ?(?2)?0。 ?sin??2??623?6? ???(x)的图形略2. 解 （1） y?eu,u?u1。 x3 （2） y?e,u?v,v?sinx（3） y?arcsinu,u?lnv,v?x?13. 证 ?x1,x2?(?L,0),x1?x2，我们有?x1,?x2?(0,L),?x1??x2。因为f(x)在(0,L)内单调增加，所以有f(?x1)?f(?x2)，又因为f(x)为定义在(?L,L)上的奇函数，上式可改写为?f(x1)??f(x2),即f(x1)?f(x2)所以，f(x)在(?L,0)内单调增加。?2x?1 x?1?x?1 x?1?4. 解 (1) f(x?1)??； (2) f(x)?f(x?1)??x?1 0?x?1。?1 x?1?2 x?0?5. 解 由题意可列出函数关系如下：?ks 0?s?a?m?? 4ka?k(s?a) a?s?5?6. 解 设批量为x件，每年需要进货量为800次，由于均匀销售，库存量由x件均匀地减少到0件，平均库存xx件。 2x元)?1?2x(1.，2 2订货费为 60?(元)。 ?xx一年的库存费为 0.?综上，我们有27 p?1.2x?48000。 xx?200套客房，此时，每天的收107. 解 设租金定为每天每套x(x?200)元，由题意，每天可以租出60?入为x?200??2y??60??x?80x?0.1x。 10??当x?400元时，收入最大，最大收入为16000元，此时空出20套客房。8. 解 设月利润函数为L(x)，由题意可列出函数关系如下：L(x)?p?x?c(x)??6x2?240x(40?x?100)。9. 解 由题意可列出函数关系如下：?250x 0?x?600?4000?R(x)??0?)(x-600) 600?x?800 x?600???196000 x?800?250x 0?x?600???250x??x?800?196000 x?800?10. 解 (1)需求函数的图形为：(2) R(p)?p?D(p)?1(3) 销售额的图形如下，经济意义是：当p?30时销售额最大。2811. 解 (1) 由题意可列出函数关系如下：?90 0?x?100???x?100?p??90?? 100?x?1600 ??100????75 x?1600(2) 利润函数为?30x 0?x?100???x?100?L(x)?(p?60)x??30x??x 100?x?1600 ??100????15x x?1600（3）L((元)。第二章 极限与连续 自测题一、填空题： 1.填表2. a?2,b??8 3. a??4,b??2 4. a?4,b??8 5. ?? 6. ?1 7. 一，可去 8.29 一，可去；二，无穷；一，可去。 9. 一，跳跃 10. 二，振荡二、解答题1. 证明 对于任意给定的??0，因为limun?a，所以总存在N?0，使得当n?N时，总有|un?a|??。n??对数列un，当n?N时，总有 ??|un|?|a|?|un?a|??所以，lim|un|?|a|。 n??反过来未必成立，例如：un?(?1)。2. 解 (1) 左极限f(0?0)??1，右极限f(0?0)?1(2) 极限limf(x)不存在，因为f(0?0)?f(0?0)。 x?0n(3) limf(x)?1 x?13. 解 (1) 当x??时，1为无穷小量，而arctanx是有界函数，所以 xarctanxlim?0。x??xn(2) ?n??1?。 2(3) limx?1x?21。 ??x2?12(x?h)3?x3?lim(3x2?3xh?h2)?3x2。 (4) limh?0h?0hxn?1(x?1)(xn?1?xn?2???x?1)n?lim?。 (5) lim2x?1x?1x?1(x?1)(x?1)2x2?1?0。 (6) 分子、分母同除以x，可得lim4x??x?3x?24x2?3x(x?3)2???。 ?0，根据无穷小量与无穷大量的关系可得，lim(7) lim2x?3(x?3)2x?3x?3x(8) 分子、分母同除以x，可得 30lim(2x?1)(3x?2)x??(5x?1)?)10(3?)。 ?lim?30x??1305(5?)x30 ?1?1???111?2?(9) 利用等比数列的求和公式，可得lim(1?????n)?limn??n??2421?2(10) 注意到 n?1?2。 111，所以 ??k(k?1)kk?1?1?111??lim??????lim1??n?????1。 n??1?3n?(n?1)??n?1??22?3?x2?x?2x?2?1(11) 先通分化简，lim???lim?lim?1。 3?3x?11?xx?1x?11?x?x21?x1?x??5n?(?2)n(12) 分子、分母同除以5，得limn?1n??5?(?2)n?1n?2?1????5?1。 ?limnn??52??5?2????5?n(13) 当x?0，sin3x?3x,sin5x?5x，所以lim(14) 当x?0，xsinx?x,1?cos2x?2sin3x3x3?lim?。 x?0sin5xx?05x51(2x)2，所以 21?cos2x2x2lim?lim2?2。 x?0x?0xxsinx(15) 当n??时，sinxxxxnn，所以?lim2?sin?lim2??x。 n??2n2n2nn??2n2x?1?x?(16) lim??x???x?2x?1??lim?1??x???x??e2。arctan3x3x3?lim?。 x?0sin2xx?02x211(18) 当x?0，arctanx?x,tanx?sinx?sinx(1?cos)?x3，所以 cosx2(17) 当x?0，arctan3x?3x,sin2x?2x，所以lim13xtanx?sinx?1。 lim?limx?0(arctanx)3x?0x3211?1?11?112?2limx1?cos?limx??(19) 当x??，1?cos????，故。 ??x??22x??x2?x?2xx?2x2?(20) 当x?0，ln(1?2x)??2x,sin5x?5x，故lim(21) 因为limx?sinx?02ln(1?2x)?2x2?lim??。 x?0x?05xsin5x51?1??0(无穷小乘有界函数)，所以limsin?xsin??0。 x?0x?x?(22) 令t??x,x???,t???，31 x???lim?limt????limt??1。 (23) lime?1。 x??1x(24) limcos?ln?1?x??????2x?1????1。 x2???(25) lim1?x2x?0??cotx2???lim??1?x2?x2?x?0??x1x2cot2x?e 2a??x?a???lim1??e2a。 (26) lim????x??x?a??x???x?a?4. 证明 (1)x???i?1,2,?,n)，所以有由于????。n?n?????1，故lim?1。 n??(2) 注意到下列不等式：?1?x?0,1?x?x???1， x?0,1?x??利用两边夹准则，我们有limx????1。 x?0x(3)容易得到关系式xn?1??1?x????1x。 x???1???n?1,2,?)，用数学归纳法可证xn?2。xn?1?xn?xn??0，所以数列xn是单调增加的有界数列，由单调有界数列必有极限可得，limxn存在，设为a。所以我们有n??limxn?1?limn??n 即a?a?2，因此 limxn?2 n??5. 解 当x?0时，1?ax123?123??1?121ax,1?cosx?x2，由题意知，x?0时， 32?1?ax??1与1?cosx是等价无穷小，所以可得x?0时，a212x?x，因此有 3232a?3。 2xxc??x???lim1??ec?2，所以c?ln2。 6. 解 lim????x??x?c??x???x?c?7. 解 (1) y?f(x)?lim1?xn??1?x2n2n?x |x|?1?x??0 |x|?1。??x |x|?1?(2) x??1为函数的间断点，且为第一类间断点。事实上，f(?1?0)?1,f(?1?0)??1,f(1?0)?1,f(1?0)??1。8. 解 f(0)?1，要使f(x)在x?0处连续，只需f(x)在x?0处既右连续又左连续。因为f(x)在x?02是右连续的，只须f(x)在x?0左连续即可。 x?0limf(x)?lim??x?01?lim??f(0)?， ?x?02由此解得，a?1。三、证明题1. 证明 对任意给定的??04?4?0???，只要n?2。故取N??2?，当n?N时，有?????0??成立，所以?0。 n2. 证明 考虑辅助函数f(x)?e?2?x，f(0)??1?0,f(2)?e?4?0，f(x)在区间[0,2]上满足介值定理的条件，所以至少存在一点??(0,2)，使得f(?)?0，即方程 x2x?ex?2在区间(0,2)内至少有一实根。3. 证明 考虑辅助函数F(x)?f(x)?f(a?x)，显然F(x)在区间[0,a]上连续，且F(0)?f(0)?f(a),F(a)?f(a)?f(2a)?f(a)?f(0)，由介值定理得，至少存在一点??(0a,?)a[，使得0F(?)?0，即 f(?)?f(??a)。x4. 证明 考虑辅助函数f(x)?x?3?2，显然f(x)在区间[0,1]上连续，且f(0)??2?0,f(1)?1?0，由介值定理得，至少存在一点??(0,1)，使得f(?)?0。即方程x?3x?2至少有一个小于1的正根。5. 证明 设c?min{x1,x2,?,xn},d?max{x1,x2,?,xn}，f(x)在区间[c,d]?(a,b)上连续，由闭区间33上连续函数的最大值最小值定理可得，f(x)在区间[c,d]上有最大值M和最小值m，又由介值定理得，对任意的xi?[c,d],(i?1,2,?,n)，都有m?f(xi)?M,(i?1,2,?,n)所以有 n?m??i?1n(fi)x?1n故 m??f(xi)?M, 又由介值定理得，至少存在一点n? ,Mni?11n??(c,d)?(a,b)，使得 f(?)??f(xi)。 ni?16. 证明 假设f(x)在区间[a,b]上的值变号，即存在x1,x2?[a,b]，不妨设x1?x2，使得f(x1),f(x2)异号，f(x)在区间[x1,x2]上连续，且f(x1)?f(x2)?0，由介值定理得，至少存在一点??(x1,x2)?[a,b]，使得f(?)?0。这与已知条件相矛盾。故f(x)在区间[a,b]上的值不变号。7. 证明 考虑辅助函数F(x)?f(x)?g(x)，F(x)在区间[a,b]上连续，且F(a)?f(a)?g(a)?0,F(b)?f(b)?g(b)?0，由介值定理得，至少存在一点c?(a,b)，使得F(c)?0，即 f(c)?g(c)。 第三章 导数、微分、边际与弹性 自测题一、填空题1. A 2. 充分 3. 4x?y?4?0,2x?8y?15?0 4. y"?2xe(2x?3)5. 8! 6. (?2)en1?2xx22 7. (x?1)y3211 8. d(x)?3xdx,d(?)?2dx，x(1?y)2xx321x1d(x3)?，d(d(arcsinx)?， ，2)?2xdx，d(tanx)?dx22ln2cosxd(arctanx)?1111?3x，，dxd(x?)?(1?)dxd(?e)?e?3xdx， 221?xxx31d(tanx?x)?tan2xdx，d(tan3x)?sec23xdx。 9. 0..11 3sin2x?f'(sin2x)， 3sin2x?cos2x?f'(sin2x) 11. 460， 4.6，2.3，2.312. p,,10p?p2,,,增加，0.82 20?p17220?p17二、解答题34 1. 解(1) y'?xax。 (2) y'?2e(cosx?sinx)。(3) y'?cos2x。 x(4) y'?lna?ax?aaxa?1。 (5) s'?1?cost?sinx。(1?cost)2(6) y?223，所以有y'?. (7) y'?8(2x?3)?2(1?u)1?u?2x(8) y'??2e. (9) y'??3cosxsinx.(10) y'?2(11) y'??cot(1?x).(12) y'?. (13) y'?1 2x?2x?3211cos1x(14) y'?secx. (15) y'?2sin?e(16) y'? xx?x2?x??ln?(17) y'?????2?x2?xx(2?x)????212???(18) y'?? x?12?3x3(3?x)?2. 解 (1) y'?x1dy?1??sin???cos?，所以????。2d????2?24?4(2) f(t)?1，故。 ?1，所以f'(t)?f'(4)??183. 解 根据导数的定义以及g(x)在x0处连续，我们有f'(x0)?limx?x0f(x)?f(x0)(x?x0)g(x)?lim?limg(x)?g(x0). x?xx?x00x?x0x?x0?3x2 x?0?4. 解 利用左右导数， 我们可以求得 f'(x)??0 x?0?2x x?0?5. 解 因为limx?1f(x)?2，利用极限与无穷小的关系，我们有 x?1f(x)?2(x?1)?(x?1)?(x)其中lim?(x)?0。由于f(x)在x?1处连续，在上式两端取极限，可得 x?1limf(x)?f(1)?0 x?1利用导数的定义，我们有35 f'(1)?limx?1f(x)?f(1)f(x)?lim?2. x?1x?1x?126. 解 直线x?y?3?0的斜率为k??1，曲线y?x?x?2在x0的切线的斜率为y'(x0)?2x0?1由已知条件，y'(x0)?k??1，解得x0??1。所以切点的坐标为(?1,?2)，切线方程为 y?2??(x?1)，即 x?y?3?0。7. 解 求一阶导数、二阶导数得 y'?2e2x?e?x,y"?4e2x?e?x，相减，得y"?y'?2?e2x?e?x??2y8. 解 (1) y?sinx?x21n?(1?cos2x)，所以y(n)?2n?1cos(2x?) 22(k)(2) 设u?e,v?x，则v'?1,v?0(k?2,3,?,n)，利用Leibniz公式，得y(n)?xex?nex (3) y(n)?(?1)nn!(1?x)?n?1?(?1)nn! n?1(1?x)?2n?1?1121(n)ny?(?1)n!?(4) y?，所以 ???n?1n?1?2(2x?1)(x?1)2?x?x2x?1x?1??9. 解 (1) y'??121，f'y"?f'?f"。 x2x3x4f"(x)?f(x)?(f'(x))2f'(2) y'?， y"? 2f(x)f(3) y'??f'(x)?e?f(x)， y"?e?f(x)??f"(x)??f'(x)?2? ??xx10. 解 (1) 由x?ln(x?y)得 y?e?x，所以y'?e?1,y"?e xeye2y(3?y),y"?(2) y'? 32?y(2?y)eye2y(3?y),y"?11. 解 当x?0时，y?1。因为y'?，所以 2?y(2?y)3y'x?0?y'y?1?e,y"x?0?y"y?1?2e2。12. 解 取f(x)?sinx，x0??6，?x???180。由于f(x0??x)?f(x0)?f'(x0)?x得?????????sin29??sin???sin?cos??????0.066180????3613. 解 边际函数为y'?xa?1?b(x?c)e(a?bx)，弹性函数为Eyx?y'?a?bx。 Exy14. 解 (1) 需求弹性函数为?(p)??pp1。 (2) ?(6)?。 Q'?Q24?p31?1，所以价格上涨1%，总收益将会增加。 31收益函数为R(p)?f(p)?p?12p?p2，R(6)?54 21R'?f(p)(1??)，R'(6)?f(6)(1?)?6 3(3) ?(6)?EREp?R'(6)p?6662?6???0.67， R(6)543所以当p?6时，若价格上涨1%，总收益将增加0.67%.15. 解 (1) 边际需求为Q'??4p，Q'(6)??24，当p?6时，价格增加一个单位，需求量近似地减少24个单位。2p272(2) 需求弹性为?(p)?，?(6)??1.85?1。说明需求变动的幅度大于价格变动的幅度，当275?p39p?6时，价格上涨1%，需求减少1.85%。(3) ?(6)?1.85?1，所以价格下降2%，总收益将会增加。Q?f(p)?150?2p。 2R?pf(p)?150p?2p3,R(6)?468。R'?f(p)(1??),R'(6)?f(6)(1?EREp?R'(6)p?672)??33 .42 R(6)468所以当p?6时，价格下降2%，总收益将会增加0.84%。第四章 中值定理及导数的应用 自测题一、填空题1. e?1 2. e?13. 1?eb?eae??1?, 4.2 6. ?2?3?b?a?4225??1,? 8. ?, 9. ??;0; 10. [e,??),(0,e] 33222211. 0,大，，小 12. ?30,85 13. 大 14. (x0,f(x0)), 必要 51115. 一，(??,],[,??) 227.37 二、求解题x(ex?1)?2(ex?1)xex?ex?1xex11. 解 (1) lim?lim?lim?。 x?0x?0x?06xx33x26(2) lim?x?11?2?(x?1)11?2。 ??lim??lim???x?122x?1x?1x?1x?1x?12??tanx(3) 设y??sinx?，则lny?tanx?lnsinx?lnsinx，两取极限，得 cotxlimlny?limx??2x??2lnsinxcotx?lim??limsinx?cosx?0， ??csc2x?cotxx?x?22所以，lim?sinx?x?tanx??e0?1。2(4) 令t?1,x?0,t??，则 xexe?tt100lim100?lim?100?limt2?0。 x?0xt??tt??e2?122. 解 因为f(x)在x?0是右连续的，而f(0?0)?limf(x)?lim??x?0x?0ln(1?x)?1?f(0) x所以f(x)在x?0是左连续的，故f(x)在x?0是连续的。3. 解 由于limx?sinx?1??lim?1?sinx??1，所以极限存在。 x??x??x?x?因为求导以后的极限lim(x?sinx)'1?cosx不存在，所以不能用罗必塔法则。 ?limx??x??(x)'14. 解 (1) y'?6(x?1)(x?3)(2) y'?xn?1?xe(n?x)，385. 解 (1) y'?6x(x?1)，令y'?0得驻点为x1?0,x2?1。二阶导数y"?6(2x?1),我们有y"(0)??6?0,y"(1)?6?0,所以，x1?0为函数的极大值且f(0)?6，x2?1为函数的极小值且f(1)?5。(2) y'?x??1时，y'?0；当x??1时，y'?0。所以x??1是函数的极大值点且极大值为y(?1)?2。6. 解 y'?2kx(x?3)，y"?12k(x?1)，容易验证x1??1,x2?1是曲线的拐点，相应的函数值为22y1?y2?4k，相应的切线的斜率为y'(?1)?8k,y'(1)??8k，从而得到相应的法线方程为L1:y?1111，L2:y??。 x?4k?x?4k?。由于法线过坐标原点，所以有 k?8k8k8k8k227. 解 y'?3a(ax?b),y"?6a(ax?b)，函数y二阶可导，且点1,(a?b)为y的拐点，所以有3??y"(1)?0，即有关系式 a?b。8. 解 求函数一阶、二阶导数得 y'?e(1?x),y"?e(x?2)，列表如下：?x?x?x因为limxex????0，所经曲线有水平渐近线 x?09. 解 (1) y'?1?4x2(x?1)(x?1)y"?，?2222(1?x)1?x1?x39 极大值为y(?1)??2?1，极小值为 y(1)?1??2。拐点坐标为(0,0)渐近线：y?x??。图形如下：(2) y'??2x4x?2，y"?34(x?1)(x?1)拐点坐标为：(?,?)，极大值为：y(0)??1，铅直渐近线：x?1,水平渐近线x?0。 图形略。10. 解 (1) y'?4x?16x?4x(x?2)(x?2)，在[?1,1]上的驻点为x?0，计算可得：329y(?1)??7，y(1)??7，y(0)?0，所以函数在[?1,1]上的最大值为ymax?0，最小值ymin??7。 (2) y'?23(x?27)，在x?0的范围内有一个驻点x??3，且x??3为函数唯一的驻点，又x??3为x2函数的极小值点，所以也是函数的最小值点，即ymin?27。函数无最大值。1?x2(3) y'?2，在x?0的范围内有一个驻点x?1，且x?1为函数唯一的驻点，又x?1为函数的极2(x?1)大值点，所以也是函数的最大值点，即 ymax?1。函数无最小值。 2211. 解 (1) 利润L(p)?p?Q?C(p)?2Q??80p?1.求导得，L'(p)??160p?16160，解得驻点为p?101，即当商品的价格为p?101时，有最大利润，最大利润为L(101)?167080。 (2) 收益函数 R?p?x?15xe ?x3，求导得 R'?5(3?x)e40?x3，解得驻点为x?3，即当产量为x?3时，收益最大，最大收益为R(3)?45e(3) 平均成本函数为 C??1?16.55，此时的价格为p?15e?1?5.52 C(x)??50?x，求导得C'??2?1?2(x2?1000) xxxx100(4) 由于商品分N批购进，一年的采购费用为1000N元。每批量为万件， N100100由于销售是均匀的，库存量由万件均匀地减少到0件，平均库存量为万件，每年每万件的库N2N存费用为500元，一年的库存总费用为500?于是总费用为 元。 ?2NN25000 N0件，需贷款6?元，利率为?xxxE?1000N?令E'?0，解得 N?5。即分5批采购才能使总费用最小，最小费用为10000元。 (5) 设分x批购进商品，采购费为160x元。每批量为元。 ?10%?xx (6) 设征税额为S(x)?kx，利润为L(x)?R(x)?C(x)?S(x)?(??a)x2?(??b?k)x?c那么 L'(x)?2(??a)x?(??b?k)，令L'(x)?0，解得x???b?k，此时企业的利润最大，若按2(a??)x???b?k生产，征税额为 2(a??)(??b)k?k2S(x)?kx? 2(a??)令 S'(k)?0，解得 k?三、证明题 ??b2，当k???b2时，征税额最大。1. 证明 f(x)?x在区间[b,a]上满足Lagrange定理的条件，应用Lagrange定理得 nan?bn?f'(?)(a?b)?n?n?1(a?b),??(b,a)因为bn?1??n?1?an?1，所以 nbn?1(a?b)?an?bn?nan?1(a?b)。2. 证明 对函数f(x)在区间[x1,x2],[x2,x3]上分别应用Rolle定理，得f'(?1)?0,?1?(x1,x2) 与 f'(?2)?0,?2?(x2,x3)41 对函数f'(x)在区间[?1,?2]应用Rolle定理，得f"(?)?0,??(?1,?2)?(x1,x3)3. 证明 引入辅助函数F(x)?f(x)，显然F(x)在区间[1,2上]连续，在(1,2)内可导，且xF(1)?f(1),F(2)?f(2)?f(1)，由Rolle定理，至少存在一点??(1,2)，使得 2F'(?)?xf'(x)?f(x)x2?0x??即 ?f'(?)?f(?)。4. 证明 函数f(x)?x在区间[a,b]应用Lagrange定理，得至少存在一点??(a,b)，使 3f(b)?f(a)b3?a3??b2?ab?a2?f'(?)?3?2 b?ab?aa2?ab?b2即 ??。 325. 证明 在区间[0,1]上考虑函数f(x)?x?x?1，f(0)??1?0,f(1)?1?0，由介值定理得，至少存在一点??(0,1)，使得f(?)?0，即f(x)?0至少有一个正根。设f(x)?0有两个正根x1,x2，因为f(x1)?f(x2)?0，应用Rolle定理得，存在一点??(x1,x2)，使得f'(?)?5??1?0，显然这样的?是不存在的。故f(x)?0只有一个正根。 45ex[f'(x)?f(x)]f(x)?0， 6. 证明 作辅助函数F(x)?x，x?(??,??)。F'(x)?x2(e)e所以 F(x)?f(x)f(0)，特别 ?CF(0)??1，由此得C?1。故f(x)?ex。 x0ee7. 证明 （1）f(x)在x处二阶导数存在且连续，利用二次L’Hospital法则，可得limf(x?h)?f(x?h)?2f(x)f'(x?h)?f'(x?h)?limh?0h?0h22hf"(x?h)?f"(x?h)?lim?f"(x) h?02(2) f(x)在x处二阶导数存在，利用一次L’Hospital法则再用导数的定义，可得limf(x?h)?f(x?h)?2f(x)f'(x?h)?f'(x?h) ?lim2h?0h?0h2hf'(x?h)?f'(x)?[f"(x?h)?f'(x)] ?limh?02h1f'(x?h)?f'(x)1f'(x?h)?f'(x) ?lim?lim2h?0h2h?0?h42 11f"(x)?f"(x)?f"(x) 22f(x)f(x)8. 证明 lim?lim?2，根据函数极限与无穷小量的关系，可得 x?01?cosxx?012x2?f(x)?x2?x2?(x)其中lim?(x)?0，显然有 f(x)?x?o(x)。 x?022对于任意的x?U(0;?)，有 f(x)?x?1?o(1)??0?f(0)。根据极值的定义，我们有f(x)在x?0处2取得极小值。9. 证明 (1)考虑函数f(x)?1?xln(x??x?0求一阶导数得，f'(x)?ln(x??0，所以f(x)在区间[0,??)上单调增加，而 f(0)?0,x?0时，有f(x)?f(0)，即得当x?0时，1?xln(x?。(2) 考虑函数f(x)?sinx?tanx?2x,0?x??2，求一阶导数得， f'(x)?cosx?1???2?2?0,(0?x?)。所以在区间上单调增f(x)0?x?cos2x22加，而f(0)?0,0?x??2时，有f(x)?f(0)，即得 sinx?tanx?2x。10. 证明 考虑函数f(t)?tlnt,t?0。易得f"(t)?1?0,t?0时，所以函数f(t)在区间(0,??)内是凹t函数，由凹函数的定义，对任意的x?0,y?0，我们有f(x)?f(y)x?y?x?y??f? 即 。 xlnx?ylny?(x?y)ln?222??43模拟试题一一、单项选择题(每小题2分，共20分)：1.D 2.D 3.A 4.B 5.B二、计算题：(共60分，每小题6分)1、limln(1?x)x?0x?12、求函数y?2x?3?4的导数y?lny?12ln(x?6)?4ln(2x?3)?13ln(x?1)111111yy??2x?6?82x?3?3(x?1)y??2x?3?4??11?2x?6?8111?2x?3?3x?1??3、?(2x?5)5dx?112(2x?5)6?Ccos14、?dx??cos1?1?x2?x??x????sin1x?C5、??t2?tetdt?2?tdet?2tet?2et?C??2?C 模拟试题二一、1.C 2.D 3.A 4.D 5.B 6.C 7.D 二、1． lim(1?1)2x=1?x?2x??xlimx??[(1?x)]=[lim(1?1)?x]?2x …………………1分 x??=e?2 …………………………2分 2． dy?(xa?ax?xx?aa)?dx ……………………2分=[axa?1?axlna?xx(lnx?1)]dx……………………3分3．?f(x)在定义域内可导，?f(x)在x?0点可导且连续xlim?0?f(x)?xlim?0?ln(x?a)?lnaxlim?0?f(x)?xlim?0?(x?b)?bf(0)?lna?b?lna ……………………2分442分 …………(x?b)?lnax?lna?lna?lim??1 x?0x?0xxxln(1?)ln(a?x)?lnaa?1 f??(0)?lim??lim?x?0x?0xxa1??1a?1b?lna?0 ……………………3分 af??(0)?lim?4．sinxcosxdx=sinxcosxdsinx……………………2分=sinx(1?sinx)dsinx=(sinx?sinx)dsinx ……………………1分 ?23?22?22?24sin3xsin5x=??C ……………………3分 35 三、1．证明：设x2f(x)?e?1?x?2xf'(x)?ex?1?x，f''(x)?ex?1 ……………2分 当x?0时，f''(x)?0，所以f'(x)?e?1?x单调增加故当x?0时，f'(x)?f'(0)?0，即f(x)单调增加……………2分 xx2?0 故f(x)?f(0)?0，即e?1?x?2xx2所以当x?0时，e?1?x? ……………1分 2x2．证明：?sinx是f(x)的一个原函数， xsinxxcosx?sinx ……………2分 f(x)?()??xx23332?xf(x)dx?xdf(x)?xf(x)?3x???f(x)dx =x?23xcosx?sinx2xcosx?sinx?3x?dx 22?xx=xcosx?xsinx?3(xcosx?sinx)dx ??x2cosx?xsinx?3cosx?3?xdsinx?x2cosx?xsinx?3cosx?3xsinx?3?sinxdx?x2cosx?4xsinx?6cosx?C ……………3分45模拟试题3一、1.B 2.D 3.C 4.C 5.C 6.C 7.Bex?e?xex?e?x二、1． lim=lim …………3分 x?0x?0sinxcosx=2 ……………2分 2．lim(1?2sinx)x?013x= limex?0ln(1?2sinx)3x = e23ln(1?2sinx)x?03xlim …………2分 = ex?03(1?2sinlim2cosxx)= e …………3分3．y'?(e)'?(x)'?(e)' ……………………2分=[e?x(lnx?1)] ……………………3分4．dy?d[f(sinx)]?d[f(cosx)] ……………………1分 22xxxx2?f'(sin2x)d(sin2x)?f'(cos2x)d(cos2x)………………2分 ?f'(sin2x)2sinxcosxdx?f'(cos2x)2cosxsinxdx ?dy?2sinxcosx[f'(sin2x)?f'(cos2x)]dx………………2分5．y?ln(x?y)两边同时对x求导： y'?1?y' …………………3分 x?y解得：y'?1 ……………………2分 x?y?1三、1．（1）当L'(x)?R'(x)?C'(x)?0时，即：R'(x)?C'(x)时取得最大利润，……………2分解得： x?1 ……………1分又L''(x)?R''(x)?C''(x)??2?0故当x?1时，取得最大利润。 ……………1分 （2）利润改变：?31L'(x)dx??(2?2x)dx ……………2分 133?(2x?x2)|1 ……………1分??446 故从利润最大时的产量再生产2台，利润减少4万元。………1分?y?ex2． （1） ? 交点（1,e） …………………… 1分?x?1S??exdx?ex0110?e?1 ……………………2分（2）Vx???10(ex)2dx ……………………2分112x =?e2?01?(e2?1) ……………2分 2四、1．证明：F'(x)?[f(x)xf'(x)?f(x)xf'(x)?[f(x)?f(0)]………1分 ]'??22xxx由已知f(x)在[0,x]上可导，由Lagrange中值定理，???(0,x)，使得：f(x)?f(0)?xf'(?)………2分 故F'(x)?xf'(x)?xf'(?)f'(x)?f'(?) ?2xx由已知f?(x)为[0,??)上的单调增函数，而0???x故F'(x)?0 所以函数F(x)? f(x)在(0,??)上为单调增函数………2分 x47
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