极值,鞍点,拐点的问题
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CSDN今日推荐标签 鞍点 下的文章
时间: May 19, 2017
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“看那边，莱尼，那边的山和山谷美吗？”
“美，乔治。等我们有钱了我们能去那里吗？可以吗？”
乔治眯起眼睛：“你说的地方具体是哪里啊，莱尼？”
莱尼用手一指：“就是那里，乔治，那个小山谷。”
: 最后的结论是对的。
: 请问公式结论现在可以直接用么？或者在什么限制条件下是成立的？
: 你说的对啊。容我再想想。
: 第一步分部积分处“第一项是0，因为狄拉克δ函数在x≠0的地方是常...
: 全民的科学素养确实需要长时间的积累，咱们国家还需要很多年。真心期...
: 我晕，文章里至和志搞反了
: 名字是卢至悦，北理工海报是错的。他的ppt上用的名字是卢至悦，北...
: 科学研究方法太具体了。需要也能够建立的是现代自然观。自然观是个科...
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(6)(5)(6)(4)(6)(6)(9)(6)(9)(21)(12)(7)(7)(13)(6)(5)(3)(5)(34)(13)《托马斯微积分》 第11版 附带习题答案(Thomas Calculus, Including Second Order Differential Equations)
资料录入:btx9038
更新时间: 17:47:00
文件大小:78 MB
语言要求:英文
资料类型:电子书
下载方式:电驴(eMule)下载
　　本书是本人在美留学时使用的基础微积分教科书（相当于国内的高等数学），由于国外购买图书非常昂贵，因此便想办法找到了这本书的PDF版本。
这个PDF版本完全是文字版本的（不是影印、可以复制粘贴），应该是Pearson自己出版的，非常的清晰好用，推荐给所有在海外同样适用这个版本教科书的同学们。
另外本人也发现台湾地区的部分大学也会使用这本书的中文版本（曾经看到过相同的目录），但是目前还没有见到过该书。
当然如果你是在国内学习微积分想要使用外国的教材，或是将要出国留学希望能够先一步的预习和准备的话，这本教材同样适合你。我各人认为Thomas的微积分难度很适中，并且着重应用和理解，非常的细腻。书的配色也很清爽，在蓝色的主色调下学数学确实很能提高效率。全书近１３００页，大１６开，相当厚实。
由于本书的PDF版本没有自带目录，因此我在这里做了一个中文目录，翻译不周到之处还请多多包容。
第二个文件是每课后的习答案，东西是我教授发给我的，出处不明。
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
9月9日更新两套考试的复习题，很简短，另外很囧的发现找不到Final的复习题了。
二、极限和连续
2.1极限和变化率
2.2极限法则计算极限
2.3极限精确的定义、
2.4单边极限和趋近于无穷时的极限
2.5无穷极限和垂直渐近线
2.7 切线和导数
三、微分求导
3.1 导数函数
3.2 微分法则
3.3 变化率求导
3.4 三角函数求导
3.5 参数方程和链式法则
3.6 隐函数积分
3.7线性化和微分
四、导数的应用
4.1 函数极值
4.2 均值定理
4.3 单调函数和初次求导测试
4.4 凹度和草图绘制
4.5 最优化问题应用
4.6 模糊形式和洛必达法则
4.7 牛顿算法
4.8 反求导
5.1 估算有限和
5.2有限总和的极限和?标识
5.3 定积分
5.4 微积分基本定理
5.5 不定积分和替换法则
5.6 取代法和曲线间的区域
定积分的应用
6.1 绕轴旋转或切割所得的体积
6.2柱形体的容积
6.3平面曲线的长度
6.4 转动惯量和重心
6.5 旋转体表面积和巴伯士定理
6.7 液压和力
七、抽象函数
7.1 反函数和它的导数
7.2 自然对数
7.3 指数函数
7.4 指对求导
7.5 指数成长和衰减
7.6 相关变率的增长
7.7 反三角函数
7.8 双曲线函数
八、积分技巧
8.1 基础积分公式
8.2 分步积分法
8.3 部分分式求有理函数的导数
8.4 三角函数积分
8.5 三角函数替换
8.6 积分表和计算机代数系统
8.7 数值积分
8.8 反常积分
九、积分应用进阶
9.1 斜率场和可分离变量的微分方程
9.2 一阶线性微分方程
9.3 欧拉算法
9.4 图解法和自治微分方程组
9.5 一阶微分方程的应用
十、圆锥截面和极坐标
10.1 圆锥截面和二次方程
10.2 圆锥截面和椭圆的离心率
10.3 二次方程和转动
10.4 圆锥和参数方程，轮转线
10.5 极坐标
10.6 在极坐标内构图
10.7 极坐标内地区域和长度
10.8 极坐标内的圆锥截面
十一、无限的数列和级数
11.2 无穷级数
11.3 积分检验法
11.4 比较检验法
11.5 根值法
11.6 交错级数定理，条件收敛和绝对收敛
11.7 幂级数
11.8 泰勒和马克劳林级数
11.9 泰勒级数的收敛性，误差估计
11.10 幂级数的应用
11.11 傅立叶级数
十二、向量和空间几何
12.1 空间直角坐标系
12.4 交叉乘积
12.5 空间中的线和面
12.6 圆柱体和二次曲面
十三、向量值函数和空间中的运动
13.1 向量函数
13.2 抛射运动模型
13.3 弧长和单位切线向量T
13.4 曲率和单位法线向量
13.5 扭矩和单位副法线向量
13.6 行星运动和卫星
十四、分步积分
14.1 多变数函数
14.2 多维时的极限与连续
14.3 分步积分
14.4 链式法则
14.5 方向微分
14.6 切面相切平面和微分
14.7 极值和鞍点
14.8 拉格朗日乘子法
14.9 在变量范围内分步积分
14.10 两个变量时的泰勒公式
十五、多重积分
15.1 二重积分
15.2 面积，转动惯量和重心
15.3 极坐标中二重积分
15.4 矩形坐标系中的三重积分
15.5三维中的质量与转动惯量
15.6 圆柱和球面坐标中的三重积分
15.7 多重积分中的替换
十六、向量场中的积分
16.1 线积分
16.2 向量场、功、循环量、流通量
16.3 路径无关、位势函数、流通量
16.4 平面的格林定理
16.5 曲面面积与积分
16.6 参数曲面
16.7 斯托克斯定理
16.8 散度定理与统一理论
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[] [] [] []《数理同源》-3-哪条路径最快？
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|个人分类:|系统分类:|关键词:变分,泛函,最速落径|
2. 哪条滑梯最快？谁都见过儿童乐园的滑梯。滑梯有各种各样的形状，孩子们从上面飞速滑下，不亦乐乎！但你是否想过：什么形状的滑梯，才能使得滑动者到达地面的时间最短呢？这实际上是一个著名的数学问题，微积分方法的出现促成了它的解决，并由此而开拓了一门与物理学紧密联系的新的数学分支：变分法和泛函分析。别着急，且听我们慢慢道来，先从微积分建立之后，欧洲两位数学家：伯努利兄弟之争说起。瑞士的伯努利家族是世界颇负盛名的科学世家，出了好几个有名的科学家，驰骋影响学界上百年。学物理的人都知道流体力学中有一个著名的伯努利定律，说的是有关不可压缩流体沿着流线的移动行为，由丹尼尔•伯努利（DanielBernoulli，1700－1782）提出。丹尼尔的父亲和伯父则都是他们那个时代著名的数学家。有意思的是，伯努利家族这几个科学家之间，相处得并不和谐。互相在科学成就上争名夺利、纠纷不断。尤为后人留下笑柄的是丹尼尔的父亲约翰•伯努利【1】。约翰•伯努利（JohannBernoulli，）和他的哥哥雅各布•伯努利（JakobI. Bernoulli，）都为微积分的发展作了杰出贡献。约翰进入巴塞尔大学时，比他大13岁的雅各布已经是数学系教授，因此，约翰向大哥学习数学。两人既是兄弟手足，又是导师和学生的关系。约翰天资聪明，拜大哥为师的两年之后，数学能力就达到了与哥哥能一比高低的水平。没想到智力水平的高低并不等价于人品和修养的高低，约翰不服雅各布，雅各布却仍然将弟弟看成一个学生，两兄弟之间逐渐形成了一种不十分友好的竞争状态。约翰十分妒忌雅各布在巴塞尔大学的崇高地位，于是，无论在私底下，还是在大庭广众中，两人经常互相较劲。不过，世人可以不齿于他们互相嫉妒诋毁的人格，却不能否认他们这种竞争较劲的状态，还算有利于学术。从下面的几个例子，便是对以上说法的佐证。那个时代的欧洲数学家，有一股互相出难题来挑战学术界的风气。1691年，哥哥雅各布建议数学家们研究悬链线（Catenary）问题，也就是两端固定的绳子（或链条）由于重力而自由下垂形成的曲线到底是个什么形状的问题。这个问题现在看起来简单，但在微积分和牛顿力学尚未建立以及刚刚建立的年代，却是不容易解决的。伽利略在1638年就曾经错误地猜测悬链线是抛物线，后来（1646年），17岁的少年惠更斯证明了悬链线不是抛物线。但不是抛物线，又是什么线呢？它的方程是怎么样的？当时谁也不知道答案。悬而未决的悬链线问题在等待着微积分的到来【2】！&图1：悬链线和方程&雅各布收到了好几个答案，其中包括萊布尼茨、惠更斯以及他的弟弟约翰•伯努利。他们成功地用微积分解决了这个问题，证明了悬链线是如图1中所示的公式所描述的双曲余弦函数。因为这个问题的成功，骄傲自负的约翰得意非凡，认为这是他在兄弟之争中的辉煌胜利，并更加瞧不起这个他认为“愚笨”的哥哥。约翰在多年后写给朋友的一封信中，还津津有味地描述了当时掩饰不住的“赢了哥哥”的狂喜心态【3】：“我哥哥对此问题的努力一直都没有成功，最后却被我解决了。我不是想自夸，但我为什么要隐瞒真相呢？在我找到答案后第二天早上，狂奔到我的兄弟那儿，看到他还在为此而苦苦挣扎。他总是像伽利略那样傻想，认为悬链线可能是抛物线。我兴奋激动地告诉他，错了，错了！抛物线是代数曲线，悬链线却是一种超越曲线transcendentalcurve……”其实，雅各布的数学成就并不逊色于弟弟，他活得没有弟弟长，50岁就去世了。约翰活到了80岁。雅各布短短的学术生涯中，对微积分及概率论作出很多贡献，其中最为众人所知的是“大数定律”。此外，数学中有许多以伯努利命名的术语，其中十几个都是雅各布的功劳。 1696年，約翰也对欧洲数学家提出了一个挑战难题，那就是著名的最速降落轨道（Brachistochrone curve）问题，也就是我们在本节开头所问的“哪条滑梯最快？”的问题。假设A和B是地面上高低不同（A不低于B）左右有别的两个点，如图2左图所示。一个没有初始速度的小球，在无摩擦力只有重力的作用下从A点滑到B点。从A到B的轨道可以有很多很多，各自有不同的形状和长短，见图2中间一图。问题是：这其中的哪一条轨道，将使得小球从A到B的时间最短？如果问的是距离最短，大家在直观上都知道答案是直线，但现在是要你求出所花时间最短的曲线，直观就不太顶用了。有人估计约翰自己当时已经得出了这个问题的答案，而提出这个问题的目的之一是挑战牛顿，其二则是奚落自己的哥哥。奚落雅各布是约翰的嫉妒心所致，为啥又要挑战牛顿呢？原因是在牛顿与萊布尼茨对微积分发明权的争夺战上，约翰是始终坚定地站在自己的老师萊布尼茨一边的。约翰原来规定答案必须在1697年1月1日之前寄出，后来在萊布尼茨的建议下，将期限延长至复活节。期限延长后，为了确保牛顿得知此事，约翰亲自将问题单独寄了一份给他。牛顿毕竟是大师，当时已经年过半百，正在繁忙于他的改铸新币的工作，自己也承认脑瓜子已经大不如年轻时机敏。但无论如何，据说牛顿在下午4点钟收到邮件后，仅仅用了一个晚上便解决了这个问题【4】，并且立即匿名寄给了约翰。这使约翰大为失望，因为他自己解决这个问题花费了两个星期的时间。虽然牛顿未署真名，约翰仍然猜出了是他，并且也不得不佩服地说：“我从利爪认出了雄狮！”（Irecognize the lion by his paw）。复活节时，约翰共收到五份答案：除了约翰自己和牛顿的之外，还有莱布尼兹、法国的洛必达侯爵、以及他的哥哥雅各布。&图2：最速落径问题&最速落径问题被视为数学史上第一个被仔细研究的变分问题，它导致了变分法的诞生，之后更开辟出泛函分析这一崭新广阔的数学领域。变分法是什么？它和原始的微积分思想有何异同点？有了微积分之后，人们学会了处理函数的极大值极小值问题。比如，当我们研究上抛物体所形成的抛物线轨道时，物体能到达的最高点便对应于抛物线的极大值。用微积分的语言来描述，极大极小值，和鞍点，都是曲线上函数y（抛出物体的高度）对自变量x（抛出物体的水平位移）的一阶导数为0的点。变分法处理的也是极值问题，不同的是，变分法的自变量不是一个变数x，而是一个变动的函数y（x）。比如说在上述的最速落径问题中问的是，从A到B的各种轨道（即图2中间图中的各种曲线），即各种函数y（x）中，哪一条轨道能使得下滑的时间最短？在这儿，需要求极值的函数是“下滑的时间”，自变量呢，则是在端点A和B固定了的所有“函数”。也就是说，变分法要解决的是“函数的函数”的极值问题。数学家们将这种“函数的函数”称为“泛函”，而变分之于泛函，便相当于微分之于函数。回到当初约翰提出最速落径问题后收到的五份答案。尽管牛顿的才能使约翰沮丧，他仍然得意地认为自己的方法是所有答案中最简洁漂亮的，而认为他哥哥雅各布的方法最笨最差。牛顿等其余三人用的是微积分方法，在此不表。伯努利弟兄方法的差别何在呢？约翰的答案简洁漂亮，是因为他借用了光学中费马的光程（或时间）最短原理。法国数学家费马（Fermat，Pierrede，）是个很奇怪的学者，他是法院的法律顾问，算是个业余数学家。他的特点是不怎么发表著作，经常是只在书的边缘处写下一些草率的注记，或者是偶然地将他的发现写信告诉他的朋友。现在看来，即使是这种草率注记中的三言两语，已经使世人震撼忙碌不已，要是费马正儿八经地专门研究数学，那还了得？例如，1637年，费马在阅读《算术》一书时，曾写下注记：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信已发现了一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下……”。就是这一段短短的注记，后来被称之为“费马大定理”的猜想，就困惑了数学家们整整358年！言归正传，费马研究光学时发现，光线总是按照时间最小的路线传播。这个原理，是几何光学的基础，可以从后来的惠更斯原理推导出来。事实上，费马原理现代版的更准确表述应该是：光线总是按照时间最小、或最大、或平稳点的路线传播。换言之，光线传播的经典路径是变分为0的路径。所以事实上，有关光线传播的费马原理应该算是变分法的最早例子，但在当时，人们尚未认识到这点，也没有进行详细的理论研究。约翰·伯努利毕竟脑瓜子灵活，将费马原理信手拈来，把小球在重力场中的运动类比于光线在介质中的传播，导出了最速落径问题中那条费时最短的路径所满足的微分方程。这个微分方程的解，实际上就是同时代的惠更斯曾经研究过的“摆线”（沿直线滚动的圆的边界上一点的轨迹）。或者说，最速落径就是倒过来看的摆线，见图2中的右图。约翰很得意地将最速落径问题中的物体类比于光线，貌似轻而易举地解决了问题，也得到了正确的答案（图3a）。用现代物理学对光的理解来审查约翰的解法，光和物体的确可以类比。但在当时，约翰的方法恐怕只能算是一种投机取巧，因为他完全没有证据来说明这种做法的正确性。雅各布·伯努利的方法虽然被约翰看不上，认为太繁复，但却在繁复的推导中闪烁出新的变分思想的光辉。雅各布没有使用像现成的费马原理这类的东西，而是从重力运动下小球遵循的物理和几何规律来仔细推敲这个问题。他首先假设小球是沿着一条时间最短的路线下滑的，然后考虑：如果在某个时刻，小球的路线稍微偏离了这条时间最短的路线，走了别的什么路径的话，会发生什么情况呢（图3b）？大家可以注意到，上述雅各布的做法已经是一种变分的思想，因为他是在考虑所有微小偏离路径中使得时间最小的那个偏离。然后，雅各布用二阶导数的方法证明了，在这种情形下，为了使小球继续走时间最短的路，它的路线的微分偏离量，dx和dy，应该满足的方程，就正好是摆线所满足的微分方程。图3：（a）约翰使用折射定律（b）雅各布用二阶导数的分析方法&从图3中可粗略看出，约翰简单地使用费马折射定律，雅各布用考虑二阶导数的“繁琐”方法，最后都导致了同样的公式，即图3a和图3b中间的方程，解决了最速落径问题。简单之美的确诱人，但从上面的故事也悟出一个道理：外表简洁漂亮的未必见得正确，繁复冗长的功夫也可能并没有白费。伯努利兄弟的你争我斗推动了变分法和泛函分析的发展。没过几年，哥哥雅各布就去世了。看来，约翰是过不了没有竞争对手的日子，他继而又把对雅各布的嫉妒心转移到了自己的天才儿子丹尼尔•伯努利的身上，据说他为了与儿子争夺一个奖项把丹尼尔赶出了家门，后来还窃取丹尼尔的成果据为己有。约翰与另一位数学家洛必达之间也有一段纷争，因为众所周知的“洛必达法则”，实际上是约翰·伯努利发现的。约翰曾经被洛必达以一纸合约聘请为私人数学老师，洛必达并非有意剽窃伯努利的成果，但伯努利为此久久不能释怀。更多的故事不在这儿讲，只付诸一笑。图3的公式推导见附件：参考资料：&【1】TheBernoulli Family, by H. Bernhard, Doubleday, Page & Company, (1938)【2】Catenary- Wikipedia ：【3】AChronicle of Mathematical People by Robert A. Nowlan，【4】D.T.Whiteside,Newton the mathematician, in Bechler, Contemporary Newtonian Research, p. 122.
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