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高等数学经典求极限方法
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··········
求极限的各种方法
1．约去零因子求极限
例1：求极限
【说明】表明无限接近，但，所以这一零因子可以约去。
2．分子分母同除求极限
例2：求极限
【说明】型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。
【注】(1) 一般分子分母同除的最高次方；
3．分子(母)有理化求极限
例3：求极限
【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。
例4：求极限
【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解题的关键　
4．应用两个重要极限求极限
两个重要极限是和，第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。
例5：求极限
【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑，最后凑指数部分。
例6：(1)；(2)已知，求。
5．用等价无穷小量代换求极限
(1)常见等价无穷小有：
(2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式；
(3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选。
例7：求极限
例8：求极限
6．用罗必塔法则求极限
例9：求极限
【说明】或型的极限,可通过罗必塔法则来求。
【注】许多变动上显的积分表示的极限，常用罗必塔法则求解
例10：设函数f(x)连续，且，求极限
【解】 由于,于是
7．用对数恒等式求极限
例11：极限
【注】对于型未定式的极限，也可用公式
例12：求极限.
8．利用Taylor公式求极限
9．数列极限转化成函数极限求解
例15：极限
【说明】这是形式的的数列极限，由于数列极限不能使用罗必塔法则，若直接求有一定难度，若转化成函数极限，可通过7提供的方法结合罗必塔法则求解。
【解】考虑辅助极限
10．n项和数列极限问题
n项和数列极限问题极限问题有两种处理方法
(1)用定积分的定义把极限转化为定积分来计算;
(2)利用两边夹法则求极限.
例16：极限
【说明】用定积分的定义把极限转化为定积分计算,是把看成［0,1］定积分。
【解】原式＝
例17：极限
【说明】(1)该题遇上一题类似，但是不能凑成的形式，因而用两边夹法则求解；
(2) 两边夹法则需要放大不等式，常用的方法是都换成最大的或最小的。
又　　　　
所以　　＝１
12．单调有界数列的极限问题
例18：设数列满足
（Ⅰ）证明存在，并求该极限；
（Ⅱ）计算.
【分析】 一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在.
（Ⅰ）因为，则.
可推得　，则数列有界.
于是　，（因当）， 则有，可见数列单调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知极限存在.
设，在两边令，得　，解得，即.
（Ⅱ）　因　，由（Ⅰ）知该极限为型，
(使用了罗必塔法则)
正在加载中，请稍后...高等数学求极限_百度知道
高等数学求极限
高等数学求极限请各位大佬帮帮忙，做下2题的（4.5.6）老师讲的时候没听懂，想补救一下。拜托大佬们了
我有更好的答案
解：(4)小题，设y=kx，k为常数。原式=lim(x→0)kx²/[√(2-e^(kx²))-1。属“0/0”型，用洛必达法则，∴原式=lim(x→0)kx²/[√(2-e^(kx²))-1]=-2lim(x→0)√[2-e^(kx²)]/e^(kx²)=-2。(5)小题，原式=lim[(x,y)→(2,0)]x[sin(xy)/(xy)]=lim(x→2)x=2。(6)小题，利用无穷小量替换求解。∵“x→0时，cosx→1-(1/2)x²”，∴cos(x²+y²)~1-(1/2)(x²+y²)²。∴原式=(1/2)lim[(x,y)→(0,0)](x²+y²)/e^((x²+y²)=0。供参考。
看不懂，但是还是谢谢！
采纳率：95%
来自团队：
太深奥。。。
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2 项之后,就能变成 (i)中的形式了。即 ) (1) () () () (1) () () (x f x g x g x f x g x f x g x f ==或 ; ) () () (1
) (1) () (x g x f x f x g x g x f -=- (iii)“ 00”“ ∞1”“ 0∞”对于幂指函数 , 方法主要是取指数还取对数的方法,即
e x f x g x g x f ) (ln ) () () (=,
这样就能把幂上的函数移下来了,变成“ ∞?0”型未定式。
3. 泰勒公式 (含有 x e 的时候,含有正余弦的加减的时候)
12)! 1(! ! 21+++++++=n x
x n e n x x x e θ
32(cos ) 1()! 12() 1(! 5! 3sin ++++-++-+-+-=m m m m x m x m x x x x x θ
cos=221242)!
22(cos ) 1()! 2() 1(! 4! 21+++-+-+-+-m m m m x m x m x x x θ
ln (1+x) =x-1
132) 1)(1() 1() 1(32++-++-+-+-+n n n n n x n x n x x x θ
(1+x)u =1112) 1(!
2) 1(1+--+++++-++n n u n u n n u x x C x C x u u ux θ
以上公式对题目简化有很好帮助
4. 两多项式相除 :设 均不为零 m n b a , ,
P (x ) =0111a x a x a x a n n n n ++++-- , 0111) (b x b x b x b x Q m m m m ++++=--
(i)?????????&∞&==∞→) (, ) (, 0)
(, ) () (lim m n m n n m b a x Q x P x n n (ii )若 0) (0≠x Q ,则 ) () () () (00lim
0x Q x P x Q x P x x =→ 5. 无穷小与有界函数的处理办法。例题略。
面对复杂函数时候,尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候,一定要注意这个方法。面对非常复杂的 函数可能只需要知道它的范围结果就出来了。
6. 夹逼定理:主要是应用于数列极限, 常应用放缩和扩大不等式的技巧。 以下面几个题目为例:(1) 设 0&&&c b a , n n n n c b a x ++=,求 n n x lim ∞
解:由于 a a a a a x a n n n ==&&∞→∞→) (, , lim lim 以及
,由夹逼定理可知 a x n n =∞→lim
????++++∞→222) 2(1) 1(11lim n n n n
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高数求极限方法总结、极限等价替换公式总结及其例题详细解答.docx 20页
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高数求极限方法总结、极限等价替换公式总结及其例题详细解答
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高数求极限方法总结及其例题详细解答1．定义：说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。利用导数的定义求极限　这种方法要求熟练的掌握导数的定义。2．极限运算法则定理1已知，都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且有（1）（2）（3）说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。.利用极限的四则运算法求极限这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。通常情况下，要使用这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。　　8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限例1解：原式=。注：本题也可以用洛比达法则。例2解：原式=。例3解：原式。3．两个重要极限（1）（2）；说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，例如：，，；等等。利用两个重要极限求极限例5解：原式=。注：本题也可以用洛比达法则。例6解：原式=。例7解：原式=。4．等价无穷小定理2无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。定理3当时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：～～～～～～。说明：当上面每个函数中的自变量x换成时（），仍有上面的等价关系成立，例如：当时，～；～。定理4如果函数都是时的无穷小，且～，～，则当存在时，也存在且等于，即=。利用等价无穷小代换（定理4）求极限例9解：～，～，原式=。例10解：原式=。注：下面的解法是错误的：原式=。正如下面例题解法错误一样：。例11解：，所以，原式=。（最后一步用到定理2）五、利用无穷小的性质求极限有限个无穷小的和是无穷小，有界函数与无穷小乘积是无穷小。用等价无穷小替换求极限常常行之有效。例1.2.5．洛比达法则定理5假设当自变量x趋近于某一定值（或无穷大）时，函数和满足：（1）和的极限都是0或都是无穷大；（2）和都可导，且的导数不为0；（3）存在（或是无穷大）；则极限也一定存在，且等于，即=。说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件（1）是否满足，即验证所求极限是否为“”型或“”型；条件（2）一般都满足，而条件（3）则在求导完毕后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。利用洛比达法则求极限说明：当所求极限中的函数比较复杂时，也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。同时，洛比达法则还可以连续使用。例12（例4）解：原式=。（最后一步用到了重要极限）例13解：原式=。例14解：原式==。（连续用洛比达法则，最后用重要极限）例15解：例18解：错误解法：原式=。正确解法：应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例。例19解：易见：该极限是“”型，但用洛比达法则后得到：，此极限不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下：原式=（分子、分母同时除以x）=（利用定理1和定理2）6．连续性定理6一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果是函数的定义去间内的一点，则有。利用函数的连续性（定理6）求极限例4解：因为是函数的一个连续点，所以原式=。7．极限存在准则定理7（准则1）单调有界数列必有极限。四、利用单调有界准则求极限首先常用数学归纳法讨论数列的单调性和有界性，再求解方程可求出极限。例1.设，求极限。定理8（准则2）已知为三个数列，且满足：（1）（2），则极限一定存在，且极限值也是a，即。10.夹逼定理利用极限存在准则求极限例20已知，求解：易证：数列单调递增，且有界（0&&2），由准则1极限存在，设。对已知的递推公式两边求极限，得：，解得：或（不合题意，舍去）所以。例21解：易见：因为，所以由准则2得：。9.洛必达法则与等价无穷小替换结合法对于一些函数求极限问题，洛必达法则和等价无穷小结合御用，往往能化简运算，收到奇效。11.泰勒展开法12.利用定积分的定义求极限法积分本质上是和式的极限，所以一些和式的极限问题可以转化为求定积分的问题。8.利用复合函数求极限十、利用级数收敛的必要条件求极限级数收敛的必要条件是：若级数收敛，则，故对某些极限，可将函数作为级数的一般项，只须证明此技术收敛，便有。例十一、利用幂级数的和函数求极限当数列本身就是某个级数的部分和数列时，求该数列的极限就成了求相应级数的和，此时常可以辅助性的构造一个函数项级数（通常为幂级数，有时为Fourier级数）。使得要求的极限恰好是该函数项级数的和函数在某点的值。例求7等比等差数列公式应用（对付数列极限）（q绝对值符号要小于1）8各项的拆分相加（来消掉中间的大
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