为什么这个数列单调有界数列增加？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-05-08 23:41 标签： 单调有界数列一定收敛
为什么单调递增数列必有下界？可以举例说明下吗？我在自学高数_百度知道
为什么单调递增数列必有下界？可以举例说明下吗？我在自学高数
单调递增数列，从认识上来说，是一个数列，从小往大增大。
所以，必须，也是一定有个下界。
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我不知道。我只知道﹛an﹜中ak≥a1
所有小于等于a1的实数都是﹛an﹜下界。
本回答被网友采纳
第一项就是下界
就像是函数一样
只不过这个是函数上的点
单调递增数列的第一项就是它的一个下界
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单调有界定理
：若数列{an}递增（递减）有上界（下界），则数列{an}收敛，即单调有界数列必有极限。具体来说，如果一个数列单调递增且有上界，或单调递减且有下界，则该数列收敛。
单调有界定理相关概念
单调有界定理单调性
对任一数列{xn}，如果从某一项xk开始，满足
则称数列（从第k项开始）是单调递增的。特别地，如果上式全部取小于号，则称数列是严格单调递增的。
同样地，如果从某一项k开始，满足
则称数列（从第k项开始）是单调递减的。特别地，如果上式全部取大于号，则称数列是严格单调递减的。
单调递增数列和单调递减数列统称单调数列。
单调有界定理有界性
对任一数列{xn}，如果存在某个实数A使不等式
恒成立，则称实数A是数列的一个；同样地，如果存在某个实数B使不等式
恒成立，则称实数B是数列的一个。
如果一个数列既有上界又有下界，则称这个数列是的。此时，存在一个正数M，使不等式
根据数列有界的定义可知，如果一个数列有界，那么它一定有上界和下界。反过来，如果一个数列只有上界或只有下界，则不能得出数列有界的结论。
单调有界定理定理
单调有界数列必有极限。
这个性质是连续性的一个体现，可以用实数连续性公理对其进行证明。
单调有界定理证明
设数列{xn}单调递增且有上界，接下来用证明{xn}必有极限。
分类讨论，如果{xn}从第N项开始所有的项都相等（即数列有无穷多个相等的项），那么由于数列是单调递增的，当n&N时，有xn=xN，因此对
。即{xn}收敛到xN。
如果{xn}中只有有限项相等，即数列从某项开始严格单调递增，那么因为{xn}有上界，可取所有{xn}的上界组成一个数集B，并取A=R/B。则：
①由取法可知数集B非空，而{xn}为严格单调递增数列，故
③∵A中任何元素都不是{xn}的上界，∴
又∵B中任何元素都是{xn}的上界，∴
∴由可知，存在唯一实数η，使得η要么是A中的最大值，要么是B中的最小值。
但无论是哪种情况，
④由数集A的意义可知，
。而数列单调递增，故当
⑤由数集B的意义可知，当
综合④⑤可知，当
，即{xn}有极限。
同理可证：若数列{xn}单调递减且有下界，则{xn}必有极限。
单调有界定理应用
在一般的教科书中，单调有界定理是通过来证明的，即通过确界原理知道{xn}有上（下）确界α，再证明{xn}收敛于α。事实上，单调有界定理与确界原理等价，既可以由确界原理得到单调有界定理，也可以由单调有界定理得到确界原理。以下是其证法。
问题：试通过单调有界定理证明确界原理。
解：不妨设数集S非空有上界，将所有不小于S中的任一元素的有理数排成一个数列{rn}，并令{xn}=min{r1,r2,r3...rn}。为更直观理解{xn}，举例如下：
设S=[1,2]。第一次，取r1=3，则x1=min{3}=3。第二次，取r2=5，则x2=min{3,5}=3。第三次，取r3=2.5，则x3=min{3,5,2.5}=2.5。第四次，取r4=2.2，则x4=min{3,5,2.5,2.2}=2.2……以此类推。显然{xn}单调递减并且有下界（S中任何元素都是{xn}的下界），因此{xn}收敛。设极限为η，并且由上述构造可知，η≤xn≤rn。
利用反证法，
①若η不是S的上界，即存在p∈S，使p&η。取
，根据极限的几何意义，存在正整数N，使不等式η&xN&η+ε成立。而
，从而xN&p。这与xN不小于S中的任一元素矛盾。
②任取a&0，若对任意k∈S，都有k≤η-a，根据有理数的稠密性（即任何两个不相等的实数之间必定存在有理数），存在有理数r，使不等式k≤η-a&r&η成立。因为我们把所有不小于S中的任一元素的有理数排成了一个数列{rn}，r∈{rn}。这样一来，就得到η≤r，矛盾。
所以，η是S的上确界。
补充：有理数的稠密性
有理数在实数中是稠密的，即任何两个不相等的实数之间总存在有理数。（实际上任何两个不相等的实数之间不仅存在有理数，而且还存在无理数。在这里暂时不对无理数作讨论。）
用数学语言描述为：
，由实数的，存在正整数
，它是一个有理数。再任取有理数
。由阿基米德公理，存在自然数
是有理数，并且对所有大于
。取使不等式
成立的最小的自然数
（最小指的是
为所求有理数。
如果不是这样，即假设
。将该不等式的两边与
的两边相加，得
去括号，整理即得
这样就证明了存在有理数
单调有界定理注意事项
（1）单调有界定理只能用于证明数列极限的存在性，如何求极限需用其他方法；
（2）数列从某一项开始单调有界的话，结论依然成立，这是因为增加或去掉数列有限项不改变数列的极限。
．知网空间[引用日期]
．新东方[引用日期]
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