您所在位置： &
&nbsp&&nbsp&nbsp&&nbsp
二重积分的计算..doc 11页
本文档一共被下载：
次 ,您可全文免费在线阅读后下载本文档。
下载提示
1.本站不保证该用户上传的文档完整性，不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。
2.该文档所得收入(下载+内容+预览三)归上传者、原创者。
3.登录后可充值，立即自动返金币，充值渠道很便利
你可能关注的文档：
··········
··········
二重积分的计算
这一节我们来讨论如何进行二重积分的计算，很显然用其定义来计算是很复杂的．
一、矩形上的二重积分的计算
为了方便我们先给出矩形上的二重积分的计算的方法.
定理 12. 4
若函数f(x,y)是矩形=[a,b]×[c,d]上的可积函数. 若对每一个x∈[a,b]积分
存在, 则h(x) 在[a,b]上可积, 并有等式
它也记为. 这个表达式称为二次积分或二次累次积分,也简称为累次积分.
在[a,b]中插入若干个分点
Δxi= xi- xi-1 , (i=1,2,…..,n), 当令λx =max{Δxi | i=1,2,…..,n },要证:
再在[c,d]中插入若干个分点
Δyj= yj - yj-1 , (j=1,2,…..,m), 那么, 直线y= yj
(j=0,1,2,…..,m),
(i =0,1,2,…..,n) 将D分成m n个小矩形Dij=[ xi-1 , xi ]×[yj-1 , yj] (i =1,2,…..,n,
j=1,2,…..,m). 当记
注意到,此式的左右两端正是f(x,y)在矩形上以此分划的Darboux小和及大和..
再令令λy =max{Δyi | i=1,2,…..m }, λ=λx +λy , 由可积性知,
又有两边夹易得,
即有, 那么
h(x) 在[a,b]上可积, 并有等式
同样我们可得
定理 12. 5
若函数f(x,y)是矩形=[a,b]×[c,d]上的可积函数. 若对每一个y∈[c,d]积分
存在, 则g(y) 在[c,d]上可积, 并有等式
这时它也记为(也是二次积分或累次积分).
若函数f(x,y)是矩形=[a,b]×[c,d]上的连续函数, 那么
分别是[c,d]和[a,b]上的连续函数.当然也是相应区间上的可积函数.
只证g(y) 是[c,d]上的连续函数.
由条件知, f(x,y)在[a,b]×[c,d]上一致连续, 所以,任意ε&0, 存在 δ&0, 对任意(x1, y1), (x2, y2)∈[a,b]×[c,d],只要
任意y1, y2∈[c,d], 当 |y1 - y2|&δ,
故g(y) 在[c,d]上的一致连续.
若函数f(x,y)是矩形=[a,b]×[c,d]上的连续函数. 则
即可交换顺序 .
这个结论的可以放宽为: f(x,y)是矩形=[a,b]×[c,d]上的可积函数, 对每一个y∈[c,d]积分存在, 对每一个x∈[a,b]积分 y也存在,.这时定理 12.6 结论仍然成立,
二、一般区域上的二重积分计算
首先我们来讨论是下面一种比较特殊的区域时的情况，然后讨论一般情形．设其中是区间上的连续函数，，这样的区域D ，我们称之为－型区域(当然可求面积)．如图12-2-1所示．
当是区间上的连续函数，
（如图12-2-2）称为y－型区域 .
设函数f(x,y)是有界闭区域上的可积函数，U= [a,b]×[c,d]包含D. 那么
那么是U上的可积函数. 并且
事实上在D上可积,在U-D上也可积 . 由性质知在U上的可积.
设为－型区域, f(x,y)是上的连续函数，那么
令 U= [a,b]×[c,d]包含D. 由定理12.7
注意到,当固定x时, 若, =0,;若,
计算二重积分，其中是由直线
及所围成的闭区域．
区域如图12-2-3所示，可以将它看成一个-型区域，
也可以将看成是－型区域，，于是
有上面的例子可以看到，计算二重积分的关键是区域，要注意的是区域的区别,同时还要考虑被积函数．
设为－型区域, f(x,y)是上的连续函数，那么
如果既不是-型区域也不是y-型区域,如图12-2-4
我们可以将分划成若干个x-型区域和y-型区域的并.
例２　计算二重积分，其中是有抛物线及所围成的有界闭区域．
解：如图12-2-4
正在加载中，请稍后...
106页138页114页123页132页125页233页122页110页152页谈谈二重积分计算中的几个问题
积分z {。{。一。。。, 动 寞 蚤墓-号八/卜价 R 置:“”“”““”-Z厂了厂\①”” 。点幸寞意““+L厂竹闭。 ;士摹g‘g 三祟了Z: 莫g皋皋工慕-钟厂阴“八t妒V’ 选择的原则是使计算愈简 比较这两个等式的首末,不难得出这样的结 纂慕署S霉’g s。荔篙裟嚣篡“沪‘“’闲 时也要考虑被积函数的形 因此,除了上面讲到的那几种情况应选 式。一般说来,当积分区 用极坐标系外,其他情况一般均应选用直角 域是圆域或其一部分如扇 坐标系。这就是说,在直角坐标系下来进行 形域、圆环域等,或者区 二重积分的计算是主要的、普通的。 皋g苫慕g墓g。l-。。。-厂皿丫一“,“ 数含有护+沪、J等表达形式时,则应选择在 中D是以原点为中心,以。和2”为半径的二 极坐标系下进行计算。例如,以原点为圆心 间心圆H刀ml卫以.}...&
(本文共4页)
权威出处：
我们知道，计算二重积分，是将其化为计算两次定积分，亦称二次积分或累次积分。能够正确迅速地计算二重积分，关键问题就是化成二次积分，因而，就得掌握一定的技巧和方法。首先，我们来看一下二重积分的表达式：它是由被积函数f（X，y），面积元素伽，积分区域D，三个主要部分构成。其次，为了掌握计算二重积分的决巧和方便起见，介绍如下几个定义、定理：定义1如果积分区域D是由两条连续曲线y＝y1（x）和y＝y2：（x），a≤x≤b，以及两条直线x＝a，x＝b所限制，测称积分区域D为X－型区域。图形如下：定理1在X－型区域上的积分是先对y积分．后对X积分．即定义2如果积分区域T）是由两条连续曲线X—X；（）印X一X。（y），C＜y＜d，以及两条直线罗ZC，y—d所限制，则称积分区域D为Y一型区域。图形如上图右．定理2在Y一型区域上的积分是先对X积分，后对y积分，即定义3如果积分区域D是短形域［a，b，c，dJ（即a＜x＜b，c＜y＜d），则称积分区域...&
(本文共2页)
权威出处：
重积分的计算,主要是积分区域的确定。要解决这一问题,既需要有较强的几何直观能力,又需要灵活选择计算公式和方法。其中的方法和技巧学生总觉得难以把握,笔者在教学中总结出重积分计算的若干方法。一、画出积分区域图,选择适当积分次序二重积分是定积分的推广,二重积分计算的基本途径是将其转化为二次定积分计算。二次积分在直角坐标系下可分为两种不同积分次序的积分:其一是先积y后积x的累次积分;其二是先积x后积y的累次积分。因此,计算二重积分对选择积分次序是至关重要的问题。例1:计算D!xyd!,其中D:由y=x-4,y2=2x所围成的区域。解:(1)解方程组y=x-4y2=2"x得交点坐标A(2,-2),B(8,4)(2)画出积分区域D的图形,如图1所示即:D-2≤y≤412y2≤x≤y+%’’’&’’’(4(3)此题可化为先积x后积y的累次积分,即:D!xyd!=-42)dy41+y2y2)xydx=12-42)*yx2+4-+12y y2dy...&
(本文共3页)
权威出处：
我们知道 ,二重积分实为二重定积分 ,它是把简单定积分的概念直接推广到二元函数的情形。因而 ,二重积分具有与一元函数定积分相类似的性质 ,它的计算也就可归结为求二次定积分 ,即通过化二重积分为累次定积分来计算。本文针对笔者在教学中的一些体会 ,就一些具有对称性的积分区域及被积函数的二重积分的求值方法作些整理 ,以求在计算二重积分时 ,有意识地运用这些方法 ,提高解题技巧。一、若被积函数ｆ(ｘ ,ｙ)在所给定积分区域δ上可积 ,ｆ(ｘ ,ｙ)=ｆ(ｘ ,-ｙ)且δ关于Ｘ轴对称 ,则必有 : δｆ(ｘ ,ｙ)ｄｘｄｙ =2
δ1ｆ(ｘ ,ｙ)ｄｘｄｙ =2
δ2ｆ(ｘ ,ｙ)ｄｘｄｙ ,其中δ1、δ2 是δ关于Ｘ轴对称的两个部分。图 1分析 :我们知道 ,在几何上 ,可以把二重积分 Ｄｆ(ｘ ,ｙ)ｄｘｄｙ看作是以积分区域δ为底 ,以二元函数ｚ =ｆ(ｘ ,ｙ)所表示的连续曲面为顶 ,侧面从δ的边界上竖起来的垂直柱面 ,即所谓曲...&
(本文共3页)
权威出处：
众所周知,在有界闭区域。上连续的函数了(x,,)的二重积分于‘一;)‘·挂;存在,而且它可以化为二次积分来计算,例如: 如果积分区域D为x一型区域,即D可用不等式码(l)(犷簇处(x),。毛x蕊b表示,其中函数妈(x)、处(x)在[a .b〕上连续,则有公式:!卜(:.;)球·注;一{‘减二{”‘”了(二,,)‘;丫,·,,“,(l) 类似地,如果积分区域D为Y一型区域,即D可以用不等式俩(妇簇:镇处勿),。簇梦簇d,其中函数妈〔,).傲切)在【O,(l〕上连续,则有公式攀“一,汪一丁“J::::“一,汉·(2)当积分区域D既为x一型区域又为}-一型区域时,还可以交换二次积分的次序;例如:(3)又如 仃了(一;)汪·碑,一丁:球·丁!,(一;)祛;一丁!碑,丁:,(一,)裙·Lob‘r·廿J{卜(二,,)、二。‘;一{‘袱·{”““,(·,;)花;一{‘花,{”“’了(·,;)袱·公JJ“砂,’“护rJ气”’(4) 上述的公式是...&
(本文共2页)
权威出处：
求解二重积分是微积分学习中的一个重点同时也是一个难点。在直角坐标系下计算二重积分,通常是将其转化为二次定积分。如果积分区域是X型采用先对y后对x求定积分,如果积分区域是Y型采用先对x后对y求定积分。那么如果积分区域既是X型又是Y型又该如何确定积分顺序?本文针对3种不同积分情况给出了判定积分顺序的具体方法。1.根据积分区域的特点判定例1计算,其中D是由抛物线x=y2与直线所x-y-2=0围成。解画出积分区域D如图1所示,D既是X型又是Y型。图1将D看作X型时,积分区域D的不等式表示为:(1)将D看作Y型时,D的不等式表示为:(2)显然,将D看作X型时,需要计算两个二重积分,而将D看作Y型时只需要计算一个二重积分,因此将D看作Y型区域,选取先x后y的积分顺序,利用D的不等式表示式(2),计算如下。如果积分区域D既是X型又是Y型,在选择积分顺序时应优先选择计算量小,计算相对容易的积分顺序。2.根据被积函数特点选取例2计算二重积...&
(本文共1页)
权威出处：
扩展阅读：
CNKI手机学问
有学问，才够权威！
xuewen.cnki.net
出版：《中国学术期刊（光盘版）》电子杂志社有限公司
地址：北京清华大学 84-48信箱 大众知识服务
京ICP证040431号&
服务咨询：400-810--9993
订购咨询：400-819-9993
传真：010-没有更多推荐了，
不良信息举报
举报内容：
高数 07.08 二重积分的计算
举报原因：
原文地址：
原因补充：
最多只允许输入30个字
加入CSDN，享受更精准的内容推荐，与500万程序员共同成长！02-1602-1602-1602-1602-1602-1602-1602-1602-1602-16最新范文01-0101-0101-0101-0101-0101-0101-0101-0101-0101-0101-0101-0101-0101-0101-01计算二重积分∫∫D(x+y)dxdy&其中D是由曲线y=x2和y=1所围成平面区域第一象限部分
16-09-12 &匿名提问