级数求解简单问题求解

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-05-24 09:01 标签： 泰勒级数
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第四章_级数(题四)解答.doc 27页
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第四章_级数(题四)解答
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··········
第四章　级数（习题四）解答
１．设已给复数序列｛｝，如果，其中是一有限复数，那么
（复数列极限的算术平均法则）
证明　（方法１）记，，则
由复数列收敛与实数列收敛的关系以及实数列极限的算术平均法则得
于是再由复数列收敛与实数列收敛的关系得
（方法２）由得，对任意，存在正整数，当时，．
于是，当时，
又，所以存在正整数，当时
从而取，当时，
注意：此题中，当时，结论不一定成立．例如，取
显然，从而，但
不存在．这表明关于复数列的算术平均法则对无穷大量的情形不一定成立，这一点与实数列的算术平均法则有所不同．
２．证明：任何有界的复数序列一定有一个收敛的子列．（复数域上的致密性定理）
证明　记有界的复数序列为｛｝，，由，知，实数列
｛｝和｛｝也有界．由实数域上的致密性定理得｛｝有收敛的子列｛｝，同理
｛｝的子列｛｝也有收敛的子列，我们把它仍记为｛｝，于是由复数列收敛与实数列收敛的关系得｛｝的子列也收敛．
３．证明在两相乘级数中，一个收敛，一个绝对收敛时，它们的柯西乘积一定收敛，且和为这两个级数的和的乘积．
证明　记级数收敛，级数绝对收敛，其和分别为，．
（方法１）记，，由复级数收敛与实级数收敛的关系得
和都收敛，和都绝对收敛．
由数学分析中柯西乘积的收敛性得
都收敛．所以再由复级数收敛与实级数收敛的关系得收敛，且　　
（方法２）由级数收敛，级数绝对收敛知，存在正数，使得对任何正整数，有
，　　　　　　①
又由柯西准则，对任意，存在正整数，当时，对任意自然数，有
再注意到，记为的部分和，
当为奇数时，
当为偶数时，
于是当充分大时（如时），有，由①②易得
注意：课本上Ｐ61面顺数第13行的等式有误，应分两种情况改为
当为奇数时，
当为偶数时，
（方法３）设级数收敛，级数绝对收敛，并记
由题设，，．因为
成立，只须证明
成立即可．下面我们证明这一事实．
事实上，由和绝对收敛，并注意到收敛数列的有界性和数列收敛的定义以及级数收敛的柯西准则可得，存在正数，使得
且对任意，存在正整数，当时，
于是，当时，
4．证明定理2.1（考虑内闭一致收敛的情形，课本上一致收敛的情形是此情形的特殊情况）和定理2.2．
证明　任取，并取，使得，
注意到在上一致收敛于，且在连续，以及
易得在点连续，从而在上连续．
由于在简单曲线上一致收敛于，且在简单曲线上连续，由定理2.1，在简单曲线上也连续，再注意到
由积分的估值性易得
５．试求下列幂级数的收敛半径：
（１）（）；（２）；（３），其中是一正整数；
（４）；（５）；
其中，和是复常数，但不是零或负整数．
解　（１）由知，收敛半径为，此时收敛圆为．
（２）由于，，所以收敛半径为，此时收敛圆为．
（３）由知，收敛半径为，此时收敛圆为．
（４）由于，，所以收敛半径为，此时收敛圆为．
（５）由知，收敛半径为，此时收敛圆为．
（６）当是零或负整数或当是零或负整数时，易得收敛半径为，此时收敛圆为．当不是零或负整数且当也不是零或负整数时，由
知，收敛半径为，此时收敛圆为．
６．设在内解析的函数有泰勒展式
试证：（１）令，我们有
（关于幂级数展式的系数的柯西不等式），
在这里；．
（２）由（１）再证刘维尔定理．
（３）当时，
证明（１）由幂级数的系数与和函数的关系（或泰勒定理及幂级数展式的惟一性）得，
再注意到第３章的柯西不等式即得
（２）设为整函数且有界，即在复平面上解析，且存在，使得在复平面上，．由泰勒定理，在复平面（）上，
取为任意大的正数，显然，由（１）得，当时，
所以在复平面上，．
（３）因圆周为闭集，由幂级数的收敛性，
在上一致收敛且绝对收敛，从而也在上一致收敛且绝对收敛（这是因为
于是，由绝对收敛级数的乘积性得，在圆周上
绝对收敛且一致收敛（注意上式变形中用到了）．令，则
在上绝对收敛且一致收敛．由一致收敛级数的逐项积分性并注意到
７．证明：如果在及内，我们分别有
其中，而且在上连续，那么在内
证明　（方法１）对任意，当时，有，所以由幂级数的内闭一致收敛性
在上一致收敛．又由题设易知在上有界，所以
在上也一致收敛．于是由逐项积分性并注意到即得
（方法２）由题设和幂级数的内闭一致收敛性及绝对收敛性易得
在圆周上一致收敛，于是，由逐项积分性并注意到，当时，
８．设是任一复数，证明．
证明　因对任意复数，，所以
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级数问题求解
。。。。能写下过程么？
我就是让-x去换了原来的x,又乘了个 x
变换那里懂了，可我有个问题，为什么前面那个X可以直接和后面那个级数相乘？
级数本来就是展开式，每一项都会乘x
还有就是。。调和级数都是发散的，交错级数都是收敛的这句话对吗？
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D，首先考虑极限，要想条件收敛必有0&p&1,然后还要从定义域考量。这个是选择题，不妨取p=1/3,n=27，显然这个是没有意义的。所以排除a c。如果具体的话得考察里面的那个式子的值域，选择题就没得必要了。
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请问一个关于级数的简单问题f的方程是f(x)=sin(5x+∏/4),P(x)是一个最高次数为3的且a=0的泰勒级数.然后问题让你找P(X).不是先找f'(0)跟f''(0)么.为什么sin(5x+∏/4)的一次导数是f‘(0)=5cos∏/4?不是明明是5cos0么?还有二次也是,求导数了之后常数∏/4不是已经不存在了么?
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sin（5x+π/4)的导数是:5cos(5x+π/4)这是一个复合函数的导数可以这么算：设5x+π/4=u,则原式=sinu所以sin‘（5x+π/4)=sin’u*u‘（x）=cosu*5=5cosu=5cos(5x+π/4）
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求导消不去+∏/4，楼主再重解吧，原来对着呢
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