没有更多推荐了，
不良信息举报
举报内容：
二叉搜索树处理大数据的查找
举报原因：
原文地址：
原因补充：
最多只允许输入30个字
加入CSDN，享受更精准的内容推荐，与500万程序员共同成长！最新看了一下区间的查询与修改的知识，最主要看到的是树状数组（BIT），以前感觉好高大上的东西，其实也不过就这么简单而已。
我们有一个动态连续和查询问题：给定一个n个元素的数组A[1]、A[2]、A[3]、&&A[n]，你的任务是设计一个数据结构，使得其支持以下两个操作：
1：Add（x，d）操作：让A[x]增加d；
2：Query（L,R）操作：计算A[L]+A[L+1]+&&+A[R]。
第一种思路就是循环累加，这样每次的时间复杂度都是O（n）级别的。这样在数据很大的情况之下，是一定会效率很低的，所以我们引进了二叉索引树（也就是树状数组）这种比较高级的数据结构，说它高级，也高不到那里去，也就是比原先我们学过的数据结构难一些就是了，这种数据结构在NOI中是经常使用的，但是NOIP一般不考，我也是一个NOIPer，水平也是达不到NOI的，只是我感觉这个东西挺好玩，也挺实用的，所以就学了学，发一篇博客。
在讲BIT之前，我们来先了解一个函数：对于任意正整数x，我们定义lowbit（x）为x的二进制中最右边的1所对应的值，比如，5的二进制是101，那么lowbit（5）= 1；4的二进制是100，那么lowbit（4） = 4；在程序实现中，lowbit代码如下
&1 lowbit（x） = x&-x 这里用到的是按位运算，请读者自己去查阅关于这点的资料。但为什么呢？计算机里面的整数采用补码表示，-x实际上是x在二进制中按位取反，末位+1后的结果，二者按位取&与&之后，前面全部变成0，之后的lowbit保持不变；
接下来给大家附上一张BIT 的图，其实也不是很难懂，但是我想要的图我找不到了，所以就附一个别的图吧，希望大家能尽量去看，在下面我会给大家解释其中C数组的含义
其中我们可以看到C[i]是有分层问题的，那么到底是怎么分层的呢，实际上就是根据lowbit（i）的值来分的层。
在这里我们可以看到BIT是有连线的，但实际上这些连线在计算机中并不存在，只是为了读者好理解才加上的。其实BIT本身就是一棵二叉树（具体请翻阅前面BIT的定义），那么这棵树上面就会有父亲节点和左右儿子节点（实际上在图中没有看到右孩子与父亲节点的连线，我们可以想象一下）
关于在BIT上节点的父子关系，我们是这样定义的：
对于节点i，如果它是左子节点，那么它的父节点的编号为i+lowbit(i)；如果它是右子节点，那么它的父节点编号为i+lowbit(i)。大家可以自己证明一下这个东西。搞清楚BIT 结构之后，我们来讲一下这个C数组是干嘛的。
C数组实际上只是个辅助数组，其中C[i]=A[i-lowbit(i)+1]+A[i-lowbit(i)+2]+&&+A[i];可以看出，C数组就是用来辅助计算前缀和S[i]的；
那么我们有了C数组之后，如何计算S[i]呢？顺着i节点往左走，边走边往上爬（这里请注意，不一定沿着BIT中的边爬），把沿途的C[i]累加起来就好了（请读者注意，这里沿途经过的C[i]毫无遗漏和重复的走完了A[i]），那么下面我给大家附上这个求前缀和操作的代码（这里我只会给出核心代码，因为全部代码给出真的就是没必要）：
1 int Query(int x){
int ret = 0;
while(x & 0){
ret += C[x];
x-=lowbit(x);
下面来讲一下修改问题，因为BIT是一棵树，而且根据前面的C[i]的定义，我们可以知道，当某个A[i]改变时，有一些C[i]也会改变，那么需要更改那些C数组中的元素呢？从C[i]开始往右走，边走边&往上爬&（同上，不一定要沿着图中的边爬），沿途修改经过所有节点对应的C[i]值即可。下面附上更改元素的代码（同样只给出核心代码）：
1 void add(int x,int d){
while(x &= n){
x += lowbit(x);
这两个操作的时间复杂度都是O（logn）预处理方法是将A和C数组清空，再执行n次add操作，总时间复杂度为O（nlogn）；
BIT的推广：二位BIT：
一维BIT很容易推广到二维，二维BIT如下所示：
&C[x][y] = sum(A[i][j]);&
二维BIT的应用：一个由数字构成的大矩阵，支持以下操作：
1.给矩阵中某个元素加上一个整数d（正负都可以）；
2.查询某个子矩阵中所有数字的和
并且对每个查询操作输出结果
阅读(...) 评论() &推荐这篇日记的豆列
&&&&&&&&&&&&没有更多推荐了，
不良信息举报
举报内容：
查找-线性索引，二叉排序树
举报原因：
原文地址：
原因补充：
最多只允许输入30个字
加入CSDN，享受更精准的内容推荐，与500万程序员共同成长！SQL-数据库索引选择B+树的原因SQL-数据库索引选择B+树的原因模棱JAVA百家号在进一步分析为什么MySQL数据库索引选择使用B+树之前，我相信很多小伙伴对数据结构中的树还是有些许模糊的，因此我们由浅入深一步步探讨树的演进过程，在一步步引出B树以及为什么MySQL数据库索引选择使用B+树！学过数据结构的一般对最基础的树都有所认识，因此我们就从与我们主题更为相近的二叉查找树开始。一、二叉查找树（1）二叉树简介：二叉查找树也称为有序二叉查找树，满足二叉查找树的一般性质，是指一棵空树具有如下性质：1、任意节点左子树不为空,则左子树的值均小于根节点的值；2、任意节点右子树不为空,则右子树的值均大于于根节点的值；3、任意节点的左右子树也分别是二叉查找树；4、没有键值相等的节点；上图为一个普通的二叉查找树，按照中序遍历的方式可以从小到大的顺序排序输出：2、3、5、6、7、8。对上述二叉树进行查找，如查键值为5的记录，先找到根，其键值是6，6大于5，因此查找6的左子树，找到3；而5大于3，再找其右子树；一共找了3次。如果按2、3、5、6、7、8的顺序来找同样需求3次。用同样的方法在查找键值为8的这个记录，这次用了3次查找，而顺序查找需要6次。计算平均查找次数得：顺序查找的平均查找次数为（1+2+3+4+5+6）/ 6 = 3.3次，二叉查找树的平均查找次数为（3+3+3+2+2+1）/6=2.3次。二叉查找树的平均查找速度比顺序查找来得更快。（2）局限性及应用一个二叉查找树是由n个节点随机构成，所以，对于某些情况，二叉查找树会退化成一个有n个节点的线性链。如下图：大家看上图，如果我们的根节点选择是最小或者最大的数，那么二叉查找树就完全退化成了线性结构。上图中的平均查找次数为（1+2+3+4+5+5）/6=3.16次，和顺序查找差不多。显然这个二叉树的查询效率就很低，因此若想最大性能的构造一个二叉查找树，需要这个二叉树是平衡的（这里的平衡从一个显著的特点可以看出这一棵树的高度比上一个输的高度要大，在相同节点的情况下也就是不平衡），从而引出了一个新的定义-平衡二叉树AVL。二、AVL树（1）简介AVL树是带有平衡条件的二叉查找树，一般是用平衡因子差值判断是否平衡并通过旋转来实现平衡，左右子树树高不超过1，和红黑树相比，它是严格的平衡二叉树，平衡条件必须满足（所有节点的左右子树高度差不超过1）。不管我们是执行插入还是删除操作，只要不满足上面的条件，就要通过旋转来保持平衡，而旋转是非常耗时的，由此我们可以知道AVL树适合用于插入删除次数比较少，但查找多的情况。从上面是一个普通的平衡二叉树，这张图我们可以看出，任意节点的左右子树的平衡因子差值都不会大于1。（2）局限性由于维护这种高度平衡所付出的代价比从中获得的效率收益还大，故而实际的应用不多，更多的地方是用追求局部而不是非常严格整体平衡的红黑树。当然，如果应用场景中对插入删除不频繁，只是对查找要求较高，那么AVL还是较优于红黑树。（3）应用1、Windows NT内核中广泛存在；三、红黑树（1）简介一种二叉查找树，但在每个节点增加一个存储位表示节点的颜色，可以是red或black。通过对任何一条从根到叶子的路径上各个节点着色的方式的限制，红黑树确保没有一条路径会比其它路径长出两倍。它是一种弱平衡二叉树(由于是若平衡，可以推出，相同的节点情况下，AVL树的高度低于红黑树)，相对于要求严格的AVL树来说，它的旋转次数变少，所以对于搜索、插入、删除操作多的情况下，我们就用红黑树。（2）性质1、每个节点非红即黑；2、根节点是黑的；3、每个叶节点(叶节点即树尾端NULL指针或NULL节点)都是黑的；4、如果一个节点是红的,那么它的两儿子都是黑的；5、对于任意节点而言，其到叶子点树NULL指针的每条路径都包含相同数目的黑节点；6、每条路径都包含相同的黑节点；（3）应用1、广泛用于C++的STL中，Map和Set都是用红黑树实现的；2、著名的Linux进程调度Completely Fair Scheduler，用红黑树管理进程控制块，进程的虚拟内存区域都存储在一颗红黑树上，每个虚拟地址区域都对应红黑树的一个节点，左指针指向相邻的地址虚拟存储区域，右指针指向相邻的高地址虚拟地址空间；3、IO多路复用epoll的实现采用红黑树组织管理sockfd，以支持快速的增删改查；4、Nginx中用红黑树管理timer，因为红黑树是有序的，可以很快的得到距离当前最小的定时器；5、Java中TreeMap的实现；四、B/B+树说了上述的三种树：二叉查找树、AVL和红黑树，似乎我们还没有摸到MySQL为什么要使用B+树作为索引的实现，不要急，接下来我们就先探讨一下什么是B树。（1）简介我们在MySQL中的数据一般是放在磁盘中的，读取数据的时候肯定会有访问磁盘的操作，磁盘中有两个机械运动的部分，分别是盘片旋转和磁臂移动。盘片旋转就是我们市面上所提到的多少转每分钟，而磁盘移动则是在盘片旋转到指定位置以后，移动磁臂后开始进行数据的读写。那么这就存在一个定位到磁盘中的块的过程，而定位是磁盘的存取中花费时间比较大的一块，毕竟机械运动花费的时候要远远大于电子运动的时间。当大规模数据存储到磁盘中的时候，显然定位是一个非常花费时间的过程，但是我们可以通过B树进行优化，提高磁盘读取时定位的效率。为什么B类树可以进行优化呢？我们可以根据B类树的特点，构造一个多阶的B类树，然后在尽量多的在结点上存储相关的信息，保证层数尽量的少，以便后面我们可以更快的找到信息，磁盘的I/O操作也少一些，而且B类树是平衡树，每个结点到叶子结点的高度都是相同，这也保证了每个查询是稳定的。总的来说，B/B+树是为了磁盘或其它存储设备而设计的一种平衡多路查找树(相对于二叉，B树每个内节点有多个分支)，与红黑树相比，在相同的的节点的情况下，一颗B/B+树的高度远远小于红黑树的高度(在下面B/B+树的性能分析中会提到)。B/B+树上操作的时间通常由存取磁盘的时间和CPU计算时间这两部分构成，而CPU的速度非常快，所以B树的操作效率取决于访问磁盘的次数，关键字总数相同的情况下B树的高度越小，磁盘I/O所花的时间越少。注意B-树就是B树，-只是一个符号。（2）B树的性质1、定义任意非叶子结点最多只有M个儿子，且M&2；2、根结点的儿子数为[2, M]；3、除根结点以外的非叶子结点的儿子数为[M/2, M]；4、每个结点存放至少M/2-1（取上整）和至多M-1个关键字；（至少2个关键字）5、非叶子结点的关键字个数=指向儿子的指针个数-1；6、非叶子结点的关键字：K[1], K[2], …, K[M-1]；且K[i] & K[i+1]；7、非叶子结点的指针：P[1], P[2], …, P[M]；其中P[1]指向关键字小于K[1]的子树，P[M]指向关键字大于K[M-1]的子树，其它P[i]指向关键字属于(K[i-1], K[i])的子树；8、所有叶子结点位于同一层；这里只是一个简单的B树，在实际中B树节点中关键字很多的，上面的图中比如35节点，35代表一个key(索引)，而小黑块代表的是这个key所指向的内容在内存中实际的存储位置，是一个指针。五、B+树（1）简介B+树是应文件系统所需而产生的一种B树的变形树（文件的目录一级一级索引，只有最底层的叶子节点（文件）保存数据）非叶子节点只保存索引，不保存实际的数据，数据都保存在叶子节点中，这不就是文件系统文件的查找吗?我们就举个文件查找的例子：有3个文件夹a、b、c， a包含b，b包含c，一个文件yang.c，a、b、c就是索引（存储在非叶子节点）， a、b、c只是要找到的yang.c的key，而实际的数据yang.c存储在叶子节点上。所有的非叶子节点都可以看成索引部分！（2）B+树的性质(下面提到的都是和B树不相同的性质)1、非叶子节点的子树指针与关键字个数相同；2、非叶子节点的子树指针p[i],指向关键字值属于[k[i],k[i+1]]的子树.(B树是开区间,也就是说B树不允许关键字重复,B+树允许重复)；3、为所有叶子节点增加一个链指针；4、所有关键字都在叶子节点出现(稠密索引). (且链表中的关键字恰好是有序的)；5、非叶子节点相当于是叶子节点的索引(稀疏索引),叶子节点相当于是存储(关键字)数据的数据层；6、更适合于文件系统；非叶子节点（比如5，28，65）只是一个key（索引），实际的数据存在叶子节点上（5，8，9）才是真正的数据或指向真实数据的指针。（3）应用　　1、B和B+树主要用在文件系统以及数据库做索引，比如MySQL；六、B/B+树性能分析n个节点的平衡二叉树的高度为H(即logn)，而n个节点的B/B+树的高度为logt((n+1)/2)+1；若要作为内存中的查找表，B树却不一定比平衡二叉树好，尤其当m较大时更是如此。因为查找操作CPU的时间在B-树上是O(mlogtn)=O(lgn(m/lgt))，而m/lgt&1；所以m较大时O(mlogtn)比平衡二叉树的操作时间大得多。因此在内存中使用B树必须取较小的m。（通常取最小值m=3，此时B-树中每个内部结点可以有2或3个孩子，这种3阶的B-树称为2-3树）。七、为什么说B+树比B树更适合数据库索引？1、 B+树的磁盘读写代价更低：B+树的内部节点并没有指向关键字具体信息的指针，因此其内部节点相对B树更小，如果把所有同一内部节点的关键字存放在同一盘块中，那么盘块所能容纳的关键字数量也越多，一次性读入内存的需要查找的关键字也就越多，相对IO读写次数就降低了。2、B+树的查询效率更加稳定：由于非终结点并不是最终指向文件内容的结点，而只是叶子结点中关键字的索引。所以任何关键字的查找必须走一条从根结点到叶子结点的路。所有关键字查询的路径长度相同，导致每一个数据的查询效率相当。3、由于B+树的数据都存储在叶子结点中，分支结点均为索引，方便扫库，只需要扫一遍叶子结点即可，但是B树因为其分支结点同样存储着数据，我们要找到具体的数据，需要进行一次中序遍历按序来扫，所以B+树更加适合在区间查询的情况，所以通常B+树用于数据库索引。PS：我在知乎上看到有人是这样说的,我感觉说的也挺有道理的：他们认为数据库索引采用B+树的主要原因是：B树在提高了IO性能的同时并没有解决元素遍历的我效率低下的问题，正是为了解决这个问题，B+树应用而生。B+树只需要去遍历叶子节点就可以实现整棵树的遍历。而且在数据库中基于范围的查询是非常频繁的，而B树不支持这样的操作或者说效率太低。本文由百家号作者上传并发布，百家号仅提供信息发布平台。文章仅代表作者个人观点，不代表百度立场。未经作者许可，不得转载。模棱JAVA百家号最近更新：简介:模棱JAVA技术随时高效提升自己作者最新文章相关文章