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在等腰△ABC中，AB＝AC，分别过点B、C作两腰的平行线，经过点A的直线与两平行线分别交于点D、E，连接DC、BE，DC与AB边相交于点M，BE与AC边相交于点N．（1）如图1，若DE∥CB，写出图中所有与AM相等的线段，并选取一条给出证明；（2）如图2，若DE与CB不平行，在（1）中与AM相等的线段中找出一条仍然与AM相等的线段，并给出证明．
主讲：张艳霞
【思路分析】
（1）由AD∥BC，BD∥AC，AE∥BC，AB∥BC，易得四边形ACBD为平行四边形与四边形ABCE是平行四边形，则可求得：AM=AN=BM=CN；（2）首先延长DB、EC交于点P，由BD∥AC，AB∥EC，可得四边形ABPC为平行四边形，又由AB=AC，即可证得：▱ABPC是菱形，可得AB=BP=PC=CA，又可证得：△EAC∽△EDP与△AMC∽△PCD，根据相似三角形的对应边成比例，则可证得：CN=AM．
【解析过程】
解：（1）AM=AN=BM=CN；证明：∵AD∥BC，BD∥AC，∴四边形ACBD为平行四边形，∴AM=BM．（其它线段的证明：∵AE∥BC，AB∥BC，∴四边形ABCE是平行四边形，∴AN=CN=AC，∵AB=AC，∴AN=CN=BM=AM）（2）CN=AM．证明：延长DB、EC交于点P，∵BD∥AC，AB∥EC，∴四边形ABPC为平行四边形，∵AB=AC，∴▱ABPC是菱形，∴AB=BP=PC=CA，∵BD∥AC，∴△EAC∽△EDP，∴，同理：，∴，∵四边形ABPC是平行四边形，∴∠BAC=∠P，∵AC∥DP，∴∠ACD=∠CDP，∴△AMC∽△PCD，∴，∴，∵AC=BP，∴AM=CN．
（1）AM=AN=BM=CN；证明：∵AD∥BC，BD∥AC，∴四边形ACBD为平行四边形，∴AM=BM．（其它线段的证明：∵AE∥BC，AB∥BC，∴四边形ABCE是平行四边形，∴AN=CN=AC，∵AB=AC，∴AN=CN=BM=AM）（2）CN=AM．证明：延长DB、EC交于点P，∵BD∥AC，AB∥EC，∴四边形ABPC为平行四边形，∵AB=AC，∴▱ABPC是菱形，∴AB=BP=PC=CA，∵BD∥AC，∴△EAC∽△EDP，∴，同理：，∴，∵四边形ABPC是平行四边形，∴∠BAC=∠P，∵AC∥DP，∴∠ACD=∠CDP，∴△AMC∽△PCD，∴，∴，∵AC=BP，∴AM=CN．
此题考查了平行四边形，菱形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质．此题综合性很强，注意数形结合思想的应用．
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京ICP备号 京公网安备（2017o福建）如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P，E分别是线段AC、BC上的点，且四边形PEFD为矩形．（Ⅰ）若△PCD是等腰三角形时，求AP的长...
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2017届江苏省扬州市高三第一学期期末检测数学试题
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我有更好的答案
解答：（1）证明：∵∠ADC+∠B=180°，∠B=∠ACB∴∠ACP+∠ACB=∠ACP+∠B=180°∴∠ADC=∠ACP∴△ADC∽△ACP∴，即所以AB2=AD?AP；（2）解：过点A作直径AE交BC于点F．∵△ABC是等腰三角形，∴AE垂直平分BC设AF=a，则EF=25-a，2由BF2=AF?EF，得400-a2=a（25-a）所以AF=a=16，BF=FC=12．方法1：由（1）AB2=AD?AP得：2AD＝40015＝803在Rt△AFP中，2?AF2＝(803)2?162＝643∴PC=PF-FC==又由△PCD∽△PAB得：∴；方法2：（前面部分给分相同）连接BE、EC、BD．∵AE是直径，∴∠ABE=90°，且BE=2?202＝15∴EC=BE=15，又已知AD=15，∴AD=EC∴DC∥AE，即DC⊥BC，则BD是直径∴DC=2?BC2＝252?242＝7在Rt△PCD中，PD=PA-AD==∴PC=2?72＝283．
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我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。在等腰直角三角形ABC中.AB=AC.∠BAC=90°．点P为直线AB上一个动点.连接PC.点D在直线BC上.且PD=PC．过点P作PE⊥PC.点D.E在直线AC的同侧.且PE=PC.连接BE．(1)情况一:当点P在线段AB上时.图形如图1 所示,情况二:如图2.当点P在BA的延长线上.且AP＜AB时.请依题意补全图2,．的两种情况中.任选一种情况.完成下列问题: 题目和参考答案——精英家教网——
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16．在等腰直角三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°．点P为直线AB上一个动点（点P不与点A，B重合），连接PC，点D在直线BC上，且PD=PC．过点P作PE⊥PC，点D，E在直线AC的同侧，且PE=PC，连接BE．（1）情况一：当点P在线段AB上时，图形如图1&所示；情况二：如图2，当点P在BA的延长线上，且AP＜AB时，请依题意补全图2；．（2）请从问题（1）的两种情况中，任选一种情况，完成下列问题：①求证：∠ACP=∠DPB；②用等式表示线段BC，BP，BE之间的数量关系，并证明．
分析 （1）根据题意补全图形即可；（2）情况一：①根据等腰直角三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=45°，由等腰三角形的性质得到∠1=∠D根据三角形的外角的性质即可得到结论；②根据余角的性质得到∠4=∠6，由等腰直角三角形的性质得到∠PBF=∠PFB=45°，于是得到PB=PF，根据全等三角形的性质得到BE=FC，由勾股定理得到BF=$\sqrt{2}$BP，即可得到结论；情况二：①，根据等腰三角形的性质得到∠PDC=∠PCD，由∠ABC=∠ACB=45°，于是得到∠3=∠PDC-45°，∠ACP=∠PCD-45°，即可得到结论；根据余角的性质得到∠4=∠6，根据等腰直角三角形的性质得到∠PBF=∠PFB=45°，于是得到PB=PF，根据全等三角形的性质得到BE=FC，根据勾股定理得到BF=$\sqrt{2}$BP于是得到结论．解答 解：（1）补全图形如图①所示；（2）情况一：①证明：如图②，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵PD=PC，∴∠1=∠D，∵∠ACB=∠1+∠2=45°，∠ABC=∠D+∠=45°，∴∠3=∠2，即∠ACP=∠DPB；②BC=$\sqrt{2}$BP+BE；理由：证明：如图③过P作PF⊥PB交BC于F，∵PF⊥PB，∴∠BPF=90°，∵EP⊥PC，∴∠EPC=90°，∴∠4+∠5=∠6+∠5，∴∠4=∠6，∵∠PBF=45°，∴∠PBF=∠PFB=45°，∴PB=PF，在△PBE与△PFC中，$\left\{\begin{array}{l}{PB=PF}\\{∠4=∠6}\\{PE=PC}\end{array}\right.$，∴△PBE≌△PFC，∴BE=FC，∵BF=$\sqrt{2}$BP，∴BC=BF+FC=$\sqrt{2}$BP+BE．情况二：①如图④，∵PD=PC，∴∠PDC=∠PCD，∵∠ABC=∠ACB=45°，∴∠3=∠PDC-45°，∠ACP=∠PCD-45°，∴∠BPD=∠ACP；②如图④，过P作PF⊥PB交BC于F，∵PF⊥PB，∴∠BPF=90°，∵EP⊥PC，∴∠EPC=90°，∴∠4+∠BPC=∠6+∠BPC=90°，∴∠4=∠6，∵∠PBF=45°，∴∠PBF=∠PFB=45°，∴PB=PF，在△PBE与△PFC中，$\left\{\begin{array}{l}{PB=PF}\\{∠4=∠6}\\{PE=PC}\end{array}\right.$，∴△PBE≌△PFC，∴BE=FC，∵BF=$\sqrt{2}$BP，∴BC=BF-FC=$\sqrt{2}$BP-BE．点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
练习册系列答案
科目：初中数学
题型：解答题
11．如图1，△ABC中，AC=BC，∠A=30°，点D在AB边上且∠ADC=45°．（1）求∠BCD的度数；（2）将图1中的△BCD绕点B顺时针旋转α（0°＜α≤360°）得到△BC′D′．①当点D′恰好落在BC边上时，如图2所示，连接C′C并延长交AB于点E．求证：AE=BD′；②连接DD′，如图3所示，当△DBD′与△ACB相似时，直接写出α的度数．
科目：初中数学
题型：填空题
1．已知n是关于x的一元二次方程x2+m2x-2m=0（m为实数）的一个实数根，则n的最大值是1．
科目：初中数学
题型：解答题
8．如图，AB∥EF∥CD，点P在线段EF上，当点P从E向F沿线段EF移动时，∠A，∠APC，∠C之间有什么关系？
科目：初中数学
题型：解答题
5．如图，将△ABC沿BC折叠得到△BCD，再将△BCD沿BD折叠得到△BDE，设折叠后所得多边形的边数为n．（1）填空：①在△ABC中，∠A=90°，∠ABC=60°，则n=3②在△ABC中，∠A=90°，∠ABC＜60°，则n=4③在△ABC为锐角三角形，且∠ABC=60°，则n=4（2）若折叠后所得图形为四边形，解答下列问题：①当四边形边长分别为3，4，5，6时，求此四边形的面积；②当四边形边长分别为5，5，5，8时，直按写出△ABC的周长．
科目：初中数学
题型：选择题
1．在-4，-2，-1，0这四个数中，比-3小的数是（　　）A．-4B．-2C．-1D．0
科目：初中数学
题型：解答题
6．如图，已知∠1=∠2，∠3+∠4=180°，证明AB∥EF．
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7．函数y=$\frac{\sqrt{x+3}}{x-5}$中，自变量x的取值范围是x≥-3且x≠5．
科目：初中数学
题型：解答题
4．已知：如图1，在矩形ABCD中，AB=5，AD=$\frac{20}{3}$，AE⊥BD，垂足为E，点F是点E关于AB的对称点，连接AF，BF．（1）AE的长为4，BE的长为3；（2）如图2，将△ABF绕点B顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的△ABF为△A′BF′．①在旋转过程中，当A′F′与AE垂直于点H，如图3，设BA′所在直线交AD于点M，请求出DM的长；②在旋转过程中，设A′F′所在的直线与直线AD交于点P，与直线BD交于点Q，是否存在这样的P、Q两点，使△DPQ为以PQ为底的等腰三角形？请直接写出DQ的长．
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