等差等比数列求和时怎么判断共有多少项_百度知道
等差等比数列求和时怎么判断共有多少项
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[děng bǐ shù liè]
等比是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一种数列，常用G、P表示。这个常数叫做等比数列的，公比通常用字母q表示(q≠0)，等比数列a1≠ 0。其中{an}中的每一项均不为0。注：q=1 时，an为。
等比数列等比故事
根据历史传说记载，国际象棋起源于，至今见诸于文献最早的记录是在时期用波斯文写的．据说，有位印度教宰相见国王自负虚浮，决定给他一个教训．他向国王推荐了一种在当时尚无人知晓的游戏．国王当时整天被一群溜须拍马的大臣们包围，百无聊赖，很需要通过游戏方式来排遣郁闷的心情．
国王对这种新奇的游戏很快就产生了浓厚的兴趣，高兴之余，他便问那位宰相，作为对他忠心的奖赏，他需要得到什么赏赐．宰相开口说道：请您在棋盘上的第一个格子上放1粒麦子，第二个格子上放2粒，第三个格子上放4粒，第四个格子上放8粒……即每一个次序在后的格子中放的麦粒都必须是前一个格子麦粒数目的两倍，直到最后一个格子第64格放满为止，这样我就十分满足了。“好吧！”国王哈哈大笑，慷慨地答应了宰相的这个谦卑的请求。
这位聪明的宰相到底要求的是多少麦粒呢？稍微算一下就可以得出：1+2+2^2+2^3+2^4+……+2^63=2^64-1，直接写出数字来就是18,446,744,073,709,551,615粒，这位宰相所要求的，竟是全世界在两千年内所产的小麦的总和！
如果造一个宽四米，高四米的粮仓来储存这些粮食，那么这个粮仓就要长三亿千米，可以绕地球赤道7500圈，或在日地之间打个来回。
国王哪有这么多的麦子呢？他的一句慷慨之言，成了他欠宰相西萨·班·达依尔的一笔永远也无法还清的债。
正当国王一筹莫展之际，的数学教师知道了这件事，他笑着对国王说：“陛下，这个问题很简单啊，就像1+1=2一样容易，您怎么会被它难倒？”国王大怒：“难道你要我把全世界两千年产的小麦都给他？”年轻的教师说：“没有必要啊，陛下。其实，您只要让宰相大人到粮仓去，自己数出那些麦子就可以了。假如宰相大人一秒钟数一粒，数完18,446,744,073,709,551,615粒麦子所需要的时间，大约是5800亿年（大家可以自己用算一下！）。就算宰相大人日夜不停地数，数到他自己魂归极乐，也只是数出了那些麦粒中极小的一部分。这样的话，就不是陛下无法支付赏赐，而是宰相大人自己没有能力取走赏赐。”国王恍然大悟，当下就召来宰相，将教师的方法告诉了他。
西萨·班·达依尔沉思片刻后笑道：“陛下啊，您的智慧超过了我，那些赏赐……我也只好不要了！”当然，最后宰相还是获得了很多的赏赐。
等比数列公式
（1）定义式：
（2）（等比数列通项公式通过定义式叠乘而来）：
（3）求和公式：
求和公式用文字来描述就是：Sn=首项（1-公比的n次方）/1-公比（公比≠1）如果公比q=1，则等比数列中每项都相等，其通项公式为
，任意两项
；在运用等比数列的前n项和时，一定要注意讨论公比q是否为1.
（4）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：
等比中项。
记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1。
另外，一个各项均为的等比数列各项取同后构成一个；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。
等比中项定义：从第二项起，每一项（的末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项。
等比中项公式：
（6）无穷递缩等比数列各项和公式：
无穷递缩等比数列各项和公式：公比的绝对值小于1的，当n无限增大时的极限叫做这个无穷等比数列各项的和。
（7）由等比数列组成的新的等比数列的公比：{an}是公比为q的等比数列
1.若A=a1+a2+……+an
B=an+1+……+a2n
C=a2n+1+……a3n
则，A、B、C构成新的等比数列，公比Q=q^n
2.若A=a1+a4+a7+……+a3n-2
B=a2+a5+a8+……+a3n-1
C=a3+a6+a9+……+a3n
则，A、B、C构成新的等比数列，公比Q=q
等比数列性质
（1）若m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，则am*an=ap*aq。
（2）在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列。
（3）若“G是a、b的”则“G^2=ab（G≠0）”。
（4）若{an}是等比数列，公比为q1，{bn}也是等比数列，公比是q2，则{a2n}，{a3n}…是等比数列，公比为q1^2，q1^3…{can}，c是，{an*bn}，{an/bn}是等比数列，公比为q1，q1q2，q1/q2。
（5）若（an）为等比数列且各项为正，公比为q，则（log以a为底an的）成等差，公差为log以a为底q的对数。
（6）等比数列前n项之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=A1(q^n-1)/(q-1)=(A1q^n)/(q-1)-A1/(q-1)
在等比数列中，首项A1与公比q都不为零。
注意：上述公式中A^n表示A的n。
（7）由于首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式可以写成an=(a1/q)*q^n，它的y=a^x有着密切的联系，从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列
等比数列求通项方法
（1）待定法：已知a（n+1）=2an+3，a1=1，求an？
构造等比数列a（n+1）+x=2（an+x）
a（n+1）=2an+x，∵a（n+1）=2an+3 ∴x=3
∴（a（n+1）+3）/（an+3）=2
∴{an+3}为首项为4，公比为2的等比数列，所以an+3=a1*q^(n-1)=4*2^(n-1),an=2^(n+1)-3
（2）定义法：已知Sn=a·2^n+b,，求an的通项公式？
∵Sn=a·2^n+b∴Sn-1=a·2^n-1+b
∴an=Sn-Sn-1=a·2^n-1
等比数列应用
等比数列生活中的应用
等比数列在生活中也是常常运用的。如：银行有一种支付利息的方式——。即把前一期的利息和加在一起算作本金，在计算下一期的利息，也就是人们通常说的“利滚利”。按照复利计算本利和的公式：本利和=本金*(1+利率)^存期。
随着房价越来越高，很多人没办法像这样一次性将房款付清，总是要向银行借钱，既可以申请公积金也可以申请银行贷款，但是如果还款到一定时间后想了解自己还得还多少本金时，也可以利用数列来自己计算。众所周知，按揭贷款（公积金贷款）中一般实行按月等额还本付息。下面就来寻求这一问题的解决办法。若贷款数额 a0 元，贷款月利率为 p，还款方式每月等额还本付息 a 元，设第 n 月还款后的本金为 an，那么有：a1=a0(1+p)-a；a2=a1(1+p)-a；a3=a2(1+p)-a；......an+1=an(1+p)-a,.... 将其变形，得（an+1-a/p）/（an-a/p）=1+p。由此可见，{an-a/p} 是一个以 a1-a/p 为首项，1+p 为公比的等比数列。
其实类似的还有零存整取、整存整取等银行储蓄借贷，甚至还可以延伸到生物界的细胞细胞分裂。
等比数列数学中的应用
等比数列例1
设ak，al，am，an是等比数列中的第k、l、m、n项，若k+l=m+n，求证：ak*al=am*an
证明：设等比数列的首项为a1，公比为q，则：
ak=a1·q^(k-1)，al=a1·q^(l-1)，am=a1·q^(m-1)，an=a1·q^(n-1)
ak*al=a^2*q^(k+l-2)，am*an=a^2*q(m+n-2)，
故：ak*al=am*an
说明：这个例题是等比数列的一个重要性质，它在解题中常常会用到。它说明等比数列中距离两端(首末两项)距离等远的两项的乘积等于首末两项的乘积，即：
a(1+k)·a(n-k)=a1·an
对于等差数列，同样有：在等差数列中，距离两端等这的两项之和等于首末两项之和。即：
a(1+k)+a(n-k)=a1+an。
等比数列例2
在等差数列中，a4+a6+a8+a10+a12=120，则2a9-a10=( )
A.20 B.22 C.24 D28
解：由a4+a12=2a8，a6+a10 =2a8及已知条件得：
5a8=120，a8=24
而2a9-a10=2(a1+8d)-(a1+9d)=a1+7d=a8=24。
等比数列例3
设Sn为等差数列的前n项之和，S9=18，a（n-4）=30(n&9)，Sn=336，则n为( )
A.16 B.21 C.9 D.8
解：由于S9=9×a5=18，故a5=2，所以a5+a（n-4）=a1+an=2+30=32，而，故n=21选B。
等比数列例4
设等差数列满足3a8=5a13，且a1&0，Sn为其前n项之和，则Sn(n∈N*)中最大的是( )。 (1995年全国高中联赛第1题)
(A)S10 (B)S11 (C)S20 (D)S21
解：∵3a8=5a13
∴3(a1+7d)=5(a1+12d)
故a1=-19.5d
令an≥0→n≤20；当n&20时an&0
∴S19=S20最大，选(C)
注：也可用求最值。
等比数列例5
将正奇数{1，3，5，…}由小到大按第n组有(2n-1)个奇数进行分组：
{1}， {3，5，7}，{9，11，13，15，17}，…
(第一组) (第二组) (第三组)
则1991位于第_____组中。
【1991年全国高中数学联赛第3题】
解：依题意，前n组中共有奇数
1+3+5+…+(2n-1)=n^2个
而6-1，它是第996个正奇数。
∵31^2=961&996&
∴1991应在第31+1=32组中。
．人民教育出版社[引用日期]
严士健．普通高中课程标准实验教科书——数学必修5：北京师范大学出版社，2010
赵丹阳 .小谈等差等比数列在生活中的应用[J].才智,2012 (32) :116
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清除历史记录关闭∑（x^n）用等比数列求和我算不到x/(1-x),我按公式等于（1-x^n)/(1-x),搞不懂啊,能把推导过程写出来么
∑（x^n）用等比数列求和我算不到x/(1-x),我按公式等于（1-x^n)/(1-x),搞不懂啊,能把推导过程写出来么
你得的只是前n项和,这里这是无限和,有限制条件｜x｜
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与《∑（x^n）用等比数列求和我算不到x/(1-x),我按公式等于（1-x^n)/(1-x),搞不懂啊,能把推导过程写出来么》相关的作业问题
把每个数拆开先算前面的等差S1＝1+3+5+……+2n-1=n^2再算等比S2=1/2+1/2^2+……+1/2^n=1-1/2^nS＝n^2+1-1/2^n
等比数列：若q＝1 则S=n*a1 若q≠1 S=a1+a1*q+a1*q^2+……+a1*q^(n-1) 等式两边同时乘q S*q=a1*q+a1*q^2+a1*q^3+……+a1*q^ 1式－2式 有 S=a1*(1-q^n)/(1-q) 等差数列 S=a1+(a1+d)+(a1+2d)+……(a1+(n-1)*d
∑（x^n）是对n 从1 到正无穷求和,并且,-1 < x < 1结果才是 x/(1-x),（1-x^n)/(1-x)是∑（x^i）,对 i 从 1 到 n 求和的结果,这里你需要看清求和的下标是谁,是从哪里到哪里 再问： “S（x)=∑（1~无穷) n(x^n-1) 的和函数 (x^n-1)积分是不是分母出现了n ,
一共n-1项所以是a1*[1-q^(n-1)]/(1-q)一共n-3+1=n-2项所以是a3*[1-q^(n-2)]/(1-q)
等比数列求和：S=a*(1-q^n)/(1-q)a代表等比数列首项,q是公比,q^n是q的n次方,n等比数列的项数公比是1/X^4你的这个题等比数列的首项是1/X^4 它是第一项.首位的1不是等比数列的项.算出等比数列的和以后 最后再加上首位的1 也就是 1/x^4 * (1-(1/x^4)^9) / (1-1/x^4
如果你的最后一项是 2的平方乘以2008 那2&sup2;2+2&sup2;3+2&sup2;4+2&sup2;5.+2&sup2;2008就是等差数列 等差数列这样算：Sn=n(a1+an)/2 1+2+ 2&sup2;2+2&sup2;3+2&sup2;4+2&sup2;5.+2&sup2;2008 = 3+ 2&
你注意到了从2^2到2^n共有n-1项,但没有意识到这求出来的和应该是S(n-1)而非Sn,你要出求和公式的话一定要算n项而非n-1项,所以该题Sn=2^2+2^3+2^4+...+2^(n+1)=2^(n+2)-4
就是等比数列求和,假设这个数是a,公比为a,那么零次方一直加到一百次方求和求和=1+[a(1-a^100)/(1-a)]
×1.2&#185;+&#178;+……+^64=.2&#185;+1.2&#178;.+1.2^64)=.2)^65/1-(1.2）=25000（(1.2)^65-1） 再问： 您好，只是的64次方就已经是很多了，那您
An=5Sn -3An-1=5Sn-1 -3两式相减An-An-1=5AnAn=-0.25An-1最后得A(2n-1)=12/16^n
你的式子里反弹再下落的距离没计算.S1=16+16*70%*2*（1-70%^8）/(1-70%)S2=16+16*70%*2/(1-70%)第一次下落是16,之后每次到桌面是两个反弹高度.
拜托．．．1,4,8,32,128不是等比数列吧．．．4/1＝4,8/4＝2诶．．．不过就算这样也不是负数啊．1-q^n＜0,1-q＜0,负负抵消还是正的啊
p1=(G/2+G/4+...+G/2^n)/Sp2=[G/4+G/8+...+G/2^(n+1)]/(S/2)=[G/2+G/4+...+G/2^n+G/2^(n+1)]/S当金属片数量n趋向于无穷个时,G/2^(n+1)可近似为0.所以p1=p2.同理可得p2=p3.所以p1:p2:p3=1:1:1桌面所受压强P=
a^n+a^(n-1)b+a^(n-2)b^2+……+b^n①a≠b时上式就是求a^n为首项公比为b/a的等比数列的前N项和其项数为n+1项等比数列的求和公式为a1(1-q^n)/(1-q)则a^n+a^(n-1)b+a^(n-2)b^2+……+b^n=a^n[1-(b/a)^(n+1)]/(1-b/a)=[a^(n+
题目写错了,应该是(a-b)(a^n+a^(n-1)b+a^(n-2)b^2+……+b^n)=a^(n+1)-b^(n+1)若a=0左式=(-b)(0+0+0+……+b^n)=-b^(n+1)=右式原式成立a≠0时左式=a^(n+1)×(1-b/a)(1+b/a+(b/a)^2+……+(b/a)^n)括号内是1为首项,
等比数列 （1）等比数列：An+1/An=q,n为自然数.（2）通项公式：An=A1*q^（n－1）； 推广式：An=Am·q^(n－m)； （3）求和公式：Sn=nA1(q=1)Sn=[A1(1-q)^n]/(1-q)（4）性质：①若 m、n、p、q∈N,且m＋n=p＋q,则am·an=ap*aq； ②在等比数列中,
1.由等比数列定义 a2=a1*q a3=a2*q ...a(n-1)=a(n-2)*q an=a(n-1)*q 共n-1个等式两边分别相加得 a2+a3+...+an=[a1+a2+...+a(n-1)]*q 即 Sn-a1=(Sn-an)*q,即（1-q）Sn=a1-an*q 当q≠1时,Sn=(a1-an*q)/
[10^7+10^6+10^5+10^4]+8[10^3+10^2+10^1+10^0]+1=4[10^7+10^6+10^5+10^4+10^3+10^2+10^1+10^0]+4[10^3+10^2+10^1+10^0]+1=4* (10^8-1)/9+ 4*(10^4-1)/9+1=4/9[1
an=2×（10^n-1）/92=2×（10-1）/922=2×（100-1）/9222=2×（1000-1）/9s=2/9×（10+100+1000+...+10^n）-2n/9a1=2=2*(10^1-1)/9a2=22=2*(10^2-1)/9a3=222=2*(10^3-1)/9……所以：an=2*(10^n-等比数列求和知识点
&　　等比数列求和知识点 　　一 等比数列求和的教学基础　　1 知识结构　　先用错位相减法推出等比数列前项和公式，而后运用公式解决一些问题，并将通项公式
&　　等比数列求和知识点
　　一.等比数列求和的教学基础
　　1.知识结构
　　先用错位相减法推出等比数列前项和公式，而后运用公式解决一些问题，并将通项公式与前项和公式结合解决问题，还要用错位相减法求一些数列的前n项.
　　2.重点、难点分析
　　教学重点、难点是等比数列前
项和公式的推导与应用.公式的推导中蕴含了丰富的数学思想、方法(如分类讨论思想，错位相减法等)，这些思想方法在其他数列求和问题中多有涉及，所以对等比数列前n项和公式的要求，不单是要记住公式，更重要的是掌握推导公式的方法.等比数列前n项和公式是分情况讨论的，在运用中要特别注意
q=1和q=\1两种情况.
　　3.学习建议
　　①本节内容分为两课时，一节为等比数列前 项和公式的推导与应用，一节为通项公式与前 项和公式的综合运用，另外应补充一节数列求和问题.
　　②等比数列前n项和公式的推导是重点内容，引导学生观察实例，发现规律，归纳总结，证明结论
　　③等比数列前n项和公式的推导的其他方法可以给出，提高学生学习的兴趣
　　④编拟例题时要全面，不要忽略 的情况.
　　⑤通项公式与前n项和公式的综合运用涉及五个量，已知其中三个量可求另两个量，但解指数方程难度大
　　⑥补充可以化为等差数列、等比数列的数列求和问题.
　　二、等比数列求和公式
　　一个数列，如果任意的后一项与前一项的比值是同一个常数，且数列中任何项都不为0，
　　即：A(n+1)/A(n)=q (n&N*)， 这个数列叫等比数列，其中常数q 叫作公比。
　　如： 2、4、8、16......2^10 就是一个等比数列，其公比为2， 可写为 an=2&2^(n-1) 通项公式
an=a1&q^(n-1);
　　1.通项公式与推广式
　　推广式：an=am&q^(n-m) [^的意思为q的(n-m)次方];
　　2.求和公式
　　Sn=n&a1 (q=1) Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) (q&1) S&=a1/(1-q) (n-&
&)(|q|&1) (q为公比，n为项数)
　　3.等比数列求和公式推导
　　①Sn=a1+a2+a3+...+an(公比为q)
　　②q*Sn=a1*q+a2*q+a3*q+...+an*q =a2+a3+a4+...+a(n+1)
　　③Sn-q*Sn=a1-a(n+1)
　　④(1-q)Sn=a1-a1*q^n
　　⑤Sn=(a1-a1*q^n)/(1-q)
　　⑥Sn=(a1-an*q)/(1-q)
　　⑦Sn=a1(1-q^n)/(1-q)
　　4性质 简介
　　①若 m、n、p、q&N，且m+n=p+q，则am&an=ap&
　　②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列; 等比数列的性质
　　③若m、n、q&N，且m+n=2q，则am&an=(aq)^2;
　　④ 若G是a、b的等比中项，则G^2=ab(G & 0);
　　⑤在等比数列中，首项a1与公比q都不为零
　　三.学习等比数列的方法
　　1知识与技能目标
　　理解用错位相减法推导等比数列前n项和公式的过程，掌握公式的特点，并在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题.
　　2.过程与方法目标
　　通过对公式的研究过程，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质.
　　3.情感、态度与价值目标
　　通过学生自主对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，并从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美.
　　4..教学重点、难点
　　①重点：等比数列前n项和公式的推导及公式的简单应用. 突出重点的方法：&抓三线、突重点&，即一是知识技能线：问题情境&公
式推导&公式运用;二是过程方法线:从特殊、归纳猜想到一般&错位相减法&数学思想;三是能力线：观察能力&初步解决问题能力
　　.②难点：错位相减法的生成和等比数列前n项和公式的运用.
突破难点的手段：&抓两点，破难点&,即一抓学生情感和思维的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想、积极探索，并及时给予肯定;二抓知识的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给予适当的提示和指导.
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例如，一个等比数列通项公式为An=x^n, 已知x=2,项数为(n+1),首项为1，不用循环的话，现如何用matlab对这个等比数列求和。
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n=4;x=2;a=[0:n]a=x.^asum(a)
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