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曲面的一般方程是怎样的？曲面可以用参数形式表示吗？
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提问人：匿名网友
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曲面的一般方程是怎样的？曲面可以用参数形式表示吗？
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1方程F(x，y)=0在平面直角坐标系和空间直角坐标系下分别表示什么图形?请帮忙给出正确答案和分析，谢谢！2研究曲面的特点和性质有什么用处?3求与坐标原点O及点(2，3，4)的距离之比为1：3的点的全体所组成的曲面方程，它表示怎样的曲面?请帮忙给出正确答案和分析，谢谢！4求以A(0,0，1)为顶点，以椭圆为准线的锥面方程．
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最小曲面问题
最小曲面问题是一个古典，最小曲面问题的物理背景是空间封闭线框架上的肥皂泡膜问题。在给定的空间封闭线框架上的肥皂泡膜，其具有表面积最小的特性。最小曲面的数学描述为，对于平面xy上由简单分片光滑曲线C围成的区域Ω，令z =g(x，y)为定义在曲线C上的已知函数（其图形构成空间封闭线框架），在所有定义在区域Ω上具有连续二阶偏导数的函数z=u(x，y)中，存在一个在曲线C上满足u(x，y)=g(x，y)的函数u(x，y)，其在区域Ω上图形的表面积最小。这个表面积最小的曲面，称为最小曲面。
最小曲面问题基本介绍
最小曲面问题变分问题
是研究泛函极值问题的一个数学分支，它在物理、力学和工程技术中有广泛的应用。泛函极值问题与函数极值问题非常相似，但又有本质的不同。(variational problem)是有关求泛函的极大值和极小值的问题，最早研究的重要变分问题有：
1.：给定不在同一铅垂线上的两点A和B，求出连结A和B的一条曲线使其具有这样的性质：当质点受重力作用沿着这条曲线由A下滑至B时所需时间为最少。
2.短程线问题：求曲面φ(x，y，z)=0上所给二点间长度最短的曲线，这条最短曲线称为短程线或测地线。
3.基本的等周问题：求长为一定的封闭曲线l，使其所围的面积S为极大 。
最小曲面问题也是一种经典的古典变分问题。
最小曲面问题最小曲面问题介绍
平面上的开区域
，其边界记为
上给定函数
是已知函数，于是得到一空间曲线
，其中曲面
正是所要求的曲面，此曲面要求满足的条件是由曲线C在空间中所张成的曲面面积最小
由的知识可以推导出曲面
上的面积表达式。
不妨假设函数
满足的条件，即有
，则曲面的面积为
很显然，曲面面积是关于函数
的函数，因此面积S是函数
的。其中函数
必须满足如下条件：(1)存在连续的一阶；(2)
相等。用集合的概念描述为
于是，求最小曲面问题就可以转化为如下泛函极值的问题
最小曲面问题解法介绍
最小曲面的数学描述为，对于平面xy上由简单分片光滑曲线C围成的区域Ω，令z =g(x，y)为定义在曲线C上的已知函数（其图形构成空间封闭线框架），在所有定义在区域Ω上具有连续二阶偏导数的函数z=u(x，y)中，存在一个在曲线C上满足u(x，y)=g(x，y)的函数u(x，y)，其在区域Ω上图形的表面积最小。这个表面积最小的曲面，称为最小曲面
上图形的表面积可表示为
因此最小曲面问题可表示为一个泛函极值问题
利用变分极值原理，可得式(1)的Euler方程为
式中：div为散度算子；
为梯度算子，
式(2)展开后为
因此求最小曲面问题，转化为求非线性偏微分(式(3))在Dirichlet边界条件
下的边值问题。
对于给定的初始假设函数
，式(3)的直接线性化方程可以写为
由式(4)可以构造直接线性化迭代格式为
下面可以使用重心插值配点法解决问题。先求出式(3)的重心插值配点法离散公式，进一步求出所得重心插值配点法离散公式的Jacobi导数矩阵及其Newton-Raphson迭代格式
熊春光，李育安．科学与工程计算方法
数学：北京理工大学出版社，2011.04
王兆清，李淑萍．非线性问题的重心插值配点法=Barycentric Interpolation Collocation Method for Nonlinear Problems：国防工业出版社，2015.06
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上海财经大学
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第八章 第3节曲面及其方程
磨璞见玉 砺剑生辉祝同学们在新学期取得更好的成绩11 .答疑的时间和地点：时间：2-9，11-14，17-18周每周一和周三（7-8节）15周周三（7-8节），16周周一（7-8节）答疑 地点：教一楼C300答疑室2.从第二周开始每周周一交作业（分两组轮换交）2内容与学时第八章 空间解析几何6学时 20学时第九章 多元函数微分法及其应用 第十章 重积分 12学时 第十一章 曲线积分与曲面积分 第十二章 无穷级数 18学时 第七章 微分方程14学时14学时总复习4学时 总计 88学时3第八章 空间解析几何 与向量代数 本章内容：第一节、向量及其线性运算 第二节、数量积 向量积 混合积*第8章第三节、曲面及其方程第四节、空间曲线及其方程第五节、平面及其方程 第六节、空间直线及其方程4第三节 曲面及其方程一、曲面方程的概念二、旋转曲面 三、柱面 四、二次曲面 五、小结及作业5一、曲面方程的概念引例: 求到两定点A(1,2,3)和B(2,-1,4)等距离的点的 轨迹方程. 解:设轨迹上的动点为 M ( x , y , z ) , 则 AM ? BM , 即( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? ( z ? 3)2 ? ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? ( z ? 4)2 2 2化简得 2 x ? 6 y ? 2 z ? 7 ? 0说明: 动点轨迹为线段AB的垂直平分面.显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,不在此平面上的点的坐标不满足此方程.6定义1.如果曲面S与方程F(x,y,z)=0有下述关系:(1) 曲面S上的任意点的坐标都满足此方程; (2) 不在曲面S上的点的坐标不满足此方程,则 F(x,y,z)=0叫做曲面S的方程, 曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的图形. 两个基本问题 :(1) (2) 已知一曲面作为点的几何轨迹时, 求曲面方程.F ( x, y, z ) ? 0zSoxy已知方程时 ,研究它所表示的几何形状 ( 必要时需作图 ).7例1.求动点到定点方程. 解:设轨迹上动点为 即距离为R的轨迹依题意( x ? x0 )2 ? ( y ? y0 )2 ? ( z ? z0 )2 ? R故所求方程为 ( x ? x0 )2 ? ( y ? y0 )2 ? ( z ? z0 )2 ? R2 z 特别,当M0在原点时,球面方程为x 2 ? y 2 ? z 2 ? R2表示上(下)球面 .M0Mo xy8例 2 求与原点 O 及 M 0 ( 2,3,4) 的距离之比为1: 2 的点的全体所组成的曲面方程.解 设 M ( x , y, z ) 是曲面上任一点，| MO | 1 根据题意有 ? , | MM0 | 2x2 ? y2 ? z2? x ? 2? ? ? y ? 3? ? ?z ? 4?2 221 ? , 222? 4? 116 ? 2 ? 所求方程为 ? x ? ? ? ? y ? 1? ? ? z ? ? ? . 3? 3? 9 ? ?92例3. 研究方程的曲面. 解: 配方得 此方程表示: 球心为 M 0 (1,? 2, 0 ) , 半径为 5 的球面. 说明: 如下形式的三元二次方程(A≠ 0)表示怎样都可通过配方研究它的图形. 其图形可能是一个球面, 或点 , 或虚轨迹.10例4 方程 z ? ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ?1 的图形是怎样的？ 解 根据题意有z ? ?1z用平面 z? c 去截图形得圆：coxy( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 1 ? c (c ? ?1)当平面 z ? c 上下移动时， 得到一系列圆圆心在 (1,2, c ) ，半径为 1 ? c半径随c 的增大而增大. 图形上不封顶，下封底．11二、旋转曲面定义2. 一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转 一周 所形成的曲面叫做旋转曲面.该平面曲线和定直线分别称为母线和旋转轴.问题：如何求旋转曲面方程？ 下面我们主要讨论坐标面上的曲线绕坐标轴旋转所得旋转曲面的方程。12下面我们重点讨论坐标面上的母线绕坐标轴旋转 得的旋转曲面. 建立yoz面上曲线C 绕z轴旋转所成曲面的方程: z 设 yoz 面上曲线 C: f ( y , z ) ? 0 若点 M1 (0, y1 , z1 ) ? C , 则有 C f ( y1 , z1 ) ? 0 当绕z轴旋转时, 该点转到M ( x, y, z )M 1 (0, y1 , z1 )M ( x , y , z ) , 则有z ? z1 , x 2 ? y 2 ? y1oyx故旋转曲面方程为f ( ? x2 ? y2 , z) ? 013所以f ( y , z ) ? 0 绕 z 轴旋转曲面方程.f ? x 2 ? y 2 , z ? 0, 同理： f ( y , z ) ? 0 绕 y 轴旋转曲面方程??类似曲线 C: f ( x , y ) ? 0绕f x, ?f y , ? x 2 ? z 2 ? 0.???y 2 ? z 2 ? 0.?x 轴旋转曲面方程.曲线 C: f ( x , y ) ? 0绕 y 轴旋转曲面方程.类似f ? x 2 ? z 2 , y ? 0, 曲线 C: f ( x , z ) ? 0 绕 z 轴旋转曲面方程.??f ? x ? y , z ? 0, 曲线 C: f ( x , z ) ? 0 绕 x 轴旋转曲面方程.2 2??f x, ??y 2 ? z 2 ? 0.14?例5.试建立顶点在原点,旋转轴为z轴,半顶角为 ?的圆锥面方程. 解:在yoz面上,直线 L的方程为zLM (0, y, z )z ? y cot ?2 2绕 z 轴旋转时, 圆锥面的方程为?yz ? ? x ? y cot ?令a22 22? cot ? , 两边平方 x22 2215? ? zz ? aa ((xx ? yy ))例6.求坐标面xoz上的双曲线 轴和z轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解:绕x轴旋转 所成曲面方程为分别绕xx y ?z ? ?1 2 2 a c2 2 2绕z轴旋转 所成曲面方程为xyzx2 ? y2 z2 ? 2 ?1 2 a c这两种曲面都叫做旋转双曲面（双叶及单叶）.16y z 例7. yoz面上的椭圆: 2 ? 2 ? 1 a b绕z轴旋转得旋转椭球面方程:22x2 ? y2 z2 ? 2 ?1 2 a b绕y轴旋转得旋转椭球面方程:y x ?z ? ?1 2 2 a b2 2 2旋转曲面特点：至少有两个变量的平方项系数相等.17例8.将yoz平面上的抛物线C: z 2 ? 2 pyz绕y轴旋转一周所产生的旋转抛物面为:S : x 2 ? z 2 ? 2 py又如:将yoz平面上的抛物线C: y 2 ? 2 pzo xzy绕z轴旋转一周所产生的旋转抛物面为:S : x 2 ? y 2 ? 2 pz ? z ? a( x ? y )2 2x018yy ? a x2 ? z2 例9 问方程:(a ? 0) 表示什么图形?解 表示xoy平面上的直线 y ? ax 绕y轴旋转成的右半圆锥面部分。例10 S : z ? 1 ? x ? y 表示什么图形?2 2z(0,0,1)解 表示顶点在z轴上(0,0,1)处, 开口向下的旋转抛物面.0y19x三、柱面引例. 分析方程 表示怎样的曲面 .z表示圆C,M1解:在xoy面上， 平行z轴的直线lC o 在圆C上任取一点 M 1 ( x, y,0) , 过此点作 My, 对任意z, 点 M ( x, y, z )xl的坐标也满足方程 x 2 ? y 2 ? R 2沿曲线C平行于z轴的一切直线所形成的曲面称为圆柱面.其上所有点的坐标都满足此方程, 故在空间x 2 ? y 2 ? R 2 表示圆柱面20定义3. 平行定直线并沿定曲线C移动的直线L形成的轨迹叫做柱面. C叫做准线,L叫做母线.? 表示抛物柱面,zC母线平行于z轴;准线为xoy面上的抛物线.o xzx y ? 2 ? 2 ? 1表示母线平行于 a b z轴的椭圆柱面.? x ? y ? 0 表示母线平行于 z轴的平面. (且z轴在平面上)22yzoyoyxx21一般地,在空间中方程 F ( x , y ) ? 0 表示 柱面,母线 平行于z轴; 准线为xoy面上的曲线 l1zyl1方程 G ( y , z ) ? 0 表示 柱面,母线 平行于x轴; 准线为yoz面上的曲线 l2 方程 H ( z , x ) ? 0 表示柱面, 母线 平行于y轴;xzl 2yxzl3准线为xoz面上的曲线 l3xy22注:柱面方程与坐标面上的曲线方程容易混淆,在不同的坐标系中应该注意。 一般地，在空间直角坐标系中F ( x, y ) ? 0 表示柱面；而相应 xoy面上的曲线可表示为?F ( x , y ) ? 0 ? ?z ? o同理可用此方法表示其它坐标面上的曲线：?G ( x , z ) ? 0 ? ?y ? o?H ( y,z ) ? 0 ? ?x ? o23从柱面方程看柱面的特征：x2 y2 ? 2 ?1 2 a bz只含 x, y 而缺 z 的方程 F ( x , y ) ? 0 ， 在空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴 x 的柱面，其准线为 xoy面上曲线 C .一 般 地:oF ( x , y ) ? 0, F ( y , z ) ? 0, F ( x , z ) ? 0 在空间都表示柱面.上面方程中缺少哪个变量, 就表示此柱面的母线与 哪个坐标轴平行.24四、二次曲面(自学为主）Ax 2 ? By 2 ? Cz 2 ? Dxy ? Eyz ? Fzx? Gx ? Hy ? Iz ? J ? 0此三元二次方程 (二次项系数不全为0)表示的曲面称为 二次曲面. 把平面称为一次曲面． 二次曲面基本类型有: 锥面、椭球面、双曲面、抛物面、柱面 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程（9种） , 下面仅 就几种常见的标准方程讨论其形状 .研究二次曲面图形的基本方法: 截痕法、伸缩法251. 椭球面x y z ? 2 ? 2 ? 1 ( a , b, c 为正数) 2 a b c(1)范围：222x ? a,y ? b,z ?c(2)与坐标面的交线：椭圆? x2 y2 ? ? ?1, 2 2 ?a b ? z?0 ?? y2 z2 ? ? ?1 , ? b2 c 2 ? x?0 ?? x2 z2 ? ? ?1 ? a2 c2 ? y?0 ?26x2 y2 z2 ? 2 ? 2 ? 1 ( a, b, c 为正数) 2 a b c(3)截痕:与 z ? z1 ( z1 ? c) 的交线为椭圆：x2a2 2 (c c2? z1 )2?y2b2 2 (c c2z? z1 )2?1z ? z1同样 y ? y1 ( y1 ? b ) 及也为椭圆. (4) 当a＝b时为旋转椭球面;当a＝b＝c 时为球面.27的截痕z2. 抛物面(1) 椭圆抛物面x2 y2 ? ? z p,q 同号) ( 2 p 2q特别,当p=q时为绕z轴的旋转抛物面. 用坐标面 xoy ( z ? 0) 与曲面相截x截得一点，即坐标原点 o(0,0,0).原点也叫椭圆抛物面的顶点.28(2) 双曲抛物面（鞍形曲面）zx2 y2 ? ? ?z 2 p 2q( p,q同号)xy29z3. 双曲面 (1)单叶双曲面x2 y2 z2 ? 2 ? 2 ? 1 ( a , b, c 为正数) 2 a b cxy平面 z ? z1 上的截痕为 椭圆.平面 y ? y1上的截痕情况:1) y1 ? b 时,截痕为双曲线:x2 z2 y12 ? 2 ? 1 ? 2 (实轴平行于x 轴； 2 a c b y ? y1 虚轴平行于z 轴）302) y1 ? b 时,截痕为相交直线: x z ? ?0 a c y ? b (或 ? b) 3) y1 ? b时,截痕为双曲线:x z y1 ? 2 ? 1? 2 2 a c b y ? y12 2 2zxyz?0xy(实轴平行于z轴; 虚轴平行于x 轴）31(2) 双叶双曲面zx2 y2 z2 ? 2 ? 2 ? ?1 ( a , b, c 为正数) 2 a b c 平面 y ? y1 上的截痕为 双曲线o xy平面 x ? x1 上的截痕为双曲线平面 z ? z1 ( z1 ? c )上的截痕为 椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:1 单叶双曲面 x y z ? 2? 2? 2 a b c ? 1 双叶双曲面2 2 2324.椭圆锥面zzx2 y2 ? 2 ? z 2 ( a , b 为正数) a2 b 在平面 z ? t 上的截痕为椭圆 x2 y2 ? ? 1, z ? t ① 2 2 (a t ) (bt )oxxy y在平面x＝0或y＝0上的截痕为过原点的两直线 .可以证明,椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上 . (椭圆锥面也可由圆锥面经x或y方向的伸缩变换 得到, 见书 P29 )33内容小结三元方程 F ( x , y , z ) ? 0 1.空间曲面 ( x ? x0 )2 ? ( y ? y0 )2 ? ( z ? z0 )2 ? R2 ? 球面 ? 旋转曲面? f ( y, z ) ? 0 绕z轴的旋转曲面: 如,曲线 ? ?x?0 2 2 f (? x ? y , z ) ? 0 ? 柱面 如,曲面 F ( x , y ) ? 0 表示母线平行z轴的柱面.又如,椭圆柱面,双曲柱面,抛物柱面等 .342. 二次曲面? 椭球面 ? 抛物面:三元二次方程( p, q 同号)椭圆抛物面 x2 y2 ? ?z 2 p 2q2双曲抛物面? 双曲面:单叶双曲面 x2 y2 ? 2 ?1 2 a b双叶双曲面x y ? 2 2 a b2? ?1x2 y2 ? 椭圆锥面: 2 ? 2 ? z 2 a b35思考与练习1. 指出下列方程的图形 : 方 程 平面解析几何中x?5x ? y ?92 2空间解析几何中平行于y轴的直线 平行于yoz面的平面 圆心在(0,0) 半径为3的圆 斜率为1的直线 以z轴为中心轴的 圆柱面 平行于z轴的平面36y ? x?12.P31题3， 10题10 答案: 在 xoy 面上37习题7 ? 3 P312， 5， 6， （3） 8 , 9(1), 11( 3)38
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