求等边三角形里的阴影面积是多少，他的边长是6厘米，面积是15.57平方厘米。_百度知道
求等边三角形里的阴影面积是多少，他的边长是6厘米，面积是15.57平方厘米。
等边三角形的高：15.57×2÷6=5.19（厘米）空白部分面积：（6÷2）²×3.14÷2=14.13（平方厘米）阴影部分面积：15.57-14.13=1.44（平方厘米）阴影部分面积是1.44平方厘米。望采纳，希望对你有帮助，谢谢
采纳率：38%
阴影部分面积就等于等边三角形减去三个内角为60°的扇形
S△=15.57 cm²
S扇形=60/360
*π*3² =4.71 cm²
S阴影=S△-3*S扇形=15.57-3×4.71=1.44 cm²
能不能列出算式？
已知S等边△=15.57cm²
S扇形= （60÷360）× π × 3²
=4.71cm²
S阴影= S等边△-3S扇形
= 15.57-3×4.71
= 1.44 cm²
（60÷360）× π × 3²
=4.71cm² 能够把这个算式再分段具体一些不？
这个还要怎么分段？ 就是扇形的面积公式，你写上去，肯定就算对了。数学不像语文 ，没必要写很多。
S＝﹙√3/4﹚6²-3×﹙1/6﹚π×3²＝9﹙√3-π/2﹚≈1.45129﹙cm²﹚
这个题目可以把空白部分看做三个半径为三厘米，角度六十度的扇形，用求圆的面积公式将其求出（空白部分组合起来实际上是一个半径三厘米的半圆），这样得出白色部分的面积，再用15.57减去白色部分面积就可以了。
求进去我哪里答5财富值那道题
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华杯赛1-15届的真题和答案
第一届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题1. 、、2006 这五个数的总和是多少? 2．每边长是 10 厘米的正方形纸片，正中间挖了一个正方形的洞，成为一个宽 1 厘米的方框。 把五个这样的方框放在桌面上，成为一个这样的图案(如图 1 所示)。问桌面上被这些方框盖 住的部分面积是多少平方厘米?3．105 的约数共有几个? 4．妈妈让小明给客人烧水沏茶。洗开水壶要用 1 分钟，烧开水要用 15 分钟，洗茶壶要用 1 分钟， 洗茶杯要用 1 分钟， 拿茶叶要用 2 分钟。 小明估算了一下， 完成这些工作要花 20 分钟。 为了使客人早点喝上茶，按你认为最合理的安排，多少分钟就能沏茶了? 5．下面的算式里，四个小纸片各盖住了一个数字。被盖住的四个数字的总和是多少?6．松鼠妈妈采松子，晴天每天可以采 20 个，雨天每天只能采 12 个。它一连几天采了 112 个 松子，平均每天采 14 个。问这几天当中有几天有雨? 7．边长 l 米的正方体 2100 个，堆成了一个实心的长方体。它的高是 10 米，长、宽都大于高。 问长方体的长与宽的和是几米? 8． 早晨 8 点多钟有两辆汽车先后离开化肥厂向幸福村开去。两辆车的速度都是每小时 60 千 米。 8 点 32 分的时候，第一辆汽车离开化肥厂的距离是第二辆汽车的三倍。到了 8 点 39 分 的时候，第一辆汽车离开化肥厂的距离是第二辆汽车的 2 倍。那么，第一辆 汽车是 8 点几分 离开化肥厂的? 9．有一个整数，除 300、262、205 得到相同的余数。问这个整数是几?10．甲、乙、丙、丁四个人比赛乒乓球，每两个人都要赛一场。结果甲胜了丁，并且甲、乙、 丙三人胜的场数相同。问丁胜了几场? 11．两个十位数
的乘积有几个数字是奇数? 12．黑色、白色、黄色的筷子各有 8 根，混杂地放在一起，黑暗中想从这些筷子中取出颜色 不同的两双筷子。问至少要取多少根才能保证达到要求? 13．有一块菜地和一块麦地。菜地的一半和麦地的 l／3 放在一起是 13 公顷。麦地的一半和 菜地的 1／3 放在一起是 12 公顷。那么，菜地是几公顷? 14．71427 和 19 的积被 7 除，余数是几? 15．科学家进行一项实验，每隔 5 小时做一次记录。做第十二次记录时，挂钟的时针恰好指 向 9，问做第一次记录时，时针指向几? 16． 有一路电车的起点站和终点站分别是甲站和乙站。每隔 5 分钟有一辆电车从甲站出发开 往乙站，全程要走 15 分钟。有一个人从乙站出发沿电车路线骑车前往甲站。 他出发的时候， 恰好有一辆电车到达乙站。在路上他又遇到了 10 辆迎面开来的电车，才到达甲站。这时候， 恰好又有一辆电车从甲站开出。问他从乙站到甲站用了 多少分钟? 17．在混合循环小数 的某一位上再添上一个表示循环的圆点，使新产生的循环小数尽可能大，请写出新的循环小数。 18．有六块岩石标本，它们的重量分别是 8.5 千克、6 千克、4 千克、4 千克、3 千克、2 千克。 要把它们分装在三个背包里，要求最重的一个背包尽可能轻一些。请写出最重的背包里装的 岩石标本是多少千克? 19．同样大小的长方形小纸片摆成如图 2 的图形。已知小纸片的宽是 12 厘米，求阴影部分的 总面积。参考答案 1．【解】 1986 是这五个数的平均数，所以和＝1986× 5＝9930。 2．【解】方框的面积是 叠部分共有 8 个 。每个重叠部分占的面积是一个边长为 1 厘米的正方形。重?1025 一 l× 8＝(100―64)× 5―8＝36× 5―8＝172(平方厘米)。 ? 82 ? ×故被盖住的面积是 172 平方厘米。 3．【解】 105＝3× 5× 7，共有(1＋1)× (1＋1)× (1＋1)＝8 个约数，即 1，3，5，7，15，21，35， 105。 4． 【解】在这道题里，最合理的安排应该最省时间。先洗开水壶，接着烧开水，烧上水以后， 小明需要等 15 分钟，在这段时间里，他可以洗茶壶，洗茶杯，拿茶叶，水开了就沏茶，这样 只用 16 分钟。 5．【解】149 的个位数是 9，说明两个个位数相加没有进位，因此，9 是两个个位数的和， 14 是两个十位数的和。于是，四个数字的总和是 14＋9＝23。 6．【解】松鼠采了：112÷ 14＝8(天) 假设这 8 天都是晴天，可以采到的松籽是：20× 8＝160(个) 实际只采到 112 个，共少采松籽：160－112＝48(个) 每个下雨天就要少采：20－12＝8(个) 所以有 48÷ 8＝(6)个雨天。 7． 【解】因为正方体的边长是 1 米，2100 个正方体堆成实心长方体的体积就是 2100 立方米。 已经知道，高为 10 米，于是长× 宽＝210 平方米 把 210 分解为质因数：210＝2× 3× 5× 7 由于长和宽必须大于高(10 米)，长和宽只能是：3× 5 和 2× 7。也就是 15 米和 14 米。14 米 ＋15 米＝29 米。 答：长与宽的和是 29 米。8．【解】39－32＝7。这 7 分钟每辆行驶的距离恰好等于第二辆车在 8 点 32 分行过的距离的 1(＝3－2)倍。因此第一辆车在 8 点 32 分已行 7× 3＝21(分)，它是 8 点 11 分离开化肥厂的(32 －21＝11) 。 【注】本题结论与两车的速度大小无关，只要它们的速度相同。答案都是 8 点 11 分。 9．【解】这个数除 300、262，得到相同的余数，所以这个数整除 300－262＝38，同理，这 个数整除 262－205＝57，因此，它是 38、57 的公约数 19。 10．【解】因为一共赛了六场，而且“甲乙丙三人胜的场数相同”他们不是各胜一场就是各胜 两场如果甲、乙、丙各胜一场，丁就应该是胜了三场，但丁已经败给了甲，他就不可能胜三 场因此，只可能是甲、乙、丙各胜二场，3× 2＝6，三人共胜了六场，所以丁一场也没有胜。 11． 【解】×
＝× (－1)＝8888889 于是有 10 个数字是奇数。 12．【解】10 根筷子，可能 8 根黑，1 根白，1 根黄，其中没有颜色不同的两双筷子。 如果取 11 根，那么由于 11＞3，其中必有两根同色组成一双，不妨设这一双是黑色的，去掉 这两根，余下 9 根，其中黑色的至多 6(＝8－2)根，因而白、黄两色的筷子至少有 3(＝9－6) 根，3 根中必有 2 根同色组成一双。这样就得到颜色不同的两双筷子。所以至少要取 11 根。 13．【解】菜地的 3 倍和麦地的 2 倍是 13× 6 公顷。菜地的 2 倍和麦地的 3 倍是 12× 6 公顷， 因此菜地与麦地共：(13× 6＋12× 6)÷ (3＋2)＝30(公顷)， 菜地是 13× 6－30× 2＝18(公顷)。 14． 【解】71427 被 7 除，余数是 6，19 被 7 除，余数是 5，所以 71427× 19 被 7 除，余数就 是 6× 5 被 7 除所得的余数 2。 15．【解】从第一次记录到第十二次记录，相隔十一次，共 5× 11＝55(小时)。时针转一圈是 12 小时，55 除以 12 余数是 7，9－7＝2 答：时针指向 2。 16．【解】因为电车每隔 5 分钟发出一辆，15 分钟走完全程。骑车人在乙站看到的电车是 15 分钟以前发出的，可以推算出，他从乙站出发的时候，第四辆电车正从甲站出发骑车人从乙 站到甲站的这段时间里，甲站发出的电车是从第 4 辆到第 12 辆。电车共发出 9 辆，共有 8 个 间隔。于是：5× 8＝40(分) 。 17．【解】小数点后第 7 位应尽可能大，因此应将圈点点在 8 上，新的循环小数是 。18．【解】三个背包分别装 8.5 千克、6 千克与 4 千克，4 千克、3 千克与 2 千克，这时最重 的背包装了 lO 千克。 另一方面最重的包放重量不少于 10 千克：8.5 千克必须单放(否则这一包的重量超过 10)6 千 克如果与 2 千克放在一起， 剩下的重量超过 10， 如果与 3 千克放在一起， 剩下的重量等于 10。 所以最重的背包装 10 千克。 19．【解】从第一排与第二排看，五个小纸片的长等于三个小纸片的长加三个小纸片的宽， 也就是说，二个小纸片的长等于三个小纸片的宽。 已知小纸片的宽是 12 厘米，于是小纸片的长是：12× 3÷ 2＝18(厘米)， 阴影部分是三个正方形，边长正好是小纸片的长与宽的差：18－12＝6 于是，阴影部分的面积是：6× 6× 3＝108(平方厘米)。第二届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题1．“华罗庚金杯”少年数学邀请赛每隔一年举行一次．今年(1988 年)是第二届．问 2000 年 是第几届？ 2．一个充气的救生圈（如右图）．虚线所示的大圆，半径是 33 厘米．实线 所示的小圆，半径是 9 厘米．有两只蚂蚁同时从 A 点出发，以同样的速度 分别沿大圆和小圆爬行．问：小圆上的蚂蚁爬了几圈后，第一次碰上大圆 上的蚂蚁？ 3．如右图是一个跳棋棋盘，请你算算棋盘上共有多少个棋孔？ 4．有一个四位整数．在它的某位数字前面加上一个小数点，再和这个 四位数相加，得数是 2000.81．求这个四位数． 5．如图是一块黑白格子布．白色大正方形的边长是 14 厘米，白色小正方 形的边长是 6 厘米．问：这块布中白色的面积占总面积的百分之几？ 6．如下图是两个三位数相减的算式，每个方框代表一个数字．问：这六个 方框中的数字的连乘积等于多少？7．如右图中正方形的边长是 2 米，四个圆的半径都是 1 米，圆心分别是正 方形的四个顶点．问：这个正方形和四个圆盖住的面积是多少平方米？ 8．有七根竹竿排成一行．第一根竹竿长 1 米，其余每根的长都是前一根 的一半．问：这七根竹竿的总长是几米？ 9．有三条线段 A、B、C，a 长 2.12 米，b 长 2.71 米，c 长 3.53 米，以它们作为上底、下底 和高，可以作出三个不同的梯形．问：第几个梯形的面积最大(如下图)？10．有一个电子钟，每走 9 分钟亮一次灯，每到整点响一次铃．中午 12 点整， 电子钟响铃 又亮灯．问：下一次既响铃又亮灯是几点钟？ 11．一副扑克牌有四种花色，每种花色有 13 张，从中任意抽牌．问:最少要抽多少张牌，才 能保证有 4 张牌是同一花色? 12．有一个班的同学去划船．他们算了一下，如果增加一条船，正好每条船坐 6 人；如果减 少一条船，正好每条船坐 9 人．问：这个班共有多少同学？ 13．四个小动物换座位．一开始，小鼠坐在第 1 号位子，小猴坐在第 2 号，小兔坐在第 3 号， 小猫坐在第 4 号．以后它们不停地交换位子．第一次上下两排交换．第二次是在第一次交 换后再左右两排交换．第三次再上下两排交换．第四次再左右两排交换……这样一直换下 去．问：第十次交换位子后，小兔坐在第几号位子上？（参看下图）14．用 1、9、8、8 这四个数字能排成几个被 11 除余 8 的四位数？ 15．如下图是一个围棋盘，它由横竖各 19 条线组成．问：围棋盘上有多少个右图中的小正方 形一样的正方形？参考答案 1、【解】：“每隔一年举行一次”的意思是每 2 年举行一次．今年是 1988 年，到 2000 年还有
年，因此还要举行 12÷ 2=6 届．今年是第二届，所以 2000 年是 2＋6=8 分析与 讨论: 这题目因为数字不大， 直接数也能很快数出来： 1988、 1990、 1992、 1994、 1996、 1998、 2000 年分别是第二、三、四、五、六、七、八届．故 2000 年举行第八届． 2、【解】：由于两只蚂蚁的速度相同，由距离÷速度=时间这个式子，我们知道大、小圆上 的蚂蚁爬一圈的时间的比应该等于圈长的比．而圈长的比又等于半径的比，即：33∶9．要问 两只蚂蚁第一次相遇时小圆上的蚂蚁爬了几圈，就是要找一个最小的时间它是大、小圆上蚂 蚁各自爬行一圈所斋时间的整数倍．由上面的讨论可见，如果我们适当地选取时间单位，可 以使小圆上的蚂蚁爬一圈用 9 个单位的时间，而大圆上的蚂蚁爬一圈用 33 个单位的时间．这 样一来， 问题就化为求 9 和 33 的最小公倍数的问题了． 不难算出 9 和 33 的最小公倍数是 99， 所以答案为 99÷ 9=11．故小圆上的蚂蚁爬了 11 圈后，再次碰到大圆上的蚂蚁． 3、【解】：这个题目的做法很多．由于时间所限，直接数是来不及的，而且容易出错．下图 给出一个较好的算法．把棋盘分割成一个平行四边形和四个小三角形，如图 34．平行四边形 中的棋孔数为 9× 9=91，每个小三角形中有 10 个棋孔．所以棋孔的总数是 81＋10× 4=121 个。 4、【解 1】：由于得数有两位小数，小数点不可能加在个位数之前．如果小数点加在十位数 之前，所得的数是原米四位数的百分之一，再加上原来的四位数，得数 2000.81 应该是原来 四位数的 1.01 倍，原来的四位数是 2000.81÷ 1.01＝1981．类似地，如果小数点加在百位数之 前，得数 2000.81 应是原来四位数的 1.001 倍，小数点加在千位数之前，得数 2000.81 应是原 来四位数的 1.0001 倍．但是（2000.81÷ 1.001）和（2000．81÷ 1.0001）都不是整数，所以只有 1981 是唯一可能的答案． 【解 2】：注意到在原来的四位数中，一定会按顺序出现 8，1 两个数字．小数点不可能加在 个位数之前；也不可能加在千位数之前，否则原四位数只能是 8100，在于 2000.81 了．无论 小数点加在十位数还是百位数之前，所得的数都大于 1 而小于 100．这个数加上原来的四位 数等于 2000.81，所以原来的四位数一定比 2000 小，但比 1900 大，这说明它的前两个数字必 然是 1，9．由于它还有 8，1 两个连续的数字，所以只能是 1981．5、【解】：格子布的面积是图 36 面积的 9 倍，格子布白色部分的面积也是图 36 上白色面积的 9 倍．这样，我们只需计算图 36 中白色部分所占面积的百分比就行了．这个计算很简单：14 ? 14 ? 6 ? 6 ? 0.58 ? 58% 20 ? 206、【解】：两数相减，习惯上先考虑个位数．但仔细看一下就会发现，两个二位数的个位是 不确定的：这两个个位数同时加 1 或同时减 1，它们的差不变．这样一来，六个方框中的数 字的连乘积就会不确定了，除非有一个方框的数字是 0，使得乘积总是 0．这就启发我们试着 找方框中的 0．两个三位数的首位当然不是 0，因此减数的首位最少是 1，被减数的首位至多 是 9．但因为差的首位是 8，所以只有一种可能，就是被减数首位是 9，减数的首位是 1．这 样一来，第二位数上的减法就不能借位了．被减数的第二位至多是 9 而减数的第二位至少是 0，这两数的差是 9，所以也只有一种可能：被减数的第二位是 9，减数的第二位是 0．这样 我们就确定了六个方框中有一个方框里的数必是 0．7、 【解】：每个圆和正方形的公共部分是一个扇形，它的面积是圆的面积的四分之一．因此， 整个图形的面积等于正方形的面积加上四块四分之三个圆的面积．而四块四分之三个圆的面 积等于圆面积的三倍．因此，整个图形的面积等于正方形的面积加上圆面积的三倍，也就是 2× 2＋π×1×1×3≈13.42（平方米）． 8、【解】：我们这样考虑：取一根 2 米长的竹竿，把它从中截成两半，各长 1 米．取其中一 根作为第一根竹竿．将另外一根从中截成两半，取其中之一作为第二根竹竿．如此进行下去， 到截下第七根竹竿时，所剩下的一段竹竿长为因此，七根竹竿的总长度是 2 米减去剩下一段的长，也就是2?1 63 ?1 64 64 ．9、【解】： 首先注意，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2．但我们现在是比较三个梯形面积的大小，所以不妨把它们的面积都乘以 2，这样只须比较（上底＋下底）× 高的大小就行 了．我们用乘法分配律： 第一个梯形的面积的 2 倍是： （2.12＋3.53）× 2.71＝2.12× 2.17＋3.53× 2.71 第二个： （2.71＋3.53）× 2.12＝2.71× 2.12＋3.53× 2.12 第三个： （2.12＋2.71）× 3.53＝2.12× 3.53＋2.71× 3.53 先比较第一个和第二个．两个式子右边的第一个加数，一个是 2.12× 2.71，另一个是 2.71× 2.12．由乘法交换律，这两个积相等．因此只须比较第二个加数的大小就行了．显然 3.53× 2.71 比 3.53× 2.12 大，因为 2.1 比 2.12 大．因此第一个梯形比第二个梯形的面积大． 类似地，如果比较第一个和第三个，我们发现它们有边第二个加数相等，而第一个加数 2.12× 2.71＜2.12× 3.53．因此第三个梯形比第一个梯形面积大． 综上所述，第三个梯形面积最大．10、【解】：因为电子钟每到整点响铃，所以我们只要考虑哪个整点亮灯就行了．从中午 12点起，每 9 分钟亮一次灯，要过多少个 9 分钟才到整点呢？由于 1 小时＝60 分钟，这个问题 换句话说就是：9 分钟的多少倍是 60 分钟的整数倍呢？这样一来问题的实质就清楚了：是求 9 分和 60 最小公倍数．不难算出 9 和 60 的最小公倍数是 180．这就是说，从正午起过 180 分 钟，也就是 3 小时，电子钟会再次既响铃又亮灯．则下一次既响铃又亮灯时是下午 3 点钟．11、【解】：这里“保证”的意思就是无论怎样抽牌，都一定有 4 张牌为同一花色．我们先看抽 12 张牌是否能保证有 4 张同花的？虽然有时 12 张牌中可能有 4 张同花，甚至 4 张以上同 花，但也可能每种花色正好 3 张牌，因此不能保证一定有 4 张牌同花．那么，任意抽 13 张牌 是否保证有 4 张同花呢？我们说可以．证明如下：如果不行的话，那末每种花色最多只能有 3 张，因此四种花色的牌加起来最多只能有 12 张，与抽 13 张牌相矛盾．所以说抽 13 张牌就 可以了．这种证明的方法称为反证法．可知至少要抽 13 张牌，才能保证有四张牌是同一花色 的． 12、【解 1】：假定先增加一条船，那么正好每条船坐 6 人．现在去掉两条船，就会余下 6× 2 ＝12 名同学没有船坐．而现在正好每条船 9 人，也就是说，每条船增加 9-6＝3 人，正好可以 把余下的 12 名同学全部安排上去，所以现在还有 12÷ 3＝4 条船，而全班同学的人数是 9× 4＝ 36 人． 【解 2】：由题目的条件可知，全班同学人数既是 6 的倍数，又是 9 的倍数，因而是 6 和 9 的公倍数．6 和 9 的最小公倍数是 18．如果总数是 18 人，那么每船坐 6 人需要有 18÷ 6＝3 条船，而每船坐 9 人需要 18÷ 9＝2 条船，就是说，每船坐 6 人比每船坐 9 人要多一条船．但 由题目的条件，每船坐 6 人比每船坐 9 人要多用 2 条船．可见总人数应该是 18× 2＝36．13、 【解】：这道题问的是第十次交换位子后，小兔坐在第几号位子上？我们先根据题意将小兔座位变化的规律找出来．从图 40 的箭头图可以看出：每一次交换座位，小兔的座位按顺时针方向转动一格，每 4 次交 换座位，小兔的座位又转回原处．知道了这个规律，答案就不难得到了．第十次交换座位后， 小兔的座位应该是第 2 号位子．故第十次交换座位后，小兔坐在第 2 号位子．14、【解】：什么样的数能被 11 整除呢？一个判定法则是：比较奇位数字之和与偶位数字之和，如果它们之差能被 11 除尽，那么所给的数就能被 11 整除，否则就不能够．现在要求被 11 除余 8，我们可以这样考虑：这样的数加上 3 后，就能被 11 整除了．所以我们得到“一个 数被 11 除余 8”的判定法则：将偶位数字相加得一个和数，再将奇位数字相加再加上 3，得另 一个和数， 如果这两个和数之差能被 11 除尽， 那么这个数是被 11 除余 8 的数； 否则就不是． 要 把 1、9、8、8 排成一个被 11 除余 8 的四位数，可以把这 4 个数分成两组，每组 2 个数字．其 中一组作为千位和十位数，它们的和记作 A；另外一组作为百位和个位数，它们之和加上 3 记作 B．我们要适当分组，使得能被 11 整除．现在只有下面 4 种分组法：经过验证，第（1）种分组法满足前面的要求： A＝1＋8，B＝9＋8＋3＝20，B－A＝11 能被 11 除尽．但其余三种分组都不满足要求． 根据判定法则还可以知道，如果一个数被 11 除余 8，那么在奇位的任意两个数字互换， 或者在偶位的任意两个数字互换，得到的新数被 11 除也余 8．于是，上面第（1）分组中，1 和 8 中任一个可以作为千位数，9 和 8 中任一个可以作为百位数．这样共有 4 种可能的排法： ，．故能排成 4 个被 11 除余 8 的数。15、【解】：要能准确迅速地数出小正方形的个数，需要动动脑筋．我们先在右图小正方形中找一个代表点，例如右下角的点 E 作为代表点．然后将小正方形按 题意放在围棋盘上，仔细观察点 E 应在什么地方．通过观察，不难发现： （1）点 E 只能在棋盘右下角的正方形 ABCD（包括边界）的格子点上． （2）反过来，右下角正方形 ABCD 中的每一个格子点都可以作为小正方形的点 E，也只 能作为一个小正方形的点 E． 这样一来，就将“小正方形的个数”化为“正方形 ABCD 中的格子点个数”了．很容易 看出正方形 ABCD 中的格子点为 10× 10＝100 个．第三届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题1．光的速度是每秒 30 万千米，太阳离地球 1 亿 5 千万千米．问：光从太阳到地球要用几分 钟（得数保留一位小数）？ 2．计算3．有 3 个箱子，如果两箱两箱地称它们的重量，分别是 83 千克、85 千克和 86 千克．问： 其中最轻的箱子重多少千克？ 4．请将算式 0.1 ? 0.01 ? 0.001 的结果写成最简分数． 5．（如右图）将高都是 1 米，底面半径分别为 1.5 米、1 米和 0.5 米的 三个圆柱组成一个物体．求这个物体的表面积（取 ? ? 3 ）． 6．一位少年短跑选手，顺风跑 90 米用了 10 秒钟．在同样的风速下，逆风跑 70 米，也用了 10 秒钟．问：在无风的时候，他跑 100 米要用多少秒？ 7．一个矩形分成 4 个不同的三角形（如右图），绿色三角形面积占矩形面积 的 15％，黄色三角形的面积是 21 平方厘米．问：矩形的面积是多少平方 厘米？ 8．有一对紧贴的传动胶轮，每个轮子上都画有一条通过轴心的标志线（如下图）．主动轮的 半径是 105 厘米，从动轮的半径是 90 厘米．开始转动时，两个轮子上的标志线在一条直线 上．问：主动轮至少转了几转后，两轮的标志线又在一条直线上？9．小明参加了四次语文测验，平均成绩是 68 分．他想在下一次语文测验后，将五次的平均 成绩提高到 70 分以上，那么，在下次测验中，他至少要得多少分？ 10．如右图中共有 7 层小三角形，求白色小三角形的个数与黑色小三角形 的个数之比． 11．下面的算式里，每个方框代表一个数字．问：这 6 个方框中的数字的总 和是多少？12．在所有的两位数中，十位数字比个位数字大的两位数有多少个？ 13．有甲、乙两个同样的杯子，甲杯中有半杯清水，乙杯中盛满了含 50％酒精的溶液．先将 乙杯中酒精溶液的一半倒入甲杯，搅匀后，再将甲杯中酒精溶液的一半倒入乙杯．问这时乙 杯中的酒精是溶液的几分之几？ 14．射箭运动的箭靶是由 10 个同心圆组成，两个相邻的同心圆半径之差等 于最里面的小圆半径．最里面的小圆叫做 10 环（如右图所示），最外面的 圆环叫做 1 环．问：10 环的面积是 1 环面积的几分之几？ 15．王师傅在某个特殊岗位上工作、他每上 8 天班后，就连续休息 2 天．如 果这个星期六和星期天他休息， 那么， 至少再过几个星期后他才能又在星期 天休息？1、【解】：将距离单位换为“万千米”，时间单位用“分” 光速＝30 万千米／秒＝1800 万千米/分，距离＝1 亿 5 千万千米＝15000 万千米． 时间＝距离÷ 速度＝15000÷ 1800＝ 81 (分)≈8.3(分) 321 ? 18 ? 10 15 49 1 1 1 ? 15 ? 1 2.【解】：原式＝ ? = ? ＝ ? ? ?? ＝ 2 ? 3? 3? 5? 7 7 2 ? 3? 3? 7 6 ? 2 ? 3? 5 5 ? 7 3? 3? 7 ? 73.【解】：如果将 3 个箱子按重量区分为大、中、小，那么 83＝中＋小、85＝大＋小、86＝大＋中 因此最轻的箱子重 (83＋85－86)÷ 2＝41(千克)1 1 1 100 ? 10 ? 1 111 37 4.【解】：原式＝ ? ? ＝ ＝ ＝ 。. 9 90 900 900 900 3005.【解】：物体的表面积恰好等于一个大圆柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积．即 2×π× 1.52 ＋2×π×1.5×1＋2×π×1×1＋2×π×0.5×1 ＝4.5π＋3π＋2π＋π ＝10.5π(平方米) 取 π 值为 3，上式等于 31.5(平方米)。 6.【解】：顺风时速度＝90÷ 10＝9(米/秒)，逆风时速度＝70÷ 10＝7(米/秒)，1 无风时速度＝(9＋7)× ＝8(米/秒），无风时跑 100 米需要 100÷ 8＝12.5(秒) 2答：无风时跑 100 米需要 12.5 秒. 7.【解】：黄色三角形与绿色三角形面积之和是矩形面积的 50％，而绿色三角形面积占矩形 面积的 15％，所以黄色三角形面积占矩形面积的 50％－15％＝35％已知黄色三角形面积是 21 平方厘米，所以矩形面积等于 21÷ 35％＝60(平方厘米)。 8.【解】：105 与 90 的最小公倍数是 630．630÷ 105＝6， 所以主动轮转了 6 个半圈，即转了 3 转，两轮的标志线又在一条直线上9.【解】：70× 5－68× 4＝78(分) 【又解】70＋4× (70－68)＝78(分)10.【解】白色小三角形个数＝1＋2＋…＋6＝?1 ? 6 ? ? 6 ＝21，2黑色小三角形个数＝1+2+?+7＝?1 ? 7 ? ? 7 ＝28，2所以它们的比＝21 3 ＝ 。 28 411.【解】每个方框中的数字只能是 0～9，因此任两个方框中数字之和最多是 18．现在先看 看被加数与加数中处于“百位”的两个数字之和，这个和不可能小于 18，因为不管它们后面的 两个二位数是什么，相加后必小于 200，也就是说最多只能进 1．这样便可以断定，处于“百 位”的两个数字之和是 18，而且后面两位数相加进 1，同样理由，处于“十位”的两个数字之和 是 18，而且两个“个位”数字相加后进 1。因此，处于“个位”的两个数字之和必是 11，6 个方 框中数字之和为 18＋18＋11＝47。 【又解】被加数不会大于 999，所以加数不会小于 ＝992。同样，被加数不会小于 992 也就是说，加数和被加数都是不小于 992，不大于 999 的数这样便确定了加数和被加数的 “百位”数字和“十位”数字都是 9，而两个个位数字之和必是 11，于是，总和为 9× 4＋11＝47。 12.【解】适合要求的两位数中，个位数字小于十位数字可将它们列出来： 十位数字个位数字 10 20，1 30，1，2 ……… 90，1，2，…，8 因此，适合要求的两位数共有1＋2 十 3＋…＋9＝?1 ? 9 ? ? 9 ＝45(个)。213.【解】第一次乙杯中酒精溶液的一半倒入甲杯后，甲杯中的溶液含酒精为 25％；第二次将 1 1 1 1 3 甲杯中酒精溶液倒入乙杯，此时乙杯中的酒精为溶液的 × 25％＋ × 50％＝ ＋ ＝ . 2 2 8 4 8 14.【解】设 10 环小圆半径是 1，那么 l 环的外圆半径是 l0，内圆半径是 9。10 环面积＝π，1 环面积＝π× 102 －π× 92 ＝19π，1 。 19? 1 ? ， 19? 19因此 10 环面积是 1 环面积的15.【解】：设至少过 n 个星期，可能第 n 个星期六休息，也可能第 n 个星期六不休息(在星期 天与星期一连休 2 天)，前者得出：7n-2＝10K＋8(1)，后者得出：7n-1＝10K＋8(2)，其中 K 是自然数 (1)即 7n＝10(K＋1)，因此，n 是 10 的倍数，至少是 10；(2)即 7n＝10K＋9，它表明 7n 的个位数字是 9，所以 n＝7，17，…于是至少再过 7 个星期 后，才能又在星期天体息。第四届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题1．请将下面算式结果写成带分数：2．一块木板上有 13 枚钉子（如右图）．用橡皮筋套住其中的几枚钉子， 可 以构成三角形，正方形，梯形，等等（如下图）．请回答：可以构成多少个 正方形？3． 这里有一个圆柱和一个圆锥 （如右图） ， 它们的高和底面直径都标在图上， 单位是厘米． 请 回答：圆锥体积与圆柱体积的比是多少？2 5 15 10 12 4．这里有 5 个分数： , , , , ，如果按大小顺序排列，排在中间的是哪个数？ 3 8 23 17 19 5．现在流行的变速自行车，在主动轴和后轴分别安装了几个齿数不同的齿轮．用链条连接不 同搭配的齿轮，通过不同的传动比获得若干档不同的车速．“希望牌”变速自行车主动轴上 有三个齿轮，齿数分别是 48，36，24；后轴上有四个齿轮，齿数分别是 36，24，16，12．问： “这种变速车一共有几档不同的车速？ 6． 右图中的大正方形 ABCD 的面积是 1， 其它点都是它所在的边的中点． 请问：阴影三角形的面积是多少？7．在右边的算式中，被加数的数字和是和数的数字和的三倍．问：被加 数至少是多少？8．筐中有 60 个苹果，将它们全部都取出来，分成偶数堆，使得每堆的个数相同．问：有多 少种分法？ 9．小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得 9 分，套中小猴得 5 分，套中小狗得 2 分．小明共套了 10 次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次．小明套 10 次共得了 61 分．问：小鸡 至少被套中多少次？ 10．车库中停放若干辆双轮摩托车和四轮小卧车，车的辆数与车的轮子数之比是 2∶5．问： 摩托车的辆数与小卧车的辆数之比是多少？ 11．有一个时钟，它每小时慢 25 秒，今年 3 月 21 日中午十二点它的指示正确．请问：这个 时钟下一次指示正确的时间是几月几日几点钟？12．某人由甲地去乙地．如果他从甲地先骑摩托车行 12 小时，再换骑自行车 9 小时，恰好到 达乙地． 如果他从甲地先骑自行车行 21 小时， 再换骑摩托车行 8 小时， 也恰好到达乙地． 问： 全程骑摩托车需要几小时到达乙地？ 13．右图的二个圆只有一个公共点 A，大圆直径 48 厘米，小圆直径 30 厘米．二只甲虫同时从 A 点出发，按箭头所指的方向以相同速度分别 沿二个圆爬行．问：当小圆上的甲虫爬了几圈时，二只甲出相距最远？ 14．某种少年读物，如果按原定价格销售，每售一本，获利 0.24 元； 现在降价销售，结果售书量增加一倍，获利增加 0.5 倍．问：每本书售 价降价多少元？ 15．有一座四层楼房（如右图），每个窗户的 4 块玻璃分 别涂上红色和白色，每个窗户代表一个数字．每层楼有三个窗户，由左 向右表示一个三位数． 四个楼层表示的三位数有： 791， 275， 362， 612． 问： 第二层楼表示哪个三位数？参考答案 1、【解】原式118 ? 59 ?119 ? 1? ? 59 59 60 ? ? 59 ? ? 58 119 119 119 1192、【解】如下图所示，可以将正方形分为四类，分别有 5 个、1 个、4 个、1 个，共 11 个。1 2 ?2 ?4 圆锥体积 3 1 3、【解】 。 ? ? 2 圆柱体积 4 ?8 244、【解】分子的最小公倍数是 60，给出的 5 个分数依次等于：12 60 ，即 。 19 95 5、【解】算出全部传动比，并列成表：60 60 60 60 60 , , , , ，比较分 90 96 92 102 95母的大小，居中的分数是3 这里有 4 对传动比是相同的：1， ，2，3。将重复的传动比去掉，剩下 8 个不同的比，所以 2 共有 8 档不同的车速。 1 1 6、解】图中有大、中、小三个正方形，每个面积是前一个的 ，所以小正方形面积是 ，将 2 4 1 小正方形各顶点标上字母如右图，很容易看出三角形 JFG 面积＝三角形 IHG 面积＝ × 正方 4 1 1 形 EFGH 面积，三角形 EJI 面积＝ × 三角形 EFH 面积＝ × 正方形 EFGH 面积。所以阴影三 4 8 3 3 ? 1 1 1? 角形 JGI 面积＝ ?1 ? ? ? ? × 小正方形面积＝ × 小正方形面积＝ 。 8 32 ? 4 4 8?7、【解】从“被加数的数字和是和的数字和的三倍”这句话，可以推断出两点：①被加数可以 被 3 整除。②在做加法运算时，个位数字相加一定进位，否则和的数字和只会增加。从前一 点可以得出被加数在 12，15，18……中。再从后一点可以得出被加数最小是 18，这时数字和 1＋8＝9，恰好是和 21 的数字和 2＋1＝3 的 3 倍。因此，满足题目的最小的被加数是 18。 8、【解】堆数是 60 的约数，而在偶数 60 的约数中，偶数有 8 个，即：2，4，6，10，12， 20，30，60，因此有 8 种分法。 9、【解】套中小鸡、小猴、小狗各 1 次，共 16(＝9＋5 十 2)分，因此还有 7(＝10－3)次，共 得 45(＝61－16)分。这 7 次中，至多套中小鸡 4 次(因为 9× 5 已经 45 分，所以不可能套中小 鸡 5 次)，由于 9× 4＋5× 1＋2× 2＝36 所以可以套中小鸡 4 次，小猴 1 次，小狗 2 次。即 10 次 中，至多套中小鸡 5 次(这时套中小猴 2 次，小狗 3 次)。 10、【解】车库中，平均每 2 辆车有 5 个轮子，也就是说，平均每 4 辆车有 10 个轮子。简单 的试凑可以知道，1 辆小卧车和 3 辆摩托车恰好有 10 个轮子。所以摩托车的辆数与小卧车的 辆数之比为 3∶1。 11、【解】当这个时钟慢 12 个小时的时候，它又指示准确的时间，慢 12 个小时需 60 ? 60 ?12 12 ?12 ?12 ＝12× 12× 12(小时)相当于： ＝72(天)，注意 3 月份有 31 天，4 月份有 30 25 24 天，5 月份有 31 天，到 6 月 1 日中午，恰好是 72 天，故下一次指示正确时间是 6 月 1 日中 午 12 点。 12、【解】摩托车走 12－8＝4(小时)的路程，自行车要用 21－9＝12(小时)。 21 ? 8 摩托车走完全程需要：12＋9× ＝15（小时） 12 ? 9 13、【解】圆内的任意两点，以直径两端点的距离最远。如果沿小圆爬行的甲虫爬到 A 点， 沿大圆爬行的甲虫恰好爬到 B 点，两甲虫的距离便最远。小圆周长为 π×30＝30π，大圆周长 为 48π，一半便是 z4π。30 与 24 的最小公倍数是 120。120÷ 30＝4 120÷ 24＝5。 1 所以小圆上甲虫爬了 4 圈时，大圆上甲虫爬了 5 个 圆周长，即爬到了 B 点。这时两只甲虫 2 相距最远。 1 14、【解】降价销售平均每售 2 本书获利 0.24× (1＋ )＝0.36(元)，每本获利 0.18 元。所以每 2 本书售价降低 0.24－0.18＝0.06(元) 15、【解】给出的 4 个数中 362 和 612 个位数字相同，第二和第四层右边窗户符号也相同， 可以肯定这两层分别代表 362 和 612，这二个数中又有数字 6 是一样的，对照第二层和第四 层的窗户，便可确定第二层代表 612。第五届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题1．一个成年人平均每分钟呼吸 16 次，每次吸入 500 立方厘米空气.问：他在一昼夜里吸人多 少立方米空气? 2．下面是一个乘法算式： 问：当乘积最大时，所填的四个数字的和是多少？3．某部 84 集的电视连续剧在某星期日开播，从星期一到星期五以及星期日每天都要播出 1 集，星期六停播．问：最后一集在星期几播出? 2 9 (4 ? 0.75) ? 3 13 ? 34 2 4.计算： 3 4 1 8 7 (5 ? 4 ) ? 5 45 6 15 5.用下面写有数字的四张卡片 1 9 9 5 排成四位数． 问： 其中最小的数与最大的数的和是多少? 6．甲、乙两人在河中先后从同一个地方同速同向游进．现在甲位于乙的前方，乙距起点 20 米；当乙游到甲现在的位置时，甲已离起点 98 米．问：甲现在离起点多少米? 7. 有面值为 1 分，2 分，5 分的硬币各 4 枚，用它们去支付 2 角 3 分．问：有多少种不同的 支付方法? 8．有甲、乙两只圆柱形玻璃杯，其内直径依次是 10 厘米、20 厘米，杯中盛有适量的水．甲 杯中沉没着一铁块，当取出此铁块后，甲杯中的水位下降了 2 厘米；然后将铁块沉没于乙杯， 且乙杯中的水未外溢．问：这时乙杯中的水位上升了多少厘米? 9．甲、乙、丙三个学生在外午餐，共买了 1 斤 4 两包子．甲没有带钱，由乙和丙分别付了买 8 两和 6 两包子的钱．甲、乙吃的一样多，丙比乙多吃了 1 两．第二天，甲带来他应付的 2 元 3 角 4 分．问：其中应付给丙多少钱?10．如右图，图中的曲线是用半径长度的比为 2：1.5：0.5 的 6 条半圆曲线 连成的．问：涂有阴影的部分与未涂阴影的部分的面积比是多少?11. 小明今年的年龄是他出生那年的年份的数字之和．问：他今年多少岁? 12．如右图是一个园林的规划图，其中，正方形的 3/4 是草地；圆的 6／7 是竹林；竹林比草地 多占地 450 平方米．问：水池占地多少平方米?13．50 名学生面向老师站成一行，按老师口令从左至右顺序报数：1，2，3，??．报完后， 老师让所报的数是 4 的倍数的同学向后转．接着又让所报的数是 6 的倍数的同学向后转．问： 现在仍然面向老师的有多少名同学? 14．如下图中的大圆盖住了小圆的一半面积．问：在小圆内的大圆的弧线 AmB 的长度和小 圆的直径相比，哪个比较长一些？15．在两位数 10，11，?，98，99 中，将每个被 7 除余 2 的数的个位与十位之间添加一个小 数点，其余的数不变．问：经过这样改变之后，所有数的和是多少? 16．某人连续打工 24 天，赚得 190 元(日工资 10 元，星期六做半天工，发半工资，星期日休 息，无工资)．已知他打工是从 1 月下旬的某一天开始的，这个月的 1 号恰好是星期日．问： 这人打工结束的那一天是 2 月几日?参考答案： 1.【解】一昼夜即：60× 24＝1440 分 一个成年人一昼夜吸入空气量是：500× 16× 00(立方厘米)，即 11.52 立方米 2.【解】乘积是两位数并且是 5 的倍数，因而最大是 95.95÷ 5＝19，所以题中的算式实际上是所以，所填四个数字之和便是 1＋9＋9＋5＝24 3.【解】每星期播 6 集，84 集播 在星期五播出. 84÷ 6＝14 个星期，第一集在星期日播出，所以最后一集2 9 65 48 (4 ? 0.75) ? 3 ? 2 13 ? 34 ＝ 12 13 ? 7 ＝ 20 ? 7 ? 120 ? 7 ? 3 1 4.【解】原式＝ 3 4 1 8 1 240 83 15 240 7 1 240 2 (5 ? 4 ) ? 5 ? 6 45 6 15 90 835.【解】排成的最大的数是 9951，最小的数是 1566，因此，所求的和是 ＝11517 6.【解】当乙游到甲现在的位置时，甲也游了同样的距离，这距离是(98－20)÷ 2＝39(米)，所 以甲现在离起点 39＋20＝59(米). 7.【解】要付 2 角 3 分钱，即 23 分．最多只能使用 4 枚 5 分币。因为全部 1 分和 2 分币都用 上时，共值 12 分，所以最少要用 3 枚 5 分币．使用 3 枚 5 分币时，5× 3＝15，23－15＝8，所 以使用 2 分币最多 4 枚，最少 2 枚，可有 23＝15＋(2＋2＋2＋2)，23＝15 十(2＋2＋2 十 1＋ 1)． 23＝15＋(2＋2＋1＋1＋1＋1)，3 种支付方法，当使用 4 枚 5 分币时，5× 4＝20，23－ 20＝3。所以 2 分币最多使用 1 枚，从而可有 23＝20＋(2＋1)、23＝20＋(1＋1＋1）2 种支付 方法，于是，共有 5 种不同的支付方法。 8.【解】两个圆柱直径的比是 1∶2，所以底面面积的比是 1∶4，铁块在两个杯中排开的水的 1 1 体积相同，所以乙杯中水升高的高度应当是甲杯中下降的高度的 ，即 2× ＝0.5(厘米) 4 4 9.【解】甲吃(14－1)÷ 3＝ 答：应付给丙 0.36 元13 13 13 (两)，每两 234÷ ＝54(分)，丙应得 54× (6－1－ )＝36(分) 3 3 310. 【解】 不妨设 1 是最小的半圆的半径.于是其余两种半圆的半径便是 3 和 4 分别用 S1 及 S2 表 示涂有阴影及未涂阴影部分的面积由图可见S 1 1 5 S1 ? ? ?12 ? ? ? ?12 ? ? ?? ? 42 ? ? ? 32 ? ? 5? ， S2 ? ? ? 42 ? S1 ? 11? ，所以 1 ? 。 S2 11 2 211.【解】设小明出生那年是 19ab ，则 1＋9＋a＋b＝95－10a－b，从而 11a＋2b＝85，在 a≥8 时，11＋2b＞85；在 a≤6 时，11a＋2b≤66＋2× 9＝84，所以必有 a＝7，b＝4。小明今年是 1 ＋9＋7＋4＝21(岁)。 12.【解】把水池的面积作为 1 个单位．那么草地的面积便是 3 个单位，而竹林的面积是 6 个 单位．从而竹林比草地多出的面积是(6－3＝)3 个单位．3 个单位的面积是 450 平方米，可见 1 个单位的面积是 450÷ 3＝150(平方米)。 13.【解】因为 50÷ 4＝12…余 2，所以第一次有 12 名同学向后转；而 50÷ 6＝8…余 2，所以第 二次有 8 名同学作向后转的动作，其中所报的数同时是 4 及 6 的倍数的同学，他们第一次已 背向老师了，再作一次向后转动作，这几名同学又面向老师了。4 及 6 的最小公倍数是 12， 所以作了 2 次向后转动作的人数是 4．(因为 50÷ 12＝4…余 2)，于是现在仍面向老师的有 50 －12－(8－4)＋4＝38(名)。 14.【解】首先，小圆的圆心必定位于两圆相重叠的区域之内否则，由下面左边的图可见，大 圆盖住的部分不会达到小圆面积的一半.设 A、B 为两圆圆周的交点，0 是小圆的圆心 0 与大圆弧 AmB 在弦 AB 的同一侧连接 OA， OB，延长 AO 交大圆弧线于 C 易见 AC＋CB＝AO＋OC＋CB&OA 十 OB＝小圆的直径，而大 圆的弧线 AmB ＞AC＋CB，所以它更大于小圆的直径.15.【解】原来的总和是 10＋11＋…＋98＋99＝?10 ? 99 ? ? 90 ＝4905，被 7 除余 2 的两位数是27× 2＋2＝16，7× 3＋2＝23，…，7× 13＋2＝93．共 12 个数。这些数按题中要求添加小数点以后，都变为原数的1 1 ，因此这一手续使总和减少了(16＋23＋…＋93)× (1－ )＝ 10 10?16 ? 93? ?12 ? 9210＝588.6，所以，经过改变之后，所有数的和是 ＝4316.4。16.【解】因为 3× 7＜24＜4× 7，所以 24 天中星期六和星期日的个数。都只能是 3 或 4 又，190 是 10 的整数倍．所以 24 天中的星期六的天数是偶数再由 240―190＝50(元)，便可知道，这 24 天中恰有 4 个星期六、3 个星期日星期日总是紧接在星期六之后的，因此，这人打工结束 的那一天必定是星期六．由此逆推回去。便可知道开始的那一天是星期四因为．1 月 1 日是 星期日．所以 1 月 22 日也是星期日，从而 1 月下旬唯一的一个星期四是 1 月 26 日从 1 月 26 日往后算，可知第 24 天是 2 月 18 日，这就是打工结束的日子。第六届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题1．香港回归祖国之日是星期几?今天距回归之日还有多少天。2．请计算：? 0.00325 ? 0.013? ? 0.22 ? 0.2065? ? ? 3.6 ? 0.015?3．三角形的面积是 24 平方厘米，斜边长 l0 厘米，将它以 O 点为中心旋转 90o，问：三角形 扫过的面积是多少?(π 取 3.14)4．甲、乙两个天平上都放着一定重量的物体，问：哪―个是平衡的?5．中山商场销售的名人系列笔记本电脑，按台数统计每月销售量平均增长 20％，1996 年 12 月份销售了 120 台，按此速度下去，预计 1997 年 3 月份 1 月份多销售多少台?(按四舍五入计 算)。 6．编号为 l，2，3 的三只蚂蚁分别举起一个重物。问：金、银、铜奖牌分别发给几号蚂蚁?7．―辆汽车的速度是每小时 50 千米，现有一块每 5 小时慢 2 分的表，若用该表计时，测得 这辆汽车的时速是多少?(得数保留一位小数) 8．哥德巴赫猜想是说：“每个大于 2 的偶数都可以袤示成两个质数之和”。问：168 是哪两个 两位数的质数之和，并且其中的一个的个位数宇是 1?9．右图中有九个空格，要求每个格中填入互不相同的数，使得每行、每列、每条对角线上的 三个数之和都相等。问：图中左上角的数是多少?10．某工厂原用长 4 米，宽 l 米的铁皮围成无底无顶的的正方体形状的产品存放处，恰好够 放―周的产品。现在产量增加了 27％，问：能否还用原来的铁皮围成存放处，装下现在一周 的产品? 11．甲管注水速度是乙管的―倍半，同时开放甲、乙两个水管向游泳池注水，12 小时可注满。 现在先开甲管向游泳池注水若干小时，剩下的由乙管注 9 小时将游泳池注满，问：甲管注水 时间是多少? 12．用棱长是 1 厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，求该图形的表面积。13．威力集团生产的某种洗衣机的外形是长方体，装衣物部分是圆柱形的桶，直径 40 厘米， 深 36 厘米，已知该洗衣机装衣物的空间占洗衣机体积的 25％，长方体外形的长为 52 厘米， 宽 50 厘米。问：高是多少厘米? 15．在周长为 200 米的圆形跑道―条直径的两端，甲、乙两人分别以 6 米/秒，5 米/秒的骑车 速度同时同向出发，沿跑道行驶。问：16 分钟内，甲追上乙多少次? 16．右图中，AD= 几分之几?1 AC，三角形 CDE 的面积是三角形 ABC 的一半。问：BE 的长是 BC 的 4参考答案 1.【解】今天是 1997 牟 3 月 8 日，香港回归日是 1997 年 7 月 1 日.3 月、4 月、5 月、6 月这 四个月总共有：31× 2＋30× 2＝(31＋30)× 2＝61× 2＝122(天) 除掉 3 月份开头的 7 天，所以到 7 月 1 日还有：122―7＝115(天) 因为 3 月 8 日(今天)是星期六，115÷ 7＝16……3，星期六后三天是星期二。 所以，回归之日是星期二，距今天还有 115 天。 2.【解】原式＝0.00325 ? 3.6 325 ? 36 ? 4 ? ? ? 4444 。 0.0135 ? 0.015 ? 0.013 135 ?15 ?13 9 93.【解】由图中可以看出，直角三角形扫过的面积恰好等于一个三角形的面积与四分之一个 圆的面积之和圆的半径就是三角形斜边 O 因此三角形扫过的面积是 24＋1 π×10×l0＝24＋25π＝24 十 25× 3.14＝102.5(平方厘米)。 44.【解】考虑除以 3，所得的余数因为 478 除以 3 余 1，9763 除以 3 也余 1(只要看 4＋7＋8， 9 十 7＋6 十 3 除以 3 的余数)，所以 478× 9763 除以 3 余 1× 1＝1，而 4666514 除以 3 余 2(即 4 ＋6＋6＋6＋5＋1＋4 除以 3 余 2)，因此 478×4，从而天平甲不平衡．天平乙是 平衡的。 5.【解】预计 1997 年前三个月的销量分别为：1 月份：120× (1＋0.2)＝144(台)；2 月份：144× (1 ＋0.2)＝172.8(台)；3 月份：172.8× (1＋0.2)＝207.36(台)所以，3 月份比 1 月份多销售：207.36 －144＝63.36≈63(台)。 6.【解】115 12 1 1 ? 1? ? 1? ? 1? 127 127 127 10.5 12，302 31 1 1 ? 1? ? 1? ? 1? 333 333 333 10.7 31，439 49 1 1 ? 1? ? 1? ? 1? 488 488 488 9.9 49所以，302 115 439 。 ? ? 333 127 4887.【解】正常表走 5 小时，慢表只走了：5× 60－2＝298(分)，因此，用慢表测速度，这辆汽车 298 的速度是：50× 5÷ ≈50.3(千米/小时)即每小时约 50.3 千米。 60 8.【解】个位数字是 1 的两位质数有：11，31，41，61，71，其中 168－11＝157，168－31 ＝137，168－41＝127 168－61＝107，都不是两位数，只有 168－71＝97 是两位数．而且是 质数．所以 168＝71＋97 是唯一的解。9.【解】如图，设相应方格中的数为 x1 , x2 , x3, x4 ，由已知条件：行、列及对角线的 三个数的和都相等，可以列出下面的等式(方程)： ?十 x1 十 x2＝?＋x3＋x4＝x1＋x3＋13＝x2 十 19＋x4，这样，前面两个式子的和就 等于后面两个式子的和，即有 2× ？＋x1 十 x2＋x3＋x4＝13＋19＋x1 十 x2＋x3＋x4，所以 2× ?＝ 13＋19＝?13 ? 19 ? ＝16，左上角的数是 16。24 ， 2?10.【解】将此铁皮沿长 4 米的边卷起成圆柱面圆柱底面的圆周长为 4 米，因而半径为 由于高为 1 米，4 4 ? 4 ? 圆柱体积为：V＝ ? ? ? ≈1.274(立方米) ? ?1 ? ? ? 3.14 ? 2? ?2V ≈1.274＝127.4％，即体积增加了 127.4％ 1 －100％＝27.4％ 所以，现在产量增加了 27％，仍能装下。现在(圆柱)的体积和原来(正方体)的体积之比是： 11.【解】乙管注水速度是甲管两倍，所以甲管单独注水需 12× 3＝36(小时)，将水池注满，乙 管注水 9 小时，相当于甲管注水 9× 2＝18(小时)因此，甲管已经注水的时间是 36－18＝18(小 时)，则甲菅注水的时间是 18 小时。 12.【解】这立体的上(顶)表面积之和就等于底层的底面积，各层的侧面积为： 第 l 层 4，第 2 层 4＋8＝12，第 3 层(3＋4)× 2＝14，所以，这立体图形的表面积是 4＋12＋14＋12× 2＝54(平方厘米)。? 40 ? ? 40 ? 13.【解】装洗衣物的圆桶体积为：π× ? ? × 36，洗衣机的体积为：π× ? ? × 36÷ 25％ ? 2 ? ? 2 ?221 1 ? 40 ? 所以，洗衣机的高为：π× ? ? × 36÷ 25％÷ (52× 50)＝3.14× 400× 36× 4× × ＝ 52 50 ? 2 ?3.14×288 ≈69.56，即高是 70 厘米. 13 5 2 1 2 m ? ? ，分母 n 小于 12 的最简分数 ，如果比 大，那么： 12 5 60 5 n214.【解】m 2 5 ? m ? 2n 1 1 1 m m 2 ? ? ? ? ? ，分母大于 12 的分数 与 ，如果比 大，那么： n 5 5? n 5 ? n 5 ?12 60 13 14 5m 2 5 ? m ? 26 30 ? 26 4 1 m 2 5 ? m ? 28 30 ? 28 2 1 5 所以答案是 。 ? ? ? ? ? ， ? ? ? ? ? ， 13 5 65 65 65 60 14 5 70 70 70 60 1215.【解】甲、乙二人第一次相遇时，一共走过的路程是100 ＝100(米)． 2所需要的时间是因为100 100 100 100 秒，以后，两人每隔 秒相遇一次 ? ? 5 ? 6 11 5 ? 6 11 100 60 ?16 ? 11 ＝53.3，所以，16 分钟内二人相遇 53 次. 1? 200 11 1 AC，所以 416.【解】由于 AD＝＝1 4.又＝＋＝5 4且＝＋＝，所以＝－＝从而于是有＝ 。第七届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题1．将 l999 表示为两年质数之和：l999=口+口，在口中填入质数。共有多少种表示法? 2．澳门是世界上人口密度最大的地区之一，它由一个半岛和两个小岛组成，已知澳门的人口 为 43 万人，其中 90％居住在半岛上，半岛的面积为 7 平方千米。问：半岛上平均每平方千 米有多少万人?(取两位小数) 3．某人年初买了一种股票，该股票当年下跌了 20％，第二年应上涨多少才能保持原值? 4．某个月里有三个星期日的日期为偶数，请你推算出这个月的 15 日是星期几。 5．“火树银花楼七层，层层红灯倍加增，共有红灯三八一，试问四层几红灯?” 6．下图是由 9 个等边三角形拼成的六边形，已知中间最小的等边三角形的边长是 1，问：这 个六边形的周长是多少?7．一个正六边形的苗圃，用平行干苗圃边缘的直线把它分成许多相等的正三角形，在三角形 的顶点上都栽种树苗，已知苗圃的最外面一圈栽有 90 棵。问：苗圃中共栽树苗多少棵? 8．甲、乙、丙三所小学学生人数的总和为 l999，已知甲校学生人数的 2 倍，乙校学生人数减 3、丙校学生人数加 4 都是相等的。问：甲、乙、丙各校学生人数是多少? 9．小明爷爷的年龄是一个二位数，将此二位数的数字交换得到的数就是小明爸爸的年龄，又 知道他们年龄之差是小明年龄的 4 倍，求小明的年龄。 10．用 l0 块长 7 厘米、宽 5 厘米、高 3 厘米的长方体积木堆拼成一个长方体，这个长方体的 表面积最小是多少? 11． 时钟的时针和分针在 6 点钟反向成一直线， 问： 它们下―次反向成―直线是在什么时间?(准 确到秒) 12．1998 年夏天长江洪水居高下不，8 月 22 日武汉关水位高达 2932 米，已知武汉离长江入 海口 1125 千米，而九江离武汉关 269 千米。假设从武汉到入海口的长江江面搬相同，请计算 当天九江的水位是多少米。(取二位小数)参考答案 1.【解】因为两个奇数的和是偶数，所以将 1999 表示成两个质数的和，这两个质数中必有一 个是偶数，因而也就是 2，另一个是 97 即 1999＝ 2 ? 1997 。只有一种填法(我们将 2＋1997 与 1997＋2 作为同一种)． 2.【解】43× 90％÷7≈5.53(万人) 3.【解】1－20％＝80％，1÷ 80％－1＝25％，则第二年应上涨 25％。 4.【解】 每个月的连续的四个星期日中只有两个日期是偶数，所以这个月必有五个星期日， 并且第一个星期日为 2 号，第三个星期日为 16 号(16＝2＋14)，第五个星期日为 30 号(30＝2 ＋28)，这个月的 15 日是星期六(因为 1 号是星期六，1＋14＝15，15 号也是星期六)。 5.【解】 24 盏灯。 6.【解】设第二小的等边三角形边长为 a，则第三大的等边三角形边长为 a＋1．次大的等边三 角形边长为 a＋2，最大的等边三角形边长为 a＋3，它也就是 2a，因此 a＝3，从而六边形的 周长是 2× 3＋2× (3＋1)＋2× (3＋2)＋(3＋3)＝30。 7.【解】最外边一圈栽 90 棵树苗，即周长被分成 90 份．第二圈，每边少 1 份，共少 6 份， 即栽 90－6＝84 棵树苗。 依此类推， 共栽树苗(正六边形中心栽一棵)90＋84＋…＋6＋1＝90× 8 ＋1＝721(棵)。 8.【解】()÷ (1＋2＋2)＝400，400× 2＋3＝803，400× 2－4＝796，则甲、乙、丙三 校的人数分别为 400，803，796。 9.【解】设爷爷的年龄是 10a＋b，其中 a、b 都是数字，则爸爸的年龄是 10b＋a，年龄差是 (10a＋b)－(10b＋a)＝9× (a－b)，这差是 4 的倍数，所以 a－b 是 4 的倍数，但 a≤9，而根据常 识，小明爸爸的年龄不可能是十几岁，因此 b≥2，a－b≤7，从而，必有 a－b＝4。小明的年龄 是 9× (a－b)÷ 4＝9(岁)。 10. 【解】 10 块积木堆积成如图的长方体， 表面积是 2× (7× 15＋15× 10＋10× 7)＝650(平方厘米)， 这就是最小的表面积。事实上，堆成的长方体体积为 7× 5× 3× l0＝7× 5× 5× 3× 2＝a× b× c。 其中 a≥b≥c 分别是长方体的长、宽、高．都是整数，表面积是 2× (a× b＋b× c＋c× a)＝2× a× b× c× ( 时，上式的值是 650 平方厘米.1 1 1 1 1 1 ? ? )＝2× 7× 5× 5× 3× 2× ( ? ? )，在 a＝15，b＝10,c＝7 a b c a b c＝127，381÷ 127＝3，所以第一层 3 盏灯，第四层 3×23 ＝1 1 1 1 1 1 1 1 1 在 c＝2、3 时，显然 ? ? ＞ ＞ ? ＝ ? ? ； a b c 3 7 6 7 10 15 1 1 1 1 1 1 1 1 1 在 c＝5 时， ? ? ＞ ? ? ＞ ? ? ； a b c 5 10 20 7 10 15 1 1 1 1 1 1 1 1 1 在 c＝6 时， ? ? ＞ ? ? ＞ ? ? ； a b c 6 7 25 7 10 15 1 1 1 1 1 1 在 c＝7 时， ? ? ≥ ? ? a b c 7 10 15因此，表面积的最小值是 650 平方厘米. 11.【解】时针、分针下一次反向成一直线是在 7 点以后，这时分针应比时针多走钟面上 5 格， 1 1 5 5 60 分针每分钟走 1 格，时针每分钟走 格.5÷ (1－ )＝ ＝ 5 ， ×60≈27,即在 7 点 5 分 27 12 12 11 11 11 秒，时针、分针再次反向成一直线。1125 ? 269 12.【解】当天九江水位是 29.32× ≈22.31(米)。 1125第八届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题1.2002 年将在北京召开国际数学家大会，大会会标如下图所示。它是由四个相同的直角三角 形拼成的(直角边长为 2 和 3)。问：大正方形的面积是多少?2.从北京到 G 城的特别快车在 2000 年 10 月前需用 l2.6 小时后提速 20％.问；提速后，北京到 G 城的特别快车需要多少小时？ 3.右式中不同的汉字代表 l 一 9 中不同的数字，当算式成立时，“中国”这两个汉字所代表的两 位数最大是多少?4.两个同样材料做成的球 A 和 B，一个实心，一个空心。A 的直径为 7、重量为 22，B 的直 径为 10.6、重量为 33.3。问：哪个球是实心球? 5.铁路油罐车由两个半球面和一个圆柱面钢板焊接而成，尺寸如右下图所示。问：该油罐车 的容积是多少立方米?(π=3.1416) 6.将左下图中 20 张扑克牌分成 10 对，每对红心和黑桃各一张。问：你能分出几对这样的牌， 两张牌上的数的乘积除以 l0 的余数是 l?(将 A 看成 l)7.右上图中五个相同的圆的圆心连线构成一个边长为 l0 厘米的正五边形。求五边形内阴影部 分的面积。(π=3.l4)8.世界上最早的灯塔于公元 270 年，塔分三层，每层都高 27 米，底座呈正四棱柱，中间呈正 八棱柱，上部呈正圆锥。上部的体积是底座的体积的____. (A)? 4(B)? 12(C)? 109.将+，-，× ，÷ 四个运算符号分别填入下面的四个框中使该式的值最大。1 1 1 1 1 □ □ □ □ 2 3 4 5 610.有码放整齐的一堆球，从上往下看如右图，这堆球共有多少个？11.自行车轮胎安装在前轮上行驶 5000 千米后报废，若安装在后轮上只能行驶 3000 千米。为 行驶尽可能多的路，如果采用当自行车行驶一定路程后将前后轮胎调换的方法，那么安装在 自行车上的一对轮胎最多可行驶多少千米?12.将一边长为 l 的正方形二等分，再将其中的一半二等分，又将这一半的一半二等分，这样 继续下去……展开想象的翅膀，从这个过程中你能得到什么?参考答案： 1、13 2、10．5 小时 3、84 8、B 4、A 是实心球 9、＋、÷ 、－、× 5、41.888 立方米 10、201 6、4 对7、117．75 平方厘米11、3750 千米12、答案可以是各种各样的 1．【解】中间小正方形的面积为 1，大正方形的面积为 4 个三角形与中间小正方形的面积之 1 和，所以，大正方形的面积＝ × 2× 3× 4＋1＝13． 2100 2．【解】时间与速度成反比，提速后的时间为 12.6÷ （1＋20％）＝12.6× ＝10.5（小时）. 1203．【解】 “新”必为 9，千位才能得 2，所以“中”应为 8.“国”、“京”、“运”之和应为 8 或 18， 但当和为 18 时， （“国”、“京”、“运”分别为 7，6，5），“中”、“北”、“奥”之和最大为 15（“中”、 “北”、“奥”分别为 8，4，3），不能进位 2，所以“国”、“京”、“运”之和只能是 8，此时，“北”、 “奥”只能分别为 7 和 5，则“国”、“京”、“运”分别为 4、3、1，为使“中国”代表的两位数最大， “国”取 4.即“中国”这两个汉字所代表的两位数最大是 84.3 ?4 ?7? ? 4. 【解】显然比重较大的一个是实心球.A 的比重为 22÷? ? ? ? ? ? ? ，B 的比重为 ?3 ?2? ? ? ?3 ?4 22 33.3 ? 3 ? 10.6 ? ? 33.3÷? ? ? ? ? ，两式均含 ，所以只需比较 3 与 的大小，?10.6 ? ＞1000， 73 ? ? 3 ?3 ? 7 6 ? 2 ? ? ?10.6 ? ?＝147，可知 A 的比重较大，即 A 是实心球. 5. 【解】4 两个半球合成一个球，体积为 ? ? ?13 ，圆柱部分的高为 14－2＝12， 3 4 4 所以罐的容积为： ? ? ?13 ＋π×12×12＝（12＋ ）×π≈13.6≈41.888（立方米） 3 36. 【解】本题实际上是求 1 到 10 这些数中，取出 2 个数（可以重复）相乘，能组成几个个 位是 1 的数.显然，双数不成.所以只能是 1× 1，3× 7，7× 3 和 9× 9，共 4 对.7. 【解】我们用两条绿线将五边形分成了三个三角形，可以看出，这个五边形的五个角的度 数和是 180× 3＝540 度，即阴影部分面积相当于 1.5 个半径为 5 的圆的面积，所以阴影部分的 面积是 π×52×1.5≈3.14×25×1.5＝111.75（平方厘米）.8.【解】由图可以看出，塔的上部底面圆的直径与底座的一边等长.设底座的一边长为 2 a ，则 1 塔的上部的体积为 ×π a 2 × 27，底座的体积为 4 a 2 × 27，所以，塔的上部的体积是底座的体积 3 ? 的 ，答案为 B. 12 9.【解】题目给出 5 个数，乘、除之后成 3 个数，其中减数应尽量小，由两个数合成（相乘 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 或相除）的加数与另一个分数相加应尽量大， ? ? ， ? ? ， ? ? ， ? ? ； 2 3 6 3 4 12 4 5 20 5 6 30 1 1 3 1 1 4 1 1 5 1 1 6 1 1 1 1 1 1 7 2 1 而 ? ? ， ? ? ， ? ? ， ? ? ； 其中最小的是 ? ? ， 而 ? ? ? ? ， 2 3 2 3 4 3 4 5 4 5 6 5 5 6 30 2 3 4 4 1 2 1 1 1 11 22 1 1 1 1 1 ，所以 ? ? ? ? 最大，即答案为：＋、÷ 、－、× 。 ? ? ? ? 2 3 4 6 12 2 3 4 5 6 10.【解】从图中可以看出，除去最上层 1 个球外，第二层（次上层）有（1＋2＋3＋4＋5） ＝15 个球，以后每层比上一层多 6、7、8、9、10 个球，共 7 层.15＋6＝21，21＋7＝28，28 ＋8＝36，36＋9＝45，45＋10＝55，1＋15＋21＋28＋36＋45＋55＝201。答：共有 201 个球。5 11.【解】由题目可知，后轮与前轮的磨损比为 ＝5∶3，所以当车行到 3000× 3?5 9000 ＝ 时，将前后轮调换，还可以再行驶同样的行程，两轮同时报废.即一对轮胎最多可行 8 5 驶 3000× × 2＝3750（千米）。 3?512.【解】（略）第九届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题1、 “华杯赛”是为了纪念和学习我国杰出的数学家华罗庚教授而举办的全国性大型少年数学 竞赛．华罗庚教授生于 1910 年，现在用“华杯”代表一个两位数．已知 1910 与“华杯”之 和等于 2004，那么“华杯”代表的两位数是多少？2、长方形的各边长增加 10%，那么它的周长和面积分别增加百分之几？ 3、题目中的图是一个正方体木块的表面展开图．若在正方体的各面填上数，使得对面两数之 和为 7，则 A、B、C 处填的数各是多少？1 3 5 7 9 11 1 4、在一列数： ，， ， ， ， ， 中，从哪一个数开始，1 与每个数之差都小于 ？ 3 5 7 9 11 13 10005、 “神舟五号”载人飞船载着航天英雄杨利伟于 2003 年 10 月 16 日清晨 6 时 51 分从太空返 回地球，实现了中华民族的飞天梦．飞船绕地球共飞行 14 圈，其中后 10 圈沿离地面 343 千 米的圆形轨道飞行．请计算飞船沿圆形轨道飞行了多少千米（地球半径为 6371 千米，圆周率 π =3.14）． 6、如图，一块圆形的纸片分成 4 个相同的扇形，用红、黄两种颜色分别涂满各扇形，问共有 几种不同的涂法？7、在 9 点至 10 点之间的某一时刻，5 分钟前分针的位置与 5 分钟后时针的位置相同．问： 此时刻是 9 点几分？ 8、一副扑克牌有 54 张，最少要抽取几张牌，方能使其中至少有 2 张牌有相同的点数？ 9、任意写一个两位数，再将它依次重复 3 遍成一个 8 位数．将此 8 位数除以该两位数所得到 的商再除以 9，问：得到的余数是多少？ 10、一块长方形的木板，长为 90 厘米，宽为 40 厘米，将它锯成 2 块，然后拼成一个正方形， 你能做到吗？ 11、如图，大小两个半圆，它们的直径在同一直线上，弦 AB 与小圆相切，且与直径平行， 弦 AB 长 12 厘米．求图中阴影部分的面积（圆周率π =3.14）．12、半径为 25 厘米的小铁环沿着半径为 50 厘米的大铁环的内侧作无滑动的滚动，当小铁环 沿大铁环滚动一周回到原位时，问小铁环自身转了几圈？参考答案 1、 【解】 ： 由○+“杯”=4， 知“杯”代表 4 （不进位加法）；再由 191+“华”=200，知“华”代表 9．因 此，“华杯”代表的两位数是 94． 2、【解】：设长方形的长为 a，宽为 b,则原来长方形周长为 2 ? a+b ? ，面积为 ab． 因此各边长增加 10%时,周长增加 2(1.1a+1.1b)-2(a+b)=2(a+b)× 10%，即周长增加 10%. 面积增加 1.1a× 1.1b-ab=1.21ab-ab=ab× 21％，即面积增加 21％. 3、【解】：1、4、A、C 面是 B 的临面，2 是 B 的对面，B 应填 5；1、2、B、A 是 C 的临 面，4 是 C 的对面，C 应填 3；1 是 A 的对面，A 应填 6，则 A―6；B―5；C―3。 4、【解】：这列数的特点是每个数的分母比分子大 2，分子为奇数列，要 1－ 解出 n＞999.5，从 n＝1000 开始，即从1999 开始，满足条件. 20012n ? 1 1 ＜ ， 2n ? 1 10005、【解】：2× 3.14× （）× 10＝ 千米 6、【解】： 6 种。按逆时针方向涂染各扇形： 红红红红 红黄红黄 7、 【解】： 9 点 55，因为分针每分钟走 红红红黄 红黄黄黄 红红黄黄 黄黄黄黄360 360 ＝6 度，5 分钟走 30 度，时针每分钟走 ＝ 60 12 ? 60 0.5 度，5 分钟走 2.5 度，所以此时分针与时针的夹角是 30＋2.5＝32.5 度，每分钟分针比时针 多走 6－0.5＝5.5 度，从 9 点到此时，分针比时针多走 270＋32.5＝302.5 度，302.5÷ 5.5＝55， 所以此时是 9 点 55 分.8、【解】：16 张，如果不算大、小王，每个花色 13 张牌，只需 14 张便一定有两张相同点 数的牌，加上大、小王，则需要 16 张牌. 9、【解】：4，不管所写两位数是何数，按题目所给方法写成的 8 位数除以该两位数的得数 都是 10101÷ 9＝. 10、【解】：能够。因为 以如下图拼成： ， ，所求的正方形的边长为 60 厘米，可11、【解】：56.52 平方厘米，将小圆缩小至 0，则 AB 就是大圆直径，阴影部分就是大圆的1 1 ? 12 ? 一半，所以阴影部分的面积是： ? ? ? ? ? ＝ ? 3.14 ? 36 ＝56.52（平方厘米） 2 2 ? 2?12、【解】：由于小铁环的半径是大铁环半径的一半，所以大环周长是小环的 2 倍，即小环 沿大环转 2 个周长时又回到原位.其中有 1 个周长属于小环公转的，而另一个周长才是小环自 身转动的.因此，小环自身转动 1 圈. 也可以这样理解，初始时小环上一点 A,我们观察半径 OA,如图（1），当小环沿大环内壁滚动 到与初始相对的位置时，如图（2），半径 OA 也运动到了与初始时相对的位置.这时 OA 沿大 环内壁才走了半圈.继续进行下半圈,OA 与初始位置重合，这时 OA 自身转了 1 圈，因此小铁 环自身也转了 1 圈.2第十届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题1．2005 年是中国伟大航海家郑和首次下西洋 600 周年，西班牙伟大航海家哥伦布首次远洋 航行是在 1492 年．问这两次远洋航行相差多少年？ 2．从冬至之日起每九天分为一段，依次称之为一九，二九，?，九九. 2004 年的冬至为 12 月 21 日，2005 年的立春是 2 月 4 日．问立春之日是几九的第几天? 3．右图是一个直三棱柱的表面展开图，其中，黄色和绿色的部分都是边长等于 1 的正方形．问这个直三棱柱的体积是多少? 4．爸爸、妈妈、客人和我四人围着圆桌喝茶．若只考虑每人左邻的情况，问共有 多少种不同的入座方法?3 5．在奥运会的铁人三项比赛中，自行车比赛距离是长跑的 4 倍，游泳的距离是自行车的 80 ，长跑与游泳的距离之差为 8.5 千米．求三项的总距离． 6．如右图，用同样大小的正三角形，向下逐次拼接出更大的正三角形．其中最 小的三角形顶点的个数(重合的顶点只计一次)依次为： 3， 6， 10， 15， 21， ? 问：这列数中的第 9 个是多少？ 7． 一个圆锥形容器甲与一个半球形容器乙， 它们圆形口的直径与容器的高的尺寸如图所示． 若 用甲容器取水来注满乙容器，问：至少要注水多少次？8．100 名学生参加社会实践，高年级学生两人一组，低年级学生三人一组，共有 41 组．问： 高、低年级学生各多少人? 9．小鸣用 48 元钱按零售价买了若干练习本．如果按批发价购买，每本便宜 2 元，恰好多买 4 本．问：零售价每本多少元? 10．不足 100 名同学跳集体舞时有两种组合：一种是中间一组 5 人，其他人按 8 人一组围在 外圈；另一种是中间一组 8 人，其他人按 5 人一组围在外圈．问最多有多少名同学? 11．输液 100 毫升，每分钟输 2.5 毫升．请你观察第 12 分钟时吊瓶图像中的数据， 回答整个吊瓶的容积是多少毫升？ 12．两条直线相交所成的锐角或直角称为两条直线的“夹角”．现平面上有若干条 直线，它们两两相交，并且“夹角”只能是 30°，60°或 90°．问：至多有 多少条直线？参考答案 1．【解】1492－（）＝87（年） 2．【解】12 月 31 天，1 月 31 天，从冬至到立春共有（31－20）＋31＋4＝46（天） 46÷ 9＝5…1，立春是六九第一天. 3．【解】直三棱柱的体积是1 1 × 1× 1× 1＝ （立方米） 2 24．【解】第一人落座有 4 个位置可选，第一人落座后，坐在他的左面的有三种情况，而每种 情况另一人的左邻又有两种，所以共有 4× 3× 2＝24 种方法，但由于是圆桌，只考虑相邻情况， 不考虑具体坐在哪一面，所以只有 24÷ 4＝6 种入座方法。1 1 3 5．【解】设自行车距离为 1，则长跑为 ，游泳为 ，长跑与游泳之差为自行车距离的 － 4 4 80 1 3 17 17 ＝ ，是 8.5 千米，所以自行车距离为 8.5÷ ＝40 千米，长跑为 40× ＝10 千米，游泳 4 80 80 80 3 为 40× ＝1.5 千米，共为 40＋10＋1.5＝51.5 千米. 806．【解】这列数第一项为 3，第二项比第一项多 3，以后每项比前项多项数加 1，所以第 9 项为 3＋3＋4＋5＋6＋…＋10＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋…＋10＝55。4 1 7．【解】球的体积为 ? r 3 ，圆锥的体积为 ? r 2 h ，从图可知，此题中 h＝r，而圆锥的底面 3 32 1 1 4 ?1 ? 1 ? ? 半径为半球半径的 ，所以半球的体积是圆锥体积的 ? ? ? ? ? ? ? ＝8（倍），即需要注 2 2 3 ? ?3 ? 2 ? ? ?水 8 次。 8．【解】如全为高年级学生，则只需 41× 2＝82（人），实际 100 人，100－82＝18（人）， 所以有 18 组低年级学生，41－18＝23 组高年级学生，高年级学生为 23× 2＝46（人），低年 级学生为 18× 3＝54（人）。 9． 【解】见下图，以横线表示本数，纵线表示单价，因为黄色部分面积与绿色部分面积相等， 所以黄色的宽是绿色高的 2 倍，设批发价为 x 元（图中绿色长方形的高）， 则有： x × （2 x ＋4）＝48，即 x × （ x ＋2）＝24＝4× 6＝4× （4＋2） 所以， x ＝4（元），零售价为 x ＋2＝6（元）10．【解】此题实际是一个不足 100 的整数，减去 5 能被 8 整除，即除以 8 余 5，减去 8 能 被 5 整除，即除以 5 余 3，求其最大值。13 除以 8 余 5，除以 5 余 3，8 和 5 的最小公倍数为 40，13＋2× 40＝93，为满足条件的整数，即最多有 93 名同学。 11．【解】从图中可知，12 分钟时，吊瓶的无液部分是 80 毫升，12 分钟共输液 2.5× 12＝30 毫升，即装 100 毫升溶液时吊瓶的空余部分是 50 毫升，整个吊瓶的容积是 100＋50＝150 毫 升。 12．【解】至多有 6 条直线，如图：第十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题1. 如图所示，将一张正方形纸片先由下向上对折压平，再由右翻起向左对折压平，得到小正 方形 ABCD，取 AB 的中点 M 和 BC 的中点 N，剪掉△ MBN，得五边形 AMNCD。则将折叠的五边形 AMNCD 纸片展开铺平后的图形是（）。2. 2008006 共有( )个质因数。 （A）4 （B)5 (C)6 (D)73、奶奶告诉小明：“2006 年共有 53 个星期日”。聪敏的小明立到告诉奶奶：2007 年的元旦一 定是()。 (A)星期一 (B)星期二 (C)星期六 (D)星期日4、如图，长方形 ABCD 中 AB∶BC=5∶4。位于 A 点的第一只蚂蚁按 A→B→C→D→A 的方 向， 位于 C 点的第二只蚂蚁按 C→B→A→D→C 的方向同时出发， 分别沿着长方形的边爬行。 如果两只蚂蚁第一次在 B 点相遇，则两只蚂蚁第二次相遇在( )边上。(A)AB(B)BC(C)CD5、图中 ABCD 是个直角梯形(∠DAB=∠AB C=90° )，以 AD 为一边向外作长方形 ADEF，其 面积为 6.36 平方厘米。连接 BE 交 AD 于 P，再连接 PC。则图中阴影部分的面积是()平方厘 米。(A)6.36(B)3.18(C)2.12（D）1.596、五位同学扮成奥运会吉祥物福娃贝贝、晶晶、欢欢、迎迎和妮妮，排成一排表演节目。如 果贝贝和妮妮不相邻，共有( )种不同的排法。 (A)48 二、A 组填空题 7、在算式 (B)72 (C)96 (D)120中，汉字“第、十、一、届、华、杯、赛”代表 1，2，3，4，5，6，7，8，9 中的 7 个数字， 不同的汉字代表不同的数字，恰使得加法算式成立。则“第、十、一、届、华、杯、赛”所代 表的 7 个数字的和等于____。 8、全班 50 个学生，每人恰有三角板或直尺中的一种，28 人有直尺，有三角板的人中，男生 是 14 人，若已知全班共有女生 31 人，那么有直尺的女生有____人。 9、下图是一个直圆柱形状的玻璃杯，一个长为 12 厘米的直棒状细吸管(不考虑吸管粗细)放 在玻璃杯内。当吸管一端接触圆柱下底面时，另一端沿吸管最少可露出上底面边缘 2 厘米， 最多能露出 4 厘米。 则这个玻璃杯的容积为____立方厘米。 (取 π=3 14)(提示： 直角三角形中“勾 6、股 8、弦 10”)10、有 5 个黑色和白色棋子围成一圈，规定：将同色的和相邻的两个棋子之间放入一个白色 棋子，在异色的和相邻的两个棋子之间放入一个黑色棋子，然后将原来的 5 个棋子拿掉。如 果从图(1)的初始状态开始依照上述规定操作下去，对于圆圈上呈现 5 个棋子的情况，圆圈上 黑子最多能有___个。三、B 组填空题 11、李大爷用一批化肥给承包的麦田施肥。若每亩施 6 千克，则缺少化肥 300 千克；若每亩 施 5 千克，则余下化肥 200 千克。那么李大爷共承包了麦田___亩，这批化肥有___千克。 12、将从 1 开始的到 103 的连续奇数依次写成一个多位数：A＝ 71921……。 则数 a 共有_____位，数 a 除以 9 的余数是___。 13、自制的一幅玩具牌共计 52 张(含 4 种牌：红桃、红方、黑桃、黑梅。每种牌都有 1 点、2 点、……、13 点牌各一张)。洗好后背面朝上放好。一次至少抽取____张牌，才能保证其中必 定有 2 张牌的点数和颜色都相同。如果要求一次抽出的牌中必定有 3 张牌的点数是相邻的(不 计颜色)。那么至少要取___张牌。 14、图中有____个正方形，有___个三角形。参考答案： 1、D 解：考察空间想像力。如图，实际是逆向想像操作过程。2、选 C 解：因为 6× 06× 1001=（2× 17× 59）× （7× 11× 13）。 3、选 A 解：2006 年有 365 天，而 365=7× 52+1，又已知 2006 年有 53 个星期天，只能元旦是星期天， 且 12 月 31 日也是星期日，所以，2007 年月的元旦是星期一。 4、选 D 解：如图，长方形 ABCD 中 AB∶BC=5∶4。将 AB，CD 边各 5 等分，BC，DA 边各 4 等分。 设每份长度为 a。 由于两只蚂蚁第一次在 B 点相遇，所以第一只蚂蚁走 5a，第二只蚂蚁走 4a， 接下来，第一只蚂蚁由 B 走到 E 点时，第二只蚂蚁由 B 走到 F 点，再接下来，当第一只蚂蚁 由走到 G 点时，第二只蚂蚁由 F 也走到 G，这时，两只蚂蚁第二次相遇在 DA 边上。5、选 B 解：如图,连接 AE，BD。因为 AD∥BC，则： S?PDC ? S?PDB 又 AB∥ED，则： S?EAD ? S?EBD 所以，S阴影 ? S?EPD ? S?PDC ? S?EPD ? S?PDB ? S?EBD ? S?EAD ?1 1 S?ADEF ? ? 6.36 =3.18（平方厘米） 2 2说明：答案和直角梯形形状无关，可以让 BC 边趋近 AD 边，直到和 AD 边重合，此时，P 与 A 重合，PE 是 ADEF 的对角线，所以，阴影部分的面积是 ADEF 面积的一半，等于 3.18 平 方厘米。 6、B 解：贝贝在左、妮妮在右相邻的排法有 4× 3× 2× 1=24（种），贝贝在右、妮妮在左相邻的排法 也有 4× 3× 2× 1=24（种），总的排法 5× 4× 3× 2× 1=120（种）。所以贝贝和妮妮不相邻的排法是 120-2× 24=72（种）。 二、A 组填空题 7、35 解：根据加法规则，“第”=1。“届+赛”=6 或“届+赛”=16。若“届+赛”=6，只能是“届”、 “赛”分别等于 2 或 4，此时“一十杯”=10 只能“一”、“杯”分别为 3 或 7。此时“十+华”=9，“十”、 “华”分别只能取（1，8），（2，7），（3，6），（4，5），但 1，2，3，4 均已被取，不能 再取。所以，“届+赛”=6 填不出来，只能是“届+赛”=16，“十+华”+1=10，也就是“一 + 杯”=9 同时“十 + 华” =9。所以它们可以分别在（3，6），（4，5）两组中取值。 因此“第、十、一、届、华、杯、赛”所代表的 7 个数字的和等于 1+9+9+16=35。 8、23 解： 有三角板的学生共 50-28=22 （人） ， 其中女生 22-14=8 （人） ， 那么有直尺的女生有 31-8=23 （人）。 9、226.08． 解： 如图， 一个长为 12 厘米的直棒状细吸管放在玻璃杯内， 另一端沿吸管最多能露出 4 厘米， 表明直圆柱的高 CB=12-4=8（厘米）；另一端沿吸管最少可露出 2 厘米，表明直圆柱的轴截 面矩形的对角线长为 AC=12-2=10（厘米）。由直角三角形中“勾 6、股 8、弦 10”的常识，可 知圆柱底面圆的直径是 6 厘米，半径为 3 厘米。因此，这个玻璃杯的容积为（立方厘米）。10、4 解：因为在异色棋子之间放黑子，圆周上只有 5 个棋子，必有相邻两个棋子是同色的，所以， 不同能出现 5 个黑子。而第二次操作时圆周上就出现了 4 个黑子。所以，在各次操作过错成 后，圆圈上呈现的 5 个围棋子中最多能有 4 个黑子。 三、B 组填空题 11、500；2700 解：设麦田 x 亩，如每亩施 6 千克，则缺少 300 千克化肥，可知现有化肥为 6 x -300（千克）； 如每亩施 5 千克，则余下 200 千克化肥，可知现有化肥应为 5 x +200(千克)。由于现有化肥量 是个定值，所以 6 x -300=5 x +200，解得 x =500(亩)。 现有化肥量是 5× 500+200=2700（千克）。 12、101；4 解： 一位的奇数有 5 个， 两位的奇数有 45 个， 再加两个三位奇数， 所以 a 是一个 5+2× 45+3× 2=101 （位）数。从 1 开始的连续奇数被 9 除的余数依次为 1，3，5，7，0，2，4，6，8，1，3，5， 7，0，2，4，6，8，…，从 1 开始，每周期为 9 个数 1，3，5，7，0，2，4，6，8 的循环。 因为（1+3+5+7+0+2+4+6+8）被 9 除余数为 0，从 1-89 恰为 5 个周期，所以这个 101 位数 a 被 9 除的余数为 1+3+5+7+0+2+4 被 9 除的余数，等于 4。 解法 2：一个自然数被 9 除的余数和这个自然数所有数字之和被 9 除的余数相同，利用这条 性质，a=71921…… 中 13579 的数字和被 9 除的余数是 7，而 ……9799 所有数字之和被 9 除的余数是 0， 101103 的数字和被 9 除的余数是 6。 所以，a 被 9 除的余数是（7+6）被 9 除的余数，是 4。 13、27；37 解：对前一种情况，可取红、黑色的 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13 点各 1 张，共 13× 2=26（张），那么再取一张牌，必定和其中某一张牌点数相同，于是就有 2 张牌 点数和颜色都相同。这是最杯的情况，因此，至少要取 27 张牌，必能保证有 2 张牌点数、颜 色都相同。 对后一种情况，有以下的搭配： （1，2，3）、（4，5，6）、（7，8，9）、（10，11，12），13。因而对涂阴影的 9 个数，四种花色的牌都取，这样可以取到（4× 2+1）× 4=36（张）牌，其中 没有 3 张牌的点数是相邻的。 现在考虑取 37 张牌，极端情况下，这 37 张牌，有 4 张是 13，则至少要有 33 张牌取自（1， 2，3）、（4，5，6）、（7，8，9）、（10，11，12）四个抽屉，根据抽屉原则，必有 9 个 数来自其中一个抽屉，这个抽屉中就一定有 3 张牌的点数相邻的。因此，至少要取 37 张牌。 14、95；155。 解：第 1 问，以面积大小数正方形，记最小的正方形面积为 1；面积为 1 的正方形的个数： 36；面积为 2 的正方形的个数：4；面积为 4 的正方形的个数：25；面积为 9 的正方形的个数： 16；面积为 16 的正方形的个数：9；面积为 25 的正方形的个数 4；面积为 36 的正方形的个 数：1。所以，共有 36+4+25+16+9+4+1=95（个）正方形。 第 2 问。方法 1：以图中的最小的直角三角形为计数基本单位数三角形：只有 1 个基本图形单位的三角形共 72 个； 由 2 个基本图形单位组成的三角形共 37 个； 由 4 个基本图形单位组成的三角形共 30 个； 由 8 个基本图形单位组成的三角形共 4 个； 由 9 个基本图形单位组成的三角形共 10 个； 由 16 个基本图形单位组成的三角形共 2 个； 所以图中共有三角形 72+37+30+4+10+2=155（个）。 方法 2：依三角形的斜边的长度数三角形。 （1）斜边和水平线成 45 度角的三角形，记这类三角形最小的斜边的长度为 1： 度为 3 的斜边共有：5 条；长度为 4 的斜边共有：1 条。 因为图中这类斜边每条带有 2 个三角形，所以共有 2× （36+15+5+1）=114（个）。 （2）斜边水平的三角形，从上向下：斜边在第一条线有 2 个；斜边在第二条线有 4 个；斜边在第三条线有 4 个；斜边在第四条线 有 5 个；斜边在第五条线有 2 个；斜边在第六条线有 2 个；斜边在第七条线有 2 个； 所以这种类型的三角形共有 21 个。 （3）斜边为垂直线的三角形，从左向右：斜边在第一条线有 2 个；斜边在第二条线有 2 个； 斜边在第三条线有 5 个；斜边在第四条线有 3 个；斜边在第五条线有 3 个；斜边在第六条线 有 4 个；斜边在第七条线有 1 个，所以这种类型的三角形共有 20 个。共有 114+21+20=155 （个）三角形。第十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题一、选择题(每小题 10 分) 以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示 正确答案的英文字母写在每题的圆括号内． 1 ? 0.25 3 ? 0.5 1.算式 + 等于（ ） 3 1 2 ? ? 0.75 1 ?3 4 2 (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 02．折叠一批纸鹤，甲同学单独折叠需要半小时，乙同学单独折叠需要 45 分钟．则甲、 乙两同学共同折叠需要( )． (A)12 分钟 (B)15 分钟 (C)18 分钟 (D)20 分钟 3．如图 l，将四条长为 16cm，宽为 2cm 的矩形纸条垂直相交平放在桌面上，则桌面 被盖住的面积是( )． (A)72 cm2 (B)128 cm2 (C)124 cm2 (D)112 cm24．地球表面的陆地面积和海洋面积之比是 29：71，其中陆地的四分之三在北半球．那 么南、北半球海洋面积之比是( )． (A)284：29 (B)284：87 (C)87：29 (D)171：113 5．一个长方体的长、宽、高恰好是 3 个连续的自然数，并且它的体积的数值等于它的 所有棱长之和的数值的 2 倍，那么这个长方体的表面积是( )． (A)74 (B)148 (C)150 (D)154 7 6.从和为 55 的 10 个不同的非零自然数中，取出 3 个数后，余下的数之和是 55 的 ，则取出 11 的三个数的积最大等于( )． (A)280 (B)270 (C)252 (D)216 二、填空题(每小题 l0 分) 7．如图 2， 某公园有两段路 AB=175 米， BC=125 米． 在这两段路上安装路灯， 要求 A，B，C 三点各设一个路灯，相邻 两个路灯间的距离都相等。 则在这两段路 上至少要安装路灯 个. 8．将 5.425×0.63 的积写成小数形式是 . 9．如图 3，有一个边长为 1 的正三角形，第一次去掉三边中点连线围成的那个正三角形；第二次对留下的三个正三角形，再分别去掉它们中点连线围成的三角形；…做 到第四次后，一 共去掉了 个三角形，去掉的所有三角形的边长之和是 .10．同学们野营时建了 9 个营地，连接营地之间的道路如图 4 所示．贝贝要给每个营地 插上一面旗帜，要求相邻营地的旗帜色彩不同，则贝贝最少需要 种颜色的旗子．如果 贝贝从某营地出发，不走重复路就 (填“能&或“不能”)完成这项任务．参考答案： 一、选择题 1.解：原式＝1.25 1.5 5 1 ＝ ? ＝2 ? 0.75 4.5 3 3答案：B1 2.解： ＝ 5 ＝18（分钟） 答案：C 1 1 6 ? 15 ? 30 4513.解：16× 2× 4－2× 2× 4＝112（cm2） 4.解：设地球表面积为 1，答案：D3 2 ? 0.87 1.13 则北半球海洋面积为：0.5－0.29× ＝ ＝ 4 4 4南半球海洋面积为：0.71－1.13 2.84 ? 1.13 1.71 ＝ ＝ 4 4 4 1.71 1.13 ∶ ＝171∶113 4 4南北半球海洋面积之比为： 答案：D5.解：设长方体的三条棱长分别为 a －1， a ， a ＋1，则它的体积为 a3 ? a 它的所有棱长之和为[( a －1)＋ a ＋( a ＋1)]× 4＝12 a 于是有 a3 ? a ＝12 a3 ? a × 2，即 a 3 ＝25 a ， a 2 ＝25， a ＝5， 即这个长方体的棱长分别为 4，5，6， 答案：B7 6.解：余下的数之和为：55× ＝35，取出的数之和为：55－35＝20， 11所以，它的表面积为（4× 5＋4× 6＋5× 6）× 2＝148要使取出的三个数之积尽量大，则取出的三个数应尽量接近， 我们知 6＋7＋8＝21，所以取 5× 7× 8＝280，答案：A二、填空题 7.解：175 与 125 的最大公约数为 25，所以取 25 米为两灯间距，175＝25× 7，125＝25× 5，AB 段应按 7＋1＝8 盏灯，BC 段应按 5＋1＝6 盏灯，但在 B 点不需重复按灯，故共需安装 8＋6 －1＝13（盏）8.解： 5.425 × 0.63＝5? 5 ? 999 ? 425? ? 0.63 ＝ 34146 ＝ 3.4180 。 425 × 0.63＝ 999 999 99901 9.解：第一次去掉 1 个三角形，得到 3 个小三角形，去掉的三角形的边长为 3× ； 2 1 第二次去掉 3 个三角形，得到 9 个小三角形，去掉的三角形的边长为 3× 3× ； 4 1 第三次去掉 9 个三角形，得到 27 个小三角形，去掉的三角形的边长为 9× 3× ； 8 1 第四次去掉 27 个三角形，去掉的三角形的边长为 27× 3× ； 16所以，四次共去掉 1＋3＋9＋27＝40（个）小三角形，1 1 1 1 3 去掉的所有三角形的边长之和是：3× ＋9× ＋27× ＋81× ＝12 2 4 8 16 1610.解：最少需要 3 种颜色的旗子。因为中间的三点连成一个三角形，要使这三点所代表营地 两粮相邻，要使相邻营地没有相同颜色的旗子，必须各插一种与其它两点不同颜色的旗子。 不走重复路线不能完成插旗的任务，因为本题共有 6 各奇点。第十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题一、选择题。（靶√ 10 分）以下疤獾乃母鲅∠钪校鲇幸桓鍪钦返模虢硎菊反 案的英文字母写在疤獾脑怖ê拍凇 1．科技小组演示自制机器人，若机器人从点 A 向南行走 1.2 米，再向东行走 1 米，接着又向 南行走 1.8 米， 再向东行走 2 米， 最后又向南行走 1 米到达 B 点， 则 B 点与 A 点的距离是 （ ） 米。 （A）3 （B）4 （C）5 （D）7 2．将等边三角形纸片按图 1 所示的步骤折 3 次（图 1 中的虚线是三边中点的边线），然后沿 两边中点的边线剪去一角（图 2）。剪去，不要图 111 将剩下的纸展开、铺平，得到的图形是（ 11图2）。（A） （B） （C） （D