利用打点求概率来计算小学数学题 - 简书
利用打点求概率来计算小学数学题
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最近这张图估计很多人都不陌生，小学、面积和简单的图形，一下子让大家都去涂涂画画了。
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其实如果用三角函数和一些解析几何的东西计算出结果应该还是不难的，我直接Google以图搜图在这个地址：
找到下面的结果：
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一通数学方程秀之后得出了结果：
90+25/2*arctan(3/4)-25PI
当然这个结果对不对我不知道，看着应该是对的，后面我们可以验证下。这里不是介绍如何解三角函数，如何计算解析几何坐标点。
这里是用计算机的思路，利用随机打点的方式，用计算机计算阴影占整个矩形的面积，然后得出面积近似值。
这里不讨论哪个方式好或者坏，只是提供一种不一样的思路。
整体思路就是在20*10的矩形内取点，然后判断点是否在阴影里，如果取的点分布足够均匀足够多，那么可以近似得出阴影部分面积占整个矩形面积的百分比。思路非常简单，实现其实也非常简单。
实现唯一可能有分歧的地方就是点如何取。
1、随机取点
直观感觉是直接Random随机取点，这样当然可以，这样有个非常大的问题就是只能得到近似解，计算的结果是个概率值，无法计算结果的有效数字，只能得出有效数字是计算结果的概率，可能这个概率无限接近1。计算结果是随着打点数量增加一直在无限趋近于准确结果的。计算结果随时可以取值。如果随机取点，代码可能像下面这样：
private static final int MAX_COUNT = ;
private static int mHitTimes = 0;
public static void main(String[] args) {
double AREA = 90 + 25f * 0.5f * Math.atan(0.75f) - 25f * Math.PI;
System.out.println("精确结果:" + AREA);
long start = System.currentTimeMillis();
Random random = new Random();
for (int j = 0; j & MAX_COUNT; j++) {
x = random.nextDouble() * 20;
y = random.nextDouble() * 10;
if (isInArea(x, y)) {
mHitTimes++;
long end = System.currentTimeMillis();
System.out.println("计算耗时:" + (end - start) + "毫秒");
System.out.println("测试精度:" + MAX_COUNT + "次");
System.out.println("击中次数:" + mHitTimes + "次");
System.out.println("占总面积的百分比:" + mHitTimes * 1f / MAX_COUNT * 100f + "%");
float area = mHitTimes * 1f / MAX_COUNT * 200f;
System.out.println("面积约等于:" + area + "平方厘米");
System.out.println("精确度:" + (1 - Math.abs(AREA - area) / AREA) * 100 + "%");
private static boolean isInArea(double x, double y) {
return y & 0.5f * x && x & 5f && !isInCircleLeft(x, y) && !isInCircleRight(x, y);
private static boolean isInCircleLeft(double x, double y) {
return ((x - 5f) * (x - 5f) + (y - 5f) * (y - 5f)) &= 25f;
private static boolean isInCircleRight(double x, double y) {
return ((x - 15f) * (x - 15f) + (y - 5f) * (y - 5f)) &= 25f;
代码没什么难度，用Random随机生成点，然后isInArea判断是否在阴影里。isInArea方法，用了一些解析几何的东西，阴影肯定在OF线的下面所以y & 0.5f * x，同时肯定在AD的右边所以x & 5f，同时不再两个圆里，所以到圆心距离肯定大于半径，然后就是在矩形范围内了。
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可以有上面的结果，精确度还不错，看着好像是一千万次可以有三个9的精度，但实际上这里最后计算的结果没有一个是有效数字，包括19都不能算有效数字，如果自己多计算几次会发现结果是不断变化的，因为是随机取点的，所以每次计算取点的均匀度应该是不一样的，得出的结果也是不一样的。这里的19只能说是有效数字的概率非常高。只是我们和准确结果对对比发现他就是准确的。所以其实最后输出的精确度只是和真实结果对比的，并不代表一千万可以有三个9的精度。
2、均匀取点
另一种取点方式就是直接将矩形分割成无数小矩形，然后每个小矩形作为一个点，这样有个好处是点分布的均匀度非常好，因为点的均匀度是可控的，可以根据点的密集程度精确得到最终结果的部分有效数字。当然缺点也非常明显，已经计算的结果对后续结果没有参考价值，每次只能把所有点遍历完成才能得出结果，不能像随机取点一样随时可以获取结果。最开始我是用的随机取点，因为随机种子没弄好，导致随机取的点，质量不高，均匀度很不好。然后就用了下面的方式，后来又改为上面的随机取点。
private static int mHitTimes = 0;
private static final int X_MAX_COUNT = 20000;
private static final int Y_MAX_COUNT = 10000;
public static void main(String[] args) {
double AREA = 90 + 25f * 0.5f * Math.atan(0.75f) - 25f * Math.PI;
long start = System.currentTimeMillis();
double x = 0;
double y = 0;
for (int i = 0; i & X_MAX_COUNT; i++) {
x += 0.001;
for (int j = 0; j & Y_MAX_COUNT; j++) {
y += 0.001;
if (isInArea(x, y)) {
mHitTimes++;
long end = System.currentTimeMillis();
System.out.println("计算耗时:" + (end - start) + "毫秒");
System.out.println("测试精度:" + X_MAX_COUNT * Y_MAX_COUNT + "次");
System.out.println("击中次数:" + mHitTimes + "次");
System.out.println("占总面积的百分比:" + mHitTimes * 0.01f / (X_MAX_COUNT * Y_MAX_COUNT) * 100f);
double area = mHitTimes * 1f / (X_MAX_COUNT * Y_MAX_COUNT) * 200f;
System.out.println("面积约等于:" + area + "平方厘米");
System.out.println("精确度:" + (1 - Math.abs(area - AREA) / AREA) * 100f + "%");
private static boolean isInArea(double x, double y) {
return y & 0.5f * x && x & 5f && !isInCircleLeft(x, y) && !isInCircleRight(x, y);
private static boolean isInCircleLeft(double x, double y) {
return ((x - 5f) * (x - 5f) + (y - 5f) * (y - 5f)) &= 25f;
private static boolean isInCircleRight(double x, double y) {
return ((x - 15f) * (x - 15f) + (y - 5f) * (y - 5f)) &= 25f;
均匀计算和前面的随机没太大区别，无非就是取点方式不同。
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跑一下代码可以得到这个结果。2亿个点最后和准确结果对比精度99.98%。这个结果无论代码跑多少次结果都一样，因为点都是固定的，这种方式有个比较严重的缺陷是，每次都必须等计算完成，才能得出结果，不能像随机取点一样，随时可以拿一个结果出来。而且后续不同打点数量的计算很难利用前面已有的计算结果。大致就是这样。
其实这里的思路前人早就为我们铺好路了，叫蒙特卡洛算法。啥是蒙特卡洛？其实我也不是很懂，只是我们算法说这是蒙特卡洛算法，我稍微了解了下。推荐Wikipedia蒙特卡洛词条的专业解释：
和知乎的通俗解释：
我就不误导大家了。
上面的代码都是没有任何封装，只能计算最开始图形的面积，如果想要做的更好点其实还是有很大改进空间的，比如支持自由组合拼装阴影，比如利用多线程并发计算，这里线程间除了最后需要把打点结果汇总外，线程间不需要交互任何数据。
这是单线程用随机取值跑8亿个点花啦71秒：
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我取CPU核心数并发8线程：
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11.9秒就算出结果了。CPU负载那里很明显单线程CPU并没有充分发挥性能，后面的多线程尖峰那里则CPU基本满载，充分发挥了性能。当然不同的计算机，得出的结果可能会有差异。
做了个简单封装，可以参考github：
蒙特卡洛比较高级的应用可能是AlphaGo了。简单的我们也可以用蒙特卡洛来计算圆周率PI。其实就是算圆和圆所在正方形的面积比。代码非常简单。
public static void main(String[] args) {
ShadowArea shadowArea = new ShadowArea(0, 2, 0, 2);
shadowArea.setAccurateResult(Math.PI);
shadowArea.addCondition(new CircleArea(1, 1, 1, CircleArea.TYPE_INNER));
shadowArea.setMaxCount();
shadowArea.runByMultiThread();
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当然可以通过addCondition来构造任何由直线和圆拼切出来的图形的面积。
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若无力驾驭自由，自由将是一种负担。
姓名：李嘉蔚 学号 【嵌牛导读】:其实人下棋也是随机试几步，找赢棋概率最大的走。Alphago就是用这个蒙特卡洛算法的。应用这种思想的算法都是蒙特卡洛算法，它有很大的应用，因为现实中有很多的问题都不需要求最优解，也就是不用拉斯维加斯算法。蒙特卡罗方法于...
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&高数题求解？！
高数题求解？！
设常数k＞0，函数 f(x)＝lnx－x/e＋k 在（0，＋∞）内零点的个数为＿。
f'(x)=1/x-1/e& &由lnx存在，知x&0，故当x&e时，f'(x)&0,f（e）=k&0，（e，+∞）f(x)为单调减函数.x趋近无穷大，f（x）=ln(x/e^(x/e))+k由洛比达法则，知f（x）趋近负无穷，故存在一个零点
当x趋近0时，f（x）趋近为负无穷，故存在一零点
故此题答案为2个零点，
第一行改成x&e写错了 ，方法应该是这样的
是两个……
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求高数题，谢谢
我有更好的答案
根据已知条件lim x→0 ln[1+f(x)/sinx]/(a^x -1)=A说明极限存在而分母a^x -1→0所以分子此时也→0否则会有lim 常数/0=∞，极限也就不存在即ln[1+f(x)/sinx]→0，而ln(1+0)=ln1=0那么f(x)/sinx→0再利用等价无穷小的概念ln[1+f(x)/sinx]~f(x)/sinxa^x -1~xlna原极限=lim f(x)/sinx/(xlna)而sinx~x=lim f(x)/(x²lna)=A所以lim f(x)/x²=Alna其中a≠1
你好，我想问一下这一步是怎么得出来的
我的意思是要让ln[1+f(x)/sinx]=0
那么ln1是不是=0
是不是f(x)/sinx=0
哦哦，懂了谢谢
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来源：浙江之声编辑：杨飞婷各位大大！附件中的题目是高等数学（一）微积分类的题目，麻烦老大给出正确答案啊！保证百分百正确啊，小弟我不会做这题目啊！20分送上啊！！题目详见附件
当x≠3时，f(x)=(x^2-9)/(x-3)=[(x+3)(x-3)]/(x-3)=x+3
所以，x→3时，x+3=6
而，x=3时，f(x)=a
已知函数连续
ψ(t)=t^3+1
那么，ψ(t^2)=(t^2)^2+1=t^6+1
lim[1+(2/x)]^(x+3)
=lim{[1+(2/x)]^(x/2)}^[2(x+3)/x]
=lime^[2(x+3)/x]
y=2x/(x^2-x-2)的定义域就是：x^2-x-2≠0
===> (x-2)(x+1)≠0
===> x≠2且x≠-1
B：1/x→∞
D：3sinx→0
C：sinx→0
D：1/x→∞
(7)当x→0时
A：e^3x→1
B：4x+1→1
C：1/x^2→∞
D：sin2x→0
其他答案（共1个回答）
f(x)=xcosx
则，f(-x)=-x*cos(-x)=-xcosx=-f(x)
所以，f(x)为奇函数
f(x)=2^x-2^(-x)...
1.（1）∫&0,1&f(x)dx
=∫&0,1&(4ax^3+3bx^2+2cx+d)dx
=(ax^4+bx^3+cx^2+dx)|&0,1&
发散的情况容易证明。
收敛的情况，利用高等数学里学过的“函数极限的单调有界准则”来证明。这个准则用得极少。
这个功能没有的，你都要提前设置好，到时候自动发。
答: 成本会计的主要工作就两点：1）核算；2）分析。
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答: 那是肯定没有问题的啊，拓维教育跟长郡中学网站合作，这对你孩子进名校提供了一个门槛哦
答: 2)英国的科学教育：在英国“全国学校课程”中，科学和数学并列为三大核心课程，所有5—16岁的儿童都必须接受法定的科学教育
答: 如果他能适应于大部分人，就是对的，而且也没有新的方法取代他
B.20世纪上半叶，人类经历了两次世界大战，大量的青壮年人口死于战争；而20世纪下半叶，世界基本处于和平发展时期。
“癌症的发病率”我认为这句话指的是:癌症患者占总人数口的比例。
而B选项说是死亡人数多，即总体人数下降了，但“癌症的发病率”是根据总体人总来衡量的，所以B项不能削弱上述论证
海鸟的种类约350种，其中大洋性海鸟约150种。比较著名的海鸟有信天翁、海燕、海鸥、鹈鹕、鸬鹚、鲣鸟、军舰鸟等。海鸟终日生活在海洋上，饥餐鱼虾，渴饮海水。海鸟食量大，一只海鸥一天要吃6000只磷虾，一只鹈鹕一天能吃(2～2.5)kg鱼。在秘鲁海域，上千万只海鸟每年要消耗?鱼400×104t，它们对渔业有一定的危害，但鸟粪是极好的天然肥料。中国南海著名的金丝燕，用唾液等作成的巢被称为燕窝，是上等的营养补品。
嫌麻烦就把你洗衣机的型号或断皮带，拿到维修点去买1个，自己装上就可以了（要有个小扳手把螺丝放松，装上皮带，拉紧再紧固螺丝）。
如何洗衣服？也许有人会说，衣服谁不会洗啊？放到水里，加点洗衣粉洗就成了呗。是啊，说是这样说，可是洗衣服还有不少学问呢。我就说说我的“洗衣经”吧。
说起洗衣服，想想真有不少要说的呢。
首先要分开洗。内衣外衣、深色浅色要分开。个人和个人的衣物也尽量分开洗涤，这样可以防止不同人体间细菌和病菌的相互交叉感染，尤其是宿舍或者朋友的衣服尽量不要放置在一起洗。即使是自己的衣服，内衣和外衣也要分开洗。因为外衣接触外界的污染和尘土较多，而内衣将直接接触皮肤，为避免外界尘螨等对皮肤的不良入侵，内外分开洗涤是有科学道理的。不同颜色的衣物要分开洗涤，可将颜色相近的一同洗涤，浅色的一起洗涤，容易掉色的单独洗涤，避免衣物因脱色而损坏。另外，袜子和其他衣物不要一起洗涤。
其次，使用洗衣粉宜提浸泡一会。洗衣粉功效的发挥不同于肥皂，只有衣物适时浸泡才能发挥最大的洗涤效果。浸泡时间也不宜太长，一般20分钟左右。时间太长，洗涤效果也不好，而且衣物易褶皱。有人洗衣服时把洗衣粉直接撒在衣物上便开始搓揉洗涤，那样不能发挥最好的洗涤效果，对洗衣粉是一种浪费，当然，免浸泡洗衣粉出外。另外，冬季一般宜使用温水浸泡衣物。水温过低，不能有效发挥洗衣粉的洗涤效果，水温太高，会破坏洗衣粉中的活性成分，也不利于洗涤。
再次，衣物及时更换，及时洗涤。衣服要及时更换，相信道理大家应该都很清楚。可是，衣物换下后应该及时清洗，有人却做的不好。好多家庭喜欢将换的衣服积攒起来，每周洗一次，这样很不科学，容易使衣物上积聚的细菌大量繁殖，容易诱发皮疹或皮肤瘙痒症状。为了个人和家人的身体健康，还是勤快一点，把及时换下的衣物及时洗涤，这样，其实也费不了多少时间，也不至于最后要花费半天甚至更长 的时间专门来洗涤大量的衣物要节约的多。另外衣服穿的太久就比较脏，要花很大的力气洗涤才能洗干净，也容易将衣物搓揉变形，而影响美观和穿着效果。
洗衣服是个简单的小家务，也是生活中不可缺少的一件事，学问却很多，也许您的“洗衣心得”比这还要科学，还要多样，欢迎您 的指正~~
其实散步是孕妇最适宜的运动，可以提高神经系统和心肺的功能，促进新陈代谢。有节律而平静的步行，可使腿肌、腹壁肌、心肌加强活动。由于血管的容量扩大，肝和脾所储存的血液便进入了血管。动脉血的大量增加和血液循环的加快，对身体细胞的营养，特别是心肌的营养有良好的作用。同时，在散步中，肺的通气量增加，呼吸变得深沉。鉴于孕妇的生理特点，散步是增强孕妇和胎儿健康的有效方法。孕妇在散步时首先要选好散步的地点。花草茂盛、绿树成荫的公园是最理想的场所。这些地方空气清新、氧气浓度高，尘土和噪音少。孕妇置身于这样宜人的环境中散步，无疑会身心愉悦。可以在自家周围选择一些清洁僻静的街道作为散步地点。一定要避开空气污浊的地方，如闹市区、集市以及交通要道，因为在这种地方散步，不仅起不到应有的作用，反而对孕妇和胎儿的健康有害。散步的时间也很重要，最好选在清晨。你还可以根据自己的工作和生活情况安排适当的时间。散步时最好请丈夫陪同，这样可以增加夫妻间的交流，培养丈夫对胎儿的感情。散步时，要穿宽松舒适的衣服和鞋。
若您在到期还款日前未及时归还账单最低还款，会收取滞纳金和利息，且会影响您的个人信用。滞纳金收取最低还款额未还部分的5%，最低收取RMB10元或USD1元。利息是当期的所有消费将从记账日（一般是消费后的第二天）开始计收，日息万分之五，直至您全部还清为止。为避免影响个人信用,建议您按时还款,如不方便全额还清账单,请您至少按时还清最低还款额的部分信用卡最低还款额=10%信用卡账户所有一般交易 100%账户内所有未结清的分期交易单期金额 100%上期最低还款额未还清部分 100%超过账户信用额度使用的全部款项 100%费用 100%利息最低还款额是指信用卡每月最低需偿还的金额，显示在信用卡当月账单上。若您不能一次性还清，可在最后缴款日前按时还足最低还款额，不会影响个人信用，但无法享受免息还款期，当期所有消费从记账日开始计收利息，日息万分之五。(按时全额还款，刷卡消费是可以享受免息期)若不还款，则会影响您的信用，会收取您的利息。银行会先催款，之后不排除寻求法律渠道解决。
信用卡额度是根据您近期的用卡记录、还款记录、消费类型等各方面的情况由系统进行综合评定的。所以信用卡并不是根据积分来提额的。
母体因素常见的有：急性感染性疾病、子宫发育异常或损伤、黄体功能不全和一些慢性病等。怀孕期间感染急性传染病(如肝炎)，细菌毒素或病毒可以通过胎盘进入胎儿体内，导致胎儿死亡流产；孕妇长时间高热，也可以引起流产或胎儿畸形；子宫结构异常，如双角子宫、子宫纵隔以及宫腔内有突出的子宫肌瘤等，都会限制宫腔扩大，影响胎儿发育而致流产；子宫口松弛以及在人工流产后造成的子宫颈撕裂，往往会因为松弛的宫颈内口支托不住逐渐发育长大的胎儿，而使胎儿流出；孕妇患有慢性疾病，如甲状腺功能亢进或低下等，造成内分泌紊乱可导致自然流产。尽管看起来有这么多的因素，但其中有很多是可以预防和治疗的。 胎儿方面的因素，可以来自父毋双方，父方即由精子的原因引起；母方即由卵子的原因引起。胎儿发育异常中，最常见的是染色体异常，约占30%—60%。此外，还有单基因、多基因的异常，或由环境因素导致的胎儿畸形等，这样的胎儿多未长到足月就死亡流产。自然流产的标本中唇颚裂的发生率是正常产儿的76倍，这表明天部分异常儿被自然流产所淘汰。有很多孕妇及其家属对于没有明显外部诱因引发的流产总觉得可惜。其实，如果是母体方面的原因，可以针对原因进行可能的保胎治疗。如果是胎儿方面的因素引起的，即使是保胎成功，结果可能会保住异常儿。相信这都不是大家所希望的。从这一点上看，医生在治疗先兆流产时要分析原因，如找不到明显的母体因素，则应该考虑胎儿有无发育异常的可能，保胎时应酌情，避免保住异常胎儿。
硬膜外分娩镇痛的一般并发症如低血压、头痛比较轻微，严重威胁生命的并发症比较少见。常见不良反应表现在对产程的影响、对胎盘血供的影响。低血压这个不良反应是影响胎盘血流的主要因素。但在药物浓度降低至一定程度(即常规浓度)时，影响并不明显。硬膜外分娩镇痛对宫缩的影响各不相同。一般局麻药浓度越低、用药时间不要过早，镇痛过程中辅以一定量的催产素，都可以减轻宫缩抑制作用。一旦出现任何不能改善的胎盘血流下降、胎儿心率改变，医生会当机立断，终止自然分娩，以确保母婴安全。因此，整个分娩过程中需要妇产科医生与麻醉科医生共同监测产妇情况。但总体来说，硬膜外镇痛对母亲和胎儿的安全性还是值得肯定的。
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柔肤水：以软化角质，让皮肤柔软、嫩滑为特点，一般pH值偏向弱碱性。通过可帮助皮肤加速清除老化细胞，使肌肤更清爽，多适宜肤色较黯淡的油性、混合性肤质。通常去痘型化妆水中也含有与它同成份的水杨酸，因为它能够帮助角质剥落，有一定杀菌、去痘作用。但是有些人对水杨酸过敏，所以购买时要看清成分表。
当然是IT互联网技术。互联网运营与创客、UI新媒体设计等热门专业。
办理积分入户要找个靠谱机构，看看他们公司理念，公司环境，服务态度，专业程度。
我的建议是萌贝湾婴儿游泳馆，环境卫生，泳池整洁，服务也好。
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