《二元函数极限的计算方法》 www.wenku1.com
二元函数极限的计算方法日期：
第２４卷第２期２００９年４月天中学刊ＪｏｕｒｎａｌｏｆＴｉａｎｚｈｏｎｇ、，０１．２４Ｎｏ．２Ａｐｒ．２００９二元函数极限的计算方法陶会强，罗成广（黄淮学院，河南驻马店４６３０００）摘要：，由于变量个数的增加，二元函数极限的求解比一元函数复杂得多，但二元函数极限的运算法则与一元函数是一致的，因此可将一元函数的计算方法推广至二元函数．关键词：二元函数；函数的极限；洛必达－ｇ－－ｊｄ中图分类号：０１７４．１文献标识码：Ａ文章编号：１００６—５２６１（２００９）０２－０００３－０２函数的极限是高等数学教学中一个非常重要的内容．二元函数极限是在一元函数极限的基础上推广得来的，二者之间既有区别又有联系．在极限运算法则上它们是一致的，但随着变量个数的增加，二元函数极限的求解比一元函数复杂得多．目前的各类教材、教学参考书中，有关二元函数极限的内容较少．本文着重在一元函数计算方法的基础上，推广得到二元函数的求解方法．１３利用初等函数的连续性求解二兀初等函数在定义域内邵是连续的．由二兀甬数极限的定义可知，若厂为二元初等函数，Ｐｏ（Ｘｏ，Ｙｏ）是函数／定义域内的一点。则，ｊ咖、ｆ（ｘ，Ｊ，）＝ｆ（ｘｏ，ｙｏ）．‘ｊ?，Ｊ．＋ｔ，ｔｏ?蛐Ｊ例３求，ｌ嗵．，［Ｉｎ（ｘ＋ｅ’）／√工２＋Ｊ，２】．“．，卜÷（１．Ｏ）。’一一解：因ｆ（ｘ，ｙ）＝ｌｎＯ＋ｅ，）／‘巧７是初等函数，而（１，０）是其定义域内的点，故利用二兀函数极限的定义求解设厂为定义在ＤｃＲ２上的二元函数，Ｐｏ（ｘｏ，％）为Ｄ的（，．，１）ｉ．＋ｍ（１．。）【ｌｎ（ｘ＋ｅ７）／√工２＋ｙ２】＝，（１，ｏ）＝ｌｎ２?４利用无穷小量的相关结论求解一元函数关于无穷小量的某些结论对二元函数同样适用，例如无穷小量的倒数是无穷大量，等价无穷小替换，无穷小量与有界变量的乘积仍然是无穷小量．一个聚点，彳是—个确定的实数．若对任给的正数￡，总存在某正数万，使得当Ｄ内的点Ｐ（ｘ，ｙ）满足ｋ—ｘｏＩ＜万，ＩＹ－ＹｏＩ＜万且（工，Ｙ）≠（ｘｏ，Ｙｏ）时，都有Ｉ／（ｘ，ｙ）－ＡＩ＜占．则（ｊ．ｙ卜＇（％．ｙｏ），ｊ咖ｆ（ｘ，Ｊ），）＝Ａ．’’’例ｌ求，ｌｊｍ＾．、（ｘ＋ｙ）ｓｉｎ［ｘ２＋ｙ２】－Ｉ．（ｊ．ｙ）—ＨＯ．０）。解：当（ｘ，ｙ）≠（０，０）时，例４求∽慨．。）ｅｘｐ［一Ｉｘ－ｙｌｌ（ｘ２－２ｘｙ＋ｙ２）】?解：由例２可知㈦慨．．，（Ｘ２－－２ｘｙ＋ｙ２）／ＩＸ－－ｙｌ＝０Ｕ再由复合函数极限的求法得，而ｌＪ．ｙ｝一ｌｕ．１Ｉ（ｘ＋ｙ）ｓｉｎ［ｘ２＋少２】－１－０Ｉ≤Ｉｘ＋ｙｆ≤Ｉｘｌ＋ｌｙｌ，任意地给定一个正数￡，取艿＝∥２，则当Ｈ＜万，ｌｙＩ＜万并且Ｏ，Ｙ）≠（０。０）时，有Ｘ－－２ｘｙ＋ｙ２）／Ｉｘ－ｙｌ＞０，所以∽热．０）Ｉｘ—ｙ№一ｙ）２＝扣，ｆＩ．慨．ｏ）ｅＸｐ［一Ｉｘ－ｙｌ／（ｘ２－２ｘｙ＋ｙ２）】＿０?侈９５求，ｌｉｍ．，［ｓｉｎ（ｘ３＋ｙ３）／（工＋ｙ）】．‘叫’。’。Ｉ（ｘ＋ｙ）ｓｉｎ［ｘ２＋ｙ２】～一ｏＩ≤ｌｘｌ＋ｌｙｌ＜￡，所以∽热．ｏ）（Ｊ＋ｙ）ｓｉｎ［工２＋ｙ２】－ｌ＝０?二元甬数的极限运算有着和一元函数类似的运算法则．（Ｊ．ｙ）－ｑＯ．０）２利用极限的运算法则求解解：＠．Ｙ）－÷（０，０）时，ｓｉｎ（ｘ３＋ｙ３）ｚ（ｊｒ３＋ｙ３），故例２求，．１１ｍ。、【（工２—２砂＋ｙ２）／Ｉｘ－ｙ１］．（Ｉ……．Ｏ）。’。。ｍ想，。）【ｓｉＩｌ（工３＋ｙ３）肛＋ｙ）】＿∽毋％．。）【（，＋Ｊ，３）他＋Ｊ，）】２∽燥．。）（Ｘ２－－ｘｙ＋ｙ２）＝０?解：由于Ｘ２—２ｘｙ＋ｙ２＝ｌＸ－－ｙ１２，贝Ⅱ∽热川［（Ｘ２－－２ｘｙ＋ｙ２）／ＩＪ—ｙＩ】＝（，．想栅Ｉｘ—ｙｌ一∽热．。）伍一Ｊ，）＝±（烛工一脚ｙ）＝０?收稿日期：２００８．１０．０８例６求∽慨：，Ｆ（Ｘ矿－－３）２石（ｙ－－可２）３则有２．《Ｊ．，）＿＋（３，２）ｌ工一）‘＋Ｉｙ—Ｉ‘解：因（ｘ－３）２＋（Ｊ，一２）２２２（ｘ一３Ｘｙ－２），ｌｉｍ（ｘ－３）＝０，＾－’Ｊ作者简介：陶会强（１９８１～）。男，河南新野人．黄淮学院教学科学系助教．万方数据?４?陶会强，罗成广：二元函数极限的计算方法１ｗｌＭｉｒａ．２）百（ｘ了－万３）２石（ｙ－虿２）＝（，．，ｌ卜ｉｍ（，．：）石ｉ（＝ｘ蜀－Ｆ３；）（ｉｙ丽－２）?（名一３）＝ｏ．５利用两边夹法则求解类似于一元甬数极限的两边夹法则。可证明二元函数极限的两边夹法则：设ｆ（ｘ，Ｊ，），ｇ（ｘ，Ｊ，）和ｈ（ｘ，ｙ）在区域Ｄ上ｇ（ｘ，ｙ）≤ｆ（ｘ，ｙ）ｓｈ（ｘ，ｙ），，Ｊ咖、ｆ（ｘ，ｙ）＝Ａ．例７求ｌｉｍ（，?，）—一。?。）Ｘ‘一ｘｙ十Ｙ’１』４．。≤Ｉ制≤再Ｉｘ歹＋硐ｙｌ≤硼Ｈ＋Ｉｙｌ＝研Ｉ＋研１，解：ＥｈＸ２＋ｙ２≥２Ｉ砂Ｉ可得ｌｉｍＴ型上１：０．（‘－ｙ）—＋（。?。）ｘ‘一ｘｙ十Ｙ‘有时我们司以利用一兀函数的重要极限嘞（ｓｉｎ叫工）＝ｌ例８求ｌｉｍ—ｓｉｎ（ｘ３—＋ｙ３）．ｕ?，）—＋‘ｏ?”耳十ｙ解：令ｔ＝ｘ３＋ｙ３，则（ｘ，Ｙ）－÷（０，０）时ｔ－－＞０，从而：ｌｉｍ三∑￡．１ｉｍ育ｓｉｎ（ｘ３＋ｙ３）ｌｉｍ—ｓｉｎ（ｘ３—＋ｙ３）“?ｙ）叫ｏｔｏ）工十Ｙｔ。?ｙ）＿＇（ｏ?ｏ＇茸。十Ｙ。＝ｌｉｍ（工２一捌＋＇，２）．１ｉｍ墨业＝０．‘Ｊ．，）—Ｈｏ．ｏ）、。７’ｆ＿ｏｔ例９求，脚．【ｌ＋ｌ／（ｘｙ）］－如．“．Ｙ）—＋（－．一广解：，‘Ｉ?ｙ卜Ｈ一?－，！‘粤、［１＋ｌ／（习，）ｒ血，＝，Ｉｒ，，卜＋‘＿．∞）ｌｉ哆、【１＋ｌ／（习，）】”．‘ｕｙｌｙ。∽上骧．．）（１＋ｌ／（砂）尸＝ｌｉ罂（１＋ｌ／ｔ）ｋｅ，‘”ｌＨｉｍ，）（ｓｉｎｖ／ｙ）２磐（ｓｈａｙ／ｙ）＝０，Ｉｚ?，Ｊ—帆－?－Ｊ，！睁、【ｌ＋ｌ／（秒）ｒ衄＝ｅｏ＝１．定理Ｉｚ＝ｆ（ｘ，Ｙ）在点Ｐｏ（ｘｏ，Ｙｏ）的某空心邻域内有（１）彳与ｏｆ无关时．，ｊ咖、ｆ（ｘ，ｙ）＝彳；（２）彳与口有关时，，Ｊ蜘、ｆ（ｘ，Ｊ，）不存在．万方数据例ｌｏ求∽，ｌＭｉｍ：）而（ｘ－矿３（ｊ．，）—＇（．２）Ｉ工一）ｌ‘＋Ｉ）２万（ｙ－珂２）２３ｌ，一２．ｒ解：此极限中ｘｏ＝３，Ｙｏ＝２，嘞邝…ｓｏｆ，２＋ｔｓｉｎ咖ｌ，ｉ卅ｒａ怒等麓等＝ｌｉｍ（，２ｔⅢｓｉｎ２ＯｆＣＯＳ２ｏｆ）＝０。从而（Ｉ－Ｍｌｉｍ．：）而（ｘ－矿３）２丽（ｙ－２）２ｒ＝。．例ｌｌ求ｍＭｌｉｒａ）研Ｘ４＿ｙ２０．（ｒ．，）—（Ｏ．）工’＋Ｖ‘解：此极限中ｘｏ－－－０，Ｙｏ＝０，＝ｌ，ｉ＋ｒａｆ（，ｃｏＳ口，ＩＳｔｎ班ｌ，ｉ卅ｍ等等蔫筹ｌｉｍ＿ｔ２ＣＯＳ４０ｆ－ｓｉｎ２０弘觚，埘ｔ‘ＣＯＳ’口＋ｓｉｎ２口ｆ：』１Ｉ—ｌ，’口≠ｋｘ８利用二元函数的洛必达法贝Ｕ求解定理２若二元函数ｆ（Ｐ）满足：（ｉ）ｇ（Ｘｏ。Ｙｏ）为有限点；（ｉｉ）溉，（Ｐ）２舰ｇ（一＝０；（ｉｉｉ）ｆ（Ｐ），ｇ（Ｐ）在点Ｐｏ（Ｘｏｔｙｏ）的某空心邻域内可微。且ｇＩ（Ｐ）与毋（尸）不同时为零；＠，避笳饕簧篇矧以则Ｍｌｉｒａ器以（条件（ｉｉ）改为３骧，（Ｐ）＝，１．＋ｉｍ局ｇ（Ｐ）＝＊时结论仍然成立?）例１２求，Ｉｉｍ．、［ｓｉｎ（ｘ２ｙ＋ｘｙ２）／（砂）】．（ｊ．ｙ）－“ｏ．Ｏ）……解：由定理２可知（ｗｌＭｉｒａ。）［ｓｉｎ（Ｘ２ｙ＋ｘｙ２）／（拶）】＝，ｌｉｍ．、亡［ｅｏｓ（ｘ２Ｊ，＋ｊｙ２Ｘ２ｘｙ＋ｙ２）工＋（ｆ．ｙ）－“ｏ．０）Ｚ．Ｗ’。。ｃｏｓ（ｘ２ｙ＋ｘｙ２Ｘ２ｘｙ＋ｘ２）川２毛要ｍｏ．。）［ｃｏｓ（ｘ２ｙ＋ｘｙ２№＋ｙ）】－０参考文献：【ｌ】卫民波．关于二元函数极限的讨论叨．山西农业大学学报。２００６，（６）：１２３～１２４．【２】费定晖，周学圣．Ｂ．兀．且ＥＩ，硒ＯＢＨｑ数学分析习题集题解（五）【Ｍ】．济南：山东科学技术出版社，２００１．２７．究，２００３，（１）：３２，４３．上海：上海科学技术文献出版社。１９９０：１９－２１．南阳师范学院学报。２００４，（１２）：２５－２７．用［Ｊ】．怀化学院学报，２００７，（２）：３４￣３６．（责任编辑张继金］（下转第８６页）有定义，昂（而，％）是Ｄ的内点或界点，若（。熙㈨ｇ（Ｊ，ｙ）＝一且（Ⅵ熙㈨ＪＩｌ（ｘ，ｙ）＝Ａ，则有而。ｗｌ州ｉｍ…）（南＋南］２烛由＋墼由２０，所以６利用重要极限公式求解和受（１＋ｌ／工ｒ＝ｅ直接求解二元函数的极限．令ｔ＝ｘｙ，则故【３】冯英杰，李丽霞．二元函数极限的求法【Ｊ】．高等数学研【４】王向东，熊道统．数学分析的概念与方法（下）［ＭＩ．【５】丁殿坤，吕端良，李淑英．多元函教极限的一种求法【Ｊ】．７把二元函数的极限转化为一元函数的极限【６】宁效琦，游淑军．二元函数的Ｌ＇Ｈｏｓｐｉｔａｌ法则及其应定义，ｃｏｓ口，ｓｉｎａ是向量（ｘ－ｘｏ，Ｊ，一％）的方向余弦，若ｌ蛔ｆ（ｘｏ＋ＩＣＯＳ口，Ｙｏ＋ｔｓｉｎｏｆ）＝Ａ，则有：?８６－彭建勋，詹润涛：基于统计分析的学生学习态度量化研究是使学生能较为系统地理解财务管理的基本理论，评价建筑企业、房地产企业的投资、融资方法对企业价值最大化目标的实现程度【３】．该课程所涉及的数学知识学生在高中已经掌握，根据观察两类学生中尤其是女生表现出强烈的学习兴趣，笔者结合课程特点特采取以下教学方法：①在教学过程中应坚持理论分析与案例分析相结合的方法，使学生能真正理解和掌握财务管理学科的基本内容；②对于课程的知识点，由于可用案例较多，应选取足够的素材来讲解知识点；③采用启发式教学方法，即课堂加强师生之间互动，启发学生思考实际问题，课堂上尽量采用提问方式教学．表２同等人数下运筹学课程均值分析ｚ检验检验指标平均成绩ｉ样本方差ｓ２班级人数以平均成绩差ｄ统计量ｚＺ０．０５务管理），通过教师的努力，可以消除学生学习成绩差异的显著性．（３）对于抽象性强的课程（如运筹学），启发式教学对知识素质较差的学生不一定能带来良好的教学效果，而对应用强、不太抽象、数学能力要求不太高的课程（如财务管理），够带来良好的教学效果．（４）学生的学习态度对学习成绩的离散性有较大影响，离散系数在一定程度上可反映整个班级学习态度之问的差异．表３０４工管财务管理课程均值分析ｚ检验检验指标平均成绩ｉ样本方差Ｓ２离散系数Ｖ班级人数甩平均成绩差ｄ统计量ｚ统招生６６．６０１１５．５０．１６ｌ３５Ｏ１．８ｌ１．９６专升本生６２．２４１２５．０Ｏ．１７９５０统招生７５．９４４０４．７３５０１．６ｌ１．９６专升本生６９．３４１８６．１３５Ｚ０．０５为检验以上教学效果是否可行，利用双样本均值ｚ检验进行双侧检验差异性．表３列出了检验结果．３结论通过对专升本生和统招生合班教学的运筹学和财务管理两门课程成绩的统计分析，得出如下结论．（１）对于理论性强、比较抽象、数学能力要求较高的课程（如运筹学），虽然经过教师的教学努力，但由于学生基本素质的差异，只能消除一定数量的专升本生和统招生学习成绩差异的显著性，而不能完全消除这种差异的显著性．（２）对于应用性强、数学要求不高的课程（如财以上的结论和心得还需要在更多的样本空间进行验证，在此仅作为抛砖引玉的作用，为以后如何因材施教的教学研究提供一个良好的借鉴．随着教学工作的进行，差异素质学生中的教学方法研究会更加成熟．参考文献：【ｌ】袁卫，庞皓，曾五一，等．统计学【Ｍ】．北京：高等教育出版社，２００５．４２－６１．【２】宋学峰，魏晓平．运筹学［Ｍ】．南京：东南大学出版社２００３．８６～１０７．【３】温作明，许敏．财务管理［Ｍ】．南京：东南大学出版社２００６．８６＂－１０７．［责任编辑牛建兵］（上接第４页）ＭｅｔｈｏｄｓｏｆＲｅｑｕｅｓｔｉｎｇｔｈｅＬｉｍｉｔｏｆＢｉｎａｒｙＦｕｎｃｔｉｏｎＴＡＯＨｕｉ－ｑｉａｎｇ，ＬＵＯＣｈｅｎｇ—ｇｕａｎｇ（ＨｕａｎｇｈｕａｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，ＺｈｕｍａｄｉａｎＨｅｎａｎ４６３０００，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅｏｆｂｉｎａｒｙｆｕｎｃｔｉｏｎｌ砌￡ｏｆｂｉｎａｒｙｆｕｎｃｔｉｏｎｃｏｍｅｓｆｒｏｍｆｕｎｃｔｉｏｎｉｓｍｏ他ｃｏｍｐｌｅｘｂｅｃａ眦ｏｆｔｈｅｂａｓｉｓｏｆｔｈｅｔｈｅｌｉｍｉｔｏｆｍｏｒｅｏｎｅｖａｒｉａｂｌｅｆｕｎｃｔｉｏｎ．Ｔｈｅｙｈａｖｅｔｈｅｓａｍｅａｌｇｏｒｉｔｈｍ．ｂｕｔｔｈｅｌｉｍｉｔｐａｐｅｒｇｅｔｓｔｈｅｏｎｅｖａｒｉａｂｌｅ．Ｔｈｉｓｍｅｔｈｏｄｓｏｆｒｅｑｕｅｓｔｉｎｇｔｈｅｌｉｍｉｔｏｆｂｉｎａｒｙ０１１ｌｉｍｉｔｏｆｏｎｅｖａｒｉａｂｌｅｆｕｎｃｔｉｏｎａｎｄｇｉｖｅｓｅｘａｍｐｌｅｓ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｂｉｎａｒｙｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｔｈｅｌｉｍｉｔｏｆｆｕｎｃｆｉｏｎ；Ｌ’ＨｏｓｐｉｔａｌＲｕｌ万方数据二元函数极限的计算方法作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：陶会强， 罗成广， TAO Hui-qiang， LUO Cheng-guang黄淮学院,河南,驻马店,463000天中学刊JOURNAL OF TIANZHONG)0次 参考文献(6条) 1. 卫民波 关于二元函数极限的讨论[期刊论文]-山西农业大学学报 . 费定晖. 周学圣 Б.Π.ДЕИДОВИЧ数学分析习题集题解(五) 20013. 冯英杰. 李丽霞 二元函数极限的求法[期刊论文]-高等数学研究 . 王向东. 熊道统 数学分析的概念与方法(下) 19905. 丁殿坤. 吕端良. 李淑英 多元函数极限的一种求法[期刊论文]-南阳师范学院学报 . 宁效琦. 游淑军 二元函数的L' Hospital法则及其应用[期刊论文]-怀化学院学报 2007(02) 相似文献(10条)1.期刊论文 毛珍玲. MAO Zhen-ling 一类二元函数的极限 -无锡职业技术学院学报)该文给出一类齐次二元有理分式函数的极限存在与否的判定方法及证明.2.期刊论文 王海燕 二元函数求极限的方法 -考试周刊2007,""(37)二元函数的极限是在一元函数的基础上发展起来的,二者既有联系也有区别.本文通过部分例题的解析,以详细介绍二元函数极限的求法.3.期刊论文 王润桃 关于二元函数的极限 -株洲工学院学报)讨论了二次极限与二重极限之间的区别与联系,二重极限不存在的判定方法以及齐次有理分式函数的极限存在的判别法.4.期刊论文 卫民波. WEI Min-bo 关于二元函数极限的讨论 -山西农业大学学报（自然科学版）)极限理论是微积分学的基础,极限的思想方法在许多领域有着广泛的应用.二元函数的极限与一元函数的极限含义相同,它研究的是平面上动点趋向某一定点时,相应的函数值的变化趋势.根据二元函数极限的定义,在点P0 (x0,y0) 的邻域内,动点P (x0,y0) 趋向于P0 (x0,y0) 的方式是任意的.因此,在判定二元函数极限是否存在以及极限的计算上都有一定难度.就二元函数的极限问题作了两个方面的探讨,以便提供一种解题思路.5.期刊论文 赵书改 关于求重极限的方法与技巧的一些研究 -大众科技2010,""(2)文章研究求解重极限的方法与技巧,首先指出可以利用求一元函数的极限的一些方法求解重极限,然后给出把二元函数转化为一元函数再求极限的方法与极坐标变换法,最后阐述用重极限的ε-δ定义求解重极限的方法以及求解重极限过程的一些技巧.6.期刊论文 武淑琴 二元函数极限的几种求法 -山西煤炭管理干部学院学报)函数极限是高等数学中非常重要的内容.关于一元函数的极限及求法,各种高等数学教材中都有详细的例题和说明.二元函数极限是在一元函数极限的基础上发展起来的,二者之间既有联系又有区别.比如,极限的四则运算法则是相同的,但是随着变量个数的增加,二元函数的极限比一元函数极限变得要复杂得多.但现教材、参考书关于二元函数极限求法不够详细,不便于初学者的学习与掌握.就此问题进行讨论.7.期刊论文 金秀山 一元函数与二元函数部分性质的比较 -科技信息(学术版)2006,""(10)在微积分教学中,学生对一元函数与二元函数的极限、连续等问题容易产生混淆,为此本文通过举例比较了一元函数与二元函数的部分性质,这对于学生深入了解有关概念和性质起到重要的作用.8.期刊论文 郭俊杰. GUO Jun-jie 二元函数求极限的方法 -衡水学院学报)二元函数求极限是高数中的难点,现归纳了6种求二元函数极限的方法,分别为:直接证明、先估值后证明、利用二元函数的连续性、用无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量的结论、用重要极限limx>0sinx/x=1、用两边夹定理.9.期刊论文 倪培溉 用L'Hospital法则求解某些二元函数的极限 -中国民航学院学报)求二元函数"0/0"型极限是比较棘手的问题.利用解析函数的L'Hospital法则给出一种简便易行的求解某些二元函数的"0/0"型极限的一种方法.10.期刊论文 郭安学 二元函数的极限 -科学决策2008,""(11)本文给出了二元函数的三种不同极限的概念,并讨论了三种极限的关系与差异. 本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_tzxk.aspx授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：3bd-4f09-919a-9dca下载时间：日本文由(www.wenku1.com)首发，转载请保留网址和出处！
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二元函数的极限怎么算.
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沿不同曲线趋于时极限如果不同的话那么极限是不存在的,这个是证明多元函数极限不存在的方法极限是微积分学的基础,导数、积分等概念都是在极限的基础上建立起来的.从极限理论出发产生的极限方法,是数学分析的最基本的方法.更好地理解极限思想,掌握极限理论,应用极限方法是学习微积分的关键.一元函数的极限及求法,在各种高等数学教材中都有详细的讨论.除了常用的定义、运算法则、连续性方法,本文给出了六种适用性较强的二元函数极限计算方法,希望对初学者有一定帮助.一、变量替换(转化为一元函数计算)例1lim(x,y)→(0,0)1-cos(x2+y2)x2+y2.解令t=x2+y2,则当(x,y)→(0,0)时,t→0,所以lim(x,y)→(0,0)1-cos(x2+y2)x2+y2=limt→01-costt=limt→0t22t=limt→0t2=0.二、利用无穷小替换例2lim(x,y)→(0,0)sin(x3+y3)x+y.解因为当(x,y)→(0,0)时,x3+y3→0,所以sin(x3+y3)～x3+y3,于是lim(x,y)→(0,0)sin(x3+y3)x+y=lim(x,y)→(0,0)x3+y3x+y=lim(x,y)→(0,0)(x2-xy.
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证明二元函数的极限
作者 zz3476
\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}\leq\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{2}
即得到所要证的极限。
也可以利用极坐标变换x=rcosa, y=rsina, (x,y)-&(0,0)等价于r-&0, 代入可得极限为0.
同学可以试试用定义去证呐！！
Lim[(x,y)→(0，0)](xy)/√(x^2+y^2)=Lim[(x,y)→(0，0)]x*(y)/√(x^2+y^2),因为(y)/√(x^2+y^2)是有界的，即0&(y)/√(x^2+y^2)&1 , 而x为无穷小，由极限的性质：无穷小乘以一个有界的数，仍为无穷小。所以上述极限为零。
1）假设沿y=k*x逼近（0，0),K在此处可看作可取任意数值的参变量且k≠∞，则原极限问题变为:
Lim x--&0 {k*x^2/[sqrt(1+K^2)]}
=k/[sqrt(1+K^2)]*Lim x--&0 {x}≡0
（2）假设沿x=0逼近（0，0),则原极限=0
综上所述，无论以任何路径逼近原点，极限均为零，故极限为零，
可以令y=kx化简可得结果。
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二元函数极限计算的几种常用方法
摘　要:本文给出了二元函数极限计算的常用方法，并给出了几种常用的判断二元函数极限不存在的方法。
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