雅可比矩阵_百度百科
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雅可比矩阵
在向量微积分中，雅可比是一阶以一定方式排列成的矩阵，其行列式称为。雅可比矩阵的重要性在于它体现了一个可微与给出点的最优线性逼近。因此，雅可比矩阵类似于多元函数的导数。
雅可比矩阵定义
在向量分析中，雅可比矩阵是函数的一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵，其行列式称为雅可比行列式。
在代数几何中，代数曲线的雅可比行列式表示雅可比簇：伴随该曲线的一个代数群，曲线可以嵌入其中。
它们全部都以数学家卡尔·雅可比命名；英文雅可比行列式&Jacobian&可以发音为[ja 'ko bi ?n]或者[?? 'ko bi ?n]。
假设某函数从
， 其雅可比矩阵是从
的线性映射，其重要意义在于它表现了一个多变数向量函数的最佳线性逼近。因此，雅可比矩阵类似于单变数函数的导数。 假设
是一个从n维欧氏空间映射到到m维欧氏空间的函数。这个函数由m个实函数组成：
。这些函数的偏导数(如果存在)可以组成一个m行n列的矩阵，这个矩阵就是所谓的雅可比矩阵：
此矩阵用符号表示为：
这个矩阵的第 i行是由梯度函数的表示的
中的一点，F在 p点可微分，根据高等微积分，
是在这点的。在此情况下，
这个线性映射即F在点p附近的最优线性逼近，也就是说当x足够靠近点p时，我们有
雅可比矩阵例子
由到直角坐标系的转化由F函数给出︰
此坐标变换的雅可比矩阵是
其雅可比矩阵为:
此例子说明雅可比矩阵不一定为方阵。
雅可比矩阵逆矩阵
根据，一个可逆函数（存在的函数）的雅可比的即为该函数的的雅可比矩阵。即，若函数
的雅可比矩阵是连续且可逆的，则F在点 p的某一内也是可逆的，且有
成立。相反，倘若雅可比行列式在某一个点不为零，那么该函数在这个点的某一邻域内可逆（存在）。
一个的可逆性与非经证明的雅可比猜想有关。其断言，如果函数的雅可比行列式为一个非零实数（相当于其不存在复零点），则该函数可逆且其反函数也为一个多项式。
雅可比矩阵MATLAB代码
中jacobian是用来计算Jacobi矩阵的函数。
syms r l f
x=r*cos(l)*cos(f);
y=r*cos(l)*sin(f);
z=r*sin(l);
J=jacobian([x;y;z],[r l f])
[ cos(l)*cos(f), -r*sin(l)*cos(f), -r*cos(l)*sin(f)]
[ cos(l)*sin(f), -r*sin(l)*sin(f), r*cos(l)*cos(f)]
[ sin(l), r*cos(l), 0 ]
雅可比矩阵面积元证明
二维下dx(u,v)dy(u,v)=Jdudv成立
证明：对于曲面x=x(u,v),y=y(u,v),取它的微元，即小曲边四边形ABCD，其中
A(u,v),B(u+△u,v),C(u+△u,v+△v),D(u,v+△v),这个曲边四边形ABCD可以近似看成由微小向量B(u+△u,v)-A(u,v)和D(u,v+△v)-A(u,v)张成。
利用可知：
(u+△u,v)-(u,v)=Mdu
(u,v+△v)-(u,v)=Ndv
式中M，N为形式，可以通过简单计算得出。
当变化量很小时，
将(u+△u,v)-(u,v)近似看为dx(u,v)
(u,v+△v)-(u,v)近似看为dy(u,v)，
故dx(u,v)dy(u,v)=M*Ndudv
式中M*N为二维Jacobi行列式的展开形式。
由此得证。
戴华, 姚承勇. Jacobi 矩阵逆特征问题解存在的条件[J]. 高等学校计算数学学报, ): 40-49.
王解先, 徐志京. 三种坐标间转换的雅可比矩阵数值导数计算方法[J]. 大地测量与地球动力学, ): 19-23.
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雅可比行列式的问题，求解答！
雅可比行列式的问题，求解答！图片里面的u对x求偏导为啥等于后面的那个式子啊？懂了一个后面的就都懂了。
我有更好的答案
如图所示，自行体会。行列式问题
为什么D1等于后面的式子啊？🙃
行列式听过吗？克拉默法则听过吗？
没有(&﹏&)，只听过行列式
行列式的克拉默法则，看看吧
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关于雅可比行列式的问题 大神求助啊收藏
不能理解我前面圈的和我划的小标的关系啊 而且次序也不懂 难道要死记？心好累啊
你这本教材肯定是死记硬背雅克比式，然后用来求隐函数方程导数，想弄懂最好搞一本彻底讲清楚隐函数理论的教材另外关于你的疑问，偏导数本身不是简单地微商，不能看成微商上下抵消但是雅克比式很不同，像导数一样它也满足链式法则
今天我又重新复习了一遍雅克比式，重新回答一下LZ的疑问。其实雅克比这个东西的引入的初衷是很简单的，是在多元向量值函数的微分映射的背景下提出的。具体到求函数方程组隐函数偏导数的问题上，其实就是用线性代数的思路去解决这个复杂的问题，实际上你把方程组的每个方程都作全微分，然后把微分量看成未知数，就得到了一个关于微分量的线性方程，而实际上分母上的雅克比矩阵就是这线性系统的系数行列式；分子上的行列式也可以用克莱姆法则得到。这样看问题的好处是很多线代的思路可以搬到隐函数问题上，比如隐函数方程组的变量独立性文图，用矩阵的rank可以非常简单的加以理解。从线性空间的角度看，雅克比矩阵其实就是线性空间之间的线性变换，雅克比行列式其实就是这个变化下的导数，所以重积分换元需要乘一个雅克比式因子。
这个版本的高数坑爹的不行，雅克比一笔带过根本理解不了
就是线代克拉默法则
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雅可比行列式在积分坐标变换中的应用
第!’卷第&期0123!’413&广西梧州师范高等专科学校学报5*674,8*9:6;,?7@?*88>A>*9A6,4ABC!@DF3!雅可比行列式在积分坐标变换中的应用邹泽民，刘志伟（梧州师范高等专科学校［摘技巧。［关键词］雅可比行列式；积分学；坐标变换；应用［中图分类号］（）*’+!［文献标识码］,［文章编号］’在积分计算中起到关键作用，因此!阶雅可比行列式在函数积分学的坐标变换中有着极其重要的应用，通过典型范例掌握其应用技巧对解决!重积分的计算问题是十分必要的。、元函数组的雅比行列式’!!设由!个从数学系，广西贺州#）)!%要］系统论述雅可比行列式在函数积分学的坐标变换中的重要应用，并且通过典型范例阐述其应用（&，!，…，）（）&’’&!（’，，，!）&$!-%!&!!&表为!元函数组（，!，…，）（’，，…，）$$%%’$!-%!!(若它们对每个自变量&都存在偏导数%，，…!，，，(-’!!!，!）’-’’%&’则!阶行列式%&&’%!（，!，…，）%’!&&!%!)-%!-!%&&’&!……%%!!%&&’%!…%&!…%&!……（）称为!元函数组（）在点!…%%&!的!阶雅可比行列式，也简称为函数行列式。、!!阶雅可比行列式的应用，当!-’，，它分别在定积分、二重积分和三重积分的坐标变换中均有广泛的!阶雅可比行列式)!&时，!应用。!.’一阶雅可比行列式在定积分的换元积分法中的应用）若一元坐标变换&-［收稿日期］!［作者简介］邹泽民（，男，广西贺州市人，梧州师专数学系教授。）+,-.&#/,.(#!（!）912:;4<9;3=;16>24/>?@=CE.&))AD（#）$#!!!!#!（%）［!（］（?&）’#&其中’%&）$$$）若一元坐标变换(!!（（（（&&）可导则一阶雅可比行列式’&）即$%&）$&且有!%(!!#!$&!（$)$#［&’&二阶雅可比行列式在二重积分的换元积分法中的应用）极坐标变换（#（#，且有&即$#$($$$!#$$$!’&##.#(（#，［$#$)*+$，+,-$］’$$$$$.%$#其中’&!#（）椭圆极坐标变换&设椭圆极坐标变换为（，）!则二阶雅可比行列式为’&!!%#且有（#，［$#$%)*+$，!+,-$］’$$$$其中’!%!$&&#!%)*+$，+,-$(!!##即$#$$$$!%!$$$(!’&###.#(.%$#（）一般函数组变换设函数组变换为(（/，，（/，#!#0）0）存在偏导数，则二阶雅可比行列式为(!(（，）’!&!即$#$$/$0且有(!’&（#，［#（/，，（/，］$#$0）0）’$$/$0$&其中’&!.#(.%/0&’(三阶雅可比行列式在三重积分的换元积分法中的应用（）柱面坐标变换设柱面坐标变换公式为##!#)*+$，+,-$，1!1则三阶雅可比行列式为(!#（，），即$’#$$2!#$$$$2且有((!!##（#，［2）$#$$2!)*+$，+,-$，2］’$$$$$2，$((.#2(.%$2$#!其中’(!#（）球面坐标变换设球面坐标变换公式为&#!3)*+$+,-+,-$+,-1!3)*+(!3!，!，!则三阶雅可比行列式为（，）&，’,-!3+(!!即$#$$2!’$3$$$,-$3$$$((!!3+!!且有&&其中’,-(!3+!!!!%#2(（#，2）$#$$2!!!!%%3$!［3)*+$+,-3+,-$+,-3)*+’$3$$$$（）椭球面坐标变换设椭球面坐标变换公式为(#!%3)*+$+,-3+,-$+,-1!)3)*+(!!!，!，!则三阶雅可比行列式为（，）&，’!)3+,-!%(!!即$#$$2!’$3$$$!)3+,-$3$$$((!!%!!且有&-./0%(1.0$:;34;=5?>377=@=38@461@AB?EG0%**CF!!!!!#（!，#）%!%%#!$!!!!&［’&()*其中.-(&*+,$!’#（）一般函数组变换设函数组变换公式为&（/，，（/，，（/，，则三阶雅可比行列式为!!!0，1）0，1）#!#0，1）（，），.!$!（!，［!（/，，（/，，（/，］#）%!%%#!0，1）0，1）#0，1）.#%/%0%1#$$，即%!%%#!.%/%0%1且有!!#/01其中.$!、典型范例分析$在进行二（三）重积分的计算时一般应关注和掌握如下的一些运算技巧即首先针对积分区域的边界的各类特殊情况，然后选取适当的坐标变换，运用相应的雅可比行列式，最后将原积分转化为对新坐标进行累次%%积分的简易计算。例如二重积分中若积分区域的边界出现“!时，可选用极坐标变换法；若积分区域的’’-%%”可选用球面坐标变换法；若积分区体的表面出现“时，可选用椭球面坐标变换法等等。下面选择%’%’%’-(几个典型范例进行分析。例(选取适当的变换，求下列二重积分%%（）（!)%%%!!2和（，。*$）%%（）!，直线!!2的闭区域。!’）（2%%）（）（(#%’%#&&!%#!!｛%%｝分析：（）由于积分区域2是由直线!’虑被积函数含有“!)（）由于积分区域2的边界和被积函数中均含有“!和“”，故选取的坐标变换为/!!%0!。!’。!’”（）由于积分区域2的边界和被积函数均含有“，故选取坐标变换为椭圆极坐标公式为!!&%’%%%/012%?8@=?7A@599?B?5:B683BCDAFH2%**+G!有解：（）令)!*#%，则*!，：#!)!#，!)$+%#%%%%!%%故!（*#%）$’(（*$%）.*.%!,#)$’(+?).+%%,&)+!%%).)$’(+.+!#）!’%%’###%’#’(（）令)!*%+!则*!%，*%（，），，且-!!有,&!%)+%#!+%%%故**.%.%!,)+(%%%)?).)(%).+!+!%+%+’,&（）令)!*$%，’+!则*!)#)+，+有%!)*$%：，且-!!,&!))+*!)!$故%*.%!,)+++）0?).).+!0.+).)!0#%**,&（）令*!!(（，）&故则,：&#，$)+!&,%%,&’!&..’%#%例%求由下列曲线所围成的闭区域,的面积1’’（），，，+所围成的第2象限部分的闭区域-’’’’（）%,是由曲线%!*，*，*!%，*!(%!(%所围成的第2象限部分的闭区域-’’解：（）由于积分区域,含有“*和“*，故选取坐标变换为)!*，，!（，）有：，，且-!!,&+)+(!)!,+!+!$+#%’%#%%!+%故1!.*.%!,,&)+).+!%+’.)/(’+!%(+’’,（）由于积分区域,边界含有“”和“”，故选取坐标变换为)!，%+!则,&!)!**((%%!+!有*!),,，%!),+,且#,+,,#,+,,+#,,,+#,#%+#%,（，）-!!$)+!第&#卷第(期./01&#2/1(广西梧州师范高等专科学校学报;7?6@?488>A>49A572ABC%%’#&#’!$$#%#%&**-年D月@EG1&**-F故!!#$#%!!!!!&’&#&’#’!$例(求证下列等式（）(（）#)*#$#+,#%!&$)%!!!!其中&&其中（（）-.$)/#$#&%)(）%!&围成的闭区域（&)(）#&!#%#证明：（）由于积分区域，形式故选取坐标变换为&!$%%，’!$)%则$!!&%&（，）：（如图）且0!!有&&!&（）故()*#$#%!$)%!!!!&’’#&!()*&#’!#’()*’&&’*’%!##（’’$%+#’’*+,##’!+,#,!’%&*&’*!（）由于比较等式两边，选取坐标变换为$!&%!则有（（&且$)/(）!--.%)(）（，0!!!&’&&当$)%!#时有&&!&&)&&!#.)/.)/&&&&&&（（）&&&&）$)%!)!!&)’!#&&.)/：即#’#&’%##&##%故-（.$)/#$#%)(）%!!!（&)(）#&#’!#-!!!&#&’#%（&)(）#’!!##%（&??&)(）&!&-（&)(）#&!#%&&&#例’求三重积分!!）$所围成的闭体（##1其中./(./(&&&&&&”故选取坐标变换为解：由于积分区体&：/2*+,#*+,1!2()*故-!!!）$（##1!%&)&)&#./(&&&!!!2#$&&’%（%2?./(2*+,#2###/(##*+,2#2!&%./(()*#）+*$$!.$***!!!&%%&&（下转第#）*(页）%./(?/(%(&%#!+#!’---第$!卷第&期,10V$!>1V&广西梧州师范高等专科学校学报)4W:ZX[3WX\’)P3’Y7PW44’;’W:;X)>;]^$%%+年_月7-EV$%%+M［］何立民［］赵曙光［］潘松［］许家玉（上接第=例+&页）’证明：若函数!（连续’R则（（$$$其中’：；#9%9)$$$$$$证明：由于等式条件要求可知，积分区体-经坐标变换后变为-R即有+9’9,Q#9%9)成$$$立，故此坐标变换应选取为正交变换。具体地先令*Q设+Q）（，，）%$即+轴的方向余弦为（若以+轴为主轴，任选#9/!)，+Q9Q.90Q.%!!!/!0!****使+轴、即有存在可逆线性变换’轴和,轴，’轴和,轴构成三维直角坐标系。+Q.#9/!)/!0%90!!!!+##（，其中正交矩阵为1’Q.#9/$)即’Q/$02）%90$$$$%Q1%为正交变换,)),Q.#9/&)/&0%90&&&&/!0!!!3S/$0$$且1QQ13有T1TQT1TQU!/&0&&而（存在逆变换为%Q12）#!S+’Q1’3+（22）)$$$,#,3$$$使#9%9)Q（#，（+，（14（+，)）4%Q’，,）1’Q’，,）4’Q+9’9,%，++),,（，）3$$$，且T（!）使-：5T#9%9)!+’,$$$且-（连续R：+9’9,］（）且有!（［（（（--R［参考文献］［］刘玉琏，傅沛仁［#］数学分析讲义（第三版）下册［#］高等教育出版社［］同济大学应用数学系［#］高等数学（第五版）下册［#］高等教育出版社雅可比行列式在积分坐标变换中的应用作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：邹泽民， 刘志伟， Zhou Zemin， Liu Zhiwei梧州师范高等专科学校,数学系,广西,贺州,542800广西梧州师范高等专科学校学报JOURNAL OF WUZHOU TEACHERS COLLEGE OF GUANGXI)0次 参考文献(2条)1.刘玉琏 傅沛仁 2.同济大学应用数学系 高等数学 本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_gxwzsfgdzkxxxb.aspx授权使用：都晓东(wfqinghua)，授权号：6-430b-a1ed-9e2b下载时间：日百度搜索“就爱阅读”,专业资料,生活学习,尽在就爱阅读网92to.com,您的在线图书馆
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