二阶常微分方程程 V（x，y）＝x^2 为什么是常正？ 当x不等于0时V（x）＞0也成立为什么不是正定？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-07-01 16:22 标签： 一阶常微分方程解法
求微分方程（y+根号下x^2+y^2)dx-xdy=0(x&0) 当x=1时y=0的解。。。求助求助~~答案y=1/2x^2-1/2_百度知道
求微分方程（y+根号下x^2+y^2)dx-xdy=0(x&0) 当x=1时y=0的解。。。求助求助~~答案y=1/2x^2-1/2
显然，xdy-ydx=根号(x^2+y^2)dx两边同时除以x^2，则有d(y/x)=根号(x^2+y^2)dx/x^2=根号(1+(y/x)^2)dx/x（因为显然有(xdy-ydx)/x^2=d(y/x)，这个其实很简单的，见过一次就会了）令y/x=t，则dt=根号(1+t^2)dx/x，即dt/根号(1+t^2)=dx/x，变量已经分离，直接积分算出t的表达式，再根据y=tx算出y即可（最后代入y(1)=0的条件算出积分常数）。
采纳率：66%
这题出现了x^2+y^2，可能在极坐标系下求解比较容易 x=r*cosθ y=r*sinθ极坐标系下dx=cosθ dr方程化为rcosθ *(sinθ dr+cosθ rdθ)/(co
额。。。能具体求下么，，我是把他整成齐次方程做的，就是另y/x=u可是怎么都与答案对不上，，，，能麻烦你把具体过程做一下吗？谢谢！
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我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。求解一个有趣的常微分方程组
我同学提出了一个有趣的微分方程组，如下：
(1) dxdt+dydt=v0
(2) m(dxdt)2+m(dydt)2+k(y-x-l)2=mv20
从方程看，第二个是能量守恒，第一个应该是动量守恒，系统中有两个质量为m的物体，有一个初始长度为l的弹簧。(2)式两边同时乘以12可知初始能量为12mv20。
要想解开这个方程，需要把它先化为我们熟知的微分方程类别，例如二阶常系数微分方程。
考虑(1)的平方。
(dxdt)2+(dydt)2+2dxdtdydt=v20
两边都乘以m，得，
m(dxdt)2+m(dydt)2+2mdxdtdydt=mv20
对(4)和(2)求差，得
2mdxdtdydt=k(y-x-l)2
对(5)两侧求自变量t的导数
2m(d2xdt2dydt+dxdtd2ydt2)=2k(y-x-l)(dydt-dxdt)
对(1)两侧求自变量t的导数
d2xdt2+d2ydt2=0
d2xdt2=-d2ydt2
将(8)应用到(6)，消去y的二阶导数，得
2md2xdt2(dydt-dxdt)=2k(y-x-l)(dydt-dxdt)
整理(9)得，
md2xdt2=k(y-x-l)
对(1)两侧做积分，得
∫(dxdt+dydt)dt=∫v0dt
如果考虑在t=0时候，x=0,y=l,也就是假设弹簧处于原长，则，
然后，(12)可以修订为
将(14)应用到(10)，消去y，得
md2xdt2=k(v0t+l-x-x-l)=k(v0t-2x)
mx′′+2kx=kv0t
x′′+2kmx=kv0mt
进一步采用常系数二阶非齐次微分方程求解方法可得
x(t)=C1cosAt+C2sinAt+C3t+C4
经过对初值条件得分析，则可以得到正确表达式
x(t)=v02t+v02m2k---√sin2km---√t-l2
结合(14)可知，
y(t)=v02t-v02m2k---√sin2km---√t+l2
。在他的个人博客中，提到了这个微分方程组对应的物理现象。在光滑跑道上有两个质量为m的物体，两个物体中间连有一个初始长度为l的弹簧。在初始时刻，赋予其中一个物体一个速度v0,求解这两个物体的运动方程。
起初，我并不知道这些初始条件，物理场景，所以尝试把方程转化为我们学习过的类别。比如，一阶常微分方程，二阶常系数常微分方程。因为方程(2)包含有平方项，所以当务之急是消去它。消去两个平方项，得到了方程(5)，又陷入困境：怎么处理dxdtdydt这样的交叉项呢？看书也并无帮助，我回过头来对两边求导，后面又发现两个物体的加速度，或者位移的二阶导数是等大反向，所以可以提出一个公因式，dydt-dxdt，如果假设这个公因式不为0，就可以从等式两边消去，从而得到一个更加简单的二阶方程。后面的事情就很好处理了。
命题，dydt-dxdt=0是不可能成立的。
如果dydt-dxdt=0，则方程的解显然是y=x。这相当于在初始时刻给予两个物体相同的初速度v0/2，然后两个物体做匀速直线运动，故而弹簧没有伸缩，没有弹性势能。初始动能是12m(v02)2+12m(v02)2=14mv20而不是12mv20，得证。
参考资料：
丁同仁，李承治， ，第二版， 高等教育出版社
刘珈铭，Jia-Ming (Frank) Liou, ，国立成功大学数学系
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常微分方程2xydx+(x^2-y^2)dy=0的通解是什么
2xydx+(x^2-y^2)dy=02xydx+x^2dy-y^2dy=0d(x^2y)-d(y^3/3)=0通解为：x^2y-y^3/3=C
那x^2dy是不是被你吃了？？？
复习下微分吧，z=x^2y,dz=?dz=d(x^2y)=2xydx+x^2dy
你qq多少，我加你下，可以嘛？？然后选你这个为满意回答，你实在太强了
当然强，本人10年前曾经靠教这个吃饭。不好意思，不习惯加QQ。
额？？你以前是大学老师嘛？你十年前教这个？那你现在不教了嘛？那现在干嘛啊？哦，呵呵，没事儿的，只是有些问题想问你，不习惯加QQ就没法问了，嘻嘻，老师你真的把常微分方程由死用活了，逆变性质都用上来了
谢谢你的夸奖，高等数学上有什么问题尽管问。实际上，你那道方程也是齐次微分方程：2dx/dy=(y^2-x^2)/xy=(y/x-x/y)
其实同除以x^2我是想过，但是无论怎么样都是没有办法做跟下手的，呵呵，百度上有些数学公式符号没法打，所以想通过另一种方式认识你
有些符号有些麻烦，但勉强可以的
就怕勉强之后你看不懂，例如极限、级数等等lim{[(1+x)^1/x]/e}^1/x等于多少啊？是e嘛？
怎么可能是e?设y={[(1+x)^1/x]/e}^1/xlny=(1/x)(ln(1+x)/x-1)=(ln(1+x)-x)/x^2limlny=lim(ln(1+x)-x)/x^2=lim(1/(1+x)-1)/2x=lim(-x/(2x(1+x)))=-1/2limy=e^(-1/2)
我利用的是洛必达法则做的，最后做出来却是无解的
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答案中（2）说由y(1)＝2 知C=2 且x＞0 ，为什么说且x&0?x为什么不是所有实数？
我有更好的答案
通解函数有两个分支，一个是x＞0时的y=2x²(lnx+C)，x＜0时是y=2x²(ln(-x)+C)。这里的初始条件是x=1时y=2，属于x＞0这一分支。
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来自团队：
从最后一得出的表达式分析Y的平方是大于等于零的，X的平方也是大于等于零的，因此等式要成立必须满足ln|x|+2要大于零，所以这是我的结论(借鉴一下，不一定我说的是对的)
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