设A为设A是n阶方阵阵则|A|=0的必要条件是

设A为n阶实对称矩阵证明:秩(A)=n的充分必要条件为存在一个n阶实矩阵B,使AB+BTA是正定矩阵.

反设:r(A)<n则|A|=0.
于是λ=0是A的特征值,
假设相应的特征向量为x即:Ax=0(x≠0),
與AB+BTA是正定矩阵矛盾故假设不成立.
所以A的特征值λ1,λ2…,λn全不为0.
它的特征值为:2λ122λ22,…2λn2全部为正,
所以AB+BTA是正定矩阵.
充分性:利用反证法进行证明;必要性:证明AB+BTA的特征值均大于0.
判断正定的充要条件;实对称矩阵的特征值和特征向量的性质.
本题考查叻判断正定的充要条件.常用的判断实对称矩阵A正定的充要条件有两个:(1)正定矩阵的定义即对于任意的非零向量x,都有xTAx>0;(2)其特征值均为正.该题的证明中利用了上述两个充要条件.

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