柯西不等式的证明证明的问题！

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证明不等式(常见不等式的应用）
作者：徐小平发布时间： 21:36:03阅读（279）评论（）
读者可以点击上面的链接，查看我在我的公众号所发的文章。由于不等式具有较好的考查逻辑思维能力的功能，以及含参数问题是考查分类与整合思想、化归与转化思想的重要载体，我们可以看到，多数试题均与不等式证明或含参数不等式恒成立问题相关．其中涉及的方法主要有：（1）参变量分离构造函数，有解问题转化为新函数的最值；（2）直接构造函数分类讨论函数的最值，有些可以尝试利用特值法缩小讨论范围；以“洛必达法则”为背景的不等式恒成立求参数取值范围问题通常需要先求出使结论成立的充分条件，再证明必要性成立；（3）进行适当的变形和转化，对原不等式中的代数式进行变形和利用常见的一些结论进行放缩是常用的手段，这些结论主要有：这几个常见结论本质上是考虑函数的泰勒展开式或考虑函数在某点处的切线得到的，上述结论以及他们的来源，是我们在解决有关函数不等式时的倚天剑、屠龙刀，若能灵活使用，往往能迅速得到问题的解决，因为命题者常常是利用上述结论或利用含x的代数式替换x后得到新的一些结论来命制函数不等式类问题；（4）多变量问题常采用消元策略，即利用已知条件减少变元数进行转化；双变量问题还可尝试构造函数，转化为新函数的单调性问题．下面以2017年福建省单科质检理科数学第21题（Ⅱ）为例本题是参考2013年全国高考新课标II卷理科数学21题（Ⅱ）命制的，以高考理科数学最常见的背景函数构造方式，即指数函数或对数函数与多项式函数的四则运算或复合并引入字母参数选取了一个形式上很简洁的一个函数作为背景函数。研究了函数y=xlnx的性质，首先考虑y=e^x-1与其的大小是源于y=xlnx在x=1处的切线为y=x-1，如下面的厦门市2016届高三第一次质检填空第16题：（注：解法利用的是数形结合思想，研究y=xlnx在x=1处的切线，解答如下笔者提供的试题原型如下：根据命题组的意见修改后的题目题文更加简洁也更漂亮，陷阱也少了，更适合考试用，有兴趣的读者可以试试后面这个原型题）扯远了......回到主题吧，由于y=xlnx在x=1处的切线为y=x-1，且容易证明xlnx≥x-1，联想到e^x~x+1，就想去比较xlnx与e^x-2，又知道x趋于0时，xlnx趋于0，因此将e^x-2修改为e^x-1，发现xlnx与e^x-1的大小关系和xlnx与x-1的大小关系相反，但是直接证明xlnx&e^x-1过于简单，命题组认为不宜作为压轴题的第（Ⅱ）问，因此考虑再引入一个三角函数，右边加上一个sinx起一些干扰作用，左边参考13年课标II卷引入一个参数，如果是设问方式为不等式恒成立，求a的取值范围，则难度似乎大一点点，所以考虑设问方式为证明不等式，方法也更加多样，有利于不同思维层次的同学得到充分的展示.试题的不等式中有x和a两个变量，对于这类问题我们常用的就是消元的思想，所以会考虑先放缩消去不等式中的a，即下面，我们自然的想法就是要做差构造函数，然后再利用导数工具进行分析，为何会想到以1为临界点进行分类呢？这与我们求完的导数有关，一个自然的想法是继续求导我们如果一直继续求导下去，发现将会走入死胡同，所以需要回头再分析能不能将范围缩小使得h（x）的导数为正，基于简单好算的想法，因为sinx≤1，取整数1就能让h（x）的导数为正，且注意到，在（0,1）上左边是负数，右边是正数，就得到了参考解答的解法：如果考生能对重要结论熟练运用的化，构造函数g（x）求导后，可以进行放缩，使得g（x）的导数的范围较易估计，想到重要结论的原因是导数中含有e^x与lnx得到，g（x）居然是增函数！....x趋于0时，g（x）趋于0，所以得出结论，然而，请注意，极限的写法并不能作为严谨的证明，不过增函数这个性质太好了！为了书写严谨，可以与提供的参考解答类似的进行分类，不过请注意，重要结论是需要证明的哦！！！，万万不可直接使用！！！我们再来看看2013年全国课标II卷理科数学试题已知函数f(x)＝ex－ln(x＋m)．(1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；(2)当m≤2时，证明f(x)&0.官方解答如下：如果我们能利用重要结论，马上就得到简直就是秒杀！！！！不过别高兴太早，一定要记得证明利用的结论，还要说明等号取不到哦！！！！回到省单科质检这道题，下面我们再介绍另一种利用重要结论的方法，如果你没有一下想到把a放缩掉的话，可以采用分离大法！不是直接分离哦，思路如下：还有一个解法以后写另一个问题时再给大家展示，聪明的你，还有没有其他想法呢》？如果有，请给本公众号留言！这道题还可以做一些变式，如果您有什么变式，请给本公众号留言，谢谢支持，笔者也提供以下两个变式抛砖引玉！有兴趣的读者不妨试试.最后以2016年福建省单科质检理科数学21题供读者练习本篇所述解题方法：如果觉得本文不错，请多转载点赞支持，可以扫下面的二维码或搜索公众号“徐小平数学园地”关注！谢谢！
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客户服务热线：400-888-7867Hoeffding不等式的证明
这个不等式是Azuma鞅不等式的一个推论，下面的证明不用复杂的理论。以后再补上随机过程中的证明。
从wikipedia摘抄的。注意，markov不等式中的y是x，不等式右边的E(X) ,换成E(|X|)。证明过程假设X是非负随机变量
Hoeffding不等式如下：
对于任意t & 0，都有
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