一道高中解析几何题题

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-07-17 03:28 标签： 一道几何题求角abcd和
《好看》依托百度技术，精准推荐优质短视频内容，懂你所好，量身打造最适合你的短视频客户端！奥数：史上最难，中国因一道几何题输给美国
7月18日，澎湃新闻（www.thepaper.cn）报道的《美国队21年来首夺奥数冠军&，中国队以4分弱势屈居亚军》引发热议，中国队的世界冠军宝座为何会被美国人夺走？澎湃新闻联系上了中国队的成员何忆捷老师和中国队队员最高分、金牌获得者——上海华东师大二附中俞辰捷同学。
第56届国际数学奥林匹克中国国家队有6名从全国层层选拔出的“牛娃”，他们分别是来自上海中学的高继扬、华师大二附中的俞辰捷、人大附中的王正、辽宁省实验中学的王诺舟、长沙市雅礼中学的谢昌志、贺嘉帆，中国队领队兼主教练是华东师范大学的熊斌教授。
“这是历年来最难的一次国际奥数竞赛。”何忆捷老师在竞赛中任中国队观察员B，负责协助同行的副领队和阅卷工作，“并不是说某一道题目是史上最难，而是这次竞赛的总体难度非常高”。
和以往超过参赛队员总数8%的金牌得主数相比，今年不足7%的比例明显偏低，不仅如此，“26分”的金牌分数线同样低于往年。
“我们的竞赛在7月11、12日进行，每天在4个半小时内做3道题。”今年18岁的俞辰捷说，他是此次奥数竞赛中金牌获得者之一。
每道竞赛题目均设为7分，范围包括几何、数论和代数。何忆捷告诉澎湃新闻，之前竞赛中，每天3道题目的难度常常依次递增，而今年，高难度的题目在每天的第二题中即已出现，“这两道题目主要是难在分成了很多小问题，学生答题时工作量很大，消耗了很多时间”。
俞辰捷证实了这个观点，“第一天的第二题耽误了我们太长时间，导致中国队的第三题（几何题）只有一个人做出来了”。中国队与美国队的分差主要就出在这道题目，“我们队只拿到12分，但美国队有3个人做出来，拿了31分”。
俞辰捷表示，他的个人成绩优异得益于个人教练唐立华的指导，唐立华是上海华师大二附中数学教师、上海市特级教师，曾荣获全国“第五届苏步青数学教育奖”一等奖、“中国科协国际学科竞赛突出贡献奖”、“省神箭英才导师奖”、“省优秀教师”，所指导的学生中已有多人获IMO金牌，辅导此次国际奥数竞赛中金牌得主俞辰捷已有3年时间。
与中国相比，美国队员此次的发挥更平稳。“美国队有3个人的分数处于金牌中段，中坚力量确实很漂亮。”何忆捷回忆。
在中国队得分最低的几何题中，伊朗队异军突起。“他们这道题做得和美国队一样好。伊朗近年来在国内开始举办几何竞赛，对几何很重视。”何忆捷认为，这种“重视”让他们在面对竞赛题目时更自信，也增加了分配时间的自由度，“这也是中国队需要改进的”。
中国队在竞赛中得到181分，比位居第三的韩国队高出20分，在何忆捷看来，这表明中国奥数的水平在国际上优势依然明显，“还是能与大多国家拉开差距的”。
另外，他认为中国队员在答题的细致和逻辑上存在优势，“我们这次的过程分拿到很多，队员们普遍在回答时交待清晰、文字表达的逻辑性很强”。
对于比赛的宗旨，何忆捷认为普及学生的数学兴趣更为关键，“出于爱国主义情怀，大家可能更关注中国队的成绩和排名，但其实通过这次经历感受国际竞赛的氛围，发现我们数学学习的努力方向，对孩子们更加重要。十几年后，当队员们再回味时，这次竞赛应该是一个不错的记忆”。
澎湃新闻：参加这次竞赛的队员们是怎么选拔的？
俞辰捷：去年9月份，先是从各省市进行选拔，12月会从这些人中选出60个人继续训练，今年3月又从这60个人中选出了最终的6个人。
澎湃新闻：中国队和美国队在分差上只有4分，你觉得你们的主要失误在哪里？
俞辰捷：失误主要是第一天的第三题（几何题）发挥得不是很好，6个人中只有1个人做出来，一共拿了12分，但美国有3个人做出来了，拿了31分。我想可能是因为之前的第二题很难，后面的答题时间就不够了，影响了心态。
澎湃新闻：这么说，除了第三题，中国在其他题上的得分反而总体高于美国？
俞辰捷：对的。比如第二题，我们拿了36分，但美国队拿了32分，第三题之外的其他题目我们做得应该都还不错。
澎湃新闻：你觉得这次竞赛的题目难吗？
俞辰捷：难，应该是历史上最难的一届吧。今年的金牌分数线也是往年最低的，是26分，满分42分里你拿到26分就是金牌（得主）。这次有39个人拿到了金牌。
澎湃新闻：你在竞赛中拿到了金牌，具体是多少分，排名怎么样？
俞辰捷：41分，是中国队里最高的，在全球金牌得主里是第二名。我的成绩与我的个人教练唐立华老师的指导是分不开的，特别感谢他。
来源：澎湃新闻
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一道几何题的多解及变式训练
　　摘要：数学解题训练是数学教学活动的基本形式之一。在数学教学过程中，通过解题训练中典型题目的“一题多解”“一题多变”，不仅可以有效地培养学生思维的敏捷性、深刻性、发散性、创造性，还可以开拓学生的视野，使学生的知识能够有机地联系在一起。本文通过对典型例题的解题分析，阐述了一题多解、一题多变的数学思想在解决数学问题中的重要性。中国论文网 /9/view-3763973.htm　　关键词：一题多解；一题多变；变式训练　　所谓“一题多变”就是指一个题目经过适当的变换、变化，得到一个或多个与原题内容不同、解法相同或相近的题目。这不仅有利于扩大学生视野、深化知识，还能激发学生学习数学的兴趣，增强求知欲。下面本文通过一个典型的几何题进行说明。　　例：如图，在面积为1的△ABC的边BC，CA，AB上分别取M，N，P，使满足—=—=—=k>1，连接线段CP，BN，AM，三线相交成△XYZ，求△XYZ的面积。　　现代认知科学理论指出，人类对事物本质属性的认识是由现象到本质，由具体到抽象，由浅入深的渐进过程，是从对具体实践的感性认识到初步概括和抽象的理性认识的过程。只有从具体的感性认识上升发展为抽象的理性认识以后，才容易纳入原有的认知结构，才可以转化为运用的能力。因此，教师在教学活动中，一般应先分析学生熟悉的东西是什么。如果从他们熟悉的概念出发，再引入新事物，就可以提高学生的学习兴趣，达到提高解题能力的效果。　　基于上述认知理论，本文尝试运用学生熟悉的等边三角形概念作为突破口，将例题中的普通三角形变式为等边三角形。同时，将线段比例关系固定为常数。这样，可以将例题变式如下：在面积为1的等边△ABC的边BC，CA，AB上分别取M，N，P，使满足— = — =　　—=2。可求得S△CMZ=—，S△xyz=—。　　下面，将题目的条件进行变化，使其接近原题。　　（1）如果△ABC不为等边三角形，需要证明△AXN，△CZM，△BYP的面积相等，实际上这三个三角形的面积是相等的。　　（2）如果比例为—=—=—=　　k>1，其解法可以采用上述相同的方法。解得S△CMZ =—，S△xyz=—。　　可以看出，一题多变的数学思想在沟通各知识点间联系的同时，有利于激发学生的创造性思维，提高学生运用数学知识去分析、解决问题的能力。　　下面，本文以上题为例采用“一题多解”思想进行解答。　　方法1：利用三角形面积关系。　　方法2：利用梅涅劳斯定理的比例关系。　　由BN截 得：—=—=—=1→　　—=—，再利用面积关系求解。　　方法3：建立基底，利用向量方法求解。　　利用C，Y，P和B，Y，N三点共线，再由向量由基底唯一表出也可求解此题。　　通过解答此题，可以看出，上述三种方法都可以解决此问题。但本文目的是在寻求多种解题方法的同时，通过方法比较，建立起不同知识模块间的联系，归纳出解决某类问题常用的不同方法，形成解决这类问题的方法体系，最终筛选出最好、最简单的解决方法。这正是一题多解的思想所在。一题多解在教学实施过程中，应重视学生之间、师生之间的交流。通过交流实现学生的自我评价和反思，最终找到适合自己的一种或几种算法。　　在数学教学中，有的放矢地实行一题多解、一题多变，对培养学生的数学能力可以产生独到的积极作用，可以在帮助学生加深对数学理解的同时，为他们提供更多发现问题的机会。这样就提高了学生学习数学的兴趣，使数学真正成为大众的数学。这既是每一个数学工作者义不容辞的责任，也符合“新课程标准”的理念。　　参考文献：　　[1]姜黎鑫.试论数学解题训练中的学生思维品质培养[J].考试周刊，2010（29）：71—72.　　[2]端木彦. 从一题多解看高三数学教学[J].中学数学月刊，2010（6）：17—19.　　[3]洪其强.一道高考数学题的一题多解[J].高中，2010（7）：52.　　（作者单位：江西省南昌市第十中学）
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