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中考代数综合:4课时轻松搞定一元二次方程
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2.2 一元二次方程的解法(第1课时).ppt 19页
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一元二次方程的解法（第1课时） 你能解决这个问题吗
把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,右边为一个非负常数，然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法. 练一练：
添上一个适当的数，使下列的多项
式成为一个完全平方式
x2+2x+___=(______)2
x2-2x+___=(______)2 x2+4x+___=(______)2
x2-4x+___=(______)2
x2+6x+___=(______)2
x2-6x+___=(_______)2
x2+10x+___=(______)2
x2-10x+___=(______)2 知识的升华 * * * * * * * * 一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？ 小明,小亮都设这个数为x,根据题意得 小明做得对吗? 小亮做得对吗?
如图,工人师傅 为了修屋顶，把一梯 子搁在墙上,梯子与 屋檐的接触处到底端 的长AB=5米,墙高AC =4米,问梯子底端点离 墙的距离BC是多少?你能 用一元二次方程解这个 问题吗? A B C 设BC=x,根据勾股定理，得　x2+42=52. 化简，得　x2-9=0,
(x-3) (x+3) =0, 解得x1=3,x2=-3
(不合题意，舍去）． 另解： ∴x1=
=3 =-3 (不合题意，舍去）． x2=9,
一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程, 根据平方根的定义,可解得
这种解一元二次方程的方法叫做开平方法. 例1
用直接开平方法解下列方程
（1）3x2-48=0
(2x-3)2=7 (1)方程x2=0.25的根是　　　　　　　　　　　　　　　；
(2)方程2x2=18的根是　　　　　　　　　　　　　　　；　
(3)方程(x+1)2=4的根是　　　　　　　　　　　　　　　　.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 X1=0.5,
x2=-0.5 X1=3,
x2=-3 X1=1,
x2=-3 思考：
下面我们来探讨怎样解方程x2-2x=8 ？
请尝试解这个方程，并把解得的结果与你的同伴交流 想一想，你能用因式分解法或者开平方法解这个方程呢？
你能将方程x2-2x=8 转化成
的形式吗？ x2-2x+1=8+1→
假如以上的方程是
x2-2x-8=0 呢？
你知道该怎么样去解决吗？ 变形为 x2-2x=8 1 1 4 4 9 9 25 25 x + 1 x - 1 x + 2 x - 2 x + 3 x - 3 x + 5 x - 5 用配方法解二次项系数是1的一元二次方程在时，添 上的常数项与一次项系数之间存在着什么样的关系？
常数项是一次项系数的一半的平方 例2
用配方法解下列一元二次方程
（1） x2+6x=1
（2）x2=6-5x 注意:解第(2)题时要先移项,变形成x2+5x=6的形式;
移项:把常数项移到方程的右边,方程的
右边只有一次项和二次项; 配方:方程两边都加上一次项系数
一半的平方; 开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 求解:解一元一次方程; 定解:写出原方程的解. 你能总结出配方法的步骤吗? 用配方法解一元二次方程的步骤: 如何选用较简单的方法解一元二次方程？
2x2=8 等形式 （一次项系数为0） 适合选用直接开平方法
2x2+x=0等形式 （容易因式分解） 适合选用配方法 适合选用因式分解法
x2 +2x-1=0等形式 （容易配方） X(2x+1)=0
(x2 +2x=1) (X2=4) 选择适当的方法解下列方程: (1)x2＋12x=－9 (2)(x＋1)2=4 (3)2x2=50 (4)x2＋2
x＋5=0 心动
本课时的重点是掌握用配方法解二次项系数为1
的一元二次方程
本课时的难点是理解配方法，并正确配方。 课时小结：
　　　　　 两种解法 开平方法 配方法 两个转化 转化 转化 或 拓展提高
　　　　　 用配方法说明：不论
取何实下面多项式
的值必定大于0 解：
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一元二次方程
只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。标准形式为：ax?+bx+c=0（a≠0）。
一元二次方程历史发展
公元前2000年左右，的数学家就能解一元二次方程了。他们是这样描述的：已知一个数与它的倒数之和等于一个已给数，求出这个数。他们使x1+x2=b，x1x2=1，x2-bx+1=0，再做出解答。可见，古巴比伦人已知道一元二次方程的解法，但他们当时并不接受，所以负根是略而不提的。
的文书中也涉及到最简单的二次方程，例如：ax2=b。
大约公元前480年，中国人已经使用求得了二次方程的正根，但是并没有提出通用的求解方法。《九章算术》勾股章中的第二十题，是通过求相当于x?+34x-71000=0的正根而解决的。中国数学家还在方程的研究中应用了。
公元前300年左右，古希腊的（Euclid）（约前330年～前275年）提出了用一种更的方法求解二次方程。
古希腊的（Diophantus）（246～330）在解一元二次方程的过程中，却只取二次方程的一个正根，即使遇到两个都是正根的情况，他亦只取其中之一。
公元628年，印度的（Brahmagupta）（约598～约660）出版了《婆罗摩修正体系》，得到了一元二次方程x?+px+q=0的一个求根公式。
公元820年，阿拉伯的（al-Khwārizmi）（780～810）出版了《代数学》。书中讨论到方程的解法，除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一次给出了一元二次方程的一般解法，承认方程有两个根，并有无理根存在，但却未有虚根的认识。他把方程的未知数叫做“根”，后被译成radix。其中涉及到六种不同的形式，令a、b、c为正数，如ax2=bx、ax2=cx、ax2+c=bx、ax2+bx=c、ax2=bx+c等。把二次方程分成不同形式作讨论，是依照丢番图的做法。
法国的（）除推出一元方程在复数范围内恒有解外，还给出了根与系数的关系。
一元二次方程满足条件
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①是，即等号两边都是，方程中如果有；且在分母上，那么这个方程就是，不是一元二次方程，方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）。
②只含有一个未知数；
③未知数项的最高次数是2。
一元二次方程方程形式
一元二次方程一般形式
ax?+bx+c=0(a≠0)
其中ax?是二次项，a是二次项系数；bx是一次项；b是；c是。
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的。
一元二次方程变形式
ax?+bx=0(a、b是，a≠0);
ax?+c=0(a、c是实数，a≠0);
ax?=0(a是实数，a≠0)。
一元二次方程配方式
一元二次方程两根式
一元二次方程求解方法
一元二次方程直接开平方法
形如x?=p 或(nx+m)?=p(p≥0)的一元二次方程可采用直接法解一元二次方程。
如果方程化成x?=p的形式，那么可得
如果方程能化成(nx+m)?=p(p≥0)的形式，那么
，进而得出方程的根。
①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数。　　②降次的实质是由一个一元二次方程转化为两个。　　③方法是根据的意义开平方。
一元二次方程配方法
将一元二次方程配成(x+m)?=n的形式，再利用直接开平方法求解的方法。
用法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为一般形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤进一步通过直接开平方法求出方程的解，如果右边是，则方程有两个实根；如果右边是一个负数，则方程有一对共轭虚根。
配方法的理论依据是a?+b?±2ab=(a±b)?
配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。
例一：用配方法解方程
解：将常数项移到方程右边
方程两边都加上一次项系数一半的平方：
直接开平方得：
∴原方程的解为
一元二次方程求根公式法
用求根公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式
，确定a，b，c的值（注意符号）；
的值，判断根的情况；
（注：此处△读“德尔塔”）的前提下，把a、b、c的值代入公式
进行计算，求出方程的根。
一元二次方程的求根公式导出过程如下：
（为了配方，两边各加
（化简得）。
一元二次方程的求根公式在方程的系数为有理数、、或是任意中适用。
一元二次方程中的判别式:
应该理解为“如果存在的话，两个自乘后为的数当中任何一个”。在某些数域中，有些数值没有。
一元二次方程的求根公式导出过程如下：
a的取值范围任意，c取值范围任意，
。从abc 的取值来看可出1亿道方程以上，与因式分解相符合。
运用韦达定律验证：
一元二次方程因式分解法
因式分解法即利用因式分解求出方程的解的方法。
因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；
②将方程的左边转化为两个一元一次方程的乘积；
③令每个因式分别为零
④括号中x，它们的解就都是原方程的解。
一元二次方程图像解法
一元二次方程
的根的几何意义是
的图像（为一条）与x轴交点的X坐标。
时，则该函数与x轴相交（有两个交点）；
当时，则该函数与x轴相切（有且仅有一个交点）；
时则该函数与x轴相离（没有交点）。
另外一种解法是把一元二次方程
则方程的根，就是函数
交点的X坐标。
通过作图，可以得到一元二次方程根的近似值。
一元二次方程计算机法
在使用计算机解一元二次方程时，和人手工计算类似，大部分情况下也是根据下面的公式去解
可以进行符号运算的程序，比如软件，可以给出根的解析表达式，而大部分程序则只会给出数值解（但亦有部分显示平方根及）。
一元二次方程方程解
一元二次方程含义
（1）一元二次方程的（根）的意义：　　能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解。一元二次方程的解也称为一元二次方程的根（只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根）。
（2）由代数基本定理，一元二次方程有且仅有两个根（重根按重数计算），根的情况由判别式（
一元二次方程判别式
利用一元二次方程根的（
）可以判断方程的根的情况。
一元二次方程
的根与根的 有如下关系：
时，方程有两个不相等的实数根；
时，方程有两个相等的根；
时，方程无实数根，但有2个。
上述结论反过来也成立。
一元二次方程韦达定理
设一元二次方程
中，两根x?、x?有如下关系：
由一元二次方程求根公式知
．百度文库．[引用日期]
．百度文库．[引用日期]
．互动百科[引用日期]
．互动百科[引用日期]
．百度百科[引用日期]
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南京理工大学
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