问题再现:数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法.借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性.从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式.很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．例如:利用图形的几何意义推证完全平方公式．将一个边长为a的正方形的边长增加b.形成两个矩形和两个正 题目和参考答案——精英家教网——
暑假天气热？在家里学北京名师课程，
& 题目详情
问题再现：数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．例如：利用图形的几何意义推证完全平方公式．将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，如图1：这个图形的面积可以表示成：（a+b）2或&a2+2ab+b2∴（a+b）2 =a2+2ab+b2这就验证了两数和的完全平方公式．（1）尝试解决：请你类比上述方法，利用图形的几何意义推证平方差公式．（要求自己构图并写出推证过程）问题提出：如何利用图形几何意义的方法推证：13+23=32？如图2，A表示1个1×1的正方形，即：1×1×1=13B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2=23而A、B、C、D恰好可以拼成一个（1+2）×（1+2）的大正方形．由此可得：13+23=（1+2）2=32（2）尝试解决：请你类比上述推导过程，利用图形几何意义方法推证：13+23+33=．（要求自己构造图形并写出推证过程）．（3）问题拓广：请用上面的表示几何图形面积的方法探究：13+23+33+…+n3=．（要求直接写出结论，不必写出解题过程）
考点：完全平方公式的几何背景
分析：（1）尝试解决：如图：边长为a，b的两个正方形，边保持平行，从大正方形中剪去小正方形，剩下的图形可以分割成4个大小相等的梯形．根据第一个图形的阴影部分的面积是a2-b2，第二个图形的阴影部分的面积是（a+b）（a-b），可以推证平方差公式；（2）尝试解决：如图，A表示一个1×1的正方形，B、C、D表示2个2×2的正方形，E、F、G表示3个3×3的正方形，而A、B、C、D、E、F、G恰好可以拼成一个边长为（1+2+3）的大正方形，根据大正方形面积的两种表示方法，可以得出13+23+33=62；（3）问题拓广：由上面表示几何图形的面积探究知，13+23+33+…+n3=（1+2+3+…+n）2，进一步化简即可．
解答：解：（1）尝试解决：∵第一个图形的阴影部分的面积是a2-b2，第二个图形的阴影部分的面积是（a+b）（a-b），∴a2-b2=（a+b）（a-b）．即可以验证平方差公式的几何意义；（2）尝试解决：如图，A表示一个1×1的正方形，即：1×1×1=13，B、C、D表示2个2×2的正方形，即：2×2×2=23，E、F、G表示3个3×3的正方形，即：3×3×3=33，而A、B、C、D、E、F、G恰好可以拼成一个大正方形，边长为：1+2+3=6，∵SA+SB+SC+SD+SE+SF+SG=S大正方形，∴13+23+33=62；（3）问题拓广：由上面表示几何图形的面积探究知，13+23+33+…+n3=（1+2+3+…+n）2，又∵1+2+3+…+n=，∴13+23+33+…+n3=（）2=2(n+1)24．故答案为62；2(n+1)24．
点评：此题主要考查了平方差公式的证明，注意熟练掌握通过不同的方法计算同一个图形的面积来证明一些公式的方法，利用数形结合是解题的关键．
练习册系列答案
科目：初中数学
如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′．若∠A=45°．∠B′=110°，则∠BCA′的度数是（　　）
A、55°B、75°C、95°D、110°
科目：初中数学
下列判断不正确的是（　　）
A、若a＞b，则-4a＜-4bB、若2a＞3a，则a＜0C、若a＞b，则ac2＞bc2D、若ac2＞bc2，则a＞b
科目：初中数学
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB的中点，BE⊥CD，垂足为点E，己知AC=6，sinA=．（1）求线段CD的长；（2）求cos∠DBE的值．
科目：初中数学
计算：（1）9÷×；（2）（--）×（-2）．
科目：初中数学
在矩形ABCD中，将点A翻折到对角线BD上的点M处，折痕BE交AD于点E．将点C翻折到对角线BD上的点N处，折痕DF交BC于点F．（1）求证：四边形BFDE为平行四边形；（2）探究：当∠CBD的度数为多少度时四边形BFDE为菱形，并给予证明，求出此时AB：BC的值．
科目：初中数学
化简后求值：（2a-b）2+（1-2a-b）（1+2a+b），其中a=-，b=．
科目：初中数学
分解因式：（1）9a2-36；&&&&&&&&&&&&&（2）16x4-8x2y2+y4．
科目：初中数学
如图，AB∥CD，且∠1=20°，∠2=45°+α，∠3=60°-α，∠4=40°-α，∠5=30°．则α的值为（　　）
A、10°B、15°C、20°D、25°
精英家教网新版app上线啦！用app只需扫描书本条形码就能找到作业，家长给孩子检查作业更省心，同学们作业对答案更方便，扫描上方二维码立刻安装！
请输入姓名
请输入手机号数学问题_百度文库
您的浏览器Javascript被禁用，需开启后体验完整功能，
享专业文档下载特权
&赠共享文档下载特权
&100W篇文档免费专享
&每天抽奖多种福利
两大类热门资源免费畅读
续费一年阅读会员，立省24元！
你可能喜欢数学里也能耍流氓 | 科学人 | 果壳网 科技有意思
数学里也能耍流氓
数学推理也会漏洞百出，但仍然充满智慧
有漏洞的数学推理就毫无意义吗？
本文作者:matrix67
数学一向以严谨的思维著称，每一步推理都需要严格的理由。但在数学历史中，漏洞百出的数学推理也频频出现。有趣的是，即使是这些不严格的思路也充满着智慧，在数学中的地位不亚于那些伟大的证明。今天，果壳死理性派会用几个经典例子告诉你，在数学里也是可以耍流氓的。
逻辑中的那些流氓
耍流氓是各种数学悖论的来源。你能想一个命题，使得它和它的否定形式同时成立吗？令人难以置信的是，这样的命题真的存在。“这句话是七字句”就是这样一种奇怪的命题。它的否定形式是“这句话不是七字句”，同样是成立的。
你肯定会大叫“赖皮”，命题的真假与这个命题本身的形式有关，这样的命题算数学命题吗？没错，这些涉及到自己的命题都叫做“自我指涉命题”，它们的出现会引发很多令人头疼的问题。从说谎者悖论（Liar paradox）到罗素悖论（Russell's paradox），各种逻辑悖论的产生根源几乎都是自我指涉。数理逻辑中的流氓遍地都是，它们直接引发了数学史上的第三次数学危机。
欧拉的流氓证明法
在数学史上，很多漂亮的定理最初的证明都是错误的。最典型的例子可能就是 1735 年大数学家欧拉（Euler）的“证明”了。他曾经仔细研究过所有完全平方数的倒数和的极限值，并且给出了一个漂亮的解答：
这是一个出人意料的答案，圆周率 π 毫无征兆地出现在了与几何完全没有关系的场合中。欧拉的证明另辟蹊径，采用了一种常人完全想不到的绝妙方法。他根据方程 sin(x)/x = 0 的解，对 sin(x)/x 的级数展开进行因式分解，再利用对比系数的方法神奇地得到了问题的答案。不过，利用方程的解进行因式分解的方法只适用于有限多项式，在当时的数学背景下，这种方法不能直接套用到无穷级数上。虽然如此，欧拉利用这种不严格的类比，却得出了正确的结果。欧拉大师耍了一个漂亮的流氓。
最经典的“无字证明”
一些定理的直观理解虽然毫无逻辑可言，完全算不上是数学证明，但这些精巧而欢乐的视角，依然让数学家们如痴如醉。
1989 年的《美国数学月刊》（American Mathematical Monthly）上有一个貌似非常困难的数学问题：下图是由一个个小三角形组成的正六边形棋盘，现在请你用右边的三种（仅朝向不同的）菱形把整个棋盘全部摆满（图中只摆了其中一部分），证明当你摆满整个棋盘后，你所使用的每种菱形数量一定相同。
文章末尾提供了一个非常帅的“证明”。把每种菱形涂上一种颜色，整个图形瞬间有了立体感，看上去就成了一个个立方体在墙角堆叠起来的样子。三种菱形分别是从左侧、右侧、上方观察整个立体图形能够看到的面，它们的数目显然应该相等。
严格地说，这个本来不算数学证明的。但它把一个纯组合数学问题和立体空间图形结合在了一起，实在让人拍案叫绝。因此，这个问题及其鬼斧神工般的“证明”流传甚广，深受数学家们的喜爱。《最迷人的数学趣题——一位数学名家精彩的趣题珍集》（Mathematical Puzzles: A Connoisseur's Collection）一书的封皮上就赫然印着这个经典图形。在数学中，类似的流氓证明数不胜数，不过上面这个可能算是最经典的了。
《最迷人的数学趣题——一位数学名家精彩的趣题珍集》的封面
旋轮线的面积
旋轮线。图片来源：Wikipedia
车轮在地上旋转一圈的过程中，车轮圆周上的某一点划过的曲线就叫做“旋轮线”。在数学和物理中，旋轮线都有着非常重要而优美的性质。比如说，一段旋轮线下方的面积恰好是这个圆的面积的三倍。这个结论最早是由伽利略（Galileo Galilei，）发现的。不过，在没有微积分的时代，计算曲线下方的面积几乎是一件不可能完成的任务。伽利略是如何求出旋轮线下方的面积的呢？
他的方法简单得实在是出人意料：它在金属板上切出旋轮线的形状，拿到秤上称了称，发现重量正好是对应的圆形金属片的三倍。
在试遍了各种数学方法却都以失败告终之后，伽利略果断地耍起了流氓，用物理实验的方法测出了图形的面积。用物理实验解决数学问题也不是一件稀罕事了，广义费马点（generalized Fermat point）问题就能用一套并不复杂的力学系统解出，施泰纳问题（Steiner tree problem）也可以用肥皂膜实验瞬间秒杀。
富有激情的心理学工作者
想起中学时做几何题，算不出来就拿尺子量。。。后来由于这样耍流氓的人太多，老师就故意把图画得比例失调
引用 琦迹517 的回应：如何证明0.9999999……=1？？？？？证：设a=0.99999……（①）则10a=9.999999……∴10a=9.999999……=9+0.99999……=9+a∴10a-a=9∴a......您为什么不用更流氓的办法……1/3=0.……3*(1/3)=0.……=1……………………………………
资深心理学爱好者
如何证明0.9999999……=1？？？？？证：设a=0.99999……（①）则10a=9.999999……∴10a=9.999999……=9+0.99999……=9+a∴10a-a=9∴a=1又∵a=0.……（①）∴0.999999……=1俺来耍流氓了~
显示所有评论
全部评论(321)
资深心理学爱好者
如何证明0.9999999……=1？？？？？证：设a=0.99999……（①）则10a=9.999999……∴10a=9.999999……=9+0.99999……=9+a∴10a-a=9∴a=1又∵a=0.……（①）∴0.999999……=1俺来耍流氓了~
－－！你狠。。。引用 琦迹517 的回应：如何证明0.9999999……=1？？？？？证：设a=0.99999……（①）则10a=9.999999……∴10a=9.999999……=9+0.99999……=9+a∴10a-a=9∴a=1又∵a......
最后一个我想起那个爱迪生称灯泡体积的故事
证明菱形数量一定相同那个题，可以用三次单位根赋值的方法
引用 琦迹517 的回应：如何证明0.9999999……=1？？？？？证：设a=0.99999……（①）则10a=9.999999……∴10a=9.999999……=9+0.99999……=9+a∴10a-a=9∴a......您为什么不用更流氓的办法……1/3=0.……3*(1/3)=0.……=1……………………………………
理论物理博士，科学松鼠会成员
其实对于数学家来讲，物理学家都是流氓。矩阵兄可以写个哈！
动物学硕士，猫咪控
旋轮线，一句话 真是太神奇了！
关于0.999……＝1，俺也是这样证明的：1/3＝0.333……1/3×3＝10.333……×3＝0.999……0.999……＝0.333……×3＝1/3×3＝1
好爱伽利略耍的流氓！！！
引用 sheldon 的回应：其实对于数学家来讲，物理学家都是流氓。矩阵兄可以写个哈！顶，对于物理学家来讲，化学家都是流氓= =
好优美的耍流氓！
我是个老实人，我不耍流氓——0.999999......=3X1/3=1
blockquote]引用 琦迹517 的回应：如何证明0.9999999……=1？？？？？证：设a=0.99999……（①）则10a=9.999999……∴10a=9.999999……=9+0.99999……=9+a∴10a-a=9∴a=1又∵a......[/blockquote]
话说...耍流氓不成也是常有的事情...比如欧拉同学就干过 lim 1/x^n+...+1/x^2+1/x+1+x+x^2+...+x^n (n-&inf) = 1+1/x+1/x^2+...1/x^n+x+x^2+...+x^n(n-&inf) = (1-(1/x)^(n+1))/(1-1/x)+x*(1-x^n)/(1-x) (n-&inf) = x/(x-1)+x/(1-x) = 0 的神奇证明...
富有激情的心理学工作者
想起中学时做几何题，算不出来就拿尺子量。。。后来由于这样耍流氓的人太多，老师就故意把图画得比例失调
引用 琦迹517 的回应：如何证明0.9999999……=1？？？？？证：设a=0.99999……（①）则10a=9.999999……∴10a=9.999999……=9+0.99999……=9+a∴10a-a=9∴a......证明过程有一步写错了，10a-a=9a才对。接下去应该是9a=9，所以a=1……啊当然，其实结果还是一样的，只是证明过程有点小纰漏……但是的确很流氓……
引用 琦迹517 的回应：如何证明0.9999999……=1？？？？？证：设a=0.99999……（①）则10a=9.999999……∴10a=9.999999……=9+0.99999……=9+a∴10a-a=9∴a=1又∵a......我也耍~0.9999...=1???1/3=0.3333...1/3×3=0.333...×3=1嘿嘿~
流氓~~~嘎嘎~~~引用 琦迹517 的回应：如何证明0.9999999……=1？？？？？证：设a=0.99999……（①）则10a=9.999999……∴10a=9.999999……=9+0.99999……=9+a∴10a-a=9∴a=1又∵a......
对于数理化的童鞋们来说，心理学都是耍流氓
引用 琦迹517 的回应：如何证明0.9999999……=1？？？？？最简单的证法：1/3=0.……（①）则0.=0.……1/3*3=1∴1=0........
资深心理学爱好者
心理学也有严谨的统计与测量，也有实验与公式，我们不是耍流氓！！！引用 暴走紫罗兰 的回应：对于数理化的童鞋们来说，心理学都是耍流氓
康托证明有理数可数和实数不可数的方法也相当奇葩
哈哈~~耍流氓~~好有爱的形容词啊~~
最后那个流氓。。。我只能说太神奇了。
我觉得，学校的数学老师有必要说明无限循环小数的加减法运算，否则很多人都会想耍流氓。
在上管理学的课，老师是流氓...
……没有语言了……
富有激情的心理学工作者
引用 暴走紫罗兰 的回应：对于数理化的童鞋们来说，心理学都是耍流氓这是从何说起。。。
旋轮线。。。太NB了。。。。
哈哈，太有意思了
伽利略...非礼啊~
显示所有评论
(C)果壳网&&&&京ICP证100430号&&&&京网文[-239号&&&&新出发京零字东150005号&&&&
违法和不良信息举报邮箱：&&&&举报电话：&&&&&&&&更多频道内容在这里查看
爱奇艺用户将能永久保存播放记录
过滤短视频
暂无长视频（电视剧、纪录片、动漫、综艺、电影）播放记录，
按住视频可进行拖动
&正在加载...
举报视频：
举报原因(必填)：
请说明举报原因(300字以内)：
请输入您的反馈
举报理由需要输入300字以内
感谢您的反馈～
请勿重复举报~
请刷新重试~
收藏成功，可进入查看所有收藏列表
当前浏览器仅支持手动复制代码
视频地址：
flash地址：
html代码：
通用代码：
通用代码可同时支持电脑和移动设备的分享播放
用爱奇艺APP或微信扫一扫，在手机上继续观看
当前播放时间：
一键下载至手机
限爱奇艺安卓6.0以上版本
使用微信扫一扫，扫描左侧二维码，下载爱奇艺移动APP
其他安装方式：手机浏览器输入短链接http://71.am/udn
下载安装包到本机：
设备搜寻中...
请确保您要连接的设备（仅限安卓）登录了同一爱奇艺账号 且安装并开启不低于V6.0以上版本的爱奇艺客户端
连接失败！
请确保您要连接的设备（仅限安卓）登录了同一爱奇艺账号 且安装并开启不低于V6.0以上版本的爱奇艺客户端
部安卓（Android）设备，请点击进行选择
请您在手机端下载爱奇艺移动APP（仅支持安卓客户端）
使用微信扫一扫，下载爱奇艺移动APP
其他安装方式：手机浏览器输入短链接http://71.am/udn
下载安装包到本机：
爱奇艺云推送
请您在手机端登录爱奇艺移动APP（仅支持安卓客户端）
使用微信扫一扫，下载爱奇艺移动APP
180秒后更新
打开爱奇艺移动APP，点击“我的-扫一扫”，扫描左侧二维码进行登录
没有安装爱奇艺视频最新客户端？
人教版六年级数学下册优质课视频：邮票中的数学问题
正在检测客户端...
您尚未安装客户端，正在为您下载...安装完成后点击按钮即可下载
30秒后自动关闭
人教版六年级数学下册优质课视频：邮票中的数学问题">人教版六年级数学下册优质课视频：邮票中的数学问题
请选择打赏金额：
热门短视频推荐
Copyright (C) 2018 & All Rights Reserved
您使用浏览器不支持直接复制的功能，建议您使用Ctrl+C或右键全选进行地址复制
正在为您下载爱奇艺客户端安装后即可快速下载海量视频
正在为您下载爱奇艺客户端安装后即可免费观看1080P视频
&li data-elem="tabtitle" data-seq="{{seq}}"& &a href="javascript:void(0);"& &span>{{start}}-{{end}}&/span& &/a& &/li&
&li data-downloadSelect-elem="item" data-downloadSelect-selected="false" data-downloadSelect-tvid="{{tvid}}"& &a href="javascript:void(0);"&{{pd}}&/a&
选择您要下载的《
后才可以领取积分哦~
每观看视频30分钟
+{{data.viewScore}}分
{{data.viewCount}}/3
{{if data.viewCount && data.viewCount != "0" && data.viewCount != "1" && data.viewCount != "2" }}
访问泡泡首页
+{{data.rewardScore}}分
{{if data.rewardCount && data.rewardCount != 0 && data.getRewardDayCount != 0}}1{{else}}0{{/if}}/1
{{if data.rewardCount && data.rewardCount != 0 && data.getRewardDayCount != 0}}
+{{data.signScore}}分
{{data.signCount}}/1
{{if data.signCount && data.signCount != 0}}
色情低俗内容
血腥暴力内容
广告或欺诈内容
侵犯了我的权力
还可以输入
您使用浏览器不支持直接复制的功能，建议您使用Ctrl+C或右键全选进行地址复制这位数学大神一生坎坷不断 58岁解开200多年数学难题震惊世界_学科网
资源篮中还没有资源，赶紧挑选吧！
这位数学大神一生坎坷不断 58岁解开200多年数学难题震惊世界
作者：Ada徐
阅读：6374
备课习题试卷，尽在数学学科网
数学学科网，最新最全的资源尽收于此
热门文章推荐
Copyright & Phoenix E-Learning Corporation, All Rights Reserved