当前位置：
＞＞＞如图所示，不透明圆锥体DEC放在直线BP所在的水平面上，且BP过底面..
如图所示，不透明圆锥体DEC放在直线BP所在的水平面上，且BP过底面圆的圆心，其高为2m，底面半径为2m，某光源位于点A处，在照射圆锥体的水平面上留下的影长BE=4m。（1）∠B的度数； （2）若∠ACP=2∠B，求光源A距平面的高度。
题型：解答题难度：中档来源：同步题
解：（1）过点D作DF垂直BC于点F，由题意，得DF=2，EF=2，BE=4，在Rt△DFB中，tan∠B===，所以∠B=30°；（2）过点A作AH垂直BP于点H， ∵∠ACP=2∠B=60°， ∴∠BAC=30°， ∴AC=BC=8，在Rt△ACH中，AH=AC·sin∠ACP=8×sin60°=8×=4，即光源A距平面的高度为4m。
马上分享给同学
据魔方格专家权威分析，试题“如图所示，不透明圆锥体DEC放在直线BP所在的水平面上，且BP过底面..”主要考查你对&&解直角三角形&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
现在没空？点击收藏，以后再看。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
解直角三角形
概念：在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 解直角三角形的边角关系： 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c， （1）三边之间的关系：（勾股定理）； （2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°； （3）边角之间的关系：。 解直角三角形的函数值:
锐角三角函数：sinA=a/c,cosA=b/c,tanA=a/b,cotA=b/a（1）互余角的三角函数值之间的关系：若∠ A+∠ B=90°，那么sinA=cosB或sinB=cosA（2）同角的三角函数值之间的关系：①sin2A+cos2A=1②tanA=sinA/cosA③tanA=1/tanB④a/sinA=b/sinB=c/sinC（3）锐角三角函数随角度的变化规律：锐角∠A的tan值和sin值随着角度的增大而增大，cos值随着角度的增大而减小。解直角三角形的应用： 一般步骤是： （1）将实际问题抽象为数学问题（画图，转化为直角三角形的问题）； （2）根据题目的条件，适当选择锐角三角函数等去解三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）还原为实际问题的答案。 解直角三角形的函数值列举：sin1=0.28351 sin2=0.50097 sin3=0.94383 sin4=0.1253 sin5=0.65816 sin6=0.65346 sin7=0.14747 sin8=0.06544 sin9=0.23087 sin10=0.93033 sin11=0.5448 sin12=0.75931 sin13=0.86497 sin14=0.66773 sin15=0.52074 sin16=0.99916 sin17=0.7367 sin18=0.9474 sin19=0.1567 sin20=0.6687 sin21=0.30027 sin22=0.912 sin23=0.2737 sin24=0.80015 sin25=0.69944 sin26=0.0774 sin27=0.54675 sin28=0.8908 sin29=0.33706 sin30=0.99994 sin31=0.0542 sin32=0.2049 sin33=0.027 sin34=0.7468 sin35=0.046 sin36=0.4731 sin37=0.0483 sin38=0.6583 sin39=0.8375 sin40=0.5392 sin41=0.5073 sin42=0.8582 sin43=0.4985 sin44=0.9972 sin45=0.5475 sin46=0.6511 sin47=0.1705 sin48=0.3941 sin49=0.7719 sin50=0.978 sin51=0.9708 sin52=0.7219 sin53=0.2928 sin54=0.9474 sin55=0.9918 sin56=0.0417 sin57=0.4239 sin58=0.426 sin59=0.1122 sin60=0.4386 sin61=0.3957 sin62=0.9269 sin63=0.3678 sin64=0.167 sin65=0.6499 sin66=0.6009 sin67=0.4404 sin68=0.7873 sin69=0.2017 sin70=0.9083 sin71=0.3167 sin72=0.1535 sin73=0.0354 sin74=0.3189 sin75=0.0683 sin76=0.9965 sin77=0.2352 sin78=0.8057 sin79=0.664 sin80=0.208 sin81=0.1378 sin82=0.5704 sin83=0.322 sin84=0.2733 sin85=0.7455 sin86=0.8242 sin87=0.5738 sin88=0.0958 sin89=0.3913 sin90=1
cos1=0.3913 cos2=0.0958 cos3=0.5738 cos4=0.8242 cos5=0.7455 cos6=0.2733 cos7=0.322 cos8=0.5704 cos9=0.1378 cos10=0.208 cos11=0.664 cos12=0.8057 cos13=0.2352 cos14=0.9965 cos15=0.0683 cos16=0.3189 cos17=0.0355 cos18=0.1535 cos19=0.3168 cos20=0.9084 cos21=0.2017 cos22=0.7874 cos23=0.4404 cos24=0.6009 cos25=0.6499 cos26=0.167 cos27=0.3679 cos28=0.927 cos29=0.3957 cos30=0.4387 cos31=0.1123 cos32=0.426 cos33=0.424 cos34=0.0417 cos35=0.9918 cos36=0.9474 cos37=0.2928 cos38=0.7219 cos39=0.9709 cos40=0.978 cos41=0.772 cos42=0.3942 cos43=0.1705 cos44=0.6512 cos45=0.5476 cos46=0.9974 cos47=0.4985 cos48=0.8582 cos49=0.5074 cos50=0.5394 cos51=0.8375 cos52=0.6583 cos53=0.0484 cos54=0.4731 cos55=0.0462 cos56=0.7468 cos57=0.0272 cos58=0.2049 cos59=0.0544 cos60=0.0001 cos61=0.3371 cos62=0.89086 cos63=0.5468 cos64=0.07746 cos65=0.69944 cos66=0.8004 cos67=0.2737 cos68=0.9122 cos69=0.30015 cos70=0.6688 cos71=0.15675 cos72=0.94745 cos73=0.73677 cos74=0.99916 cos75=0.52074 cos76=0.66767 cos77=0.86514 cos78=0.75923 cos79=0.54491 cos80=0.93041 cos81=0.23092 cos82=0.06546 cos83=0.14749 cos84=0.65346 cos85=0.65836 cos86=0.12523 cos87=0.943966 cos88=0.50108 cos89=0.2836 cos90=0
tan1=0.217585 tan2=0.74773 tan3=0.041196 tan4=0.51041 tan5=0.92401 tan6=0.67646 tan7=0.9046 tan8=0.39145 tan9=0.53627 tan10=0.46497 tan11=0.71848 tan12=0.0221 tan13=0.5631 tan14=0.18068 tan15=0.1227 tan16=0.8079 tan17=0.66033 tan18=0.9063 tan19=0.66527 tan20=0.20234 tan21=0.4158 tan22=0.1568 tan23=0.6047 tan24=0.5361 tan25=0.9986 tan26=0.8614 tan27=0.4288 tan28=0.4788 tan29=0.769 tan30=0.6257 tan31=0.5604 tan32=0.3275 tan33=0.5104 tan34=0.4265 tan35=0.7097 tan36=0.3609 tan37=0.7942 tan38=0.7174 tan39=0.0072 tan40=0.2799 tan41=0.2267 tan42=0.8399 tan43=0.6618 tan44=0.0739 tan45=0.9999 tan46=1.5693 tan47=1.6826 tan48=1.1927 tan49=1.0092 tan50=1.21 tan51=1.051 tan52=1.0785 tan53=1.4098 tan54=1.1733 tan55=1.1144 tan56=1.7403 tan57=1.5827 tan58=1.0506 tan59=1.5173 tan60=1.8767 tan61=1.4235 tan62=1.3318 tan63=1.1503 tan64=2.296 tan65=2.5586 tan66=2.215 tan67=2.753 tan68=2.2946 tan69=2.8023 tan70=2.6216 tan71=2.822 tan72=3.2526 tan73=3.1404 tan74=3.9087 tan75=3.8776 tan76=4.8455 tan77=4.153 tan78=4.456 tan79=5.307 tan80=5.707 tan81=6.041 tan82=7.207 tan83=8.593 tan84=9.587 tan85=11.32 tan86=14.942 tan87=19.16 tan88=28.515 tan89=57.144 tan90=(无限)
发现相似题
与“如图所示，不透明圆锥体DEC放在直线BP所在的水平面上，且BP过底面..”考查相似的试题有：
728972138577893252150022732795677394您所在位置： &
&nbsp&&nbsp&nbsp&&nbsp
　第十七章_勾股定理教案.docx 22页
本文档一共被下载：
次 ,您可全文免费在线阅读后下载本文档。
下载提示
1.本站不保证该用户上传的文档完整性，不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。
2.该文档所得收入(下载+内容+预览三)归上传者、原创者。
3.登录后可充值，立即自动返金币，充值渠道很便利
你可能关注的文档：
··········
··········
第十七章 勾股定理单元备课本章主要研究勾股定理与其逆定理，包括它们的发现、证明和应用.首先让学生通过观察得出直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的结论并加以证明，从而得到勾股定理，然后运用勾股定理解决问题.在此基础上，引入勾股定理的逆定理，并结合此项内容介绍逆命题、逆定理的概念.全章分为两节： 17.1勾股定理.?本节教科书从毕达哥拉斯观察地面发现勾股定理的传说谈起，让学生通过观察计算一些以直角三角形两条直角边为边长的小正方形的面积与以斜边为边长的正方形的面积的关系，发现两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积，从而发现勾股定理，这时教科书以命题1的形式呈现了勾股定理。关于勾股定理的证明方法有很多，教科书正文中介绍了我国古人赵爽的证法。通过推理证实命题1的正确性后，教科书顺势指出什么是定理，并明确命题1就是勾股定理。之后，通过三个探究栏目，研究了勾股定理在解决实际问题和解决数学问题（画出长度是无理数的线段等）中的应用，使学生对勾股定理的作用有一定的认识。17.2勾股定理的逆定理.本节研究勾股定理的逆定理，教科书从古埃及人画直角的方法说起，给出如果一个三角形的三边满足+=，那么这个三角形是直角三角形的结论，然后让学生画出一些两边的平方和等于第三边的平方的三角形，探索这些三角形的形状，可以发现画出的三角形都是直角三角形，从而猜想如果三角形的三边满足这种关系，那么这个三角形是直角三角形，这样就探索得出了勾股定理的逆定理.此时这个逆定理是以命题2的方式给出的，教科书通过对照命题1和命题2的题设、结论，给出了原命题和逆命题的概念.命题2是否正确，需要证明，教科书利用全等三角形证明了命题2，得到勾股定理的逆定理.勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法，这在数学和实际中有着广泛应用，教科书通过两个例题，让学生学会运用这种方法解决问题.本章学习目标：1、体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题；2、会运用勾股定理的逆定理判定直角三角形；3、通过具体的例子，了解定理的含义，了解逆命题、逆定理的概念，知道原命题成立其逆命题不一定成立。直角三角形是一种特殊的三角形，它有许多重要的性质，如两个锐角互余，30°的角所对的直角边等于斜边的一半.本章所研究的勾股定理，也是直角三角形的性质，而且是一条非常重要的性质，它是几何中几个最重要的定理之一，揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系，它可以解决许多直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要依据之一，在生产生活实际中用途很大.它不仅在数学中，而且在其他自然科学中也被广泛地应用.课时分配：本章教学时间约需9课时，具体安排如下（仅供参考）：17．1?勾股定理?4?课时17．2?勾股定理的逆定理?3课时数学活动，小结?2课时17.1 勾股定理（1）教学目标知识与技能目标：了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程.[来过程与方法目标：通过观察、 归纳、 猜想和验证勾股定理，体验由特殊到一般的探索数学问题的方法和数形结合的思想.情感与价值目标：1．通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学习热情. 2．对比介绍我国古代和西方数学家关于勾股定理的研究，对学生进行爱国主义教育.教学重难点：重点：探索和证明勾股定理.难点：用拼图的方法证明勾股定理.教学过程：一、创设情境　引入课题 1、2002年北京召开了被誉为数学界“奥运会”的国际数学家大会，这就是当时采用的会徽. 你知道这个图案的名字吗？你知道它的背景吗？你知道为什么会用它作为会徽吗？ 2、相传2500年前，古希腊的数学家毕达哥拉斯在朋友家做客时，发现朋友家用地砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系. 请同学们也观察一下，看看能发现什么？ (1) 引导学生观察三个正方形之间的面积的关系；(2) 引导学生把面积的关系转化为边的关系.结论：等腰直角三角形三边的特殊关系：斜边的平方等于两直角边的平方和.二、探究勾股定理
3、等腰直角三角形有上述性质，其它直角三角形也有这个性质吗？（书P23探究） 追问　正方形A、B、C所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？问题：通过前面的探究活动，猜一猜，直角三角形三边之间应该有什么关系？ 猜想：　如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
符号语言：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴AC2+BC2＝ AB2 （或a2＋b2＝c2）介绍“勾，股，弦”的含义，进行点题，并指出勾股定理只适用于直角三角形；三、感受数学文化 这个图案是公元3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．赵爽根据此图指出：四个全等的直角三角形（红色）可以如图围成一个大正
正在加载中，请稍后...
18页14页23页15页11页23页18页18页16页20页大家都在搜
三角形ABC中,角A=120&,AB=AC=3,E为BC上任意一点,EP垂直于AB于P，过E点作BA的平行
zhujinmin11的答复：
考点：旋转的性质；三角形的面积；全等三角形的性质；全等三角形的判定；解直角三角形． 分析：（1）根据旋转前后三角形的面积不变作为相等关系得到CF=CN,从而判定CP平分&EPA； （2）作辅助线构造全等三角形,利用全等的性质和三角函数求解．在PA上截取PM=PE连接CM,过C作CK&PA得出,CM=CB=5,再利用三角函数求出BM=6,所以得到PM+PE=6； （3）要注意有2种情况,△BEC为锐角三角形时和△BEC为钝角三角形时两种,不要漏掉．主要利用直角三角形的勾股定理作为等量关系解方程求线段的长度． （1）过C点作CN&DE垂足为N, ∵△ABC≌△DEC,∴AB=DE． ∵S△ABC=1/2AB&CF=S△DCE=1/2DE&CN, ∵CF=CN, ∴CP平分&EPA． （2）如图2在PA上截取PM=PE连接CM,过C作CK&PA, 由（1）同理可证CP平分&EPA, ∴&EPC=&APC． ∵PM=PB PC=PC, ∴△PMC≌△PEC, ∴CE=CM,PE=PM． 又∵CE=CB,∴CM=CB=5, 在△BCK中,cos&B=BK/BC=1/2BM/5=BM/10, 在△ABC中,tan&A=3/4=5/AC, ∴AC=20/3． ∵AB=根号【5^2+(20/3)^2】=25/3, ∴cos&B=3/5=BM/10． ∴BM=6． ∵BM=PM+PB, ∴PM+PE=6． （3）如图3,∵△BCE的面积为25/4根号3BC=CE=5, ∴BE=5&CED=&PBC&ECB=60&, ∴&BPE=60&． 过B点BH&PE,设BP=x, ∵PE+BP=6,∴PE=6-xPH=1/2xBH=根号3/2*x． ∵PE+BP=6,∴PE=6-xPH=1/2xBH=根号3/2*x． ∴5^2=(根号3/2x)^2+(6-x-1/2x)^2,x=3&4/3根号3． ∵3+4/3根号3＞5, ∵&BPC=120&∴BP＜BC, ∴x=3+4/3根号3, ∴BP=3-4/3根号3． 如图4,当△BEC为钝角三角形时,同理可得BE=5根号3,PE-PB=6, ∵PE=6+x,&BPE=60&,x=-3&4根号3 ∵-3-4根号3＜0, ∴x=4根号3-3． ∴BP=3-4/3根号3 或 4根号3-3．。2017年安徽省中考数学专题复习(五)解直角三角形及其实际应用(含答案)_百度文库
您的浏览器Javascript被禁用，需开启后体验完整功能，
享专业文档下载特权
&赠共享文档下载特权
&100W篇文档免费专享
&每天抽奖多种福利
两大类热门资源免费畅读
续费一年阅读会员，立省24元！
2017年安徽省中考数学专题复习(五)解直角三角形及其实际应用(含答案)
总评分4.4|
用知识赚钱
试读已结束，如需继续阅读或下载
定制HR最喜欢的简历
你可能喜欢-一、选择题 1．如图所示，给出下列条件： ① ?B ? ?ACD ；② ?ADC ? ?ACB ；③AC AB 2 ? ；④ AC ? AD?AB ． CD BC）其中单独能够判定 △ ABC ∽△ ACD 的个数为（ A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C 2.如图，已知 AB ∥ CD ∥ EF ，那么下列结论正确的是（ A．） D．AD BC ? DF CEB．BC DF ? CE ADC．CD BC ? EF BECD AD ? EF AF【答案】A 3.已知△ABC∽△DEF，且 AB：DE=1：2，则△ABC 的面积与△DEF 的面积之比为 (A)1：2 (B)1：4 (C)2：1 (D)4：1 【答案】B 4. 如图，已知等边三角形 ABC 的边长为 2，DE 是它的中位线，则下面四个结论： （1）DE=1， （2）△CDE∽△CAB， （3）△CDE 的面积与△CAB 的面积之比为 1：4.其中正确的有： A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个【答案】D 5.若△ABC∽△DEF, △ABC 与△DEF 的相似比为１∶2，则△ABC 与△DEF 的周长比为（）A．1∶4 B．1∶2 C．2∶1 D．１∶ 2 【答案】B 6.（2009 年杭州市）如果一个直角三角形的两条边长分别是 6 和 8，另一个与它相似的直角三角形边长分 别是 3 和 4 及 x，那么 x 的值（ ） A．只有 1 个 B．可以有 2 个 C．有 2 个以上但有限 D．有无数个 【关键词】相似三角形有关的计算和证明 【答案】B 7.2009 年宁波市）如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，M、N 分别是边 AB、AD 的中点， 连接 OM、ON、MN，则下列叙述正确的是（ ） A．△AOM 和△AON 都是等边三角形 B．四边形 MBON 和四边形 MODN 都是菱形 C．四边形 AMON 与四边形 ABCD 是位似图形 D．四边形 MBCO 和四边形 NDCO 都是等腰梯形www.gzsxw.net 港中数学网-A M B O C 【关键词】位似 【答案】C 8.（2009 年江苏省）如图，在 5 ? 5 方格纸中，将图①中的三角形甲平移到图② 中所示的位置，与三角形乙拼成一个矩形，那么，下面的平 移方法中，正确的是（ ） A．先向下平移 3 格，再向右平移 1 格 B．先向下平移 2 格，再向右平移 1 格 C．先向下平移 2 格，再向右平移 2 格 D．先向下平移 3 格，再向右平移 2 格 N D【关键词】平移 【答案】D 9.(2009 年义乌)在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比。已知这本书 的长为 20cm，则它的宽约为 A．12.36cm B.13.6cm C.32.36cm D.7.64cm 【关键词】黄金比 【答案】A 10. （2009 年娄底） 小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪瞄准目标点 B 时， 要使眼睛 O、 准星 A、目标 B 在同一条直线上，如图 4 所示，在射击时，小明有轻微的抖动，致使准星 A 偏离到 A′， 若 OA=0.2 米，OB=40 米，AA′=0.0015 米，则小明射击到的点 B′偏离目标点 B 的长度 BB′为? （ ） ? A．3 米? B．0.3 米? C．0.03 米? D．0.2 米? 【关键词】相似三角形 【答案】B， ， 11.（2009 恩施市）如图，在 △ ABC 中， ?C ? 90° ?B ? 60° D 是 AC 上一点， DE ? AB 于 E ，且 CD ? 2，DE ? 1 ，则 BC 的长为（ ）A．2 B．4 3 3C． 2 3D． 4 3【关键词】解直角三角形、相似 【答案】Bwww.gzsxw.net 港中数学网-12.（2009 年甘肃白银）如图 3，小东用长为 3.2m 的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使 竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距 8m、与旗杆相距 22m，则旗杆 的高为（ ） A．12m B．10m C．8m D．7m【关键词】相似三角形判定和性质 【答案】A 13. 2009 年孝感） （ 如图， 将放置于平面直角坐标系中的三角板 AOB 绕 O 点顺时针旋转 90°得△A′OB′． 已 知∠AOB=30°，∠B=90°，AB=1，则 B′点的坐标为 A． (3 3 3 3 ? ) B． ( ? ) 2 2 2 21 3 C． ( ? ) 2 2D． (3 1 , ) 2 2【关键词】旋转 【答案】A 14.（2009 年孝感）美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近 0.618 时，越给人一种美感．如图， 某女士身高 165cm，下半身长 x 与身高 l 的比值是 0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度 大约为 A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【答案】C 15. （2009 年新疆）如图，小正方形的边长均为 1，则下列图中的三角形（阴影部分）与 △ ABC 相似的 是（ ）A. 【关键词】相似三角形的判定 【答案】A 16.（2009 年天津市）在 △ ABC 和 △DEF 中， AB ? 2 DE，AC ? 2 DF，?A ? ?D ，如果 △ ABC 的周 长是 16，面积是 12，那么 △DEF 的周长、面积依次为（ ）www.gzsxw.net 港中数学网-A．8，3 B．8，6 C．4，3 D．４，6 【关键词】相似三角形的性质 【答案】A 17.(2009 年牡丹江市)如图， △ ABC 中，CD ? AB 于 D， 一定能确定 △ ABC 为直角三角形的条件的个数 是（ ） ① ?1 ? ?A， ②CD DB ∶ 5 ? ， ?B ? ?2 ? 90°， BC∶AC∶AB ? 3 4∶ ， ③ ④ AD CDD．4⑤ AC ? BD ? AC ? CD A．1 B．2 C．3【关键词】三角形相似的判定和性质 【答案】C 18. （2009 白银市）如图，小东用长为 3.2m 的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、 旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距 8m、与旗杆相距 22m，则旗杆的高为 （ ） A．12m B．10m C．8m D．7m【关键词】相似三角形的判定和性质 【答案】A 19. （2009 年衢州）在△ABC 中，AB=12，AC=10，BC=9，AD 是 BC 边上的高.将△ABC 按如图所示的方 式折叠，使点 A 与点 D 重合，折痕为 EF，则△DEF 的周长为 A．9.5 B．10.5 C．11 D．15.5【关键词】线段的比和比例线段 【答案】D 20.（2009 年衢州）如图，△ABC 中，A，B 两个顶点在 x 轴的上方，点 C 的坐标是(-1，0)．以点 C 为位 似中心， x 轴的下方作△ABC 的位似图形， 在 并把△ABC 的边长放大到原来的 2 倍， 记所得的像是△A′B′C． 设 点 B 的对应点 B′的横坐标是 a，则点 B 的横坐标是 1 1 A． ? a B． ? (a ? 1) 2 2 1 1 C． ? (a ? 1) D． ? (a ? 3) 2 2www.gzsxw.net 港中数学网-【关键词】相似三角形判定和性质 【答案】D 21.（2009 年舟山）在△ABC 中，AB=12，AC=10，BC=9，AD 是 BC 边上的高.将△ABC 按如图所示的方 式折叠，使点 A 与点 D 重合，折痕为 EF，则△DEF 的周长为 A．9.5 B．10.5 C．11 D．15.5【关键词】线段的比和比例线段 【答案】D 22.（2009 年舟山）如图，△ABC 中，A，B 两个顶点在 x 轴的上方，点 C 的坐标是(-1，0)．以点 C 为位 似中心， x 轴的下方作△ABC 的位似图形， 在 并把△ABC 的边长放大到原来的 2 倍， 记所得的像是△A′B′C． 设 点 B 的对应点 B′的横坐标是 a，则点 B 的横坐标是 1 1 A． ? a B． ? (a ? 1) 2 2 1 1 C． ? (a ? 1) D． ? (a ? 3) 2 2【关键词】相似三角形判定和性质 【答案】D 23.（2009 年济宁市）如图，在长为 8 cm、宽为 4 cm 的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴 影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（ ） 2 2 2 2 A. 2 cm B. 4 cm C. 8 cm D. 16 cm【关键词】相似多边形 【答案】C 24. （2009 年福州）如图，正五边形 FGHMN 是由正五边形 ABCDE 经过位似变换得到的，若 AB:FG=2:3，则 下列结论正确的是（ ） A．2DE=3MN， B．3DE=2MN， C． 3∠A=2∠F D．2∠A=3∠Fwww.gzsxw.net 港中数学网-【关键词】位似变换 【答案】B 25.（2009 年宜宾）若一个图形的面积为 2，那么将它与成中心对称的图形放大为原来的两倍后的图形面积 为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【关键词】相似图形的性质 【答案】A. 26. ． （2009 年广西梧州）如图，正方形ABCD 中，E 为 AB 的中点，AF⊥DE 于点 O， 则AO 等于（ DO）2 5 3 2 C． 3A．1 3 1 D． 2B．【关键词】相似三角形 【答案】D 27.(2009 年甘肃定西)如图，小东用长为 3.2m 的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、 旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距 8m、与旗杆相距 22m，则旗杆的高为 （ ） A．12m B．10m C．8m D．7m【关键词】相似三角形 【答案】A 28. (2009 年湖州)如图，在正三角形 ABC 中， D ， E ， F 分别是 BC ， AC ， AB 上的点， DE ⊥ AC ， EF ⊥ AB ， FD ⊥ BC ，则 △DEF 的面积与 △ ABC 的面积之比等于（ ） A．1∶3 B．2∶3 C． 3 ∶2 D． 3 ∶3【关键词】等边三角形的性质，相似的性质 【答案】A 29．(2009 年温州)一张等腰三角形纸片，底边长 l5cm，底边上的高长 22．5cm．现沿底边依次从下往上裁www.gzsxw.net 港中数学网-剪宽度均为 3cm 的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是( ) A．第 4 张 B．第 5 张 C.第 6 张 D．第 7 张【关键词】等腰三角形性质，三角形相似的性质，梯形中位线 【答案】C 30.（2009 年兰州）如图，丁轩同学在晚上由路灯 AC 走向路灯 BD ，当他走到点 P 时，发现身后他影子 的顶部刚好接触到路灯 AC 的底部，当他向前再步行 20m 到达 Q 点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到 路灯 BD 的底部，已知丁轩同学的身高是 1.5m，两个路灯的高度都是 9m，则两路灯之间的距离是A．24m B．25m C．28m D．30m 【关键词】相似三角形、灯光与影子 【答案】D 31.（2009 年济宁市）如图，在长为 8 cm、宽为 4 cm 的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴 影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（ ） 2 2 2 2 A. 2 cm B. 4 cm C. 8 cm D. 16 cm【关键词】相似多边形 【答案】C 32. （09 湖南怀化）如图 1， D 、 E 分别是 AB 、 AC 的中点，则 S△ ADE : S△ ABC ? （ A． 1∶2 C．1∶4 B．1∶3 D． 2∶3）【关键词】相似三角形有关的计算 【答案】C 33. （2009 年山西省）如图， AB 是 ⊙O 的直径， AD 是 ⊙O 的切线，点 C 在 ⊙O 上， BC ∥ OD ， AB ? 2，OD ? 3,则 BC 的长为（ ） A．2 3B．3 2C．3 2D．2 2www.gzsxw.net 港中数学网-【关键词】圆周角和圆心角；切线定理；相似三角形有关的计算；相似三角形与圆 【答案】AAB ? BC AC 34． 2009 年山西省） （ 如图， Rt△ ABC 中， ACB ? 90°， ? 3， ? 4， 的垂直平分线 DE 交 BC 在 的延长线于点 E ，则 CE 的长为（ ）A．3 2B．7 6C．25 6D．2【关键词】相似三角形判定和性质；勾股定理；线段和角的概念、性质 【答案】B 35. （ 2009 年 枣 庄 市 ） 如图，△DEF 是由△ABC 经过位似变换得到的， 点 O 是位似中心，D，E，F 分别是 OA，OB，OC 的中点，则△DEF 与△ABC 的面积比是（ ） A． 1 : 2 B． 1 : 4 C． 1 : 5 D． 1 : 6【关键词】相似三角形有关的计算和证明 【答案】B 36. （2009 呼和浩特）如图， 是 ⊙O 的直径， C 在圆上，CD ⊥ AB，DE ∥ BC ，则图中与 △ ABC AB 点 相似的三角形的个数有（ ） A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 C E A O D B【关键词】相似三角形判定和性质 【答案】 37.(2009 年抚顺市)如图所示， 已知点 E、F 分别是 △ ABC 中 AC、AB 边的中点，BE、CF 相交于点 G ， FG ? 2 ，则 CF 的长为（ ）www.gzsxw.net 港中数学网-AFEBC A．4 G B．4.5 C．5 D．6【关键词】中位线 二、填空题 1.（2009 年重庆市江津区）锐角△ABC 中，BC＝6, S ?ABC ? 12, 两动点 M、N 分别在边 AB、AC 上滑动，且 MN∥BC， MN 为边向下作正方形 MPQN， 以 设其边长为 x， 正方形 MPQN 与△ABC 公共部分的面积为 y （y ＞0） , 当x ＝ ，公共部分面积 y 最大，y 最大值 ＝ ,【关键词】三角形、正方形、二次函数极值 相似 【答案】 x ? 3, y ? 6△ 3) 若以原点 O 为位似中心， △ ABC 2.(2009 年滨州)在平面直角坐标系中， ABC 顶点 A 的坐标为 (2， ， 画的位似图形 △ A?B?C ? ，使 △ ABC 与 △ A?B?C ? 的相似比等于1 ，则点 A? 的坐标为 2．【关键词】三角形位似.. 【答案】 （4，6） 3.（2009 威海）如图，△ABC 与△A′B′C ′是位似图形，点 O 是位似中心，若 OA=2A A′,S△ABC=8，则 S △A′B′C ′=________．【关键词】位似图形 【答案】18 4.（2009 年吉林省）如图， △OAB 的顶点 B 的坐标为（4，0） ，把 △OAB 沿 x 轴向右平移得到 △CDE， OE 的长为 如果 CB ? 1, 那么 ． 【关键词】平移，平面直角坐标系内的平移 【答案】7www.gzsxw.net 港中数学网-5.（2009 山西省太原市）如图是一种贝壳的俯视图，点 C 分线段 AB 近似于黄金分割．已知 AB =10 cm ， 则 AC 的长约为 （结果精确到 0.1 cm ） cm ．解析：本题考查黄金分割的有关知识，由题意知 AC 2 ? BC ? AB ， ∴ AC 2 ? ?10 ? AC ? ?10 ，解得 x ≈6.2，故填 6.2.． 【关键词】黄金分割 【答案】6.2. 6.（2009 烟台市）如图， △ ABC 与 △ AEF 中， AB ? AE，BC ? EF ，?B ? ?E，AB 交 EF 于 D ．给 出下列结论： ① ?AFC ? ?C ； ② DF ? CF ； ③ △ ADE ∽△FDB ； ④ ?BFD ? ?CAF ． 其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号） ．【关键词】全等、相似 【答案】①，③，④ 7.（2009 年甘肃庆阳）如图 11，正方形 OEFG 和正方形 ABCD 是位似形，点 F 的坐标为（1，1） ，点 C 的 坐标为（4，2） ，则这两个正方形位似中心的坐标是 ．【关键词】相似三角形判定和性质 【答案】 ?2 ，0） （ 8. （ 2009 年 广 西 南 宁 ） 三 角 尺 在 灯 泡 O 的 照 射 下 在 墙 上 形 成 影 子 （ 如 图 6 所 示 ） . 现 测 得 OA ? 20cm，OA? ? 50cm ，这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是 ．www.gzsxw.net 港中数学网-【关键词】投影；相似三角形 【答案】2 59.（2009 年孝感）如图，点 M 是△ABC 内一点，过点 M 分别作直线平行于△ABC 的各边，所形成的三个 小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是 4，9 和 49．则△ABC 的面积是 ▲ ．【关键词】相似三角形 【答案】144; 10.(2009 年牡丹江市)如图，Rt△ ABC 中，?ACB ? 90°， 直线 EF ∥ BD， AB 于点 E， AC 于点 G， 交 交 交AD 于点 F， S△ AEG ? 若1 CF S四边形EBCG， ? 则 3 AD．【关键词】相似三角形的性质 【答案】1 211. （2009 年日照市）将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点 B 落在边 AC 上，记为点 B′， 折痕为 EF．已知 AB＝AC＝3，BC＝4，若以点 B′，F，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么 BF 的长度 是 ．【关键词】相似三角形的性质 【答案】12 或 2; 712.（2009 年重庆）已知 △ ABC 与 △DEF 相似且面积比为 4∶25，则 △ ABC 与 △DEF 的相似比 为 ． 【关键词】相似三角形的性质 【答案】2:5． 13. （2009 年莆田） 如图，A、B 两处被池塘隔开， 为了测量 A、B 两处的距离， AB 外选一适当的点 C ， 在 连接 AC、BC ，并分别取线段 AC、BC 的中点 E、F ，测得 EF =20m，则 AB =__________m．www.gzsxw.net 港中数学网-【关键词】相似三角形 答案：40 14. （2009 年牡丹江）如图， Rt△ ABC 中， ?ACB ? 90°， 直线 EF ∥ BD， AB 于点 E， AC 于点 G， 交 交 交 AD 于点 F， S△ AEG ? 若1 CF S四边形EBCG， ? 则 3 AD．【关键词】相似三角形的面积比 【答案】15.（2009 年凉山州）已知 △ ABC ∽△ A?B?C ? 且 S△ ABC : S△A?B?C? ? 1: 2 ，则 AB : A?B? = 【关键词】相似三角形的性质 【答案】 1: 2 16. (2009 年宁德市)如图， △ABC 与△DEF 是位似图形， 位似比为 2∶3， 已知 AB＝4， DE 的长为 则1 2．____．【关键词】位似 【答案】6 17.（2009 年湖北荆州）如图，已知零件的外径为 25 mm ，现用一个交叉卡钳（两条尺长 AC 和 BD 相等， OC=OD）量零件的内孔直径 AB．若 OC∶OA=1∶2，量得 CD＝10 mm ，则零件的厚度 x ? _____ mm ．【关键词】相似三角形 【答案】 ， 18.（2009 年新疆乌鲁木齐市）如图，在 △ ABC 中， DE ∥ BC ，若 AD ? 1 DE ? 2， BD ? 3 ，则 BC ? ． 【关键词】相似三角形判定和性质 【答案】8 19. （2009 年山西省）如图， △ ABC 与 △ A?B?C ? 是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标 是 ．www.gzsxw.net 港中数学网-【关键词】相似，中心投影 【答案】 （9，0） 20. （2009 年黄石市）在□ABCD 中， E 在 DC 上，若 DE : EC ? 1: 2 ，则 BF : BE ? 【关键词】平行四边形的性质；相似三角形判定和性质．【答案】 3 : 5 21.（2009 东营）将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点 B 落在边 AC 上，记为点 B′，折痕 为 EF． 已知 AB＝AC＝3， ＝4， BC 若以点 B′，， 为顶点的三角形与△ABC 相似， F C 那么 BF 的长度是 ． 【关键词】相似三角形 12 【答案】 或 2; 7 三、解答题 1.（2009 年台湾） 某校一年级有 64 人，分成甲、乙、丙三队，其人数比为 4：5：7。若由外校转入 1 人 加入 乙队，则后来乙与丙的人数比为何？ (A) 3：4 (B) 4：5 (C) 5：6 (D) 6：7 。 【关键词】比例 【答案】A 2.（2009 年长春）如图，在矩形 ABCD 中，点 E、F 分别在边 AD、DC 上， △ ABE ∽△ DEF ， AB ? 6，AE ? 9，DE ? 2 ，求 EF 的长．【关键词】矩形的性质、直角三角形的有关计算、相似三角形有关的计算和证明 【答案】 解：∵四边形 ABCD 是矩形，AB=6 ∴∠A=∠D=90°，DC=AB=6 又∵AE=9 ∴在 Rt△ABE 中，由勾股定理得：BE= ∵ △ ABE ∽△DEF ， ∴AE2 ? AB2 ? 92 ? 62 ? 117AB BE 6 117 ? ，即 ? DE EF 2 EF 117 ∴EF= 3 ? 3． （2009 年长春） 如图， ? ABCD 中， BAD ? 32° ， 在 分别以 BC、CD 为边向外作 △BCE 和 △DCF ， 使 BE ? BC，DF ? DC，?EBC ? ?CDF ．延长 AB 交边 EC 于点 H ，点 H 在 E、C 两点之间，连结www.gzsxw.net 港中数学网-AE、AF ．（1）求证： △ ABE ≌△FDA ． （2）当 AE ⊥ AF 时，求 ?EBH 的度数．【关键词】平行四边形的性质、相似三角形有关的计算和证明 【答案】 （1）证明：在平行四边形 ABCD 中，AB=DC. 又∵DF=DC， ∴AB=DF. 同理 EB=AD. 在平行四边形 ABCD 中，∠ABC=∠ADC. 又∵∠EBC=∠CDF， ∴∠ABE=∠ADF， ∴△ABE≌△FDA.（4 分） （2）解：∵△ABE≌△FDA， ∴∠AEB=∠DAF. ∵∠EBH=∠AEB+∠EAB, ∴∠EBH=∠DAF+∠EAB. ∵AE⊥AF，∴∠EAF=90°. ∵∠BAD=32°， ∴∠DAF+∠EAB=90°-32°=58°， ∴∠EBH=58°. 4.（2009 年安徽）如图，M 为线段 AB 的中点，AE 与 BD 交于点 C，∠DME＝∠A＝∠B＝α， 且 DM 交 AC 于 F，ME 交 BC 于 G． （1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对； （2）连结 FG，如果 α＝45°，AB＝ 4 2 ，AF＝3，求 FG 的长．【关键词】直角三角形的有关计算、相似三角形有关的计算和证明 【答案】 （1）证：△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM（写出两对即可） 以下证明△AMF∽△BGM． ∵∠AFM＝∠DME＋∠E＝∠A＋∠E＝∠BMG，∠A＝∠B ∴△AMF∽△BGM． （2）解：当 α＝45°时，可得 AC⊥BC 且 AC＝BC ∵M 为 AB 的中点，∴AM＝BM＝ 2 2 分 又∵AMF∽△BGM，∴AF BM ? AM BGwww.gzsxw.net 港中数学网-∴ BG ?AM ?BM 2 2 ? 2 2 8 ? ? AF 3 3又 AC ? BC ? 4 2 cos 45? ? 4 ，∴ CG ? 4 ?8 4 ? ， CF ? 4 ? 3 ? 1 3 34 5 ∴ FG ? CF 2 ? CG 2 ? 12 ? ( )2 ? 3 3 5.（2009 年郴州市）如图，在 D ABC 中，已知 DE∥ BC，AD=4，DB=8，DE=3，（1）求AD 的值， （2）求 BC 的长 AB【关键词】相似 【答案】解： （1）因为 AD = 4，DB = 8 所以 AB = AD + DB = 4 + 8 = 12AD 4 1 = = AB 12 3 （2）因为 DE ∥ BC ，所以 △ ADE ∽△ ABC DE AD = 所以 BC AB 因为 DE = 3 3 1 = 所以 BC 3 所以 BC = 9所以 6.（2009 年 常 德 市 ）如图，△ABC 内接于⊙ O，AD 是△ABC 的边 BC 上的高，AE 是⊙ 的直径，连接 BE， O △ABE 与△ADC 相似吗？请证明你的结论．【关键词】相似 【答案】 △ABE 与△ADC 相似．理由如下： 在△ABE 与△ADC 中 ∵ 是⊙ 的直径， ∴ ABE=90o， AE O ∠ ∵ 是△ABC 的边 BC 上的高， AD ∴ ADC=90o， ∴ ABE=∠ ∠ ∠ ADC． 又∵ 同弧所对的圆周角相等， ∴ BEA=∠ ∠ DCA． ∴ △ABE ～△ADC． 7.(2009 武汉)如图 1，在 Rt △ ABC 中， ?BAC ? 90° ， AD ⊥ BC 于点 D ，点 O 是 AC 边上一点，连 接 BO 交 AD 于 F ， OE ⊥ OB 交 BC 边于点 E ． （1）求证： △ ABF ∽△COE ；www.gzsxw.net 港中数学网-AC OF ? 2 时，如图 2，求 的值； AB OE AC OF ? n 时，请直接写出 （3）当 O 为 AC 边中点， 的值． AB OE（2）当 O 为 AC 边中点， B D F A O 图1 E C A O 图2 B F D E C【关键词】相似三角形的判定和性质 【答案】解： （1）? AD ⊥ BC ，??DAC ? ?C ? 90° ． ? ?BAC ? 90° ??BAF ? ?C ． ， ? OE ⊥ OB， BOA ? ?COE ? 90° ， ?? ? ?BOA ? ?ABF ? 90° ，??ABF ? ?COE ． ?△ ABF ∽△COE ； GB F AD EC O （2）解法一：作 OG ⊥ AC ，交 AD 的延长线于 G ． ? AC ? 2 AB ， O 是 AC 边的中点，? AB ? OC ? OA ． 由（1）有 △ ABF ∽△COE ，?△ ABF ≌△COE ， ? BF ? OE ． ? ?BAD ? ?DAC ? 90° ， ?DAB ? ?ABD ? 90° ??DAC ? ?ABD ， ， ?BAC ? ?AOG ? 90° ， AB ? OA ． 又 ?△ ABC ≌△OAG ，? OG ? AC ? 2 AB ． ? OG ⊥ OA ，? AB ∥ OG ，?△ ABF ∽△GOF ，?BOF OG OF OF OG ? ? ? ?2． ， BF AB OE BF ABD F E O CA， 解法二：? ?BAC ? 90° AC ? 2 AB，AD ⊥ BC 于 D ，AD AC ? ? 2． BD AB 设 AB ? 1 ，则 AC ? 2，BC ? 5，BO ? 2 ， 2 1 1 ? AD ? 5，BD ? AD ? 5． 5 2 5 ? ?BDF ? ?BOE ? 90° ? BDF ∽△BOE ， ，△? Rt△BAD ∽ Rt△BCA ．?www.gzsxw.net 港中数学网-?BD BO ? ． DF OE1 5 2 5 由（1）知 BF ? OE ，设 OE ? BF ? x ，? ，? x ? 10DF ． ? DF x 1 1 2 2 2 x ，? x ? 在 △DFB 中 x ? ? ． 5 10 3 4 2 2 4 OF 3 ? OF ? OB ? BF ? 2 ? 2? 2 ．? ? ? 2． 3 3 OE 2 2 3 OF ?n． （3） OE8.(2009 年上海市)已知∠ABC=90°，AB=2，BC=3，AD∥BC，P 为线段 BD 上的动点，点 Q 在射线 AB 上，且PQ AD ? （如图 1 所示） ． PC AB （1）当 AD=2，且点 Q 与点 B 重合时（如图 2 所示） ，求线段 PC 的长；满足S△ APQ 3 ，且点 Q 在线段 AB 上时，设点 B、Q 之间的距离为 x ， ? y， 2 S△ PBC 其中 S△APQ 表示△APQ 的面积， S△PBC 表示 △PBC 的面积，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数定义（2）在图中，联结 AP ．当 AD ? 域； （3）当 AD ? AB ，且点 Q 在线段 AB 的延长线上时（如图 3 所示） ，求 ?QPC 的大小． D A A D D A P P P Q B 图1 C B（Q） 图2 ） CBC图3 Q 【关键词】等腰直角三角形 相似三角形 共高三角形的面积 直角三角形相似的判定 【答案】 （1）∵Rt△ABD 中，AB=2，AD=2， ∴PQ AD ? =1，∠D=45° PC AB 1 3 BC ? 。 2 2∴PQ=PC 即 PB=PC， 过点 P 作 PE⊥BC，则 BE= 而∠PBC=∠D=45° ∴PC=PB=3 2 2（2）在图 8 中，过点 P 作 PE⊥BC，PF⊥AB 于点 F。 ∵∠A=∠PEB=90°，∠D=∠PBE ∴Rt△ABD∽Rt△EPB ∴EB AD 3 3 ? ? ?2 ? EP AB 2 4www.gzsxw.net 港中数学网设 EB=3k，则 EP=4k，PF=EB=3k-1 1 ? BC ? PE ? ? 3 ? 4k ? 6k ， 2 2 ?2 ? x ? ? 3k AQ 2? x 1 2? x 1 2? x S ?APQ ? ? S ?APB ? ? ? AB ? PF ? ? ? 2 ? 3k ? ? 3k = 2 AB 2 2 2 2 2 S 12k 4 ∴ y ? ?BPC ? ? S ? APQ ?2 ? x ? ? 3k 2 ? x∴ S ?BPC ? 函数定义域为 0 ? x ? 2 A F P D A P P F Q B E C 图1 B（Q） 图2 ） C B Q E 图3 C D A D（3）答：90° 证明：在图 8 中，过点 P 作 PE⊥BC，PF⊥AB 于点 F。 ∵∠A=∠PEB=90°，∠D=∠PBE ∴Rt△ABD∽Rt△EPBEB AD ? EP AB PQ AD EB PF ? ? ∴ = PC AB PE PE∴ ∴Rt△PQF∽Rt△PCE ∴∠FPQ=∠EPC ∴∠EPC+∠QPE=∠FPQ+∠QPE=90° 8. (2009 年陕西省)20．小明想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼 的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下： 如示意图，小明边移动边观察，发现站到点 E 处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子 重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度 CD＝1.2m，CE＝0.8m，CA＝30m（点 A、E、 C 在同一直线上）． 已知小明的身高 EF 是 1.7m，请你帮小明求出楼高 AB（结果精确到 0.1m）．【关键词】利用相似知识测物高 【答案】解：过点 D 作 DG⊥AB，分别交 AB、EF 于点 G、H，则 EH＝AG＝CD＝1.2， DH＝CE＝0.8，DG＝CA＝30． ∵EF∥AB， FH DH ? ∴ ． BG DG 由题意，知 FH＝EF－EH＝1.7－1.2＝0.5． 0.5 0.8 ? ∴ ，解之，得 BG＝18.75． BG 30 ∴AB＝BG+AG＝18.75+1.2＝19.95≈20.0． ∴楼高 AB 约为 20.0 米．www.gzsxw.net 港中数学网-9. (2009 年安顺)如图，已知抛物线与 x 交于 A(－1，0)、E(3，0)两点，与 y 轴交于点 B(0，3)。 （1） 求抛物线的解析式； （2） 设抛物线顶点为 D，求四边形 AEDB 的面积； （3） △AOB 与△DBE 是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。【关键词】待定系数法，相似三角形判定和性质 【答案】 （1）∵抛物线与 y 轴交于点（0，3） ， ∴设抛物线解析式为 y ? ax2 ? bx ? 3(a ? 0)根据题意，得 ??a ? b ? 3 ? 0 ?a ? ?1 ，解得 ? ?9a ? 3b ? 3 ? 0 ?b ? 2∴抛物线的解析式为 y ? ? x 2 ? 2 x ? 3 (5′) (2)(5′)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4） 设对称轴与 x 轴的交点为 F ∴四边形 ABDE 的面积= S?ABO ? S梯形BOFD ? S?DFE1 1 1 AO ? BO ? ( BO ? DF ) ? OF ? EF ? DF 2 2 2 1 1 1 = ?1? 3 ? (3 ? 4) ?1 ? ? 2 ? 4 =9 2 2 2= （3）似 如图，BD= BG2 ? DG2 ? 12 ? 12 ? 2 ；∴BE= BO2 ? OE 2 ? 32 ? 32 ? 3 2 DE= DF 2 ? EF 2 ? 22 ? 42 ? 2 5 ∴ BD ? BE ? 20 , DE ? 202 2 2即： BD ? BE ? DE ,所以 ?BDE 是直角三角形2 2 2∴ ?AOB ? ?DBE ? 90? ,且∴ ?AOB ∽ ?DBE 10. （2009 山西省太原市）甲、乙两盏路灯底部间的距离是 30 米，一天晚上，当小华走到距路灯乙底部 5 米处时，发现自己的身影顶部正好接触路灯乙的底部．已知小华的身高为 1.5 米，那么路灯甲的高 为 米．www.gzsxw.net 港中数学网AO BO 2 , ? ? BD BE 2-甲 小华乙 解析：本题考查相似的有关知识，设路灯高为 x 米，由相似得 1.5 5 ，解得 x ? 9 ，所以路灯甲的高为 9 米，故填 9. ? x 30 【关键词】相似三角形的应用 【答案】9. 11. （2009 年浙江省绍兴市）定义一种变换：平移抛物线 F 得到抛物线 F2 ，使 F2 经过 F 的顶点 A ．设 F2 1 1 的对称轴分别交 F1，F2 于点 D，B ，点 C 是点 A 关于直线 BD 的对称点． （1）如图 1，若 F ： y ? x2 ，经过变换后，得到 F2 ： y ? x2 ? bx ，点 C 的坐标为 (2， ，则① b 的值等 0) 1 于______________； ②四边形 ABCD 为（ A．平行四边形 ） B．矩形2C．菱形D．正方形（2）如图 2，若 F ： y ? ax ? c ，经过变换后，点 B 的坐标为 (2，c ? 1) ，求 △ ABD 的面积； 11 2 2 7 x ? x ? ，经过变换后， AC ? 2 3 ，点 P 是直线 AC 上的动点，求点 P 3 3 3 到点 D 的距离和到直线 AD 的距离之和的最小值．（3）如图 3，若 F ： y ? 1【关键词】平移变换 【答案】 12.（2009 年吉林省）如图，⊙ O 中，弦 AB、CD 相交于 AB 的中点 E ，连接 AD 并延长至点 F ， 使 DF ? AD ，连接 BC、 BF ． A D O E C B （1）求证： △CBE ∽△ AFB ；www.gzsxw.net 港中数学网F-（2）当BE 5 CB ? 时，求 的值 FB 8 AD【关键词】相似三角形判定和性质 【答案】 （1）证明：? AE ? EB, AD ? DF ,? ED 是 △ ABF 的中位线， ? ED ∥ BF , ??CEB ? ?ABF , 又 ?C ? ?A, ?△CBE ∽△AFB,（2）解：由（1）知，△CBE ∽△AFB, CB BE 5 ? ? ? . AF FB 8 又 AF ? 2 AD, CB 5 ? ? ． AD 40) 13.（2009 年宁波市）如图 1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点 A 的坐标为 (?8， ，直线 BC 经6) 6) 过点 B(?8， ， C (0， ，将四边形 OABC 绕点 O 按顺时针方向旋转 ? 度得到四边形 OA?B?C ? ，此时直线OA? 、直线 B?C ? 分别与直线 BC 相交于点 P、Q． （1）四边形 OABC 的形状是 ，当 ? ? 90° 时，BP 的值是 BQ；BP 的值； BQ ②如图 3，当四边形 OA?B?C ? 的顶点 B? 落在直线 BC 上时，求 △OPB? 的面积．（2）①如图 2，当四边形 OA?B?C ? 的顶点 B? 落在 y 轴正半轴时，求 y B? B A? P C Q B C P x y yA?B? （Q）BCC?O （图 2） x A OA（图 3）C?xAO （备用图）（第 26 题） （3）在四边形 OABC 旋转过程中，当 0 ? ? ≤ 180° 时，是否存在这样的点 P 和点 Q，使 BP ? 若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【关键词】相似三角形有关的计算和证明 【答案】解： （1）矩形（长方形） ；1 BQ ？ 2BP 4 ? ． BQ 7 （2）①? ?POC ? ?B ?OA? ， ?PCO ? ?OA?B? ? 90° ， ?△COP ∽△ A?OB? ． CP OC CP 6 ? ? ? ， ，即 A?B? OA? 6 8 9 7 ? CP ? ， BP ? BC ? CP ? ． 2 2www.gzsxw.net 港中数学网-同理 △B?CQ ∽△B?C?O ，CQ 10 ? 6 CQ B?C ? ? ，即 ， 6 8 C ?Q B?C ? ?CQ ? 3 ， BQ ? BC ? CQ ? 11 ． BP 7 ． ? ? BQ 22 ②在 △OCP 和 △B?A?P 中， ??OPC ? ?B?PA?， ? ??OCP ? ?A? ? 90°， ?OC ? B?A?， ? ?△OCP ≌△B?A?P(AAS) ． ? OP ? B?P ． 设 B?P ? x ，?在 Rt△OCP 中， (8 ? x)2 ? 62 ? x2 ，解得 x ?25 ． 41 25 75 ? S△OPB? ? ? ? 6 ? ． 2 4 4 1 BQ ． 2 3 ? 7 ? ? ? 点 P 的坐标是 P ? ?9 ? 6，? ， P2 ? ? ，? ． 6 6 1 2 ? 4 ? ? ?（3）存在这样的点 P 和点 Q ，使 BP ? 对于第（3）题，我们提供如下详细解答，对学生无此要求． 过点 Q 画 QH ⊥ OA? 于 H ，连结 OQ ，则 QH ? OC? ? OC ，? S△ POQ ?1 1 PQ? ， S△ POQ ? OP ? OC QH ， 2 2 ? PQ ? OP ． 设 BP ? x ，yB?P B C QA?A H OC?x ? BP ? 1 BQ ，? BQ ? 2 x ，① 如图 1，当点 P 在点 B 左侧时， OP ? PQ ? BQ ? BP ? 3x ，2在 Rt△PCO 中， (8 ? x) ? 6 ? (3x) ， y B? A? B Q C P H2 2 2C?A O x 解得 x ? 1 ? 3 6 ， x ? 1 ? 3 6 （不符实际，舍去） ． 1 222www.gzsxw.net 港中数学网-? PC ? BC ? BP ? 9 ?3 6， 23 ? ? ? P ? ?9 ? 6，? ． 6 1 2 ? ??OP ? PQ ? BQ ? BP ? x ， PC ? 8 ? x ．在 Rt△PCO 中， (8 ? x)2 ? 62 ? x2 ，解得 x ? ②如图 2，当点 P 在点 B 右侧时，25 ． 4? PC ? BC ? BP ? 8 ?25 7 ? ， 4 4? 7 ? ? P2 ? ? ，? ． 6 ? 4 ?综上可知，存在点 P ? ?9 ? 1? ?1 3 ? 7 ? ? 6，? ， P2 ? ? ，? ，使 BP ? BQ ． 6 6 2 2 ? 4 ? ?14.(2009 年义乌)如图，在矩形 ABCD 中，AB=3,AD=1,点 P 在线段 AB 上运动，设 AP= x ，现将纸片折叠， 使点 D 与点 P 重合，得折痕 EF（点 E、F 为折痕与矩形边的交点） ，再将纸片还原。（1）当 x=0 时，折痕 EF 的长为.；当点 E 与点 A 重合时，折痕 EF 的长为 # .； （2）请写出使四边形 EPFD 为菱形的 x 的取值范围，并求出当 x=2 时菱形的边长； 2 （3） EF ? y ， 令 当点 E 在 AD、 F 在 BC 上时， 点 写出 y 与 x 的函数关系式。 y 取最大值时， 当 判断 ? EAP 与 ? PBF 是否相似？若相似，求出 x 的值；若不相似，请说明理由。 #温馨提示：用草稿纸折折看，或许对你有所帮助哦！【关键词】相似三角形 【答案】2 解： （1）3， （2） 1 ≤ x ≤ 3 ． F DCAEP 图1B 当 x ? 2 时，如图 1，连接 DE、PF ，? EF 为折痕，? DE ? PE ， 令 PE 为 m ，则 AE ? 2 ? m ， 2 2 2 在 Rt△ ADE 中， AD ? AE ? DE ，www.gzsxw.net 港中数学网-?1 ? (2 ? m)2 ? m2 ，D E O A P 图2 C F H B 解得 m ?5 5 ，此时菱形边长为 ． 4 4（3）如图 2，过 E 作 EH ⊥ BC ， 易证 △EFH ∽△DPA ，?D E AFH AP ? ，? FH ? 3x EH ADC(F) O P 图3 H B? y ? EF 2 ? EH 2 ? FH 2 ? 9 ? 9x2当 F 与点 C 重合时，如图 3，连接 PF ，? PF ? DF ? 3 ，? PB ? 32 ?12 ? 2 2 ，?0 ≤ x ≤ 3 ? 2 2 ． 显然，函数 y ? 9 ? 9 x2 的值在 y 轴的右侧随 x 的增大而增大，当 x ? 3 ? 2 2 时， y 有最大值． 此时 ?EPF ? 90° ， △EAP ∽△PBF ． 综上所述，当 y 取最大值时， △EAP ∽△PBF ， x ? 3 ? 2 2 （ ?EPF ? 90° 不写不扣分） ．， △ 15.（2009 恩施市）如图，在 △ ABC 中， ?A ? 90° BC ? 10， ABC 的面积为 25，点 D 为 AB 边上的 B 任意一点 D 不与 A 、 重合）过点 D 作 DE ∥ BC ， AC 于点 E ． D x ， DE 为折线将 △ ADE （ ， 交 设 E ? 以 翻折（使 △ ADE 落在四边形 DBCE 所在的平面内） ，所得的 △ A?DE 与梯形 DBCE 重叠部分的面积记为 y．（1）用 x 表示 △ ADE 的面积； （2）求出 0 ? x ≤ 5 时 y 与 x 的函数关系式； （3）求出 5 ? x ? 10 时 y 与 x 的函数关系式； （4）当 x 取何值时， y 的值最大？最大值是多少？ A D B EA?CABC【关键词】相似、二次函数 【答案】解:(1) ∵ DE∥BC∴∠ADE=∠B,∠AED=∠Cwww.gzsxw.net 港中数学网-∴△ADE∽△ABC ∴ 即 S ?ADE ?S ? ADE DE 2 ?( ) S ? ABC BC1 2 x 4 1 2 x 4(2)∵BC=10 ∴BC 边所对的三角形的中位线长为 5 ∴当 0 x ? 5 时 y ? S ?ADE ?（3） 5 ? x 10 时，点 A'落在三角形的外部,其重叠部分为梯形∵S△A'DE=S△ADE= x 2∴DE 边上的高 AH=AH'= 由已知求得 AF=5 ∴A'F=AA'-AF=x-5 由△A'MN∽△A'DE 知1 41 x 2S ?A' MN A' F 2 ?( ) S ?A' DE A' HS ?A' MN ? ( x ? 5) 2 1 2 3 2 2 ∴ y ? x ? ( x ? 5) ? ? x ? 10 x ? 25 4 4 1 2 （4）在函数 y ? x 中 4∵0x≤5 ∴当 x=5 时 y 最大为： 在函数25 43 y ? ? x 2 ? 10 x ? 25 中 4 b 20 25 ? 当x ? ? 时 y 最大为： 2a 3 3 25 25 ∵
4 3 20 25 ∴当 x ? 时，y 最大为： 3 316.（2009 年甘肃庆阳）如图，网格中的每个小正方形的边长都是 1，每个小正方形的顶点叫做格点． △ACB 和△DCE 的顶点都在格点上，ED 的延长线交 AB 于点 F． （1）求证：△ACB∽△DCE； （2）求证：EF⊥AB．www.gzsxw.net 港中数学网-【关键词】相似三角形 【答案】 证明： （1） AC 3 BC 6 3 ∵ ? , ? ? , DC 2 CE 4 2 ∴ AC ? BC . DC CE 又 ∠ ACB=∠ DCE=90° ， ∴ △ACB∽ △DCE． （2） ∵△ACB∽ △DCE，∴∠ ABC＝∠ DEC． 又 ∠ ABC＋∠ =90° A ，∴∠ DEC＋∠ A=90° ． ∴∠ EFA=90° ∴EF⊥AB． ．17． （2009 泰安）将一个量角器和一个含 30 度角的直角三角板如图（1）放置，图（2）是由他抽象出的几 何图形，其中点 B 在半圆 O 的直径 DE 的延长线上，AB 切半圆 O 于点 F，且 BC=OD。 （1） 求证：DB∥CF。（2） 当 OD=2 时，若以 O、B、F 为顶点的三角形与△ABC 相似，求 OB。 【关键词】相似、切线【答案】证明： （1）连接 OF，如图 ∵AB 且半圆 O 于 F， ∴OF⊥AB。www.gzsxw.net 港中数学网-∵CB⊥AB ，∴BC∥OF。 ∵BC=OD，OD=OF， ∴BC=OF。 ∴四边形 OBCF 是平行四边形， ∴DB∥CF。 （2） ∵以 O、B、F 为顶点的三角形与△ABC 相似，∠OFB=∠ABC=90°， ∴∠A∠OBF∠BOF ∵∠OBF=∠BFC，∠BFC＞∠A， ∴∠OBF＞∠A ∴∠OBF 与∠A 不可能是对顶角。 ∴∠A 与∠BOF 是对应角。 ∴∠BOF=30° ∴OB=OF/cos30°=4 3 318.（2009 泰安）如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB 于 D，E 是 AC 的中点，ED 的延 长线与 CB 的延长线交于点 F。 （1） 求证：FD2=FB●FC。 （2） 若 G 是 BC 的中点，连接 GD，GD 与 EF 垂直吗？并说明理由。【关键词】相似、垂直 【答案】证明： （1）∵E 是 Rt△ACD 斜边中点 ∴DE=EA ∴∠A=∠2 ∵∠1=∠2 ∴∠1=∠A… ∵∠FDC=∠CDB+∠1=90°+∠1，∠FBD=∠ACB+∠A=90°+∠A ∴∠FDC=∠FBD ∵F 是公共角 ∴△FBD∽△FDCFB FD ? FD FC 2 ∴ FD ? FB ? FC∴ （2）GD⊥EFwww.gzsxw.net 港中数学网-理由如下： ∵DG 是 Rt△CDB 斜边上的中线， ∴DG=GC ∴∠3=∠4 由（1）得∠4=∠1 ∴∠3=∠1 ∵∠3+∠5=90° ∴∠5+∠1=90° ∴DG⊥EF 19、 （2009 江西）问题背景 在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些 物体进行了测量.下面是他们通过测量得到的一些信息： 甲组：如图 1，测得一根直立于平地，长为 80cm 的竹竿的影长为 60cm. 乙组：如图 2，测得学校旗杆的影长为 900cm. 丙组：如图 3，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为 200cm，影长 为 156cm. 任务要求 （1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度； （2）如图 3，设太阳光线 NH 与 ? O 相切于点 M .请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径（友 情提示：如图 3，景灯的影长等于线段 NG 的影长；需要时可采用等式 156 ? 208 ? 260 ）. E N K E E M E O E B 200cm2 2 280cm A 60cm 图1CD 900cm 图2FG 156cm 图3H【关键词】相似、光影 【答案】解： （1）由题意可知：∠BAC ? ∠EDF ? 90?，?BCA ? ?EFD． ∴ △ ABC ∽△DEF． ∴AB AC 80 60 ? ， ? ． 即 DE DF DE 900∴DE=1200（cm） ． 所以，学校旗杆的高度是 12m． （2）解法一：www.gzsxw.net 港中数学网-与①类似得：AB AC 80 60 ? ， ? ． 即 GN GH GN 156∴GN=208． 在 Rt△NGH 中，根据勾股定理得：NH 2 ? 1562 ? 2082 ? 2602.∴NH=260． 设 ? O 的半径为 rcm，连结 OM， ∵NH 切 ? O 于 M，∴ OM ? NH． 则 ∠OMN ? ?HGN ? 90?， ∠ONM ? ∠HNG． 又OM ON ? ． HG HN 又 ON ? OK ? KN ? OK ? (GN ? GK ) ? r ? 8 ． r r ?8 ? ， ∴ 解得：r=12． 156 260∴ △OMN ∽△HGN． ∴ 所以，景灯灯罩的半径是 12cm． E N K E E M E O E 200cmB 80cm A 60cm 图1 解法二： 与①类似得：CD 900cm 图2FG 156cm 图3HAB AC 80 60 ? ， ? ． 即 GN GH GN 156∴GN=208． 设 ? O 的半径为 rcm，连结 OM， ∵NH 切 ? O 于 M，∴ OM ? NH． 则 ∠OMN ? ?HGN ? 90?， ∠ONM ? ∠HNG， 又 ∴ △OMN ∽△HGN．OM MN r MN ? ， ? ． 即 HG GN 156 208 4 ∴ MN ? r， ON ? OK ? KN ? OK ? (GN ? GK ) ? r ? 8 ． 又 3 在 Rt △OMN 中，根据勾股定理得：∴2 ?4 ? 即 r ? ? r ? ? ? r ? 8? ， r 2 ? 9r ? 36 ? 0． ?3 ? 解得： r ? 12，r2 ? ?3 （不合题意，舍去） 1 2 2所以，景灯灯罩的半径是 12cm． 20. （2009 年湘西自治州如图，在△ABC 中，DE∥BC，EF∥AB， 求证：△ADE∽△EFC．www.gzsxw.net 港中数学网-【关键词】相似三角形的判定和判定 【答案】证明：∵ ∥ ，∴ ∥ ，∴ AED＝∠ DE BC DE FC ∠ C 又∵ ∥ ，∴ ∥ ，∴ A＝∠ EF AB EF AD ∠ FEC ∴ ADE∽ EFC △ △ 21. （2009 年清远）如图，已知 AB 是 ⊙O 的直径，过点 O 作弦 BC 的平行线，交过点 A 的切线 AP 于点 P ，连结 AC ． （1）求证： △ ABC ∽△POA ； （2）若 OB ? 2 ， OP ?7 ，求 BC 的长． 2??AOP ? ?B ? AB 是直径 ??C ? 90° ? PA 是 ⊙O 的切线，切点为 A ??OAP ? 90° ?C ? ?OAP ?△ ABC ∽△POA （2）?△ ABC ∽△POA BC AB ? ? OA PO 7 ? OB ? 2，PO ? 2 ? OA ? 2，AB ? 4【关键词】相似三角形有关的计算和证明 【答案】 （1）证明：? BC ∥ OPBC 4 ? 7 2 2 7 16 ? BC ? 8， BC ? 2 7 ?22.（2009 年清远）如图，已知一个三角形纸片 ABC ， BC 边的长为 8， BC 边上的高为 6 ，? B 和 ?C 都 M 为锐角，M 为 AB 一动点 （点 M 与点 A、B 不重合） 过点 M 作 MN ∥ BC ， AC 于点 N ， △ A N ， 交 在 中，设 MN 的长为 x ， MN 上的高为 h ． （1）请你用含 x 的代数式表示 h ． （2）将 △ AMN 沿 MN 折叠，使 △ AMN 落在四边形 BCNM 所在平面，设点 A 落在平面的点为 A ， 1www.gzsxw.net 港中数学网-△A1MN 与四边形 BCNM 重叠部分的面积为 y ，当 x 为何值时， y 最大，最大值为多少？?△ AMN ∽△ ABC h x ? ? 6 8 3x ?h ? 4 （2）?△AMN ≌△A MN 1【关键词】分类讨论思想 【答案】解： （1）? MN ∥ BC? A1MN 的边 MN 上的高为 h ， △ ① 当点 A1 落在四边形 BCNM 内或 BC 边上时， 1 1 3 3 ? ? y ? S△ A1MN = MN h ? x x ? x 2 （0 ? x ≤ 4 ） 2 2 4 8 ② 当 A1 落在四边形 BCNM 外时，如下图 (4 ? x ? 8) ， 设 △A EF 的边 EF 上的高为 h1 ， 1 3 则 h1 ? 2h ? 6 ? x ? 6 2 ? EF ∥ MN ? A1EF ∽△A1MN △ ? A1MN ∽△ABC ? A1EF ∽△ABC △ △S△ A1EF S△ABC ?h ? ?? 1? ?6?2?3 ? ? 2 x?6? 3 2 1 2 ? S△ ABC ? ? 6 ? 8 ? 24 ? S△A1EF ?? ? ? ? 2 4? x ? 1 x ? 2 2 ? 6 ? ? ? 3 9 ?3 ? ? y ? S△ A1MN ? S△ A1EF ? x 2 ? ? x 2 ? 12 x ? 24 ? ? ? x 2 ? 12 x ? 24 8 8 ?2 ? 9 2 所以 y ? ? x ? 12 x ? 24 (4 ? x ? 8) 8 3 2 综上所述：当 0 ? x ≤ 4 时， y ? x ，取 x ? 4 ， y最大 ? 6 8 9 2 当 4 ? x ? 8 时， y ? ? x ? 12 x ? 24 ， 8 16 取x? ， y最大 ? 8 3 ?8 ? 6www.gzsxw.net 港中数学网224-?当 x ?16 时， y 最大， y最大 ? 8 3AMNBE A1FC23. （2009 年济宁市）如图， ?ABC 中， ?C ? 90 ， AC ? 4 ， BC ? 3 .半径为 1 的圆的圆心 P 以 1 个 单位/ s 的速度由点 A 沿 AC 方向在 AC 上移动，设移动时间为 t （单位： s ）. （1）当 t 为何值时，⊙ P 与 AB 相切；0（2）作 PD ?AC 交 AB 于点 D ，如果⊙ P 和线段 BC 交于点 E ，证明：当 t ? 平行四边形.16 s 时，四边形 PDBE 为 5【关键词】相似 【答案】(1)解：当⊙ P 在移动中与 AB 相切时，设切点为 M ，连 PM ， 则 ?AMP ? 90 .0∴ ?APM ∽ ?ABC .∴ ∵ AP ? t , AB ? ∴AP PM ? . AB BCAC 2 ? BC 2 ? 5 ,t 1 5 ? .∴ t ? . 5 3 3 (2)证明：∵ BC ? AC ， PD ? AC ，∴ BC ∥ DP . 16 16 s 时， AP ? . 当t ? 5 5 16 4 4 3 ? .∴ EC ? PE 2 ? PC 2 ? 12 ? ( )2 ? . ∴ PC ? 4 ? 5 5 5 5 3 12 ∴ BE ? BC ? EC ? 3 ? ? . 5 5 16 PD AP PD 5 ? ∵ ?ADP ∽ ?ABC ,∴ .∴ ， ? BC AC 3 4www.gzsxw.net 港中数学网-12 .∴ PD ? BE . 5 16 s 时，四边形 PDBE 为平行四边形. ∴当 t ? 5∴ PD ? 24.（2009 年宜宾）如图，公园内有一个长 5 米的跷跷板 AB，当支点 O 在距离 A 端 2 米时，A 端的人可以 将 B 端的人跷高 1.5 米，那么当支点 O 在 AB 的中点时，A 端的人下降同样的高度可以将 B 端的人跷高 米．【关键词】相似三角形的性质 【答案】1. 25.（2009 年广西钦州）已知：如图，在 Rt △ABC 中，∠ ABC＝90° ，以 AB 上的点 O 为圆心，OB 的长为半 径的圆与 AB 交于点 E，与 AC 切于点 D． CDA EO?B（1）求证：BC＝CD； （2）求证：∠ ADE＝∠ ABD； （3）设 AD＝2，AE＝1，求⊙ 直径的长． O 【关键词】切线长定理、相似三角形. 【答案】 解： （1）∵ ABC＝90° ∠ ， ∴ OB⊥ BC． ∵ 是⊙ 的半径， OB O ∴ 为⊙ 的切线． CB O 又∵ 切⊙ 于点 D， CD O ∴ BC＝CD； （2）∵BE 是⊙ 的直径， O ∴∠ BDE＝90° ． ∴∠ADE＋∠CDB ＝90° ． 又∵∠ ABC＝90° ， ∴∠ABD＋∠CBD＝90° ． 由（1）得 BC＝CD，∴∠CDB ＝∠CBD． ∴∠ ADE＝∠ ABD； （3）由（2）得，∠ ADE＝∠ ABD，∠A＝∠A． ∴△ADE∽△ABD． AD AE ∴ ＝ ． AB AD 2 1 ∴ ＝ ，∴ BE＝3， 2 1 ? BE ∴所求⊙O 的直径长为 3． 26.（2009 年广西钦州）如图，已知抛物线 y＝ 坐标为（－1，0） ，过点 C 的直线 y＝3 2 x ＋bx＋c 与坐标轴交于 A、B、C 三点， A 点的 43 x－3 与 x 轴交于点 Q，点 P 是线段 BC 上的一个动点，过 P 作 4twww.gzsxw.net 港中数学网-PH⊥ 于点 H．若 PB＝5t，且 0＜t＜1． OB （1）填空：点 C 的坐标是_▲_，b＝_▲_，c＝_▲_； （2）求线段 QH 的长（用含 t 的式子表示） ；yQHPAOB xC（3）依点 P 的变化，是否存在 t 的值，使以 P、H、Q 为顶点的三角形与△COQ 相似？若存在，求出所有 t 的值；若不存在，说明理由． 【关键词】二次函数、相似三角形. 【答案】 9 解： （0，－3） （1） ，b＝－ ，c＝－3． 4 3 2 9 （2）由（1） ，得 y＝ x － x－3，它与 x 轴交于 A，B 两点，得 B（4，0） ． 4 4 ∴OB＝4，又∵OC＝3，∴BC＝5． 由题意，得△BHP∽ BOC， △ ∵OC∶OB∶BC＝3∶4∶5， ∴HP∶HB∶BP＝3∶4∶5， ∵PB＝5t，∴HB＝4t，HP＝3t． ∴OH＝OB－HB＝4－4t． 3 由 y＝ x－3 与 x 轴交于点 Q，得 Q（4t，0） ． 4t ∴OQ＝4t． ①当 H 在 Q、B 之间时， QH＝OH－OQ ＝（4－4t）－4t＝4－8t． ②当 H 在 O、Q 之间时， QH＝OQ－OH ＝4t－（4－4t）＝8t－4． 综合①，②得 QH＝｜4－8t｜； （3）存在 t 的值，使以 P、H、Q 为顶点的三角形与△COQ 相似． ①当 H 在 Q、B 之间时，QH＝4－8t， 4 ? 8t 3t 若△QHP∽△COQ，则 QH∶CO＝HP∶OQ，得 ＝ ， 3 4t 7 ∴t＝ ． 32 3t 4 ? 8t 若△PHQ∽△COQ，则 PH∶CO＝HQ∶OQ，得 ＝ ， 4t 3 即 t2＋2t－1＝0． ∴t1＝ 2 －1，t2＝－ 2 －1（舍去） ． ②当 H 在 O、Q 之间时，QH＝8t－4． 若△QHP∽△COQ，则 QH∶CO＝HP∶OQ，得 ∴t＝8t ? 4 3t ＝ ， 3 4t25 ． 32若△PHQ∽△COQ，则 PH∶CO＝HQ∶OQ，得3t 8t ? 4 ＝ ， 4t 3www.gzsxw.net 港中数学网-即 t －2t＋1＝0． ∴t1＝t2＝1（舍去） ． 综上所述，存在 t 的值，t1＝ 2 －1，t2＝27 25 ，t3＝ ． 32 321 2 x 上的两点 A、B 4 的横坐标分别为 ? 1 和 4， 直线 AB 交 y 轴于点 F ， 过点 A、B 分别作直线 l 的垂线， 垂足分别为点 C 、D ， 连接 CF、DF ． （1）求点 A、B、F 的坐标； （2）求证： CF ? DF ；27.（2009 年莆田）已知，如图 1，过点 E ? 0， 1? 作平行于 x 轴的直线 l ，抛物线 y ? ?1 2 x 对称轴右侧图象上的一动点，过点 P 作 PQ ⊥ PO 交 x 轴于点 Q ，是否存在 4 点 P 使得 △OPQ 与 △CDF 相似？若存在，请求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点 P 是抛物线 y ? 【关键词】二次函数、抛物线、一次函数、相似三角形 （1）解:方法一，如图 1，当 x ? ?1 时, y ? 当 x ? 4 时, y ? 41 41? ? 4? ? B ? 4，? 4 设直线 AB 的解析式为 y ? kx ? b 1 3 ? ? ??k ? b ? ?k ? 则? 解得 ? 4 4 ? 4k ? b ? 4 ?b ? 1 ? ? 3 ∴直线 AB 的解析式为 y ? x ? 1 4 当 x ? 0 时, y ? 1∴ A ? ?1 ? ，? F ? 0， 1?H 方法二:求 A、B 两点坐标同方法一,如图 2,作 FG ? BD , AH ? BD ,垂足分别为 G 、 ,交 y 轴于点 N ,则四边形 FOMG 和四边形 NOMH 均为矩形,设 FO ? x ????3 分 ???? ???? y B F A O C EG H MDlx（图 2）www.gzsxw.net 港中数学网-?△BGF ∽△BHA BG FG ? ? BH AH 4? x 4 ? ? 1 5 4? 4 解得 x ? 1? F ? 0，1?(2)证明：方法一：在 Rt△CEF 中， CE ? 1, EF ? 2?CF 2 ? CE 2 ? EF 2 ? 12 ? 22 ? 5 ?CF ? 5 在 Rt△DEF 中， DE ? 4，EF ? 2 ? DF 2 ? DE 2 ? EF 2 ? 42 ? 22 ? 20 ? DF ? 2 5 由（1）得 C ? ?1 ?1?，D ? 4，1? ， ? ? CD ? 5 ?CD2 ? 52 ? 25 ?CF 2 ? DF 2 ? CD2 ??CFD ? 90° ? CF ⊥ DF5 5 ? 3? 方法二：由 （1）知 AF ? 1 ? ? ? ? ，AC ? 4 4 ? 4? ? AF ? AC 同理： BF ? BD ??ACF ? ?AFC ? AC ∥ EF ??ACF ? ?CFO ??AFC ? ?CFO 同理： ?BFD ? ?OFD ??CFD ? ?OFC ? ?OFD ? 90° 即 CF ⊥ DF（3）存在. 解：如图 3，作 PM ⊥ x 轴，垂足为点 M ???? 9 分 ???? ???? y P2F O C E 又? PQ ⊥ OP M D 图3 l Q x? Rt△OPM ∽ Rt△OQP PM OM ? ? PQ OPwww.gzsxw.net 港中数学网-?PQ PM ? OP OM 1 2 ? 1 ? 设 P ? x， x 2 ? ? x ? 0 ? ，则 PM ? x ，OM ? x 4 ? 4 ? ①当 Rt△QPO ∽ Rt△CFD 时，PQ CF 5 1 ? ? ? OP DF 2 5 2 1 2 x PM 4 1 ? ? ? OM x 2 解得 x ? 2 ? P ? 2， 1? 1 ②当 Rt△OPQ ∽ Rt△CFD 时， PQ DF 2 5 ? ? ?2 OP CF 5 1 2 x PM 4 ? ? ?2 OM x 解得 x ? 8 ? P2 ?816? ，综上，存在点 P ? 2， 、 P ?816? 使得 △OPQ 与 △CDF 相似. 14 分 1? ， 1 2 28. 2009 年包头） （ 如图， 已知 AB 是 ⊙O 的直径， C 在 ⊙O 上， 点 过点 C 的直线与 AB 的延长线交于点 P ， AC ? PC ， ?COB ? 2?PCB ． （1）求证： PC 是 ⊙O 的切线； （2）求证： BC ?1 AB ； 2（3）点 M 是 ? 的中点， CM 交 AB 于点 N ，若 AB ? 4 ，求 MN ?MC 的值． AB【关键词】圆、切线解： ?? （1）? OA ? OC， A ? ?ACO ， 又? ?COB ? 2?A，?COB ? 2?PCB ， ??A ? ?ACO ? ?PCB ． 又? AB 是 ⊙O 的直径， ??ACO ? ?OCB ? 90° ， ??PCB ? ?OCB ? 90° ，即 OC ⊥ CP ，www.gzsxw.net 港中数学网-而 OC 是 ⊙O 的半径， ? PC 是 ⊙O 的切线． ?? （2）? AC ? PC， A ? ?P ， ??A ? ?ACO ? ?PCB ? ?P ， 又? ?COB ? ?A ? ?ACO，?CBO ? ?P ? ?PCB ，??COB ? ?CBO， BC ? OC， BC ? ? ?（3）连接 MA，MB ，1 AB ． ） 2AB AM ? ? 点 M 是 ? 的中点，? ? ? BM ，??ACM ? ?BCM ，?△MBN ∽△MCB ，?而 ?ACM ? ?ABM ，??BCM ? ?ABM ，而 ?BMN ? ?BMC ，BM MN 2 ? MC ， ，? BM ? MN ? MC BM 又? AB 是 ⊙O 的直径， ? ? BM ， AM ? ??AMB ? 90° AM ? BM ． ， ? AB ? 4， BM ? 2 2 ，? MN ?MC ? BM 2 ? 8 ． ? 29. （2009 肇庆） ．如图 ，在 △ ABC 中， AB ? AC，?A ? 36° ，线段 AB 的垂直平分线交 AB 于 D，交 AC 于 E，连接 BE． （1）求证：∠CBE=36°； （2）求证： AE ? AC ?EC ．2【关键词】三角形相似 【答案】证明： （1）∵DE 是 AB 的垂直平分线，∴ EA ? EB ， ∴ ?EBA ? ?A ? 36° ． ∵ AB ? AC，?A ? 36° ， ∴ ?ABC ? ?C ? 72° ． ?CBE ? ?ABC ? ?EBA ? 36° ． ， （2）由（1）得，在△BCE 中， ?C ? 72° ?CBE ? 36°， ∴ ?BEC ? ?C ? 72° ，∴ BC ? BE ? AE ．在△ABC 与△BEC 中， ?CBE ? ?A ， ?C ? ?C ， ∴ △ ABC ∽△BEC ．∴AC BC 2 ? ，即 BC ? AC ?EC ． BC EC 2 故 AE ? AC ?EC ． 30. (2009 年南充)如图，半圆的直径 AB ? 10 ，点 C 在半圆上， BC ? 6 ． （1）求弦 AC 的长； （2）若 P 为 AB 的中点， PE ⊥ AB 交 AC 于点 E，求 PE 的长．∴【关键词】圆的性质，三角形相似的性质 【答案】解：? AB 是半圆的直径，点 C 在半圆上， ??ACB ? 90° ． 在 Rt△ ABC 中， AC ? AB2 ? BC 2 ? 102 ? 62 ? 8 （2）? PE ⊥ AB ， ??APE ? 90° ．? ?ACB ? 90° ，www.gzsxw.net 港中数学网-??APE ? ?ACB ． 又? ?PAE ? ?CAB ， ?△ AEP ∽△ ABC ， PE AP ? ? BC AC 1 10 ? PE 2 ? ? 6 8 30 15 ? PE ? ? ． 8 431．(2009 年温州)如图，在平面直角坐标系中，直线 AB 与 Y 轴和 X 轴分别交于点 A、点 8，与反比例函数 y 一罟在第一象限的图象交于点 c(1，6)、点 D(3，x)．过点 C 作 CE 上 y 轴于 E，过点 D 作 DF 上 X 轴于 F． (1)求 m，n 的值； (2)求直线 AB 的函数解析式； (3)求证：△AEC∽△DFB．【关键词】反比例函数的定义，待定系数法确定一次函数的解析式，相似的判定 【答案】解： （1）由题意得 1= ∴n=m 6∴m=66 3∴n=2（2）设直线 AB 的函数解析式为 y=kx+b?k ? b ? 6 ?3k ? b ? 2 ?k ? ?2 解得 ? ?b ? 8由题意得 ? ∴直线 AB 的函数解析式为 y=－2x+8。 （3）∵y=－2x+8 ∴A（0，8） ，B（4，0） ∵CE⊥y 轴，DF⊥x 轴， ∴∠AEC=∠DFB=Rt∠ ∵AE=DF=2，CE=BF=1， ∴△AEC≌△DFB。 32．(2009 年温州)如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4．0 为 BC 边上一点，以 0 为圆心，OB 为半径 作半圆与 BC 边和 AB 边分别交于点 D、点 E，连结 DE． ’ (1)当 BD=3 时，求线段 DE 的长； (2)过点 E 作半圆 O 的切线，当切线与 AC 边相交时，设交点为 F．求证：△FAE 是等腰三角形．www.gzsxw.net 港中数学网-【关键词】直角三角形、圆的性质，相似的判定，切线的性质，等腰三角形的判定 【答案】解： （1）∵∠C=90°，AC=3，BC=4， ∴AB=5， ∵DB 为直径， ∴∠DEB=∠C=90°， 又∵∠B=∠B ，∴△DBE∽△ABCDE BD ? AC AB 9 ∴DE= 。 5∴即DE 3 ? 3 5（2）解法一：连结 OE， ∵EF 为半圆 O 的切线， ∴∠DEO+∠DEF=90°， ∵∠AEF+∠DEF=90°， ∴∠AEF=∠DEO， ∵△DBE∽△ABC， ∴∠A=∠EDB， 又∵∠EDO=∠DEO， ∴∠AEF=∠A， ∴△FAE 是等腰三角形。 解法二：连结 OE， ∵EF 为半圆 O 的切线， ∴∠AEF+∠OEB=90°， ∵∠C=90°， ∴∠A+∠B=90°， ∵OE=OB ∴∠OEB=∠B， ∴∠AEF=∠A ∴△FAE 是等腰三角形。0) ，， ? 33（2009 临沂）如图，抛物线经过 A(4，，B(1 0) C (0， 2) 三点． （1）求出抛物线的解析式； （2）P 是抛物线上一动点，过 P 作 PM ? x 轴，垂足为 M，是否存在 P 点，使得以 A，P，M 为顶点的三 角形与 △OAC 相似？若存在，请求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在直线 AC 上方的抛物线上有一点 D，使得 △DCA 的面积最大，求出点 D 的坐标．【关键词】抛物线的解析式，相似的性质，二次函数的最值问题? 【答案】解： （1）? 该抛物线过点 C (0， 2) ，? 可设该抛物线的解析式为 y ? ax ? bx ? 2 ．2www.gzsxw.net 港中数学网-将 A(4， ， B(1， 代入， 0) 0)1 ? ?a ? ? 2 ， ?16a ? 4b ? 2 ? 0， ? 得? 解得 ? ?a ? b ? 2 ? 0. ?b ? 5 . ? ? 2 1 5 ? 此抛物线的解析式为 y ? ? x 2 ? x ? 2 ． 2 2（2）存在．如图，设 P 点的横坐标为 m ， 则 P 点的纵坐标为 ? 当 1 ? m ? 4 时，1 2 5 m ? m?2 ， 2 21 5 AM ? 4 ? m ， PM ? ? m 2 ? m ? 2 ． 2 2 又? ?COA ? ?PMA ? 90° ， AM AO 2 ? ? 时， ? ①当 PM OC 1 △ APM ∽△ ACO ， ? 1 2 5 ? 即 4 ? m ? 2? ? m ? m ? 2? ． 2 ? 2 ? 1) 解得 m1 ? 2 m2 ? 4 （舍去） ? P(2， ． ， ， AM OC 1 1 5 ? ? 时， △ APM ∽△CAO ，即 2(4 ? m) ? ? m 2 ? m ? 2 ． ②当 PM OA 2 2 2 解得 m1 ? 4 ， m2 ? 5 （均不合题意，舍去） 1) ? 当 1 ? m ? 4 时， P(2， ． ? 类似地可求出当 m ? 4 时， P(5， 2) ． ? 当 m ? 1 时， P( ? 3， 14) ． 1) ? ? 综上所述，符合条件的点 P 为 (2， 或 (5， 2) 或 ( ? 3， 14) ． 1 2 5 （3）如图，设 D 点的横坐标为 t (0 ? t ? 4) ，则 D 点的纵坐标为 ? t ? t ? 2 ． 2 2 D 作 y 轴的平行线交 AC 于 E ． 过 1 由题意可求得直线 AC 的解析式为 y ? x ? 2 ． 2 ? 1 ? ? E 点的坐标为 ? t， t ? 2 ? ． ? 2 ? 1 5 1 ?1 ? ? DE ? ? t 2 ? t ? 2 ? ? t ? 2 ? ? ? t 2 ? 2t ． 2 2 2 ?2 ?www.gzsxw.net 港中数学网-1 ? 1 ? ? S△DAC ? ? ? ? t 2 ? 2t ? ? 4 ? ?t 2 ? 4t ? ?(t ? 2)2 ? 4 ． 2 ? 2 ? ? 当 t ? 2 时， △DAC 面积最大． ? D(2， ． 1) 34.（2009 年中山）正方形 ABCD 边长为 4， M 、 N 分别是 BC 、 CD 上的两个动点，当 M 点在 BC 上 运动时，保持 AM 和 MN 垂直， （1）证明： Rt△ABM ∽ Rt△MCN ； （2）设 BM ? x ，梯形 ABCN 的面积为 y ，求 y 与 x 之间的函数关系式；当 M 点运动到什么位置时， 四边形 ABCN 面积最大，并求出最大面积； （3）当 M 点运动到什么位置时 Rt△ ABM ∽ Rt △AMN ，求 x 的值．【关键词】相似三角形有关的计算和证明 【答案】 （1）在正方形 ABCD 中， AB ? BC ? CD ? 4，?B ? ?C ? 90° ， ? AM ? MN ， ??AMN ? 90°， ??CMN ? ?AMB ? 90° ． 在 Rt△ ABM 中， ?MAB ? ?AMB ? 90° ， ??CMN ? ?MAB ， ? Rt△ ABM ∽ Rt△MCN ． （2）? Rt△ ABM ∽ Rt△MCN ，?AB BM 4 x ? ， ? ? ， MC CN 4 ? x CN ? x2 ? 4 x ? CN ? ， 4 ? 1 ? ? x2 ? 4 x 1 1 ? y ? S梯形ABCN ? ? ? 4 ??4 ? ? x 2 ? 2 x ? 8 ? ? ( x ? 2) 2 ? 10 ， 2? 4 2 2 ? 当 x ? 2 时， y 取最大值，最大值为 10． （3）? ?B ? ?AMN ? 90° ， AM AB ? ， ? 要使 △ ABM ∽△ AMN ，必须有 MN BM AM AB ? 由（1）知 ， MN MC ? BM ? MC ， ? 当点 M 运动到 BC 的中点时， △ ABM ∽△ AMN ，此时 x ? 2 ．www.gzsxw.net 港中数学网-y ADBO2Cx35.（2009 年牡丹江）如图，? ABCD 在平面直角坐标系中， AD ? 6， OA 、 OB 的长是关于 x 的一元 若16 ， 求经过 D 、 E 两点的直线的解析式，并判断 △ AOE 与 3二次方程 x ? 7 x ? 12 ? 0 的两个根，且 OA ? OB． （1）求 sin ?ABC 的值． （2）若 E 为 x 轴上的点，且 S△ AOE ?△DAO 是否相似？ （3）若点 M 在平面直角坐标系内，则在直线 AB 上是否存在点 F， 使以 A 、 C 、 F 、 M 为顶点的四 边形为菱形？若存在，请直接写出 F 点的坐标；若不存在，请说明理由．【关键词】三角函数，一次函数，菱形，相似三角形的综合应用 【答案】 （1）解 x ? 7 x ? 12 ? 0 得 x1 ? 4，x2 ? 32? OA ? OB ? OA ? 4，OB ? 3在 Rt△ AOB 中，由勾股定理有 AB ? OA2 ? OB2 ? 5? sin ?ABC ?OA 4 ? AB 5 16 3（2）∵点 E 在 x 轴上， S△ AOE ?1 16 ? AO ? OE ? 2 3 8 ? OE ? 3 ?8 ? ? 8 ? ? E ? ，? 或E ? ? ，? 0 0 ?3 ? ? 3 ?由已知可知 D（6，4）?8 ? ?3 ? 6 ? ? 4 ? 6k ? b ?k ? 5 ? ? 解得 ? 8 ? ?b ? ? 16 ?0 ? 3 k ? b ? ? 5 ? 6 16 ? yDE ? x ? 5 5 6 16 ? 8 ? x? 同理 E ? ? ，? 时， yDE ? 0 13 13 ? 3 ?设 yDE ? kx ? b， E ? ，? 时有 当 08 3 ， 在 △ AOD 中， ?OAD ? 90° OA ? 4，OD ? 6 OE OA ? ? OA OD在 △ AOE 中， ?AOE ? 90°，OA ? 4，OE ?www.gzsxw.net 港中数学网-?△ AOE ∽△DAO（3）满足条件的点有四个? 75 22 ? ? 42 44 ? F1 (3，；F2 (?3，；F3 ? ? ， ?；F4 ? ? ， ? 8) 0) ? ? 7 ? ? 14 ? 25 25 ? 36. （2009 年凉山州）如图， △ ABC 在方格纸中 （1）请在方格纸上建立平面直角坐标系，使 A(2，，C (6， ，并求出 B 点坐标； 3) 2) （2）以原点 O 为位似中心，相似比为 2，在第一象限内将 △ ABC 放大，画出放大后的图形 △ A?B?C ? ；A B C（3）计算 △ A?B?C ? 的面积 S ． 【关键词】位似、相似比、面积 1) 【答案】 （1）画出原点 O ， x 轴、 y 轴． B(2， ， （2）画出图形 △ A?B?C ? ．（3） S ?1 ? 4 ? 8 ? 16 ． 2037. （2009 年济宁市）如图， ?ABC 中， ?C ? 90 ， AC ? 4 ， BC ? 3 .半径为 1 的圆的圆心 P 以 1 个 单位/ s 的速度由点 A 沿 AC 方向在 AC 上移动，设移动时间为 t （单位： s ）. （1）当 t 为何值时，⊙ P 与 AB 相切； （2）作 PD ?AC 交 AB 于点 D ，如果⊙ P 和线段 BC 交于点 E ，证明：当 t ? 平行四边形.16 s 时，四边形 PDBE 为 5BBDEA P?CAP图2C图1【关键词】相似www.gzsxw.net 港中数学网-【答案】(1)解：当⊙ P 在移动中与 AB 相切时，设切点为 M ，连 PM ， 则 ?AMP ? 90 .0∴ ?APM ∽ ?ABC .∴ ∵ AP ? t , AB ? ∴AP PM ? . AB BCAC 2 ? BC 2 ? 5 ,t 1 5 ? .∴ t ? . 5 3 3 (2)证明：∵ BC ? AC ， PD ? AC ，∴ BC ∥ DP . 16 16 s 时， AP ? . 当t ? 5 5 16 4 4 3 ? .∴ EC ? PE 2 ? PC 2 ? 12 ? ( )2 ? . ∴ PC ? 4 ? 5 5 5 5 3 12 ∴ BE ? BC ? EC ? 3 ? ? . 5 5 16 PD AP PD 5 ? ∵ ?ADP ∽ ?ABC ,∴ .∴ ， ? BC AC 3 4 12 ∴ PD ? .∴ PD ? BE . 5 16 s 时，四边形 PDBE 为平行四边形. ∴当 t ? 538. (2009 年宁德市)如图（1） ，已知正方形 ABCD 在直线 MN 的上方，BC 在直线 MN 上，E 是 BC 上一点， 以 AE 为边在直线 MN 的上方作正方形 AEFG． （1）连接 GD，求证：△ADG≌△ABE； （2）连接 FC，观察并猜测∠ FCN 的度数，并说明理由； （3）如图（2） ，将图（1）中正方形 ABCD 改为矩形 ABCD，AB=a，BC=b（a、b 为常数） 是线段 BC ，E 上一动点 （不含端点 B、 ， AE 为边在直线 MN 的上方作矩形 AEFG， C） 以 使顶点 G 恰好落在射线 CD 上． 判 断当点 E 由 B 向 C 运动时，∠ FCN 的大小是否总保持不变，若∠ FCN 的大小不变，请用含 a、b 的代数式 表示 tan∠FCN 的值；若∠ FCN 的大小发生改变，请举例说明． G DFM BE 图（1）CN【关键词】四边形中三角形全等和相似的运用www.gzsxw.net 港中数学网-G A DF C H N 图 （1） 解： （1）∵四边形 ABCD 和四边形 AEFG 是正方形 ∴AB=AD，AE=AG，∠BAD＝∠EAG＝90? ∴∠BAE＋∠EAD＝∠DAG＋∠EAD ∴∠BAE＝∠DAG ∴△ BAE≌△DAG （2）∠FCN＝45? 理由是：作 FH⊥MN 于 H ∵∠AEF＝∠ABE＝90? ∴∠BAE +∠AEB＝90?，∠FEH+∠AEB＝90? ∴∠FEH＝∠BAE 又∵AE=EF，∠EHF＝∠EBA＝90? ∴△EFH≌△ABE ∴FH＝BE，EH＝AB＝BC，∴CH＝BE＝FH ∵∠FHC＝90?，∴∠FCH＝45? M B E（3）当点 E 由 B 向 C 运动时，∠ FCN 的大小总保持不变， 理由是：作 FH⊥MN 于 H 由已知可得∠EAG＝∠BAD＝∠AEF＝90? 结合（1） （2）得∠FEH＝∠BAE＝∠DAG 又∵G 在射线 CD 上 ∠GDA＝∠EHF＝∠EBA＝90? ∴△EFH≌△GAD，△EFH∽△ABE ∴EH＝AD＝BC＝b，∴CH＝BE， EH FH FH ∴ ＝ ＝ AB BE CH FH EH b ∴在 Rt△FEH 中，tan∠FCN＝ ＝ ＝ CH AB a b ∴当点 E 由 B 向 C 运动时，∠ FCN 的大小总保持不变，tan∠FCN＝ a △ ABC ，延长 BC 到 D，使 CD ? BC ．取 AB 的中点 F ，连结 FD 交 AC 于点 E ． 39.(2009 年潍坊)已知AE 的值； AC （2）若 AB ? a，FB ? EC ，求 AC 的长．（1）求www.gzsxw.net 港中数学网-解： （1） 过点 F 作 FM ∥ AC ，交 BC 于点 M ． ? F 为 AB 的中点1 AC ． 2 由 FM ∥ AC ，得 ?CED ? ?MFD ， ?ECD ? ?FMD，△FMD ∽△ECD ? DC EC 2 ? ? ? DM FM 3 2 2 1 1 ? EC ? FM ? ? AC ? AC 3 3 2 3 1 AC ? AC AE AC ? EC 2 3 ? ? ? ? AC AC AC 3 1 1 ? （2）? AB ? a， FB ? AB ? a 2 2 1 ? 又 FB ? EC， EC ? a 2 1 3 ? EC ? AC， AC ? 3EC ? a ． ? 3 2 40.(2009 年咸宁市)如图， 将矩形 ABCD 沿对角线 AC 剪开， 再把 △ ACD 沿 CA 方向平移得到 △ A?C ?D? ． ?AD? ≌△CC ?B ； （1）证明 △ A D?? M 为 BC 的中点， FM ?DA?AC?CB （2）若 ?ACB ? 30° ，试问当点 C ? 在线段 AC 上的什么位置时，四边形 ABC ?D? 是菱形，并请说明理由． 40. （09 湖南怀化） 如图， 直线 DE 经过⊙O 上的点 C ， 并且 OE ? OD，EC ? DC， O 交直线 OD 于 A 、 ⊙ B 两点，连接 BC ， AC ， OC ．求证： （1） OC ? DE ； （2） △ ACD ∽△CBD ．www.gzsxw.net 港中数学网-【关键词】圆的基本性质、切线定理 【答案】证明： （1）∵ OE=OD，∴ ODE 是等腰三角形， △ 又 EC=DC，∴ 是底边 DE 上的中点， C ∴OC ? DE . （2）∵ 是直径，∴ ACB= 90 ， AB ∠ ∴ B+∠ ∠ BAC= 90 ， 又∠ DCA+∠ ACO= 90 ，∠ ACO=∠ BAC， ∴ DCA=∠ ∠ B．又∠ ADC=∠ CDB， ∴ ACD∽ CBD． △ △ 41． （09 湖南怀化）如图 11，已知二次函数 y ? ( x ? m) 2 ? k ? m2 的图象与 x 轴相交于两个不同的点? ? ?A( x1， 、 B( x2， ，与 y 轴的交点为 C ．设 △ ABC 的外接圆的圆心为点 P ． 0) 0) （1）求 ⊙P 与 y 轴的另一个交点 D 的坐标；（2）如果 AB 恰好为 ⊙P 的直径，且 △ ABC 的面积等于 5 ，求 m 和 k 的值．【关键词】圆的基本性质、三角形相似的判定和性质 【答案】解 （1）易求得点 C 的坐标为 (0，k )2 2 由题设可知 x1，x2 是方程 ( x ? m) ? k ? m ? 0 即 x ? 2mx ? k ? 0 的两根，2?2m ? (?2m)2 ? 4k 所以 x1， ? ， 2 2 所 x1 ? x2 ? ?2m，x1 ? x2 ? k 如图 3，∵ P 与 y 轴的另一个交点为 D，由于 AB、CD 是⊙ 的两条相交弦，设它们的交点为点 O，连结 ⊙ Pwww.gzsxw.net 港中数学网-DB，∴ AOC∽ DOC，则 OD ? △ △k OA? OB x1 x2 ? ? ? 1. OC k k由题意知点 C 在 y 轴的负半轴上，从而点 D 在 y 轴的正半轴上， 所以点 D 的坐标为（0，1） （2）因为 AB⊥ CD， AB 又恰好为⊙ 的直径，则 C、D 关于点 O 对称， P 所以点 C 的坐标为 (0， 1) ，即 k ? ?1 ? 又 AB ? x2 ? x1 ? 所以 S△ ABC ?( x2 ? x1 ) 2 ? 4 x1 x2 ? (?2m) 2 ? 4k ? 2 m 2 ? k ? 2 m 2 ? 1 ，1 1 AB ? OC ? ? 2 m 2 ? 1 ?1 ? 5 解得 m ? ?2. 2 2（09 湖北宜昌）已知：如图 1，把矩形纸片 ABCD 折叠，使得顶点 A 与边 DC 上的动点 42.（09 湖北宜昌） P 重合(P 不与点 D，C 重合)， MN 为折痕，点 M，N 分别在边 BC， AD 上，连接 AP，MP，AM， AP 与 MN 相交于点 F．⊙O 过点 M，C，P． (1)请你在图 1 中作出⊙O(不写作法，保留作图痕迹)； (2)AF AN与AP AD是否相等？请你说明理由；(3)随着点 P 的运动，若⊙O 与 AM 相切于点 M 时，⊙O 又与 AD 相切于点 H． 设 AB 为 4，请你通过计算，画出这时的图形．(图 2，3 供参考) ．．B M CB M C OB M C OF A NP DAF NP DAF N DP图1B MJ图2C图3O PFANHD【关键词】矩形的性质与判定、线段的比和比例线段 【答案】解：(1)如图； (2)AF AP 与 不相等． AN ADAF假设，则由相似三角形的性质，得 MN∥ DC． AN AD ∵ D=90° DC⊥ ∠ ，∴ AD，∴ MN⊥ AD． ∵ 据题意得，A 与 P 关于 MN 对称，∴ MN⊥ AP． ∵ 据题意，P 与 D 不重合， ∴ 这与“过一点（A）只能作一条直线与已知直线（MN）垂直”矛盾． ∴ 假设不成立． AF AP ? ∴ 不成立． AN ADwww.gzsxw.net 港中数学网?AP-(2) 解法 2：AF AP 与 不相等． AN AD理由如下： ∵ P， A 关于 MN 对称，∴ MN 垂直平分 AP． ∴ cos∠ FAN=AF ． ANAD ． AP AF AD ∵ FAN=∠ ∠ PAD，∴ = ． AN AP∵ D=90° ∴ ∠ ， cos∠ PAD= ∵ 不与 D 重合，P 在边 DC 上;∴ P AD≠AP． ∴AD AP AF AP ≠ ;从而 ≠ ． AP AD AN AD(3)∵ 是⊙ 的切线，∴ AMP=90° AM O ∠ ， ∴ CMP＋∠ ∠ AMB=90° ． ∵ BAM＋∠ ∠ AMB=90° ∠ ，∴ CMP=∠ BAM． ∵ MN 垂直平分，∴ MA=MP， ∵ B=∠ ∠ C=90° ∴ ABM≌ MCD． ， △ △ ∴ MC=AB=4， 设 PD=x，则 CP=4－x， ∴ BM=PC=4－x． (5 分) 连结 HO 并延长交 BC 于 J． ∵ 是⊙ 的切线，∴ JHD=90° AD O ∠ ． ∴ 矩形 HDCJ． (7 分) ∴ OJ∥ CP， ∴ MOJ∽ MPC， △ △ ∴ OJ:CP=MO:MP=1:2， ∴ OJ=1 2(4－x)，OH=1 2MP=4－OJ=1 2(4＋x)．∵ 2= MP2－CP2，∴ MC (4＋x)2－(4－x)2=16． 解得:x=1．即 PD=1，PC=3， ∴ BC=BM+MC=PC+AB=3+4=7． 由此画图(图形大致能示意即可)．B MJCO PF（3）解法 2： 连接 HO，并延长 HO 交 BC 于 J 点，连接 AO． 由切线性质知，JH⊥ AD，∵ BC∥ AD，∴ HJ⊥ BC， ∴ OJ⊥ MC，∴ MJ=JC． ∵ AM，AH 与⊙ 相切于点 M，H， O ∴ AMO=∠ ∠ AHO=90° ， ∵ OM=OH， AO=AO， ∴ Rt△AMO≌ Rt△AHO． ∴ AM=x，则 AM=AH=x， 设 由切线性质得，AM⊥ PM， ∴ AMP=90° ∠ ∠ ，∴ BMA+∠ CMP=90° ．www.gzsxw.net 港中数学网ANHD-∵ BMA+∠ ∠ BAM=90° ∠ ，∴ BAM=∠ CMP ， ∵ B=∠ ∠ MCP=90° ， ∵ MN 为 AP 的中垂线，∴ AM=MP． ∴ ABM≌ MCP ． △ △ ∴ 四边形 ABJH 为矩形，得 BJ=AH=x， Rt△ABM 中，BM= x2 ? 16 ， ∴ MJ= x ? x2 ? 16 =JC， 分） （9 ∴ AB=MC．∴ 4=2( x ? x2 ? 16 )，∴x ? 5 ∴ AD=BC= x ? x ? x ? 16 =7，2∴ PC= 52 ? 42 =3． 由此画图(图形大致能示意即可)． 43. （2009 年湖北荆州）21． 分）如图，AB 是半圆 O 的直径，C 为半圆上一点，N 是线段 （7 BC 上一点（不与 BpC 重合） ，过 N 作 AB 的垂线交 AB 于 M， 交 AC 的延长线于 E，过 C 点作半圆 O 的切线交 EM 于 F. ⑴ 求证：△ACO∽△NCF； ⑵若 NC∶CF＝3∶2，求 sinB 的值.【关键词】相似三角形综合 【答案】 ， ， 44.（2009 年茂名市）如图，在 Rt△ ABC 中， ?BAC ? 90° ?C ? 60° BC ? 24， P 是 BC 边上的动 点 点（点 P 与点 B、C 不重合） ，过动点 P 作 PD ∥ BA 交 AC 于点 D． （1）若 △ ABC 与 △DAP 相似，则 ? APD 是多少度？ （2 分） （2）试问：当 PC 等于多少时， △ APD 的面积最大？最大面积是多少？ （4 分） （3）若以线段 AC 为直径的圆和以线段 BP 为直径的圆相外切，求线段 BP 的长． 分） （4【关键词】二次函数、圆、相似综合题 【答案】 （1）当△ABC 与△DAP 相似时，∠ APD 的度数是 60° 30° 或 ． （2）设 PC ? x ，∵PD ∥ BA ， ?BAC ? 90° ，∴?PDC ? 90° ，cos cos 又∵?C ? 60° ，∴AC ? 24? 60° ? 12 ， CD ? x ? 60° ?∴ AD ? 12 ? ∴S△ APD1 x， 21 3 x ，而 PD ? x? 60° ? sin x， 2 2 1 1 3 ? 1 ? ? PD?AD ? ? x? 12 ? x ? ? 2 2 2 ? 2 ?www.gzsxw.net 港中数学网-3 2 3 ( x ? 24 x) ? ? ( x ? 12) 2 ? 18 3 ． 8 8 ∴ PC 等于 12 时， △ APD 的面积最大，最大面积是 18 3 ． （3）设以 BP 和 AC 为直径的圆心分别为 O1 、 O2 ，过 O2 作 O2 E ⊥ BC 于点 E ， cos 设 ⊙O1 的半径为 x ，则 BP ? 2 x ．显然， AC ? 12 ，∴O2