周期函数怎么算周期是什么

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-09-16 01:28 标签： 周期函数怎么算周期
y=cox(x-2)是不是周期函数,若是如何求周期?周期为多少?

对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取

内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做

，不为零的常数T叫做这个函数的

。事实上，任何一个常数kT（k∈Z，且k≠0）都是它的周期。并且周期函数f（x）的周期T是与x无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期。

M上的函数，如果存在非零常数T具有性质：f（x+T）=f（x），则称f（x）是数集M上的

，常数T称为f（x）的一个周期。如果在所有正周期中有一个最小的，则称它是函数f（x）的

由定义可得：周期函数f（x）的周期T是与x无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期，譬如

（1）若T（≠0）是f（x）的周期，则-T也是f（x）的周期。

（2）若T（≠0）是f（x）的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f（x）的周期。

（3）若T1与T2都是f（x）的周期，则T1±T2也是f（x）的周期。

T*，那么f（x）的任何正周期T一定是T*的正整数倍。

（5）若T1、T2是f（x）的两个周期，且T1/T2是

，则f（x）不存在最小正周期。

（6）周期函数f（x）的定义域M必定是至少一方无界的

周期函数定理，一共分一下几个类型。

若f（x）是在集M上以T*为最小正周期的周期函数，则K f（x）+C（K≠0）和1/ f（x）分别是集M和集{X/ f（x） ≠0，X ∈M}上的以T*为最小正周期的周期函数。

∴K f（x）+C也是M上以T*为周期的周期函数。

假设T* 不是Kf（x）+C的最小

∴T’是f（x）的周期，与T*是f（x）的最小正周期矛盾，∴T*也是K f（x）+C的最小正周期。

同理可证1/ f（x）是集{X/ f（x） ≠0，X }上的以T*为最小正周期的周期函数。

若f（x）是集M上以T*为最小正周期的周期函数，则f（ax+n）是集{x|ax+b∈M}上的以T*/ a为最小正周期的周期函数，（其中a、b为常数）。

先证f（ax+b）的周期。

再证是f（ax+b）的最小正周期。

∴T’是f（x）的周期，但 T’<T*这与T*是f（x）的最小正周期矛盾。

∴不存在T’/a（0<T’<T*；）是f（ax+b）的周期，即f（ax+b）的最小正周期为

设f（u）是定义在集M上的函数，u=g（x）是集M1上的周期函数，且当X∈M1时，g（x）∈M，则复合函数f（g（x））是M1上的周期函数。

∴=f（g（x））是M1上的周期函数。

R上的周期函数，则f（g（x））=cos2x是R上的周期函数。

证：假设cos 是周期函数，则存在T>0使cos （k∈Z） 与定义中T是与X无关的常数矛盾，

∴cos 不是周期函数。

由例2、例3说明，若f(u)是周期函数，u= g(X）是非周期函数，这时f(g(x））可能是，也可能不是周期函数。

设f1（x）、f2（x）都是

M上的周期函数，T1、T2分别是它们的周期，若T1/T2∈Q则它们的和差与积也是M上的周期函数，T1与T2的公倍 数为它们的周期。

T为周期的周期函数。同理可证：f1（x）、f2（x）是以T为周期的周期函数。

设f1（x） 、f2（x）……fn（x） 是集合M上的有限个周期函数T1、T2……Tn分别是它们的周期，若， … （或T1，T2……Tn中任意两个之比）都是有理数，则此n个函数之和、差、积也是M上的周期函数。

讨论f(X)= 的周期性。

解：2tg3 是以T1= 为最小正周期的周期函数。

5tg 是以T2 为最小正周期的周期函数。

tg2 是以T3=为最小正周期的周期函数。

（T1、T2、T3）=为最小正周期的周期函数。

若a1/a2∈Q，设T1、T2分别为f1（x）与f2（x）的最小正周期 ，由定理4，可得f1（x）与f2（x）之和、差、积是周期函数。

再证必要性（仅就f1（x）与f2（x）的差和积加以证明）。

由上述⑵与⑶，⑷与⑸都分别至少有一个成立。

∴无论⑵、⑷、⑹中那一式成立都有a1/a2。

⑵设sinaxcosa2x为周期函数，则 是周期函数。

周期函数的判定方法分为以下几步：

例：f（x）=cosx（≤10）不是周期函数。

（2）根据定义讨论函数的周期性可知非零实数T在关系式f（x+T）= f（x）中是与x无关的，故讨论时可通过解关于T的方程f（x+T）- f（x）=0，若能解出与x无关的非零常数T便可断定函数f（x）是周期函数，若这样的T不存在则f（x）为非周期函数。

（3）一般用反证法证明。（若f（x）是周期函数，推出矛盾，从而得出f（x）是非周期函数）。

例：证f（x）=ax+b(a≠0）是非周期函数。

例：证f（x）= ax+b是非周期函数。

证：假设f（x）是周期函数，则必存在T（≠0）对 ，有（x+T）= f（x），当x=0时，f（x）=0，但x+T≠0，∴f（x+T）=1，∴f（x+T） ≠f（x）与f（x+T）= f（x）矛盾，∴f（x）是非周期函数。

  • 2. ．知网[引用日期]

设函数 f（x）在区间 X 上有定义，若存在一个与 x 无关的正数 T ,

则称 f（x）是以 T 为周期的周期函数，把满足上式的最小正数 T 称为函数 f（x）的周期。

二、周期函数的运算性质：

①若T为f（x）的周期，则f（ax+b）的周期为 T/|a| 。

②若f(x)，g(x)均是以T为周期的函数，则f(x)±g(x)也是以T为周期的函数。

③若f(x)，g(x)分别是以T1，T2，T1≠T2为周期的函数，则f(x)±g(x)是以T1，T2的最小公倍数为周期的函数。

三、常见的周期函数有：

解题提示：判别给定函数f（x）是否为周期函数，主要是根据周期的定义，有时也用其运算性质。

我要回帖

更多关于 周期函数怎么算周期 的文章

 

随机推荐