篇一 : 1、常微分方程的常见解法
常微分方程 1、常微分方程的常见解法
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常微分方程 1、常微分方程的常见解法
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篇三 : 常微分方程求解
第一节 常微分方程的基本概念与 分离变量法 第二节 一阶线性微分方程与可降 阶的高阶微分方程 第三节 二阶常系数线性微分方程
第一节 常微分方程的基本概念与 分离变量法
一、微分方程的基本概念 二、分离变量法
第一节 常微分方程的基本概念与分离变量法
一、微分方程的基本概念
微分方程：含有未知函数的导数（或微分）的方程称为微 分方程．特别当微分方程中所含的未知函数是一元函数时，这 时的微分方程就称为 常微分方程．
微分方程的阶：微分方程中，所含未知函数的导数的最高 阶数定义为该微分方程的阶数．
线性微分方程：当微分方程中所含的未知函数及其各阶 导数全是一次幂时，微分方程就称为线性微分方程．在线性 微分方程中，若未知函数及其各阶导数的系数全是常数，则 称这样的微分方程为常系数线性微分方程．
微分方程的解： 如果将函数y ? y ( x ) 代入微分方
程后能使方程成为恒等式，这个函数就称为该微分方程的 解． 微分方程的解有两种形式：一种不含任意常数；一种 含有任意常数．如果解中包含任意常数，且独立的任意常 数的个数与方程的阶数相同，则称这样的解为常微分方程 的通解，不含有任意常数的解，称为微分方程的特解．
初始条件： 用未知函数及其各阶导数在某个特定点的值 作为确定通解中任意常数的条件，称为初始条件．
y 0 是两个已知数.
所以，函数 y ? C1e x +C2 e 2 x 是所给微分方程的解．又因 为， 这个解中有两个独立的任意常数， 与方程的阶数相 同，所以它是所给微分方程的通解．
设 定义1 （线性相关，线性无关） 函 数 y1 ( x ), y 2 ( x ) 是定义在区间 (a, b) 内的函数，若存在两个不全为零的数
成立，则称函数 y1 , y2 在(a, b) 内线性相关，否则称为线性 无关．
定义 2 变量的方程.
可分离变量方程的特点：等式右边可以分解成两个函数之 积，其中一个只是 x 的函数，另一个只是 y 的函数．
可分离变量方程的解法：
（1） 分离变量： 将该方程化为等式一边只含变量 y ， 而另一边只含变量 x 的形式，即
（3）计算上述不定积分，得通解.
（ C 为任意常数）.
例 3 设降落伞从跳伞塔下落，所受空气阻力与速度 成正比，降落伞离开塔顶 (t ? 0) 时的速度为零．求降落 伞下落速度与时间 t 的函数关系.
解 设降落伞下落 速度为 v(t ) 时伞所受空气阻力为
? kv （负号表示阻力与运动方向相反， k 为常数） ．另外，
由此可见，随着 t 的增大，速度 v 逐渐变大且趋于 mg mg 常数 ，但不会超过 ，这说明跳伞后，开始阶段 k k 是加速运动，以后逐渐趋于匀速运动．
1.微分方程通解中的任意常数 C 最终可表示为
等形式吗？ 2.微分方程的特解的图形是一条曲线 （积分曲线） ， 通解的图形是一族积分曲线， 问通解中的积分曲线是否 相互平行(注：两曲线平行是指两曲线在横坐标相等的 点处切线斜率相同)．
第二节 一阶线性微分方程与可降阶的高阶
二、可降阶的高阶微分方程
第二节 一阶线性微分方程与可 降阶的高阶微分方程
一阶线性微分方程的解法
上述求解方法称为常数变易法,用常数变易法求一阶非齐 次线性方程的通解的步骤为：
（1）先求出非齐次线性方程所对应的齐次方程的通 解 . （2）根据所求出的齐次方程的通解设出非齐次线性 方程的解(将所求出的齐次方程的通解中的任意常数 C 改 为待定函数 C (x) 即可). （3）将所设解代入非齐次线性方程,解出 C (x) ,并写 出非齐次线性方程的通解.
所以,齐次方程（2）的通解为
将通解中的任意常数 C 换成待定函数C (x ) ,即令
将所求的C (x) 的代入式(3),得原方程的通解为
二、可降阶的高阶微分方程
方程解法：通过 n 次积分就可得到方程的通解.
这是一个关于自变量 x 和
方程的特点：右端不显含自变量x .
这是关于y 和p 的一阶微分方程,如能求出其解
1.是否可以通过给一阶线性微分方程的通解中的 任意常数指定一个适当的值而得到该方程的任一解？ 2.可降阶的高阶微分方程有哪几种类型？各自的 求解方法怎样？
第三节 二阶常系数线性微分方程
一、二阶常系数线性微分方程解的性质
二、二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法 三、二阶常系数非齐次线性微分方程的求解 方法
二阶常系数线性微分方程
一、二阶常系数线性微分方程解的性质
的方程（其中 p, q 为常数）,称为二阶常系数齐次线性 微分方程. 定理 1（齐次线性方程解的叠加原理） 若 y1 , y2 是
由于 y1与 y2 线性无关,所以,任意常数 C1 和 C2 是两个 独立的任意常数,即解 y ? C1 y1 ? C2 y2 中所含独立的任意 常数的个数与方程①的阶数相同,则它是方程①的通解, 证毕.
的方程 （其中q ,p 为常数）, 称为二阶常系数非齐次 线性微分方程.
为方程②所对应的齐次方程.
定理 2 （非齐次线性方程解的结构）若 y p 为非齐次 线性方程②的某个特解, yc 为齐次线性方程③的通解,则
? y p 为非齐次线性方程②之通解.
二、二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法
由齐次线性方程解的叠加原理知，欲求齐次线性 方程①的通解,只须求出它的两个线性无关的特解即 可.
令 y = e rx 为方程的解,并代入方程①得
该方程称为微分方程①的特征方程,称方程④的根为 特征根.
根据如上讨论,求二阶常系数齐次线性微分方程的 通解的步骤为：
第一步,写出微分方程的特征方程 r 2 ? pr ? q ? 0 ； 第二步,求出特征根； 第三步,根据特征根的情况按下表写出所给微分方 程的通解.
三、二阶常系数非齐次线性微分方程的求解 方法
由非齐次线性方程解的结构定理可知,求非齐次方程 ②的通解,可先求出其对应的齐次方程③的通解,再设法 求出非齐次线性方程②的某个特解,二者之和就是方程② 之通解. 二阶常系数非齐次线性微分方程 y?? ? py? ? qy ? f (x)
上式右端是一个m 次多项式,所以,左端也应该是 m 次多项式,由于多项式每求一次导数,就要降低一次 次数,故有三种情形：
其中 Qm (x) 为 m 次待定多项式,同样将它代入式⑥即可 求得 Qm (x) 的 m ? 1个系数,从而得到方程⑤的一个特 解.
综上所述,我们有如下结论：
二阶常系数非齐次线性微分方程
直接将 y p 代入所给方程,得 即
故齐次方程（2）的通解为
1. 齐次线性常微分方程有何共性？
