高等数学数列的极限极限问题。如图。为什么设ε＜ 1。就可以让N=该值啊

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-10-04 08:31 标签： 高等数学数列的极限

该定义常称为数列极限的 ε—N定义．

对于收敛数列有以下两个基本性质，即收敛数列的唯一性和有界性。

定理1：如果数列{Xn}收敛，则其极限是唯一的。

定理2：如果数列{Xn}收敛，则其一定是有界的。即对于一切n（n=1,2……），总可以找到一个正数M，使|Xn|≤M。


战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭” 也就是说一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这样的过程可以无限制地进行下去。

三国时的刘徽提出的“割圆求周”的方法。他把圆周分成三等分、六等分、十二等分、二十四等分、··· 这样继续分割下去,所得多边形的周长就无限接近于圆的周长。

设为一，如果存在a，对于任意给定的ε （不论它多么小），总存在N，使得当n>N时，不等式|Xn-a|<ε 都成立，那么就称常数a是数列的，或者称数列收敛于a，即为Xn→a(n→∞)。 

不等式|Xn-a|<ε刻划了Xn与a的无限接近程度，ε愈小，表示接近得愈好；而正数ε可以任意地小，说明Xn与a可以接近到任何程度。然而，尽管ε有其任意性，但一经给出正整数N，ε就暂时地被确定下来，以便依靠它来求出ε，又ε既是任意小的正数，那么ε/2,ε的平方等等同样也是任意小的，因此定义中不等式|Xn-a|<ε中的 ε可用ε/2,ε的平方等来代替。同时，正由于ε是任意小正数，可限定ε小于一个确定的正数．另外，定义1中的Xn-a|<ε也可改写成Xn-a|≦ε

一般说，N随ε的变小而变大，由此常把N写作N(ε)，来强调N是依赖于ε的；但这并不意味着N是由ε所唯一确定的，因为对给定的 ，比如当N=100时，能使得当n>N时有xn-a|<ε，则N=101或更大时此不等式自然也成立．这里重要的是N的存在性，而不在于它的值的大小．另外，定义1中的，n>N也可改写成n≧N．

当n>N时，所有的点xn都落在(a-ε，a+ε)内，只有有限个（至多只有n个）在其外。

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