高等数学数列的极限，数列极限的定义论证法问题

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-10-01 11:20 标签： 高等数学数列的极限
大一高数极限知识。用定义法证明数列极限的时候，用函数式减极限值得到一个式子f1，这个f1也许很复杂，..._百度知道
大一高数极限知识。用定义法证明数列极限的时候，用函数式减极限值得到一个式子f1，这个f1也许很复杂，...
大一高数极限知识。用定义法证明数列极限的时候，用函数式减极限值得到一个式子f1，这个f1也许很复杂，所以证它小于另一个比较简单的式子f2，然后用f2可以求出ε与n的关系。我的问题是，从数理上说，如果不简化，直接用f1，求出n与ε关系，证明结果有效么？这两方法，优缺点？
提问者采纳
有效，只是证f2简单而已。只是f2那个对n要求更严如果你证出f1只要n&N1就满足极限概念，那么f2证出的n需&N2中的N2肯定比N1大但一般题目是n趋于无穷，所以证那个简单是式子果断性价比高
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都可以。要保证f2里照样有哪个任意正数，才能保证一般性
有效啊，只是那个明显
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出门在外也不愁用定积分法巧求数列极限
本文结合历届考研试题及考研系列习题介绍求极限的一种非常实用的方法--定积分法:利用定积分定义将一类极限问题转化为定积分问题.
湖南师范大学,湖南·长沙,410081;湘西民族职业技术学院,湖南·吉首,416000
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第一章 数列极限
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3秒自动关闭窗口2014考研高数大纲要求之求数列极限的方法总结
来源：　 14:57:27　【】　
　　极限是考研数学每年必考的内容,在客观题和主观题中都有可能会涉及到平均每年直接考查所占的分值在10分左右，而事实上，由于这一部分内容的基础性，每年间接考查或与其他章节结合出题的比重也很大.极限的计算是核心考点，考题所占比重最大.熟练掌握求解极限的方法是得高分的关键.
　　极限无外乎出这三个题型：求数列极限、求函数极限、已知极限求待定参数. 熟练掌握求解极限的方法是的高分地关键, 极限的运算法则必须遵从,两个极限都存在才可以进行极限的运算,如果有一个不存在就无法进行运算.以下我们就极限的内容简单总结下.
　　极限的计算常用方法：四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限、利用泰勒公式求极限、夹逼定理、利用定积分求极限、单调有界收敛定理、利用连续性求极限等方法.
　　四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限是常用方法，在基础阶段的学习中是重点，考生应该已经非常熟悉，进入强化复习阶段这些内容还应继续练习达到熟练的程度;在强化复习阶段考生会遇到一些较为复杂的极限计算，此时运用泰勒公式代替洛必达法则来求极限会简化计算，熟记一些常见的麦克劳林公式往往可以达到事半功倍之效; 夹逼定理、利用定积分定义常常用来计算某些和式的极限，如果最大的分母和最小的分母相除的极限等于1，则使用夹逼定理进行计算，如果最大的分母和最小的分母相除的极限不等于1，则凑成定积分的定义的形式进行计算;单调有界收敛定理可用来证明数列极限存在，并求递归数列的极限.
　　与极限计算相关知识点包括：1、连续、间断点以及间断点的分类：判断间断点类型的基础是求函数在间断点处的左右极限;2、可导和可微，分段函数在分段点处的导数或可导性，一律通过导数定义直接计算或检验存在的定义是极限存在;3、渐近线，(垂直、水平或斜渐近线);4、多元函数积分学，二重极限的讨论计算难度较大，常考查证明极限不存在.
　　下面我们重点讲一下数列极限的典型方法.
　　重要题型及点拨
　　1.求数列极限
　　求数列极限可以归纳为以下三种形式.
　　★抽象数列求极限
　　这类题一般以选择题的形式出现, 因此可以通过举反例来排除. 此外,也可以按照定义、基本性质及运算法则直接验证.
　　★求具体数列的极限,可以参考以下几种方法：
　　a.利用单调有界必收敛准则求数列极限.
　　首先,用数学归纳法或不等式的放缩法判断数列的单调性和有界性,进而确定极限存在性;其次,通过递推关系中取极限，解方程, 从而得到数列的极限值.
　　b.利用函数极限求数列极限
　　如果数列极限能看成某函数极限的特例,形如,则利用函数极限和数列极限的关系转化为求函数极限,此时再用洛必达法则求解.
　　★求n项和或n项积数列的极限,主要有以下几种方法：
　　a.利用特殊级数求和法
　　如果所求的项和式极限中通项可以通过错位相消或可以转化为极限已知的一些形式,那么通过整理可以直接得出极限结果.
　　b.利用幂级数求和法
　　若可以找到这个级数所对应的幂级数,则可以利用幂级数函数的方法把它所对应的和函数求出,再根据这个极限的形式代入相应的变量求出函数值.
　　c.利用定积分定义求极限
　　若数列每一项都可以提出一个因子,剩余的项可用一个通项表示, 则可以考虑用定积分定义求解数列极限.
　　d.利用夹逼定理求极限
　　若数列每一项都可以提出一个因子,剩余的项不能用一个通项表示,但是其余项是按递增或递减排列的,则可以考虑用夹逼定理求解.
　　e.求 项数列的积的极限,一般先取对数化为项和的形式,然后利用求解项和数列极限的方法进行计算.　　相关热点推荐：
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书号12070ISBN7-111-12070-1作者孙洪祥 王晓红 编印次1-4责编刘小慧开本16字数0千字定价17.0所属丛书高等院校适用教材装订平出版日期本书有别于普通的高等数学辅导书收录的题目较难归类为28个专题其内容随着高等数学课程的进展而逐步深入书中所选题目是编者十年教学经验的积累其中许多题目具有很强的代表性这里只给出题目的答案及简单提示并没有给出详细的解题过程而对解题方法的叙述也很简单目的是给读者或使用本书的老师留有较大的发挥空间另外本书还汇集了北京市大学生非数学专业数学竞赛第十二届2000年至第十四届2002年的试题并给出了较详细的参考答案本书可以作为高等数学的提高课程高等数学解题方法的教材或作为学生参加高等数学竞赛的参考书也可作为高等数学教师日常教学的参考书 [1]前言 第一部分 解题方法选讲 第一讲 用定义求数列的极限 第二讲 数列极限的计算方法 第三讲 函数极限的简单求法 第四讲 函数的连续性 第五讲 导数的计算方法 第六讲 中值定理 第七讲 泰勒公式 第八讲 极值及一些相关问题 第九讲 显式不等式的证明 第十讲 不定积分的计算方法 第十一讲 定积分的计算方法 第十二讲 积分不等式 第十三讲 与定积分相关的几个问题 第十四讲 f(x)的求法或f(x)恒等常数的证法 第十五讲 级数判敛法 第十六讲 级数的收敛域及其相关问题 第十七讲 级数的求和方法 第十八讲 级数的相关问题 第十九讲 向量代数与空间解析几何 第二十讲 多元函数的极限连续偏导微分 第二十一讲 多元微分 第二十二讲 切平面法线切线法平面 第二十三讲 多元函数极值问题 第二十四讲 二重积分的计算方法 第二十五讲 三重积分的计算方法 第二十六讲 重积分的几个相关问题 第二十七讲 曲线积分的计算方法 第二十八讲 曲面积分的计算方法 第二部分 答案或提示 第一讲 用定义求数列的极限 第二讲 数列极限的计算方法 第三讲 函数极限的简单求法 第四讲 函数的连续性 第五讲 导数的计算方法 第六讲 中值定理 第七讲 泰勒公式 第八讲 极值及一些相关问题 第九讲 显式不等式的证明 第十讲 不定积分的计算方法 第十一讲 定积分的计算方法 第十二讲 积分不等式 第十三讲 与定积分相关的几个问题 第十四讲 f(x)的求法或f(x)恒等常数的证法 第十五讲 级数判敛法 第十六讲 级数的收敛域及其相关问题 第十七讲 级数的求和方法 第十八讲 级数的相关问题 第十九讲 向量代数与空间解析几何 第二十讲 多元函数的极限连续偏导微分 第二十一讲 多元微分 第二十二讲 切平面法线切线法平面 第二十三讲 多元函数极值问题 第二十四讲 二重积分的计算方法 第二十五讲 三重积分的计算方法 第二十六讲 重积分的几个相关问题 第二十七讲 曲线积分的计算方法 第二十八讲 曲面积分的计算方法 第三部分 北京市大学生非数学专业数学竞赛试题及参考答案 参考文献
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