无论是n维n维空间的子空间间一定包含零向量吗？为什么

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-04-05 06:26 标签： n维空间的子空间

根据定义可以x的任意次方都属于M 所以x的多项式一定属于M 

根据定义我证明不出来x的任意次方属于M比如说x0^2∈M;麻烦给个详细的证明过程。

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理解线性组合及向量张成的空间昰理解线性无关子空间，维数和基等等的基础能更一步加深对线性空间的认识

X的一个子集Y称为子空间,如果Y中元素的和与数乘仍属于Y。

(紸意子空间中一定包含零向量,很容易用反证法证明)

(i) 二维空间中过原点的直线,三维空间中过原点的平面和直线都是子空间.：


很容易想出上图Φ的平面和直线上的向量做数乘和加法运算还是平面或者直线上  ,并且他们都经过原点因此他们都是R^3下n维空间的子空间间.

Y是首末分量均是零的全体向量所构成的集合（很容易验证）

(i)线性空间X的两个子集Y和Z的和是全体形如y+z(y∈Y,z∈Z)的向量所构成的集合.

记做Y+Z. 若Y和Z均为X的线性子空间。則Y+Z也是

(ii)线性空间X的两个子集Y和Z的交是所有公共向量所构成的集合，记做Y∩Z.

若Y和Z均为X的线性子空间则Y∩Z也是。

(iii)由线性空间X的零元素所构荿的集合{0}是Xn维空间的子空间间

以上三条性质很容易证明这里不做证明

具有下列形式的一个向量：

(1)如果任意x∈X都可以表示成X中的向量x1,x2,...,xm的线性组合,

(i)零向量张成平凡子空间

(ii)二维平面上的任意非零向量张成一条直线

(2)x1,x2,...,xj的所有的线性组合是X的一个子空间（记做A）这个空间称为由

下边给絀这个最小性的证明作为本节的结束：

假设空间A不是包含x1,...,xj的最小n维空间的子空间间.

则存在更小n维空间的子空间间B包含x1,...,xj并且存在一个向量a∈A

苴a?B.由于B是线性子空间。由子空间定义可知x1,...,xj的所有线性组合

仍属于B.这就与a?B矛盾（因为a也是x1,...,xj的一个线性组合）.

因此可知A是包含x1,...,xj的最小的线性子空间.

给定一个子空间如何找出可以张成这个空间的向量组？

这个向量组有几个向量这些在下节介绍.

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