2条曲线的2阶导数相同，说明他们曲率和二阶导数相同对吗？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-06-27 04:15 标签： 曲率和二阶导数

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第二个式子是对Y求X的二阶导函数 就是对y'求x的导
但因为是参数方程 所以只能先对y'求t的导数 再除以x对t求导 就是要乘1/dx/dt

Lagrange插值曲线及其微分几何特性计算(袁辉)

给定n+1个三维空间坐标点要求根据Lagrange插值多项式生成一条经过给定点的三维曲线，该曲线的光滑程度应达到n阶连续

Lagrange插值曲线是通过一系列经过点，通过Lagrange插值多项式形成插值曲线方程该类形曲线的最高阶次为n。每个经过点的对应的参数ti=1.0 / n * pointIndex其中pointIndex为点的序号，取值范围为0～n则Lagrange曲线的插值方程为：

由上式可知，组成曲线方程多项式的每个子项均为一个关于t的n阶多项式因此该曲线方程可以达到n阶连续。

曲线茬参数t点的m(m<=n)阶导数为：

其中L0与L1均为一次多项式所以该曲线为一条直线段, 如图1所示:

针对图3所示的曲线计算其点坐标、一阶导数、二阶导数、曲率和二阶导数及到起点的长度，其结果如下表所示

获取Parasolid模型的微分几何信息（二）

　　　　――曲面信息获取

        在Parasolid几何内核中，通过PK_CURVE類可以获得曲面的相关微分几何信息通过PK_SURF类可以获得曲面的相关微分几何信息。这些信息包括指定参数的三维坐标点、切线方向、主法線方向、次法向方向、曲率和二阶导数及1~n阶导数等

//获取几何面所在的数学曲线

//获取数学曲都没及参数定义域

上述程序输出信息如下：

通過OpenGL根据以上数据可以得到如图2所示的几何曲面指定参数下坐标点、法线方向图。

图2-几何曲面不同参数点法线方向图

获取Parasolid模型的微分几何信息（一）

　　　　――曲线信息获取

       在Parasolid几何内核中通过PK_CURVE类可以获得曲线的相关微分几何信息，通过PK_SURF类可以获得曲面的相关微分几何信息这些信息包括指定参数的三维坐标点、切线方向、主法线方向、次法向方向、曲率和二阶导数及1~n阶导数等。

//获取数学曲线及参数定义域

//計算切线方向、主法线方向、副法线方向及曲率和二阶导数

上述程序输出信息如下：

通过OpenGL根据以上数据可以得到如图2所示的样条曲线参數值及坐标点、切线方向关系图。

图2-样条曲线不同参数点切线方向图

         通常情况下三维回转体零部件的有限元分析可以简化为三维轴对称汾析模型，轴对称有限元分析模型中的几何体必须满足几何对称性零部件的几何形状对称于某一中心轴。

         轴对称有限元分析方法将三维幾何空间的有限元分析模型近似简化为二维空间的有限元分析模型沿着几何体对称轴将零件部分为二维截面，并且只取对称轴上方的半截面为了与经典有限元控制方程中的坐标系相协调，轴对称有限元模型对称轴一般标定为x轴径向坐标轴标定为r轴。

  1. 选择要剖切的几何體及对称轴所在的回转面；

5.   创建一个充满第一、二象限的平面几何体；

7.    通过平移变换将平面模型移动到第一象限,完成剖切后的几何模型如圖3所示

Parasolid中几何边的数学模型表达

样条曲线是通过一组指定点集而生成平滑曲线的柔性带。数学上多采用分段三次多项式函数来描述这种曲线其中各曲线的连接处有连续的一阶和二阶导数。在Parasolid几何内核中所有的几何边都要依附于一条曲线，该曲线可以转换为样条曲线從而得到几何边的数学模型（如Bezier曲线、Cardinal样条、B样条曲线等）表达。

图2-B样条曲线中的关键点


    因此求曲率和二阶导数的重点在於获得拟合曲线的一阶导数和二阶导数

    上述代码的运行结果如下图所示：

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