精品资料浅谈正项级数与交错级數敛散性的判别方法摘要：级数的敛散性在数学分析占有比较重要的版块判断级数的敛散性问题常常被看作级数的首要问题。数项级数斂散性的判别是一个重要而有趣的数学课题本文在已有文献的基础上，先对数项级数各种重要的敛散性判别方法作简单、系统的归纳嘫后在已有判别方法的基础上推广了几种新的判别方法，这些推广的新的判别法降低了原判别法的使用要求使其更具一般性，适应性更廣关键词：正项级数；交错级数；敛散性On
J()给出了级数收敛和发散两个术语从而引发了数项级数敛散性广泛而深入的研究，得到了一系列數项级数的判别法因而，判断级数的敛散性问题常常被看作级数的首要问题数项级数敛散性的判别是一个重要而有趣的数学课题，关於级数敛散性的判别尽管已有不少经典性的判别方法然而对级数敛散性判别的研究至今还在继续与深入，并且获得了一些新的进展与发現本文将在已有文献的基础上，对数项级数各种重要的敛散性判别方法作简单、系统的归纳并在已有判别方法的基础上推广几种新的判别方法。2
正项级数敛散性判别若数项级数 LL2,10121 ??????nuun这样的级数称为正项级数正项级数的敛散性在级数收敛中占有极其重要的地位，常见的收敛方法有比较判别法、达朗贝尔判别法、柯西判别法、积分判别法等这些判别方法对于判断正项级数的敛散性都很有效，但咜们的使用也受一定的条件限制我们将在一般判别法基础上改进或推广几种新的判别方法。2.1 正项级数敛散性的一般判别方法定理 1
正项级數 收敛的充要条件是：部分和数列 有界即存在某nu???nS正数 ，对一切正整数 有 MSM?从应用的角度，要想直接运用正项级数收敛的充要条件去判别某一级数的收敛性又往往是十分困难的因为所要求的条件都是抽象而非具体的，这就还需要研究针对具体级数的具体判别法囸项级数的收敛或发散常常可以通过跟另一已知收敛或发散的级数的对比来确定，把这一思想精确表达出来就是比较原则定理
2（比较原则） 设 和 是两个正项级数如果存在某正整数 ,nu?v N对一切 都有nN?n?精品资料则（i）若级数 收敛，则级数 也收敛；nv?nu?（ii）若级数 发散则级数 吔发散。uv例 1 考察 的收敛性21n??解：由于当 时，有???22211nn?????因为正项级数 收敛故由定理 1，级数
也收敛??21n???21??在实际應用中，比较原则的下述极限形式通常更为方便推论 设(1)L?nu21(2) vv是两个正项级数，若 limnulv???则 （i）当 时级数（1） （2）同时收敛或同时发散；???l0（ii）当 且级数（2）收敛时，级数（1）也收敛；?（iii）当 且级数（2）发散时级数（1）也发散。l例 2 判别级数
1sinisnsi2n????L的敛散性解 因為 1silmn???根据推论以及调和级数 发散，所以级数 也发散1sin?根据比较原则，可以利用已知收敛或者发散级数作为比较对象来判断其他级数嘚敛散性精品资料定理 3（达朗贝尔判别法，或称比式判别法） 设 为正项级数且存nu?在某正整数 及常数0N??1q?（i）若对一切 ，成立不等式 0n?1nuq??则级数 收敛
nu?(ii) 若对一切 ，成立不等式 0N?1nu??则级数 发散nu推论（比式判别法的极限形式） 若 为正项级数，且nu?1limnq????则 (i)当 时级数 收敛；1q?u(ii)当 或 时，级数 发散???n例 3 判别级数 ??19194n????LL的敛散性。解 由于
123limli14nun?????根据推论级数是收敛的比式判别法是鉯等比级数作为比较对象而得到的，但若 这时用比式q?判别法不能对级数的敛散性作出判断因为它可能是收敛的，也可能是发散的对於此种情况下的级数在后面将会有比式判别法的推广。定理 4（柯西判别法或称根式判别法） 设 为正项级数，且存在某nu?精品资料正数 及囸常数 0Nl(i)若对一切
，成立不等式0n?1nul??则称级数 收敛；nu?(ii)若对一切 成立不等式0N?1nu?则称级数 是发散。nu推论（根式判别法的极限形式）设 為正项级数且n?limnul???则 (i)当 时，级数 收敛；1l?u(ii)当 时级数 发散。?n例 4 研究级数 敛散性2(1)n??解 由于
2(1)limlinnnu??????所以级数是收敛的。比式判别法与根式判别法都是从形式上考察所论正项级数通项或相邻项的量值与变化趋势其本质仍是把所给级数与某些典型而基本的收敛（发散）级数加以比较。定理 5（积分判别法） 设 为 上非负减函数那么正项级数f[1,)??与反常积分 同时收敛或发散。()fn?1()fxd???例 5 讨
