纯循环小数数7.1abc中abc代表不同的数小数部分前的97位的数字和是160这个纯循环小数数

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-10-11 22:49 标签： 循环小数

小学数学奥林匹克ABC题库 本文档属於精品文档、课件类技术资料转载请联系作者

有一个专门为小孩催眠的故事是這样的：从前有座上山上有座庙，庙里有个老和尚在给小和尚讲故事；从前有座上山上有座庙，庙里有个老和尚在给小和尚讲故事；……

大人把这样的语句不断重复没完没了，循环反复一直到小孩进入梦乡。

本文的探讨内容是纯循环小数数就是小数点之后不断重複的数字串。

一、从几道数学题目说起

（1）0.……如何表示成分数

（3）我爱趣味数学×趣=趣味数学我爱

在算式中， 每个字代表不同的数字计算出它们。

（4）正整数N除以7是个纯循环小数数从小数点右边第1位到第100位所有数字之和是451，求N是多少

（5）请问，100以内有多少个正整數其倒数恰好是有6位循环节的纯纯循环小数数？例如7和13的倒数都是具有6位循环节的纯纯循环小数数。

（6）你能用家用计算器（一般是8位）或者WINDOWS提供的计算器（32位）算出5/97这个纯循环小数数（循环节长度为96）吗

（7）求一个最小的整数N，使其首位数字调动位置变为末位数字後得到的新数M都正好为原数N的1/3。

这里面有些是中小学奥数题有些是纯粹的趣味数学题。有些题的难度较大有些题要花掉不少时间。這些题都与纯循环小数数的性质有关

我们知道，在有理数范围内小数里有限小数、纯纯循环小数数和混合纯循环小数数3种类型。无理數用小数表达是无限不纯循环小数数

在一个分数（这里的分数都是化简后的真分数）中，当分母中只有2或5这样的素数因子的时候分数轉换成的小数是有限小数。例如1/2=0.5；1/125=0.008。

在一个分数中当分母的分子只有除2、5之外的素数因子的时候，分数转换成的小数就是纯纯循环小數数例如，1/3=0.333……；5/21=0.238095.....

在一个分数中分母中既有素数2或5又有其他素数因子时，该分数转化成的小数就是混合纯循环小数数例如，1/6=0.16666…；5/14=0.3571428

夲文主要探讨纯纯循环小数数。

得到纯循环小数数的办法是不断进行除法运算直到最后的余数数字和开始这个数相等为止。

纯循环小数數重复的数字称为循环节重复数字的个数就是循环节的长度。

以下是分子为1、分母为素数的分数转化成小数的循环节和循环节长度

3：3，循环节长度为1.

11：09循环节长度为2。

23： 循环节长度为22。

31：129循环节长度为15。

37：027循环节长度为3。

41：02439循环节长度为5。

43：循环节长度为21。

47：循环节长度为46。

53：3循环节长度为13。

67：循环节长度为33。

71：循环节长度为35。

73：循环节长度为8。

79：1循环节长度为13。

89：循环节長度为44。

7循环节长度为96。

三、纯循环小数数的运算和性质

下面给出有关纯循环小数数的基本性质和运算规律：

（1）可以用1连续除以分母嘚到循环节的长度也可以最小的10k-1整除分母来确定，k值就是循环节的长度

例如，9能整除31/3的循环节长度为1；99能整除11，1/11的循环节长度为2

（2）把一个纯循环小数数转化为分数的办法就是就是用循环节除以10k-1，这里k为循环节的长度

例如，把0.3434……转化为分数就是34/99

（3）在分母为某个素数P的分数中，循环节的长度要么是p-1个要么是p-1的因子数。

例如1/7的循环节长度为6个，因为7-1=6；1/13的循环节长度为4因为13-1=12=3×4。

（4）在分母為若干个不同素数相乘的分数中循环节的长度为这些以这些素数为分母的分子的循环节长度的最小公倍数。

例如1/13的循环节长度为6，1/7的循环节长度为61/91的循环节长度也为6。

（5）把长度为偶数的循环节分成两部分，两部分相加得到999.....

例如，1/7的循环节为142857分成142和857两部分，相加得到9991/23的循环节为，分成和两部分相加得到。

（6）m/p（m小于p）的纯循环小数数与(p-m)/p的纯循环小数数相加等于0.999….,也就是等于1

四、对问题的解答和说明

（1）对小数0.……的争论在于，循环节是到底是523还是235，或者是352

如果把它转化成分数，我们能够看出争论是没有意义的

循环節是523，则分数直接表示为523/999

（2）可把把纯循环小数数转化为分数，再进行加减.

该分数的加减需要通分才能完成

如果不把纯循环小数数转囮成分数，能够向有限小数那样进行加减吗

答案是肯定，不过需要在确定循环节的长度后对位相加题中3个小数的循环节长度分别为3、2、2，循环节长度的最小公倍数为6因此得数的循环节长度也为6；需要把3个纯循环小数数的小数点后13位对准后相加减，得到答案

这刚好是1、4、2、8、5、7这6个数字的循环。7的这个有趣的特征经常出现在趣味数学中

我爱趣味数学×趣=趣味数学我爱

（4）因为1/7的循环节是142857，循环长度為6数字之和为27，那么小数点后前96位有16个循环节其数字和为432，与451相差19也就是第97到第100位的4个数字和为19，为4、2、8、5相加

对照一下3/7的循环節，就得到这个正整数是3

（5）在100以内的素数中，3、7、13的循环节分别为1、6故7、13、3×7、3×13、7×13的循环节都是6.因此，以7、13、21、39、91这几个数的為分母的分数化成的纯循环小数数循环节为6.

数字不多我们不妨一一把它们计算出来：

（6）只要有耐心，用纸笔也能够算出任何一个素数嘚循环节更别说用计算器了。如果家用计算器是8位去掉0和小数点占的位置后，能够显示小数点后6位

第一步，我们先记录小数点前4位这就是纯循环小数数的第1到4位；

第二步，然后用这4位数乘以除数与被除数相减，则得到余数用余数（取整数）除以被除数，仍记录湔4位就得到纯循环小数数的第5位到第8位。

第三步重复上述除法，直到余数为1为止；或者直到记录的小数与前几位重复为止

用8位家用計算器，需要计算25次才能得到1/97的循环节。如果用WINDOWS提供的计算器只需要4次计算，就能得到1/97了

（7）我们这个最小的整数N共有m位，首位数芓为n去掉首位后形成的数为X。

N=n*10m-1+X （避免与X混淆这里用*表示乘号。）

首位数字调动位置变为末位数字后得到的新数M

根据纯循环小数数，1/29囿28个循环节999…9（28个）能够整除29。

可以看出7*99…9（28个9）除以29就是X的最小值。

最后利用29的循环节，得到一个28位数：

五、继续一些关于纯循環小数数的趣味题

好吧作为练习，你用上述的有关纯循环小数数的知识和自己的小小计算器解决下面这些题

（2）制作一个快速简易计算1/19到18/19的纯循环小数数的循环轮。

快速简易计算1/7到6/7的循环轮如下

外圈的分子数对应内圈的小数的首位。

（3）用家用计算器计算出6/49的纯循环尛数数

（4）求一个最小的整数N，使其首位数字调动位置变为末位数字后得到的新数M都正好为原数N的3/10。

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