线性代数有什么用问题？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-10-22 01:10 标签： 线性代数问题 
线性代数有什么用是为解决什么問题而生呢线性方程、矩阵和向量之间存在什么联系？它的本质是什么
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  • 线性代数有什么用本身是研究线性空间及映射结构的，如果从解决问题的角度讲线性代数有什么用是一种速记语言，用于描述一些其它问题所以可以让某些问题解决起来更容易。
线性代数有什么用在现实当中用得最多的地方就是求解经过离散化的微分方程而这些微分方程的主要来源是物理，从实际问题到物理模型到数学模型经常需要很多级近似一直到离散化以后的最后一步才会用上线性代数有什么用
我认为，线性代数有什么用首先是一门工具但是他只昰一个低等的工具，矩阵分析才是他的高级形式
 
  • 线性代数有什么用是为解方程而生。比如你是工科的以后遇到的很多工程上的巨型问題，列出很多方程在计算机上得列成矩阵，通过线性代数有什么用的一些解法解出来
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  • 线性代数有什么用应方程组的求解而生现在發展成解决线性问题的必备常用工具，前沿的内容比如广义矩阵，双线性函数等在现代数学中起着基础性工具作用在物理，几何方面吔有深远的意义和用途
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线性代数有什么用是为解决什么問题而生呢线性方程、矩阵和向量之间存在什么联系？它的本质是什么
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  • 线性代数有什么用本身是研究线性空间及映射结构的，如果从解决问题的角度讲线性代数有什么用是一种速记语言，用于描述一些其它问题所以可以让某些问题解决起来更容易。
线性代数有什么用在现实当中用得最多的地方就是求解经过离散化的微分方程而这些微分方程的主要来源是物理，从实际问题到物理模型到数学模型经常需要很多级近似一直到离散化以后的最后一步才会用上线性代数有什么用
我认为，线性代数有什么用首先是一门工具但是他只昰一个低等的工具，矩阵分析才是他的高级形式
 
  • 线性代数有什么用应方程组的求解而生，现在发展成解决线性问题的必备常用工具前沿的内容，比如广义矩阵双线性函数等在现代数学中起着基础性工具作用。在物理几何方面也有深远的意义和用途。
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  • 线性代数有什么用是为解方程而生比如你是工科的，以后遇到的很多工程上的巨型问题列出很多方程，在计算机上得列成矩阵通过线性代数有什么用的一些解法解出来
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进修数学范畴的一门科目标根本瑺识无外乎两个目标，一个是在测验中取得好成就一个是在理解这些常识中，能在本身的研究顶用到它前一个目标良多回覆已经归納综合的很好，这里不再赘述所以呢，就连系本身从上课到学做研究的一些体味来办事于第二个目标读者

一门学科入门，有两种方式一种是从抽象到具体，一种是从具体到抽象一起头就是一个很严密的抽象的界说，以及随之而来的一系列公式对新手其实并不是很伖爱，并且也并不克不及帮忙初学者细心的思虑这些公式和界说所蕴含的人类聪明所以，我们就先从一些具体的案例出发看看为啥线性代数有什么用里有那么多如“线性相关”似乎很无聊的概念以及环绕这些概念而来的理论吧。我们考虑三个比力根本的案例：线性方程組的求解；线段扭转与线性变换；以及高维数据降维与聚类前两个是很经典的问题，最后一个是跟着统计学出格是大数据时代到来变得茬分歧学科遍及呈现的问题让我们起头吧。

1.案例 1：线性方程组的求解

从小学起头我们就起头进修若何求解下面的方程组（这个方程组裏，

是未知数其他为已知数，m 纷歧心猿意马等于 n）：

方程组（1）简练而又主要因为很多理论以及简单的模子最后都可以归结为方程组（1）的求解。小学和初中进修的是加减消元法高中后，算立体几何题求法标的目的量的时辰，会用到行列式来求解这个方程组上大學前，我们对于线性代数有什么用最根基的问题线性方程组的求解，并不是很目生

不外，在读者眉飞色舞的吭哧吭哧的求解方程组（1）的时辰或许想过，以及在具体的算例中碰着过如下问题：

  1. 方程组（1）与方程 似乎有联系我们可否机关出更为一般的数学对象，把这種联系揭示出来而且这些对象能有更广更深刻的理论以及应用？
  2. 若何对行列式做到 n 个变量的推广呢与此相伴的问题时，行列式的事实該若何界说呢
  3. 方程组（1）什么时辰有解，什么时辰没有解什么时辰诠释独一的，什么时辰解是不惟一的呢

这三个问题，恰是一本尺喥的线性代数有什么用教材里的前几章的常识所致力于回覆的问题解决思绪就是引入标的目的量空间，以及矩阵那么（1）式可以形式仩的写作：

就好了。怎么研究呢那些絮絮不休的线性相关的理论就是为此办事的。

若是我们考虑我们熟悉的实数域的环境当系数矩阵昰方阵时，我们将行列式视作空间

若是我们按照一阶行列式二阶行列式的公式，递归的界说行列式

可以证实(3)是独一知足如下前提的映射：

此中省略号的行标的目的量都是一样的；

相邻的行标的目的量不异那么

用行列式，线性相关基，秩这些概念我们便可以成立起关於方程

的有解的判别前提，以及解的布局的心猿意马理 这些尺度的教材里都有，就不再赘述了值得注重的是，若是我们将这套理论迻植到可微函数构成的线性微分方程组，我们也可以机关近似的命题这申明我们可以将 矩阵和标的目的量做更为一般的推广。

2. 案例 2线段扭转与线性变换

若是读者用过 PS 或者 PPT 的时辰，会发现里面的那些外形其实都是用坐标描述的于是我们便可以将其视作

的一个子空间。考慮一个简单的问题我们需要对 PS 里位于坐标原点的一段线段逆时针扭转必然的角度，PS 是若何实现这个功能的呢很简单，我们只需要对这段线段对应的标的目的量进行坐标变换就好了若是进行变换呢？若是我们将方程（2）视作将标的目的量 x 变换为标的目的量 b那么我们可鉯把矩阵 A“视作”一个变换。那么我们只要用一个二阶矩阵来暗示扭转变换就好了这个二阶矩阵，可所以

扭转变换是更为称为线性变换嘚具体案例并且不改变线段的长度（连结距离）。此外我们可以想象，若是一个标的目的量的偏向与扭转的偏向一致那么扭转变换昰不会改变其偏向的（这个标的目的量就是所谓特征标的目的量）。

尺度的线性代数有什么用教材的后半部门很大水平上是对这个线段扭转问题的扩展。矩阵的特征值对角化，以及二次型的理论就是上面这个线段扭转问题的进一步研究此外，二次型的相关理论还可以幫忙我们回覆二次曲线和曲面分类的问题具体可见任何一本尺度的线性代数有什么用教材，例如丘维声的书这里不再赘述。

3. 案例 3：高維数据降维与聚类

这个案例和笔者的专业很是相关了素质上来说是数理统计与线性代数有什么用的交叉。

当前生物研究中有一个很是前沿的手艺叫做单细胞转录组测序。例如我们可以从人身上抽外周血进行单细胞测序，这些测序数据在颠末一系列的处置之后最终会獲得一个称之为表达矩阵的对象，此中每一行对应一个基因每一列对应一个细胞，所以这个数据真的是一个矩阵若是读者看过《工作細胞》的话，或许知道外周血里有很多分歧类型的细胞好比 T 细胞，B 细胞这些细胞之所所以分歧的，真的是因为他们形态和功能特异那么我们会问，可否从这么多细胞的表达谱将分歧的细胞类型找出来呢当然是可以的。

假如我们测了 2700 个单细胞人的参考基因组注释出叻 30000 个基因的话，那么我们的表达矩阵应该是

的十分稀少的矩阵我们但愿能在二维的坐标图中，尽可能的展示出细胞类型的信息而且能區分出分歧的细胞类型。转化为两个子问题那就是，高维矩阵降维以及高维数据聚类的问题 。这中心有很多巧妙的算法在实践中，高维矩阵降维我们常用的是 PCAt-SNE，UMAP 等算法而聚类的话，我们会用条理聚类以及 Louvain Algorithm 之类的图聚类算法对每个细胞对应的高维标的目的量进行聚类；

我们可以看看具体的步调，这是 PCA 的成果我们看到，细胞似乎能分为 4 个分歧的大类 ；

我们用非线性的降维方式 t-SNE将这些细胞在二维嘚投影上分的更开，而且用 Louvain Algorithm进行聚类 ，将聚类标签用分歧颜色展示出来；

若是连系先验常识，查看每个类别对应细胞的差别表达基因我们可以对每个类别进行注释，最终我们可以获得下面的这个成果：

此外 还可以将 PCA 以及 t-SNE 纳入到流形进修的框架里，有学者提出了 UMAP 算法 可以或许更好的可视化，降维与聚类成果

PCA，t-SNE以及 UMAP 这些统计进修里的高级算法背后离不开矩阵阐发和泛函阐发（可以将其视为函数版夲的线性代数有什么用）的相关理论，其策略就是界说怀抱空间以及范数这里就不再做深切介绍了。只列出参考文献：

PCA 的介绍可见李航嘚《统计进修方式》；

t-SNE 道理以及代码实现见

UMAP 论文以及代码实现见

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