广义积分的敛散性定义,极限值存在发散,极限值不存在收敛?

    前面所讨论的定积分,积分区間是有限的而且被积函数在上是有界的。但是在研究实际问题时我们往往遇到积分区间为无穷和被积函数为无界两种类型,利用极限概念可以把积分概念向这两个方向推广统称为广义积分。

一、积分区间为无限的广义积分

    设函数定义在区间上且在这区间上任一有穷區间上可积。定义

    若极限  存在则说广义积分是没有意义或发散的。类似地可以分别定义函数在区间和上的广义积分为

    同样地在上述各式中,如果极限存在则称相应的广义积分是存在或收敛的,否则称广义积分是没有意义或是发散的

    所以,当时广义积分I收敛;当时,广义积分I发散

    由以上讨论,广义积分当时收敛,当时发散

二、无界函数的广义积分

    现面讨论在有限区间或上无界的函数的广义积汾。

    如果这极限存在则说广义积分是存在或收敛的,这极限值称为积分值;如果极限不存在则说广义积分是没有意义或是发散的。

    类姒地对于在任一区间上可积,且的情形定义

    由此可见,若上式右端两个极限都存在则收敛,且若上式右端两个极限当中至少有一個不存在时,则发散

内容提示:正函数广义积分敛散性定义的判别法的推广

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