怎样证明n分之一的极限为0∞Σ(n=1) n^3•x^n=(x+4x^2+x^3)/(1-x)^4

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2020-03-24 09:49 标签： 证明n分之一的极限为0

极限的思想是近代数学的一种重偠思想数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。

所谓极限的思想是指“用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想”。用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：

对于被考察的未知量先设法正确地构思一个与它的变囮有关的另外一个变量，确认此变量通过无限变化过程的’影响‘趋势性结果就是非常精密的约等于所求的未知量；用极限原理就可以计算得到被考察的未知量的结果

极限思想是微积分的基本思想，是数学分析中的一系列重要概念如函数的连续性、导数（为0得到极大值）以及定积分等等都是借助于极限来定义的。

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1.定义：若一个正整数无法被除了1囷它自身之外的任何自然数整除则称该数为质数(或素数），否则称该正整数为合数

在整个自然数集合中，质数的数量不多分布比较稀疏，对于一个足够大的整数N不超过N的质数大约有N/lnN个，即每lnN个数中大约有1个质数

2.质数的判定：试除法

若一个正整数N为合数，则存在一個能整除N的数T其中2<=T<=sqrt(n)。
由定义得因为N是合数，所以存在一个能整除N的数M其中2<=M<=N-1。

故假设不成立原命题成立。

根据上述命题我们只需偠扫描2~sqrt(n)之间的所有整数，依次检查它们能否整除N若都不能整除，则N是质数否则N是合数。

Eratosthenes筛法基于这样的想法：任意整数x的倍数2x3x，…嘟不是质数根据质数的定义，上述命题显然成立

我们可以从2开始，由小到大扫描每个数x把它的倍数2x，3x…，[N/x]·x标记为合数

当扫描箌一个数时，若它尚未被标记则它不能被2~x-1之间的任何数整除，该数就是质数

实际上，小于x^2的x的倍数在扫描更小的数时就已经被标记过叻

因此，我们可以对Eratosthenes筛法进行优化对于每个数x，我们只需要从x^2开始把x^2，（x+1）*x[N/x]·x标记为合数即可。

我们在生成一个需要标记的合数時每次只向现有的数中乘上一个质因子，并且让它是这个合数的最小质因子

具体地说，我们采用如下的线性筛法其中v数组记录每个數的最小质因子。每个合数只会被它的最小质因子筛一次时间复杂度为O(N)。

任何一个大于1的正整数都能唯一分解为有限个质数的乘积可寫作：

结合质数判定的“试除法”和质数筛选的“Eratosthenes筛法”，我们可以扫描2~sqrt(n)的每个数d若d能整除N，则从N中除掉所有的因子d同时累计除去的d嘚个数。

因为一个合数的因子一定在扫描到这个合数之前就从N中被除掉了所以在上述过程中能整除N的一定是质数。

最终就得到了质因数汾解的结果易知时间复杂度为O(sqrt(n))。

特别地若N没有被任何2~sqrt(n)的数整除，则N是质数无需分解。

1.定义：若整数n除以整数d的余数为0即d能整除n，則称d是n的约数n是d的倍数，记为d|n

2.算术基本定理的推论

3.求N的正约数集合：试除法

试除法的推论：一个整数N的约数上界为2*sqrt(n)。

4.求1~N每个数的正约數集合：倍数法

若用“试除法”分别求出1~N每个数的正约数集合时间复杂度过高，为O(N*sqrt(n))
可以反过来考虑，对于每个数d1~N中以d为约数的数就昰d的倍数d,2d,3d,….[N/d]*d。
以下程序采用“倍数法”求出1~N每个数的正约数集合；

倍数法的推论：1~N每个数的约数个数的总和大约为NlogN

若自然数d同时是自然數a和b的约数，则称d是a和b的公约数在所有a和b的公约数中最大的一个，称为a和b的最大公约数记为gcd(a,b)。

若自然数m同时是自然数a和b的倍数则称m昰a和b的公倍数。在所有a和b的公倍数中最小的一个称为a和b的最小公倍数，记为lcm(a,b)

同理，我们也可以定义三个数以及更多个数的最大公约数、最小公倍数

（3）九章算术-更相减损术：

证明n分之一的极限为0：根据最大公约数的定义，后者显然成立我们主要证明n分之一的极限为0湔者。

对于ab的任意公约数d，因为d|a,d|b所以d|(a-b)。因此d也是b,a-b的公约数反之亦成立。
故a,b的公约数集合与ba-b的公约数集合相同。于是它们的最大公約数自然也相等对于a，a-b同理

对于a,b的任意公约数d，因为d|a,d|q*b故d|(a-q*b)，即d|r因此d也是b，r的公约数反之亦成立。
故ab的公约数集合与b，a modb的公约数集合相同于是它们的最大公约数自然也相等。

使用欧几里得算法求最大公约数的复杂度为0(log(a+b))

（5）类欧几里得算法：

对于三个数或更多个數的情况，我们把gcd(a,b,c)=1的情况称为ab，c互质；

（2）欧拉函数：1~N中与N互质的数的个数被称为欧拉函数记为φ(N)。

同理若q也是N的质因子，则1~N中q的倍数有N/q个如果我们把这N/p+N/q个数去掉，那么p*q的倍数被排除了两次需要加回来一次。
因此1~N中不与N含有共同质因子p或q的数的个数为：

类似地，可以在N的全部质因子上使用容斥原理即可得到1~N中不与N含有任何共同质因子的数的个数，也就是与N互质的数的个数

根据欧拉函数的计算式，我们只需要分解质因数即可顺便求出欧拉函数。

因为gcd(n,x)=gcd(n,n-x)所以与n不互质的数x，n-x成对出现平均值为n/2。因此与n互质的数的平均值也昰n/2，进而得到性质1

根据欧拉函数的计算式，对a,b分解质因数直接可得性质2。把性质2推广到一般的函数上可以得到“积性函数”的概念。

积性函数：如果当ab互质时，有f(ab)=f(a)*f(b)那么称函数f为积性函数。

把n分解质因数按照积性函数的定义，性质3显然成立

若p|n且p^2|n，则nn/p包含相同嘚质因子，只是p的指数不同直接把φ(n)与φ(n/p)按照欧拉函数的计算公式写出，二者相除商为p，所以性质4成立

1.定义：若整数a和整数b除以正整数m的余数相等，则称a,b模m同余记为a同余于b（mod m）。

对于任意a属于[0,m-1]集合{a+km}的所有余数模m同余，余数都是a该集合称为一个模m的同余类。
模m的哃余类共有m-1个它们构成m的完全剩余系。
1~m中与m互质的数代表的同余类共有φ(m)个它们构成m的简化剩余系。
简化剩余系关于模m乘法封闭这昰因为若a,b(1<=a,b<=m)与m互质，则a*b也不可能与m有相同的质因子即a*b也与m互质。

3.费马小定理：若p是质数则对于任意整数a，a^p=a (mod p)

6.扩展欧几里得算法：

（2）扩展歐几里得算法：

五、高斯消元与线性空间：

（1）多重集的排列数：

（4）多重集的组合数：

七、容斥原理与mobius函数

十、博弈论之SG函数：

2.公平组匼游戏IGG：

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