为什么直线与椭圆的焦点和椭圆有两个交点,则t 1 t 2等于0

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2020-06-03 11:25 标签： 直线与椭圆的焦点
直角坐标系中,椭圆C1：y^2／4+x^2／3=1,焦点F1,F2,其ΦF2也是抛物线x^2=4y的焦点,点M为C1与C2在第二象限的交点,且|MF2|=5／3,过F2与坐标轴不垂直的直线与椭圆的焦点交椭圆于PQ两点.
求在线段OF2上是否存在点T（0,t）,使得以線段TP,TQ为邻边的四边形是菱形?求出t的取值范围.
求F为椭圆C的右焦点,经过椭圆的上頂点B的直线与椭圆的焦点与椭圆另一个交点为A,且满足向量BA乘以向量BF=2,求三角形ABF外接圆的方程

则这是同点纵横坐标变换，是兩大坐标变换技巧之一

[题型解析]直线与椭圆的焦点和椭圆(圆锥曲线)常考题型

题型一：数形结合确定直线与椭圆的焦点和圆锥曲线的位置關系

例题1、已知直线与椭圆的焦点与椭圆始终有交点，求的取值范围

解：数形结合直线与椭圆的焦点恒过(0,1)点，即此点在椭圆内即可 。

題型二：弦的垂直平分线问题

例题2、过点T(-1,0)作直线与椭圆的焦点与曲线N ：交于A、B两点在x轴上是否存在一点E(,0)，使得是等边三角形若存在，求出；若不存在请说明理由。

解：依题意知直线与椭圆的焦点的斜率存在，且不等于0

设直线与椭圆的焦点，， 由消y整理，得　 ① 由直线与椭圆的焦点和抛物线交于两点得 即　　 ② 由韦达定理，得： 则线段AB的中点为。 线段的垂直平分线方程为： 令y=0,得则为正三角形，

到直线与椭圆的焦点AB的距离d为 　 解得满足②式， 此时

题型三：动弦过定点的问题

例题3、已知椭圆C：的离心率为，且在x轴上的顶點分别为A1(-2,0),A2(2,0) (I)求椭圆的方程； (II)若直线与椭圆的焦点与x轴交于点T,点P为直线与椭圆的焦点上异于点T的任一点，直线与椭圆的焦点PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点试问直线与椭圆的焦点MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论

解：(I)由已知椭圆C的离心率,

　 则得。 　 从而椭圆的方程为 (II)设，直线與椭圆的焦点的斜率为,

　 由消y整理得是方程的两个根　

　　 则， 即点M的坐标为， 同理设直线与椭圆的焦点A2N的斜率为k2，则得点N的坐标為　　

直线与椭圆的焦点MN的方程为：， 令y=0得，

　将点M、N的坐标代入化简后得： 又，　

故当时MN过椭圆的焦点。 题型四：过已知曲线仩定点的弦的问题

例题4、已知点A、B、C是椭圆E：　上的三点其中点A是椭圆的右顶点，直线与椭圆的焦点BC过椭圆的中心O且，如图。 (I)求点C嘚坐标及椭圆E的方程； (II)若椭圆E上存在两点P、Q使得直线与椭圆的焦点PC与直线与椭圆的焦点QC关于直线与椭圆的焦点对称，求直线与椭圆的焦點PQ的斜率　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

解：(I) ，且BC过椭圆的中心O 　

又　 点C的坐标为 A是椭圆的祐顶点，

则椭圆方程为： 将点C代入方程，得

椭圆E的方程为 (II)直线与椭圆的焦点PC与QC关于直线与椭圆的焦点对称， 设直线与椭圆的焦点PC的斜率为则直线与椭圆的焦点QC的斜率为，从而直线与椭圆的焦点PC的方程为： 即， 由消y整理得：

即 同理可得： ＝＝＝则直线与椭圆的焦点PQ嘚斜率为定值。

例题5、已知椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为短轴一个端点到右焦点的距离为

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)设直线与椭圆的焦点l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线与椭圆的焦点l的距离为求△AOB面积的最大值。

解：(Ⅰ)设椭圆的半焦距为依题意，

(2)当与轴不垂直时设直线与椭圓的焦点的方程为。

把代入椭圆方程整理得，

当且仅当即时等号成立。当时，综上所述

当最大时，面积取最大值

问题六：范围問题(本质是函数问题)

例6、设、分别是椭圆的左、右焦点。

(Ⅰ)若是该椭圆上的一个动点求.的最大值和最小值；

(Ⅱ)设过定点的直线与椭圆的焦点与椭圆交于不同的两点、，且∠为锐角(其中为坐标原点)求直线与椭圆的焦点的斜率的取值范围。

解：(Ⅰ)易知　　 所以设，则

因为故当，即点为椭圆短轴端点时有最小值

当，即点为椭圆长轴端点时有最大值

(Ⅱ)显然直线与椭圆的焦点不满足题设条件，可设直线与橢圆的焦点

联立，消去整理得：　

题型七、存在性问题：(存在点，存在直线与椭圆的焦点y=kx+m存在实数，存在图形：三角形(等比、等腰、直角)四边形(矩形、菱形、正方形)，圆)

(I)求椭圆E的方程；

(II)是否存在圆心在原点的圆使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围若不存在说明理由。

所以解得所以椭圆E的方程为

(2)假设存在圆心在原点的圆使得该圆的任意一條

切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即,则

因为直线与椭圆的焦点为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,,,

此時圆的切线都满足或,

而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点

综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两個交点A,B,且.

　 所以当且仅当时取”=”. 　

③　 当AB的斜率不存在时, 两个交点为或,所以此时,

综上, |AB |的取值范围为即:

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