函数展开成幂级数技巧数

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2020-06-18 02:56 标签： 函数展开成幂级数技巧

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（二）泰勒级数 二 、函数展开成冪级数技巧数 * 利用幂级数的性质（特别是性质 3 和性质4） 可以求出一些较为复杂的幂级数的和函数 （利用幂级数的和函数又可以求出一些 较為复杂的常数项级数的和） 这是属于由给出的幂级数求和函数的问题 其反问题为 问题1：给定一个函数 f (x) （假定它在区间 ( a , b ) 上具有任意阶导数），如何求出 f (x) 在 区间 ( a , b ) 上的幂级数 第五节、函数展开成幂级数技巧数 定理（泰勒中值定理）如果函数 f (x) 在含有点 的区间 ( a , b ) 内有直到 n + 1 阶的连续导數， 的一个 n 次多项式 与一个余项 之和即 则当 x 在 ( a , b ) 内取任何值时，f (x) 可以表示为 其中 一、泰勒公式及泰勒级数 其中 称之为马克劳林公式 再令 則余项又可以写成 若 f (x) 在 称为 f (x) 的泰勒级数 问题2: 除了 显然在 f (x) 的泰勒级数收敛于 处， 外泰勒级数是否一定收敛？ 如果它收敛它是否一定收敛於 f (x) ？ 上具有任意阶导数 , 则在泰勒公式中 , 让多项式的项数趋于无穷得到级数 泰勒级数的前 n + 1 项部分和即为 所以有 由泰勒公式有 所以有 所以 定悝：设 f (x) 在 的充分必要条件是 则 f (x) 在该邻域内可以唯一表示 ( 或展开) 为泰勒级数 内具有任意阶导数， 特别当 称其为 f (x) 的马克劳林级数。 函数 f (x) 在 （1）f (x) 在 该邻域内是否具有任意阶导数； （2）当 时泰勒级数成为 内是否可以展开为泰勒级数 或马克劳林级数取决于下面两个条件： 时，是否滿足 （一）直接展开法 将 f (x) 展开成马克劳林级数的步骤如下： 如果在 x = 0 处某阶导数不存在则停止计算。 并求出收敛半径 R 和收敛域 I ( 3 ) 考察在收敛域 I 内余项 的极限 是否为 0 如果为 0 ，则 f (x) 在 收敛域 I 上 的马克劳林展开式即为 注意：在上述展开中一定要验证条件 例1：将函数 展开成马克劳林级數 解 : (1) ( 2 ) 写出函数的马克劳林级数 求收敛域 （3）在收敛域内考察余项的极限 所以 例1：将函数 展开成马克劳林级数 解 : (1) 在 可展成马克劳林级数 例2：將函数 展开成马克劳林级数 解：利用 可以定出 所以 并可用比值判别法求得收敛域： 例2：将函数 展开成马克劳林级数 并可用比值判别法求得收敛区间： 解：利用 可以定出 所以 可展成马克劳林级数 （二）间接展开法 间接展开法是以一些已知函数的幂级数展开式 为基础利用幂级數的性质、变量代换等方法 ，间接求出一些较为复杂函数的幂级数展开式 例如： 分别令 则得 例1：将函数 和 分别展开成 x 的幂级数 解： （1）因為 所以等式两边关于 x 求导得 （2）因为 × 例1：将函数 和 分别展开成 x 的幂级数 解： * * * * *

这个题中1/(x+1)不能直接看成1/(1+x )，然后矗接利用麦克劳林级数吗

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