一次函数： 二次函数：

幂函数： ，指数函数： 对数函数： ，正弦函数： 余弦函数： ，正切函数：

递增，递减定义域，值域周期，对称主要讲函数的这些性質，习题主要让学生用定义证明函数单调性至于连续，书上的说法就是“有定义就是连续”嗯，毕竟高中的函数全都是连续函数至於切线和凹凸性，这些内容放在微积分课程

嗯，没有反三角函数没有双曲函数。

高中的微积分只讨论以上函数

微积分是高中最后学嘚内容，也是中学最后学的内容也是高考必考内容。

称 为 的导函数简称既然有导数为什么还要微分。既然有导数为什么还要微分 的几哬意义是曲线 在 处的切线的斜率讲切线斜率的时候，书上还有配图

， 就是割线 的斜率。当 时点 沿着曲线 无限接近于点 ，割线 的极限位置就是曲线 在点 处的切线则该切线斜率就是 。

嗯高中的微积分就是从既然有导数为什么还要微分开始讲。不讲极限没有 语言。鈈过就在讲既然有导数为什么还要微分定义的这节课确实有极限计算例题。例题中让学生以为和差积商的极限必等于极限的和差积商。不过这种以为也无所谓了反正没有相关考题。 符号首次出现书上的描述也是通俗地讲“无穷大”。学生以为常数 可以做除数商为 ，以为 是一个数这种以为也无所谓了，因为高中不考极限计算更不考未定式。

既然有导数为什么还要微分定义式确实写在书上但是沒有习题，也不作考点 符号、 符号、 表达式在这里是第一次出现。极限描述 表示当 无限接近 时 就无限接近 。没错高中生计算极限都昰代入法，毕竟只能遇见连续函数通俗讲完，给两个重要极限： 和 但是没有多讲，没有推导过程没有应用实例，也不作考点这里嘚 不是第一次出现，之前讲对数函数的时候讲了仅一句话。 是无理数 ，记 为 称 为自然对数。就这么一句话就没多讲了在高中， 比 哽重要

摆出既然有导数为什么还要微分定义式以后，给了一个计算实例：

以 为例的理由相当明显所有函数中，多项式函数最为简单佽数越低，求导的计算量越小一次函数不能体现极限的作用。所以就以 为例之前讲过二项式定理，所以这里的展开计算对学生不难

嘫而用既然有导数为什么还要微分定义求导仅此一例。讲完此例后给出了求导法则：加减乘除法则以及复合法则。 ，

嗯，就这些法則没有反函数求导法则。

嗯既然有导数为什么还要微分表就这些既然有导数为什么还要微分，没有反三角函数的既然有导数为什么还偠微分没有双曲函数的既然有导数为什么还要微分。

这些既然有导数为什么还要微分公式以及求导法则都没有证明过程学生只需记住公式和法则，就像小学生记住乘法表一样只需知道什么，无需知道为什么

这一课就讲完了，接下来是课后习题全是求导题，让学生鼡以上既然有导数为什么还要微分公式和求导法则求导

下一课，用既然有导数为什么还要微分确定函数性质

用一阶既然有导数为什么還要微分确定函数单调性并确定极值。

若 则 递增，切线的走向为左下右上；若 则 递减，切线的走向为左上右下；

若 则切线水平。 且 則 为极小值 且 则 为极大值。

没有说这是什么定理也没有这定理的证明过程。

声明一阶既然有导数为什么还要微分的既然有导数为什么還要微分是二阶既然有导数为什么还要微分

用二阶既然有导数为什么还要微分确定函数凹凸性并确定拐点。

若 则 下凹，切线在曲线下方；若 则 上凸，切线在曲线上方；

若 且 在 左右两边符号不同则 在 处取得拐点。

当然这也没有证明过程。

书上还有相关例子与配图

嘫后这节课就完了，接下来就是习题这里的习题不比上节课容易，因为每一题都要会求导

显然没有微分作图法的内容。因为作图要画漸近线而画渐近线要算极限。高中生不懂极限

若一元函数 在 附近有定义，若存在常数 使得任意的 都存在 满足 ，则称 可微若 在区间內处处可微，则称 在区间内可微称 为 的微分，显然 并且 既然有导数为什么还要微分是因变量微分除以自变量微分的商，叫微商可微等价于可导。

接下来就讲微分的以直代曲的思想还有配图。

曲线段 的横向增量是 直线段 的横向增量是 ，两者相等 曲线段 的纵向增量昰 ，直线段 的纵向增量是 两者相差一个高阶无穷小 。当 时直线 相切与点 ，即直线 的斜率是 所以 是线段 代替线段 。

书上的高阶无穷小昰什么没有解释，只说了是可以忽略的微小误差微分的近似计算用途，只是提及没有例题，没有习题不作考点。

然后书上就直接給出了微分表其实就是之前既然有导数为什么还要微分表的变形。

为什么一元函数的可微与可导等价书上没有证明。

然后书上提及高階微分也是一笔带过。

高中的微分不考近似计算，只是后面计算不定积分要用到微分

若 ，则称 为 的不定积分；常数 称为积分常数； 稱为被积函数； 称为积分元； 称为被积式是 的微分；

书上写了一大堆术语，也没有多少学生愿意去记即使提及上节课的微分，学生大哆不在乎积分常数对原函数表达式的影响，没有多少学生知道积分元的变化，学生大多没有注意到只是以为，前面拉长的积分号和後面的微元是像括号一般的整体记号把被积函数装在里面，甚至还以为原函数后面 也只是一个符号

书上讲完不定积分的定义，然后声奣积分法则：

直接积分法：若已知 则直接得知 ；

换元积分法：设 ，则 ；

书上然后直接给出简易积分表比起大一课本背后的积分表，简矗简易到像山寨

，没有反三角函数积分没有双曲函数积分，没有根式积分没有分式积分。

至于 为什么带绝对值书上还简单讲了一丅。

接下来就是一大堆计算不定积分的课后习题

学生使用换元积分法的过程比较繁琐。例如计算

设 ，则 且 。所以

学生使用分部积分法的过程也是繁琐例如计算 。

积分常数给不定积分表达式带来的影响可以让高中生懵逼好长一段时间。

判断下列哪个算法是错误的

恏吧，对于中学生来说反三角函数超纲了！

函数 在区间 内连续。任意方式分割 为 份 表示第 个子区间，也表示此区间的长度在这个子區间内任找点 。作乘积 这个乘积其实就是以 为底，以 为高的矩形的面积求和 ，就是 下 内所有矩形的面积的和记最长的子区间长度为 ，令 则 ，取得的极限 就是曲线 、 轴、直线 、直线 所围成的面积记为 ，称其为 在 内的定积分 为积分下限， 为积分上限

讲完定义后，僦举了一例用定义计算 。

用平均分的方式分割 为 份第 份子区间为 ，子区间长度为 每个子区间取右端点计算。所以

求和符号之前有窮数列讲过，平方数列求和之前数学归纳法讲过极限的计算之前既然有导数为什么还要微分讲过。

以 为例的理由也相当明显所有函数Φ，多项式函数最为简单次数越低，定积分计算量越小一次函数不能体现定积分的作用，计算梯形的面积不需要定积分所以就以 为唎。

嗯和既然有导数为什么还要微分一样，先放定义仅举一例，然后接下来就与定义没关系了

讲完唯一的一例后，接下来直接摆上犇顿莱布尼兹公式附带推导过程和配图。

若 则 ，忽略高阶无穷小然后

最后一课讲完了，接下来是课后习题全是使用公式计算定积汾，再往后是总复习和模拟考

我当年上高中的时候，《数学》里的微积分就这些毕业那么多年了，不知道现在改了多少

谢谢大家！ * 提问时间：10分钟 * * 边际與弹性问题 一、边际分析 19世纪中后叶勒翁·瓦尔拉斯和杰文斯提出“边际效用 理论”的经济学，格森和门格尔也致力于这种理论的研究并获 得了很大成果。后来经济学家发现，“边际”就是数学中的“导 数”或“偏既然有导数为什么还要微分”。 例如： 定义 总成本函数C(Q)的既嘫有导数为什么还要微分C′(Q)称为边际成本函数 也记作MC；总收入函数R(Q)的既然有导数为什么还要微分R′(Q)称为边际收入函 数，也记作MR；总利润函数L(Q)的既然有导数为什么还要微分L′(Q)称为边际利润函数也记作ML。 显然有L′(Q)= R′(Q)- C′(Q) * 例 设某产品的总成本函数为C(Q)=400+3Q+0.5Q2。而需 求量(产量)Q与价格p的关系为 和边际利润 答案 练习 某酸乳酪商行发现酸乳酪的收入函数和成本函数分 别为 单位为千升，C(Q)、R(Q)的单位为千元求边际成本、边际 收入囷边际利润。 答案 * 对于多元函数同样称其偏既然有导数为什么还要微分为边际函数。 设甲、乙两种商品他们的价格分别为p1和p2，需求量Q1 囷Q2由价格p1和p2和消费者的收入M确定记需求函数为： Q1( p1, p2 ,M)、 Q2( p1, p2 ,M)，则Q1和Q2关于p1、p2 和M的偏导 数表示这两种商品的边际需求 若厂商生产A、B两种产品，产量汾别为Q1、Q2总成本 函数为C(Q1,Q2)，其偏既然有导数为什么还要微分称为两种产品的边际成本记作 MCA、MCB。其中MCA表示在原有生产规模下B产品的产量 鈈变，多生产1单位的A产品所增加的成本； MCB有类似意义 总收入函数为R(Q1,Q2)的偏既然有导数为什么还要微分称为两种产品的边际收入，记 作MRA、MRB汾别表示在另一产品产量不变时，多生产一个 单位的产品所引起的收入的改变量 * 生产函数Q=f(K,L)的偏既然有导数为什么还要微分称为资本和劳動的边际产量， 记为MQK与MQL表示在另一投入要素不变时单位要素对产量 的贡献。 效用函数U=f(x,y)的偏既然有导数为什么还要微分分别为两商品的边際效用记 为MUx与MUy，表示在另一商品的消费量不变时多消费一个 单位的商品所增加的效用。通常有MUx>0MUy>0 。 例 设Q=f(K,L)为一次生产函数证明 ①资本囷劳动的边际产量MQK与MQL都是投入比K/L的函 数； ② * 在经济学中，经常要考虑要素替代问题 例如，对生产函数Q=f(K,L)其中K为投入的资本，L为投 入的劳動下面考虑的问题是，在产量不变的情况下投入一 单位劳动相当于投入多少单位的资本？ 对Q=f(K,L)两边求微分得： 由产量不变，因此可令dQ=0得到 一般情况下，边际产量大于零所以减少一种要素的投入，必 然会增加另一种的投入 * 它表示 称 边际替代率，记为MRTSLK类似地，若用資本替 代劳动则边际替代率为 例如，设生产函数为Q=25K0.6L0.4则K=243，L=1024处 的边际替代率MRTSLK为 0.158 * 二、弹性分析 设经济函数y=f(x)，当x从x0变到x1时自变量的改变量為 Δx=x1- x0 ，则自变量增加了100Δx/x0﹪；函数的改变量为 存在则称之为y=f(x)在x0的相对变化率或弹性，记作 它反映了在x0处y随x的变化速度 的弹性函数。 y=f(x)在(a,b)內 2. 经济意义： 反映了在x0处y随x变化的相对幅度的大小,即变化的灵敏度. 即：若x在x0处产生1%的改变,f(x)近似改变 * 3. 需求Q对价格p的弹性： 设需求函数为Q=f(P),定义需求价格弹性