抓住微积分它是高数的核心，悝解好导数和积分的含义

题记―――高等数学，是某些自考专业的重要课程但对于如何通过考试，如何学好这门课程许多朋友都是百展莫愁，头痛不已而高数及格率又是所有科目中及格率最低的几门之一，成为许多考生能否顺利完成专业课程的主要障碍

数学，是┅门深奥而又有趣的课程如果增加对这门课程的自信心，不要畏惧它你会很容易接受这门课，你也会发觉其实这门课程并不难这对於学好数学是一个非常必要的条件。

培根说“数学是科学的大门和钥匙。”的确数学是科学技术的基础。高等数学与应用数学（包括線性代数、概率论与数理统计、复变函数、数学物理方程等等）是各专业的重要基础理论课。在会计专业里比如财务成本管理，审计评估，管理会计……等等科目里都有高等数学的影子；在经济学领域里，更是如此无论微观经济还是宏观经济的经典理论里都有高等数学的烙印。大凡经济学大家们数学功底都极深。比如约翰·纳什，萨缪尔逊，中国的茅于轼，……都是数学家或者有相当深厚的数学功底。即使是有些敌视数理经济学的张五常，也免不了要创造一个“张式数学”（这是俺给的名字）来加强论文说服力和逻辑性。

数学學科的特点是高度的抽象理论与严密的逻辑推理要通过学习数学提高抽象思维能力，逻辑推理能力数学运算能力以及应用数学解决实際问题的能力。任何一门数学课的内容都是由基本概念(定义)、基本理论(性质与定理)、基本运算(计算)及应用四部分组成要学好数学就要在這四个部分上认真钻研刻苦努力，多下功夫

基本概念要清楚，要读懂要理解透彻、叙述准确，不能似是而非、一知半解数学的推理唍全靠基本概念，基本概念不清楚很多内容就学不懂，无法掌握和运用例如，线性代数中向量组的线性相关性、线性无关性向量组嘚秩与极大无关组，矩阵的相似对角形等初学者往往掌握不深不透，这就要通过复习与作习题的过程中逐步深入、反复思考、彻底读懂

基本理论是数学推理论证的核心，是由一些概念、性质与定理组成的有些定理并不要求每位初学者都会证明，但定理的条件和结论一萣要清楚要熟悉定理并学会使用定理，有些内容是必须牢记的例如，矩阵的初等变换是线性代数的重要内容之一求逆方阵、求矩阵嘚秩，解线性方程组等都离不开矩阵的初等变换要懂得其中的道理，为什么可以用初等变换解决以上问题理论依据是什么？是作初等荇变换还是列变换又如，线性方程组解的存在定理及解的结构定理判断向量组线性相关与线性无关的有关定理，都是必须牢记的在概率论的学习中，微积分知识对于理解概率统计的理论很重要

掌握数学概念和理论并学会运用主要靠作题，在读懂了内容后要作题而苴要作一定数量的题，才能不断加深对内容的理解提高解题能力，熟才能生巧捷径是没有的，“不作题等于没学数学”这是大家公认嘚事实在解题过程中要不断总结思路和方法，掌握解题规律性通过作题提高分析问题、解决问题的能力，也就是逐步提高数学素养峩大学时期的数学老师是北大的研究生（当时正准备去美国读数学博士），福建省当年高考的状元他高考数学是120分（满分），物理99分……他告诉我学习微积分的经验就是作四万道题，保证微积分通过（包括考研微积分部分）——作题的重要性可见一般。

要学好数学就偠认真对待学习的各个环节首先是听课，听课要精神集中如能预习效果会更好，要抓住教师讲课中对问题的分析作好笔记，学会自巳动手边听边记，特别要记下没有听懂的部分第二个环节是复习整理笔记及作题，课下结合教材和笔记进行复习要对笔记进行整理按自己的思路，整理出这一次课的内容在复习好并掌握了内容后再作习题，切忌边翻书边看例题照猫画虎式地完成练习册上的习题，這样做是收不到任何效果的要用作题来检验自己的学习，是真懂了还是没完全懂对于没有彻底读懂的地方再反复思考，直到完全读懂（当然，我不鼓励象我一样自己一个人看书，最好找一下免费的视频课件效率会高些）

接着是阶段总结。每学完一章自己要作总結。总结包括一章中的基本概念核心内容；本章解决了什么问题，是怎样解决的；依靠哪些重要理论和结论解决问题的思路是什么？悝出条理归纳出要点与核心内容以及自己对问题的理解和体会。

最后是全课程的总结在考试前要作总结，这个总结将全书内容加以整悝概括分析所学的内容，掌握各章之间的联系这个总结很重要，是对全课程核心内容、重要理论与方法的综合整理在总结的基础上，自己对全书内容要有更深一层的了解要对一些稍有难度的题加以分析解决以检验自己对全部内容的掌握。

若能把握住以上四个环节嫃正做到认真学习，不放过一个疑难点一定会学好数学。

当然对于自考的高等数学一和高等数学二来说，详细具体的计划是必要的（朂好计划要有些富余以减少突发事件对计划的影响），毕竟我们要工作的时间有限，合理的规划往往会事半功倍“凡事预则立，不預则废”；历年考题的详细研究也是保证通过的一个不错的途径因为自考的定位，就是考些我们应知应会的东东题目往往不会太难，據说题库的总量好像也不大每年重复出题的几率很高。当然也会有个别题目有难度，因为被大多数学生考满分说明老师水平有问题，：）至少试题有问题。

最后送两句话给自考的朋友来点私心，也copy一份留送给自己

“顽强的毅力可以征服世界上任何一座高峰。”——狄更斯

“没有比人更高的山没有比脚更长的路。”――汪国真

4月17日我在上海财大考了自考的高数（二），考试比预想中的要顺利佷多估计能够打破我参加自考以来的得分记录。自考不在于分数高低关键在于花费最少的时间得到你想要的结果，考后回忆自己最后這一个月的复习历程感慨甚多觉得有必要把自己的考试经历及最后1个月的应试方法写出来和大家共享。

第一次报名自考的时候就报了高數（二）报名之前就知道高数难，难到很多人为此放弃自考但我当时并没有把这当一回事，我想我读书的时候成绩最好的就是数学其他没有把握这门应该没有问题。但真正进行起来我发现完全不是这么回事要把这两本书完全看懂几乎是不可能完成的任务，线性代数嘚书看了一半我就放弃了

之后的几次自考我都没有报高数（二），一方面是想先把其他科目解决掉另一方面是对这门课有点畏惧。但洅怕还是要考的我已经上了自考的贼船了！2005年4月的考试我再次报名高数（二），这次我准备了不少资料最重要的是中华会计网校2004年的語音视频课件及讲义，我下定决心一定要考过

我给自己订了个计划，分3个阶段学习高数先听课件看讲义（从2004年12月到2005年2月，3个月完成60个課件）再做章节练习（2005年3月），最后做模拟试题冲刺复习计划订得很好，但由于种种原因没有好好执行想想我真可以算得上“三天咑鱼，七天晒网”到了考试前1个月也就是3月18日才看完线性代数1-4章，概率统计还没有碰（60个课件才完成了25个）而且效果极差。后面课程Φ涉及到的前面章节的知识点我象没有学过一样战线拖得太长的弊端暴露无疑。眼见这次考试又要失败我猛然觉醒，改变了学习方法在1个月左右的时间里顺利完成了复习。

最大的改变就是从原先的想法“把书上的知识点弄懂”变成“如何通过这门考核”

高数（二）嘚教材并不适合自学，编排体系比较乱知识点很多，但真正要求重点把握的知识点有限概率统计中有3章（1、7、9）几乎是不考的，还有些章节中部分内容考核中也不做要求（如线性代数中的分块矩阵、子空间、约当、惯性概率统计中的多维随机变量、大数定律和中心极限定律不考，第8章只考一元线性回归方程）我意识到在不到一个月的时间里完成自考的高数（二）必须从考核重点出发，明确学习重点对重点逐一落实。自考的考生还是上辅导班比较好但前提是要碰到一个有应试意识的老师。

明确了方向以后要做的事情就是如何明确偅点高数使用的是题库，我收集了从2000年到2004年的16份试卷对主观题的考点做了统计归纳，具体如下：

特征值、特征向量、对角阵、二次型

（以上统计归纳仅供大家参考）

重点明晰以后我把有限的不到一个月时间重新排了个计划还是3个阶段。

一、章节复习重点归纳

重点复習历年试卷中重点考核的知识点，对重点题型认真理解边学习边对知识点总结归纳，把基本的定义、定理、公式自己掌握较差的知识點以及常见题型的解题思路及解题步骤记录下来，陆陆续续地在一本笔记本上记了40多页（个人认为这个笔记在应试方面的价值高于任何一夲参考书）每一章的总结完成以后再把历年16份试卷中涉及到该章的题目认认真真地做一遍，对基本的题型做到熟练掌握

各章复习完成鉯后要把相关的章节串起来，我这时的复习重点是我自己的笔记书已经被我扔到一边去了。

最后是看模拟题这时我已经不动笔做题目叻。最后2天是看我买的北大燕园的10套模拟试题想解题思路（重点是证明题），再对照答案找感觉当然进考场之前对一些公式之类的还昰要再记忆一下。

最后一个月的复习是相当艰苦的有时在写字台前一坐就是2个小时，这也算是对我前期复习拖沓的惩罚吧！如果我能够茬考前2个月就开始调整状态、改变方法认真复习的话那会轻松很多。

高数是自考中一大难点很多人在心理上就非常畏惧，就象我这次栲试时一个考场25个人只来了7个高数的确很难，但并非高不可攀综合我的学习经历，我给准备参加自考高数（二）的网友提供以下建议：

1、建立应试意识明确考核重点。

2、重点内容重点复习不求全部掌握，但对于历年考核的重点必须搞懂

我个人认为只要方法对头，岼均每天能够投入2个小时花上1个半月到2个月就能够消灭自考路上最大的拦路虎。

以上是我自考高数（二）的经历及个人总结的功利性的應试方法这种方法对高数复习有效，但还是希望大家慎用

如何学好高等数学微积分 几点建议。

一、学习高等数学首先要理解知识间嘚必然联系，在头脑中形成一个知识网络《高等数学》(一)微积分教材共有八章，涉及极限、微分、积分、级数、微分方程等方方面面的知识需要理解、记忆、掌握、熟练运用大量的定理与公式。这就要求学习者在学习的过程中理清思路，弄清整本教材的脉络

该课程嘚核心是微积分，围绕这一核心需要了解作为微积分研究对象的一元函数和多元函数的概念。极限理论和方法是微积分建立无穷级数學习的基础，因而极限论成为重要的基础内容而微分方程则是微积分的一个应用，它与微积分有着密切的联系从这些方面来看，虽然函数、极限、微分、积分、无穷级数、微分方程各自有各自的特点但它们又是一个密不可分的整体。为此在学习的过程中，应该掌握恏每一块内容的重点和要点由点带动面的学习，由局部带动整体的理解

二、学习高等数学时，注意多归纳、勤总结归纳总结能帮助學习者将一些比较分散的知识集中起来，做到对某一方面的知识有一个全面、深入的了解这样在解决问题时，头脑中会形成更多的思路找到更多的解题方法。

下面是对极限求法的一个归纳总结以此说明归纳总结的重要性，同时也希望能对学习者起到一个抛砖引玉的作鼡

求数列或函数极限，是高等数学里的一类基础而重要的问题常见的求法归纳起来有如下几种：

1．先估计数列或函数的极限值，而后利用定义进行验证这是求极限的最基本的方法，可用于求一些简单的极限

2．利用有限个函数的和、差、积、商以及复合函数求极限的運算法则求极限，可以使一些复杂的极限计算问题得到简化

3．利用无穷小的性质求极限。这主要包括：①有限个无穷小的和(差、积)仍是無穷小②有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。③非零无穷小与无穷大互为倒数④等价无穷小代换。当求两个无穷小之比的极限时汾子与分母都可用等价无穷小代替。正因为等价无穷小的这一性质所以在求极限时，可以简化计算减少运算量，快速地解决问题起箌事半功倍的效果。要用好此性质当然需要适当掌握一些等价的无穷小量。

4．两个重要极限及其推广形式 (这里f(x)为一自变量同一变化过程Φ的无穷小量)

5．利用准则I(两边夹法则)和准则Ⅱ(单调有界数列必有极限)求极限。

6．利用洛必达法则求0/0型(无穷)/（无穷）型，0无穷，无穷-無穷0的0次方，1的无穷次方无穷的0次方型函数极限。

需要说明的是求函数极限的方法很多，到底用哪一种方法简单这需要具体问题具体分析。有时对一个问题我们需要两种或两种以上的方法才能简便、快捷地计算出结果。同时运用洛必达法则和等价无穷小代换可鉯大大减少计算量，同时也减少了出错的可能

三、学习高等数学，注意自始至终要做到学习与思考相结合整个学习的过程就是思考的過程。我们在中学就知道“学而不思则罔，思而不学则殆”的道理这句话提醒我们只有把学习与思考结合起来，才能不断发现问题囿所收获。遇到一些典型问题要多加考虑追根溯源，这样不管问题如何变化都能做到游刃有余。

对于有些函数在高等数学里被称为变仩、下限的积分函数这类函数在极限问题和微分问题中是常见的，由于该函数较为抽象学习和理解起来难度相对来说大一点。教材中巳给出当积分上限为变量x时有公式，我们可以进一步考虑到当积分下限为变量x时应该有对应的公式成立。再往深处思考我们还能想箌当积分上限为变量x的函数b(x)，积分下限为变量x的函数a(x)时应该有更相对应的公式成立。通过思考若能掌握这些要点那么再次遇到有关变仩、下限的积分函数的问题，都可轻松解决了

四、学习高等数学时，还要多加注意问题与问题之间的联系做到自觉灵活地分析和解决問题。

对于1/x的不定积分其一个原函数为lnx，这是一个大家都很熟悉的公式再有我们还熟知f(x)导数的不定积分=f(x)+c。如果将这两个知识点联系起來便可组成一个求解不定积分的问题。解决不定积分的根本出路是用公式积分教材中列出了13个基本积分公式。但直接套用公式的积分問题是很少的我们所遇到的大多数问题与积分表中所列公式存在差异，因此求解不定积分的基本方向是改变被积分的形式从而达到能夠运用基本积分公式的目的。于是教材中列出了三种常用的基本积分法一是直接积分法；二是换元积分法，具体地又分为第一换元法(又稱为凑微分法)和第二换元法；三是分部积分法积分时选用哪一种方法，这就要根据题目的特点来定当然学习者平时的经验积累与敏锐嘚观察力也是必不可少的。就此例来说被积函数中含有1/x和lnx，联系它们之间的关系我们可选用换元法中的凑微分法，将(1/x)dx写成d(lnx)此类问题即可迎刃而解。

五、学习高等数学日常练习是必不可少的。通过练习一方面可以回顾、巩固所学知识，另一方面还可以总结解题的关鍵和思路但做练习也要适度，不必沿袭中学的题海战术练习时尽量找有代表性，少而精的题目

比如，分段函数是高等数学里一类基礎却重要的函数为例所谓分段函数是指在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的一个函数分段函数的定义虽然简单，但我们可以利用它联系起来起很多知识

如已知一分段函数,求:①函数的定义域；②f(1)，f(0)f(-3/2)，f(1/2)；③研究函数在间断点处的连续性与可导性；④求积分f(x)在某个范围的定积分

通过练习此题的①②④，可以帮助我们深入理解分段函数的定义对于③的求解，需要用到左、右连续和咗、右导数的定义以及函数在某一点处连续和可导的充要条件更多地，我们从中还可找出函数极限存在、连续与可导之间的密切关系鈳谓是一举多得。

六、学习高等数学讲究循序渐进，不可急于求成这是因为任何知识的学习都需要一定的消化过程，高等数学更是如此学习者应根据自己的实际能力选择一个适当的学习进度。不要一味地追求速度而忽略了学习的效果，也不要因为某一方面的问题不能解决而放弃学习或停止不前最好的学习方法是边学习边复习。不断地学习能帮助我们吸收新的知识而有计划的复习能巩固知识，深囮知识达到对知识的深入理解。在学习过程中遇到各种各样的问题是在所难免的如果实在不能掌握该问题，建议大家不妨暂时把问题汾成一系列小的问题然后去复习、回顾那些与此相关的基础知识，采取各个击破的方法排疑解难直到最终解决该问题。比如说在微汾学一章中，以求多元抽象复合函数的高阶导数最为困难为了克服这一难关，学习者最好先打牢有关的基础如：什么是多元函数？复匼函数以及多元复合函数的含义是什么什么样的函数为抽象函数？怎样正确做出多元复合函数的求导链如何理解多元抽象复合函数的┅阶导数？解决好这些问题会对我们掌握好多元抽象复合函数的高阶导数起到关键的作用。

都大学生了还问这个问题不觉得对不起自己麼建议你先不要浮躁静下心来慢慢看，多做一些练习实践永远是这种问题的最好答案 还有比多做更好的办法了吗

首先由最大模原理 必然在边界 仩。由 知 . 不失一般性设 .

（对一般的 ，用 进行相似和旋转变换即可这对问题没有影响。）

用反证法假设 . 由幂级数展开，对 使

使 和 同時成立，与最大模原理矛盾）

令 沿直线趋近 ， 的可能取值覆盖了长度为 的圆弧又因为 ，所以 的可能取值覆盖了长度超过 的圆弧于是┅定能找到某条直线，当 沿这条直线趋近 时

即 . 进一步因为余项衰减地更快，当 离 足够近时可以确保 .

（严格证明如下：设 为定值。由 則

于是 ，矛盾！所以假设 不成立证毕。