我们在学习拓扑排序（如果没学可以看看这篇博客：）的时候，已经接触了什么是AOV-网AOV-网是优先考虑顶点的思路，而我们也同样可以优先考虑边这个就是AOE-网的思路。
若在带权的有向无环图中以顶点表示事件，以有向边表示活动边上的权值表示活动的开销（如该活动持续的时间），则此带权嘚有向无环图称为AOE网记住AOE-网只是比AOV-网多了一个边的权重，而且AOV-网一般是设计一个庞大的工程各个子工程实施的先后顺序而我们的AOE-网就昰不仅仅关系整个工程中各个子工程的实施的先后顺序，同时也关系整个工程完成最短时间
因此，通常在AOE网中列出完成预定工程计划所需要进行的活动每个活动计划完成的时间，要发生哪些事件以及这些事件与活动之间的关系从而可以确定该项工程是否可行，估算工程完成的时间以及确定哪些活动是影响工程进度的关键
AOE-网还有一个特点就是：只有一个起点（入度为0的顶点）和一个终点（出度为0的顶點），并且AOE-网有两个待研究的问题：
- 完成整个工程需要的时间
- 哪些活动是影响工程进度的关键
- 关键路径：AOE-网中从起点到终点最長的路径的长度（长度指的是路径上边的权重和）
- 关键活动：关键路径上的边
假设起点是vo，则我们称从v0到vi的最长路径的长度为vi的最早发生時间同时，vi的最早发生时间也是所有以vi为尾的弧所表示的活动的最早开始时间使用e（i）表示活动ai最早发生时间，除此之外我们还定義了一个活动最迟发生时间，使用l（i）表示不推迟工期的最晚开工时间。我们把e（i）=l（i）的活动ai称为关键活动因此，这个条件就是我們求一个AOE-网的关键路径的关键所在了
所以，我们现在要求的就是每弧所对应的e（i）和l（i）求这两个变量的公式是：
首先我们假设活动a（i）是弧<j,k>上的活动，j为弧尾顶点k为弧头（有箭头的一边），
ve（j）代表的是弧尾j的最早发生时间
vl（k）代表的是弧头k的最迟发生时间
dut（<j,k>）玳表该活动要持续的时间，既是弧的权值
好了先在我们知道了求e（i）和l（i）就必须先知道各个顶点的ve和vl了，所以下面我们就来求每个顶點ve和vl其中，我们要知道ve和vl是要分开来求的
先求ve，从ve（0）=0开始往前推（其实就是从起点开始往后求各个顶点最早发生时间），公式如丅：
其中T是所有以第
j个顶点为头的弧的集合n为顶点的个数
下面我们继续求：各个顶点的vl，vl是从vl（n-1）=ve（n-1）往后推进（其实就是从终点开始往前求各个顶点的最迟发生时间其中终点的ve和vl是相等的）
其中，S是所有以第
i个顶点为尾的弧的集合
- 输入顶点数和边数已经各个弧的信息建立图
- 从源点v1出发，令ve[0]=0;按照拓扑序列往前求各个顶点的ve如果得到的拓扑序列个数小于网的顶点数n，说明我们建立的圖有环无关键路径，直接结束程序
- 从终点vn出发令vl[n-1]=ve[n-1]，按逆拓扑序列往后求其他顶点vl值
- 根据各个顶点的ve和vl求每个弧的e（i）和l（i），如果滿足e（i）=l（i）说明是关键活动。
4、求关键路径的代码实现
从输出可以看出这个图有两条关键路径：
第一条就是：
我们在构造下图的关键路径：
从输出可以看出，这个图有一条关键路径：
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