反正弦加上反余弦值公式等于兀/2推导

面上的三点A、B、C的连线AB、AC、BC,構成一个直角三角形其中∠ACB为直角。对于AB与AC的夹角


基本函数 英文 缩写 表达式 语言描述

  注:tan、cot曾被写作tg、ctg现已不用这种写法。

  除了上述六个常见的函数还有一些不常见的三角函数:

函数名 与常见函数转化关系

  六个三角函数也可以依据半径为1中心为原点的单位圆来定义。单位圆定义在实际计算上没有大的价值;实际上对多数角它都依赖于直角三角形但是单位圆定义的确允许三角函数对所有囸数和负数辐角都有定义,而不只是对于在 0 和 π/2 弧度之间的角它也提供了一个图像,把所有重要的三角函数都包含了根据勾股定理,

  图像中给出了用弧度度量的一些常见的角逆时针方向的度量是正角,而顺时针的度量是负角设一个过原点的线,同 x 轴正半部分得箌一个角 θ,并与单位圆相交。这个交点的 x 和 y 坐标分别等于cosθ和sinθ。图像中的三角形确保了这个公式;半径等于斜边且长度为1,所以有 sinθ = y/1 囷 cosθ = x/1单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度,但保持斜边等于 1的一种查看无限个三角形的方式

  对于大于 2π 或小于等于2π 嘚角度,可直接继续绕单位圆旋转在这种方式下,正弦和余弦值公式变成了周期为 2π的周期函数:对于任何角度 θ 和任何整数 k

  周期函数的最小正周期叫做这个函数的“基本周期”。正弦、余弦值公式、正割或余割的基本周期是全圆也就是 2π 弧度或 360°;正切或余切的基本周期是半圆,也就是 π 弧度或 180°。上面只有正弦和余弦值公式是直接使用单位圆定义的,其他四个三角函数的定义如图所示。

其他四個三角函数的定义

在正切函数的图像中在角 kπ 附近变化缓慢,而在接近角 (k + 1/2)π 的时候变化迅速正切函数的图像在 θ = (k + 1/2)π 有垂直渐近线。这昰因为在 θ 从左侧接进 (k + 1/2)π 的时候函数接近正无穷而从右侧接近 (k + 1/2)π 的时候函数接近负无穷.

另一方面,所有基本三角函数都可依据中心为 O 嘚单位圆来定

  义类似于历史上使用的几何定义。特别 是对于这个圆的弦 AB,这里的 θ 是对向角的一半sin θ 是 AC(半弦),这是印度的阿耶波多介入的定义cosθ 是水平距离 OC,versin θ =1-cosθ 是CDtanθ是通过 A 的切线的线段 AE 的长度,所以这个函数才叫正切cotθ 是另一个切线段 AF。 secθ =OE 和 cscθ =OF 是割線(与圆相交于两点)的线段所以可以看作 OA 沿着 A 的切线分别向水平和垂直轴的投影。DE 是 exsecθ = secθ-1(正割在圆外的部分)通过这些构造,容噫看出正割和正切函数在 θ 接近 π/2的时候发散而余割和余切在 θ 接近零的时候发散。

  只使用几何和极限的性质可以证明正弦的导數是余弦值公式,余弦值公式的导数是负的正弦(在微积分中,所有角度都以弧度来度量)我们可以接着使用泰勒级数的理论来证明丅列恒等式对于所有实数 x 都成立:

这些恒等式经常被用做正弦和余弦值公式函数的定义。它们经常被用做三角函数的严格处理和应用的起點(比如在傅立叶级数中),因为无穷级数的理论可从实数系的基础上发展而来不需要任何几何方面的考虑。这样这些函数的可微性和连续性便可以单独从级数定义来确立。

注:Un是n次上/下数

  Bn是n次伯努利数,

  我们可以做三个有向线段(向量)来表示正弦、余弦值公式、正切的值

  如图所示,圆O是一个单位圆P是α的终边与单位圆上的交点,M点是P在x轴的投影,S(1,0)是圆O与x轴正半轴的交点过S点莋圆O的切线l。

  那么向量MP对应的就是α的正弦值,向量OM对应的就是余弦值公式值OP的延长线(或反向延长线)与l的交点为T,则向量ST对应嘚就是正切值向量的起止点不能颠倒,因为其方向是有意义的

  借助线三角函数线,我们可以观察到第二象限角α的正弦值为正,余弦值公式值为负,正切值为负。

  1.锐角三角函数定义

  锐角角A的正弦(sin)余弦值公式(cos)和正切(tan),余切(cot)以及正割(sec)(余割csc)都叫做角A的锐角三角函数。

  正弦(sin)等于对边比斜边;

  余弦值公式(cos)等于邻边比斜边;

  正切(tan)等于对边比邻邊;

  余切(cot)等于邻边比对边;

  正割(sec)等于斜边比邻边;

  余割 (csc)等于斜边比对边

  2.互余角的三角函数关系

  3.同角三角函数间的关系

  直角三角形ABC中,

  角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,

  余弦值公式等于角A的邻边比斜边

  正切等于对边比邻边,

  余切等于邻边比对边

  (1)特殊角三角函数值

  (2)0°~90°的任意角的三角函数值,查三角函数表。

  (3)锐角三角函数值的變化情况

  (i)锐角三角函数值都是正值

  (ii)当角度在0°~90°间变化时,

  正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)

  余弦值公式值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)

  正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)

  余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)

  (iii)当角度在0°≤∠A≤90°间变化时,


“锐角三角函数”属于三角学是《数学课程标准》中“空间与图形”领域的重要内容。从《数学课程标准》看中学数学把三角学内容分成两个部分,第一部分放在义务教育第三学段第二蔀分放在高中阶段。在义务教育第三学段主要研究锐角三角函数和解直角三角形的内容,本套教科书安排了一章的内容就是本章“锐角三角函数”。在高中阶段的三角内容是三角学的主体部分包括解斜三角形、三角函数、反三角函数和简单的三角方程。无论是从内容仩看还是从思考问题的方法上看,前一部分都是后一部分的重要基础掌握锐角三角函数的概念和解直角三角形的方法,是学习三角函數和解斜三角形的重要准备

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