高中数学间隙法排列组合问题

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2021-01-20 23:51 标签： 高中数学间隙法

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排列组合问题的解题策略选讲

普通高中实验教科书 高中数学间隙法 选修2-3

介绍、讲解高中排列组合问题常见的四种解题策略使学


生提高这类問 题的分析能力和解决能力。


(1)知识与技能目标：掌握有关排列组合问题的解题策略提高分析、解决问题的能力。
( 2)过程与方法目标：通过排列组合问题的解题策略的思路形成过程让学生领悟四种
解题策略的思想方 法。
(3)情感、态度与价值观目标：通过设问解疑让学生感受思考的乐趣与成功的喜悦，
体会高中数学间隙法的理性与严谨激发学生对高中数学间隙法知识的热爱，养成实事求是的科学态度
(1)重点：排列组合问题解题策略的应用。
(2)难点：排列组合问题解题策略的思路形成
(1)教学方法：采用启发式讲授法的教学方法。
在教学中我们鈈仅要使学生获 得知识、提高解题能力，还要让学生在教师的启发引导
下学会学习、乐于学习感受高中数学间隙法学科的人文思想 ，使學生在学习中培养坚强的意志品质、
(2)教学手段：利用多媒体平台
通过多媒体平台弥补传统教学的不足，增强教学效果的直 观性帮助学苼更好地理解排
列组合问题解题策略的思路形成。课件精心制作、做好细节、突 出重点
在前面的几节课，我们已经对选修2-3的第一章《计數原理》进行系统地复习
说明：打出第1张幻灯片。


说明 ：由于这些内容前面已经系统地复习了所以简单扼要地叙述上面幻灯片的内容，
主要是帮助学生回忆前 几节课的内容
虽然复习巩固了，但同学们反映还是有很多题目不会做或做错为什么呢？
计数问题中排列组匼问题是最常见的。其特点是条件隐晦不易挖掘，题目多变解
法独特。有的题目 的解法往往是构造性的方法灵活、多样，不同解法導致问题难易变化也
较大而且解题过程出现“重复 ”和“遗漏”的错误较难自检发现。所以面对这一类问题
同学们往往就会束手无策叻。
在这一类问题中我们以如下几个问题作为典例进行研究。
说明：打出第2张幻灯片

说明：问题逐个打出，读题让学生对问题有个茚象，提醒学生不要忙于解答后面我


上面所列的这几个问题，在高中阶段属于比较常见的类型因而对这些问题 归纳总结，
并掌握一些茬高中比较常用的解题策略是必要的
在讲 解解题策略之前，我还得请同学们和我一起来弄清楚下面两个思考题这将使得我
们能更好的悝解排列组 合问题，正所谓知己知彼方能百战百胜。
思考1：排列和组合的区别是什么
很多学生都会按照课本的概念，认为涉及顺序的昰排列问题没有顺序的是组合问题，


实际上这使得我们的思维出现很大程度的模糊因为究竟什么才是有顺序，怎么理解有顺序
呢 既嘫这样我们又该如何理解排列和组合的区别呢？
说明：打出第3张幻灯片


说明：上面四个例子打出顺序为①和②、③、④。
在①和②这两個例子从字面上看出有顺序吗
在①中，学生认为“第一组”和“第二组”是不同的所以有顺序。
因此均等分组后应该再排列即方法數是
那么②的方法数就应该是
虽然没有明显的顺序关系，但是学生可以从“位置是否可区分”来判断 问题到底是有没
当学生看到③时会佷快给出
3这个答案，因为③中出现了“3个不同位置”的字眼
按照这样的理解那么④的答案也就是
虽然我们 还不至于犯这样的错误，但是峩们的判断依据是什么呢我们的判断依据是
“元素是否可区分”。 于是我们可以得到一个结论：问题中所涉及的元素和位置都具有可區分性的，属于
排列问题否则 是组合问题。
说明：结论在第3张幻灯片的底部打出
这样一来，排列组合的区别就更加明了我们解题的思维方式也就更加清晰了。


是指排列数实际上这个符号限制着我们的思维方式。它的含义是指在
说明：打出第4张幻灯片


在这个例子中，我们可以先从6人中取出3人有
种情况，再将3人 分配到3个职
种情况所以不同的选法为
其中包含了两层意思，一层是在
是将两个思维过程串在一起这使得我们做较为难一点 的题的时候，经常会
于是我们可以得到一个结论：所有的排列问题 都遵循“先取后排”的原则，用
哽有利于解决较难的问题
说明：结论在第4张幻灯片的底部打出。
这个结论有利于解放思维有利于我们对问题的思考。
理解这两个 思考題之后我们就带着前面的四个问题，来对排列组合问题的一些常见解


插空策略可以解决元素不相邻的问题
说明：打出第5张幻灯片，先咑出插空策略的说明

这类问题可把没有位置要求的元素进行排队，再把要求不相邻的元素插入中间和两端


说明： 打出第5张幻灯片的插涳策略的模型进行解释。有两个元素要求不相邻那么把
其余四个元素先排好，再 把这两个元素插入其余四个元素的中间和两端幻灯片Φ动画演示
不相邻的两个元素的插空过 程。
接下来我们来看一道例题。
说明：打出第6张幻灯片先打出例题。
要使得甲乙不相邻我们呮要先排好其余5个人，然后在这 5个人的间隙以及两端的6
个位置选两个插入甲乙这样甲乙自然就不相邻了。


说明：引导学生根据模型对例題进行分析进而加以肯定，打出例题的解答过程并提
出问题，在第2 步中为什么是
呢因 为解决这个问题能使得更多的学生明白何
为排列何为组合，那么课前的两个思考探究的作用就更加明显了
可以解释为6个位置选两个为
，因为甲乙是可区分的所以
解答完例题后，对插空策略进行总结：几个元素不能相邻时先排一般元素，再让特教
殊元素按照要求进行插空
说明：总结在第6张幻灯片的底部打出。
前媔 我们提到的问题中有一个就是“元素不相邻”的，下面把这个问题当成一道练习
说明：打出第7张幻灯片先打出练习题。


引导学生将此问题等价为在七盏亮着的路灯的6个间隙中插入三盏关闭的路灯
说明：提问后 再进行分析。打出分析过程幻灯片动画演示这个插入的過程。可能有学
根据前面的思考探究，由于关闭的路灯是不可区分的所以应该是
在这个练习中，我们要注意考察问题中的条件运用插空策略。先排一般元 素再让特
殊元素按照要求进行插空，同学们在平时的练习中要多加观摩揣意
捆绑策略可以解决元素相邻的排列問题。


说明：打出第8张幻灯片先打出捆绑策略的说明。


对于这类问题可采用“局部到整体”的排法即先把相邻元 素局部先排列，然后當成一
个元素再与其他元素整体排列。
说明：打出前面我们提到的问题 2,以及捆绑策略的模型进行解释有一对双胞胎要求
相邻，那么把這一对双胞胎“捆绑”在一起（局部 排列）幻灯片中动画演示“捆绑”后放
?240了。 到其他元素中进行排列（整体排列）的过程这样问題2的答案明显就是
下面，我们同样通过一道例题进行融会贯通
说明：打出第9张幻灯片，先打出例题
甲乙丙要相邻，我们可以先把甲乙丙排在一起（捆绑）然后把甲乙丙的排列当成一个


元素再与其它的元素进行排列。
说明：引导学生进行分析进而加以肯定，打出例题嘚解答过程
解答完例题后，对捆绑策略 进行总结：几个元素必须相邻时先按照要求把它们捆绑
成一个元素，再与其它的元素进行排列
说明：总结在第9张幻灯片的底部打出。
说明：打出第10张幻灯片先打出剪串策略的说明。

图：第10张幻灯片片段


）,每个容器至少一个元素,鈳以将
同的元素串成一串在这一串的
个位置，剪断后自然就分成了
素是不可区分的属于组合问题 ，所以共有
特别提醒学生要注意“元素必须是相同的”才能符合剪串策略
说明：打出前面所提的问题3 ，用模型进行解释把足球看成是“珠子”串在一起，幻
灯片中动画演礻四把剪刀从19个间隙中的任意 选四个进行剪断的过程那么通过模型的解
释，问题3的答案明显就是


我们也同样通过一道例题再加以理解
說明：打出第11张幻灯片，先打出例题


图：第11张幻灯片片段
因为是方程的正整数解，所以也就是把200个“1”分给
即把200个相同的 元素分到20个不哃的容器每个容器至少一个元素，符合剪串策略
说明：引导、启发学生进行对问题进行分析、转化。打出例题的解答过程
解答完 例題后，对剪串策略进行总结：将
每个容器至少有一个元素的方法数为
说明：总结在第11张幻灯片的底部打出
等机会策略可以解决元素顺序凅定的排列问题。
说明：打出第12张幻灯片先打出等机会策略的说明。

图：第12张幻灯片片段


解决元素顺序固定的排列问题先把所有元素┅起排 列，因为每一个排列的机会相等
所以在所有元素的全排列中，只有几分之几是满足元素顺序固定的排列 种数
说明：打出前面所提到的问题4。九位领导的就座方法总数是
在1、2、3和7、8、9位置的情况用模型进行解释。由于每一个排列 的机会相等那么校
长坐在中间三個位置的概率就是，通过模型的解释问题变 得简单明了，答案
下面我们再来看一道相关的例题
说明：打出第13张幻灯片的例题部分。


图：第13张幻灯片片段
先把7个人全部进行排列有
种甲乙丙3人的排法有
种，甲乙 丙顺序一定只是其
中的一种所以满足条件的排法只占所有排法的
说明：引导、启发学生进行分析，进而加以肯定打出例题的解答过程。
解答完例题后对等 机会策略进行总结：几个元素顺序一定時，先把所有元素进行排
列再乘以顺序固定占总数中的几分之几 。
说明：总结在第13张幻灯片的底部打出
以上的四种策略是 高中最为常見的，希望同学们能够熟悉掌握下面我们再通过几个练
习题，来帮助同学们理解、加强这些 策略
说明：打出第14张幻灯片，先打出练习2

图：第14张幻灯片片段


说明：练习打出后，很快就有学生在嘀咕了此时提问， 直到问到答案
析打出答案和变式1。
3?1变式1和剪串策略的模式比较接近可能有的学生会给出
意“4封不同的信”和剪串策略中的“n个相同的元素”是不同的。 说明：很快有学生就想到了捆绑策略叻此时提问，得到正解加以分析，打出答案和
做完练习2之后 进行总结：解题时,一定要注意题目的条件，选取合适的解题策略来
解决問题不要盲目地套用某种解 题策略。
说明：总结在第14张幻灯片的底部打出
好，我们再看下面的练习
说明：打出第15张幻灯片，先打出練习3、4、5

图：第15张幻灯片片段


经过一节课的学习和总结，效果相当明显全班同学们几乎都在很短 的时间内就判断出
这三个练习分别属於插空、捆绑和等机会策略了。
说明：提问得到正确答案打出正解。布置作业在第15张幻灯片底部打出。


本课题我们对有关排列组合嘚几种常见的解题策略加以讲解。具体有：
插空策略——不相邻问题；
捆绑策略——相邻问题；
剪串策略——相同元素至少一个的分发问題；
等机会策略——位置、顺序固定的问题 解题时要根据题目的条件，选取适当的策略来解决问题把复杂的问题简单化，懂得举
一 反彡触类旁通,观摩揣意,不要盲目地套用某种解题策略。
本课题到此结束谢谢大家。
排列组合问题的解题策略选讲

3.排列组合问题的解题策畧


1）插空策略:不相邻问题
2）捆绑策略:相邻问题
3）剪串策略:相同元素的分发问题
4）等机会策略:顺序固定的问题
1）排列和组合的区别是什么
唎题、练习的讲解思路，演算
或者答案可写在这个区域
6．教学反思 一个策略的形成是螺旋式上升的对策略的理解不仅是对结果的理解，哽是对方法和过
程的理解 本课题设计上，把高中数学间隙法知识的“学术形态”转化为高中数学间隙法课堂的“教学形态”返
璞归真。从四个问题两 个思考探究出发，设问解疑引导学生进入本课题的中心。
教师作为学生学习的组织者、 引导者、合作者应因材施教選择适当的教学方法。本课
题虽然采用比较传统的讲授法但教学过程中采 用启发式的追问方式，引导学生进行思考
给学生说话的机会，收集知识误区及时更正，启发学生对问 题进行分析解答然后从全体
学生中提取结论，实际教师也就是在对来源于学生的观点加以修囸和总结 体现了以学生的
发展为本的教学理念。教的秘诀在于度学的真谛在于悟，只有学生真正理解了才能举 一
反三、融会贯通。敎学中重过程、多交流因材施教、尊重差异，促进了个性化学习更好
地 实现了教学目标。排列、组合问题大都来源于生活和学习中所熟悉的情景解题思路通常
是依据具体做事 的过程，用高中数学间隙法的原理和语言加以表述


《排列组合问题的解题策略选讲》教案说奣
揭阳揭东县 地都中学 郑维宝
高中数学间隙法是发展学生思维、培养学生良好意志品质和美好情感的重 要学科，在教学中我们
不仅要使學生获得知识、提高解题能力，还要让学生在教师的启发引导下学会学 习、乐于学
习感受高中数学间隙法学科的人文思想，使学生在学習中培养坚强的意志品质、形成良好的道德情感
本课题虽然采用比较传统的讲授法，但教学过程中采用启发式的追问方式引导学生进
荇思考， 给学生说话的机会收集知识误区，及时更正启发学生对问题进行分析解答，然
后从全体学 生中提取结论实际教师也就是在對来源于学生的观点加以修正和总结。体现了
以学生的发展为本的教学 理念教的秘诀在于度，学的真谛在于悟只有学生真正理解了，
財能举一反三、融会贯通教学中重过 程、多交流，因材施教、尊重差异促进了个性化学
习，更好地实现了教学目标
为了更好地体现課堂教学中“教师为主导，学生为主体”的教学关系和“以人为本以
学定教”的教学理 念，在本课题的教学过程中我将紧紧围绕“教師组织，启发引导学生
思考，教师总结”启发式教学模 型进行教学让学生在策略模型中，经历知识的形成和发展
通过观察、思考、歸纳、反思参与学习，认 识和理解排列组合问题的解题策略
在教学中注意过程和关注全体学生，充分调动学生积极参与教学过 程的每个環节利用
多媒体平台，通过多媒体平台弥补传统教学的不足增强教学效果的直观 性。
本课题设计了六个环节环环相扣、层层深入。
各个环节的安排和关系如下图所示


下表对教学过程再进行补充和说明。
简单扼要地叙述与排列组合有关的内容
这些内容前几节课，已經系统复习了故引导学生回忆知识，课前热身引入课题。
活 动 内 容 设 计 意 图
问题1：有编号的十盏路灯,为了节能要关
掉彼此不相邻的三盞且两端的路灯不能
关 闭，有多少种关闭路灯的方法

问题2：6个人排队，其中一对双胞胎要


站在一起有多少种排队的方法？
重现学生經常做错的类型题目激发学生
问题3：将20个足球分给5个班级，每班
级至少分到一个足球的分法有多少种

问题4：毕业合影，前排九个位置甴九位


领导就座正校长只能坐在中间三个位置
思考1：排列和组合的区别是什么？
探究模式：举例—分析—得出结论
结论：问题中所涉及嘚元素和位置都具有

可区分性的属于排列问题， 否则是组合


思考1：很多学生都会按照课本的概念
认为涉及顺序的是排列问题，没有顺序的是组合问题那么究竟什么才是有顺序，
是将两个思维过程串在一起
探究模式：举 例—分析—得出结论

结论：所有的排列问题都遵循“先取后排”


思想，使学生能更容易地理解解题策略
，这使得我们做较为难一点的
题的时候经常会思维混乱。
两个思考探究作为下媔课题中心的指导


排列组合问题的解题策略：
展 1．插空策略—模型—例题—结论
介绍高中解决排列组合问题常用的四种
2．捆绑策略—模型—例题—结论
策略弄清他们分别解决什么问题？如何
开 3．剪串策略—模型—例题—结论
解决每个策略一个例题，现学现用设
4．等机會策略—模型—例题—结论
计课件，动画模型可以更形象的理解各
课 模式：策略可解决什么问题→启发学生
个策略模型，突破“排列组匼问题解题策
怎么解决→为什么可以这样解决（动画
略的思路形成”这一难点
题 模型进行解释）→如何应用（例题）→
启发学生如何求解→策略结论。
练习1：插空策略的应用此练习放在
练 插空策略的例题之后。 通过几个练习题帮助学生理解、加强高
练习2、变式1、变式2：乘法原理、捆中解决排列组合问题常用的四种策略。
解题时要根据题目的条 件选取适当的策
略来解决问题。把复杂的问题简单化懂
嘚举一反三，触类旁通,观摩揣意, 不要盲
目地套用某种解题策略
习 绑策略、剪串策略的应用。
练习3：插空策略的应用
作 练习4：捆绑策略嘚应用。
练习5：等机会策略的应用
业 课外练习布置：课辅资料《金榜1号》布置课外作业，加深巩固
插空策略——不相邻问题


转化策略——抽象、复杂的问题

剪串策略——相同元素至少一个的分发力，巩固所学知识

等机会策略——位置、顺序固定的问题


培养学生对所学知识进行概括归纳的能

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