如图，△ABC为等边三角形，点M，N分别在BC，AC上，且BM=CN，AM与BN交点。求∠AQN的度数。
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如图：∵BA=BC∠ABC=∠ACA=60°BM=CN∴△ABM≌△BCN∴ ∠1=∠2∵∠2+∠3=60°∴∠1+∠3=60°∴∠AQN=60°
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已知:点M,N分别在等边三角形ABC的BC，CA边上，且BM=CN，AM,BN交于点Q。求证:角BQM=60度
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先证三角形BNC和三角形AMB全等，所以角BAM等于角CBN，又因为角AMB等于角MAC加角C，角C加角MAC加BAM等于120度，所以角NMC加角AMB等于120度，所以角BQM等于60度
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（1）如图（1），△ABC为正三角形，点M是BC上任一点，点N是边AC上任一点，且BM=CN，直线AM与BN相交于点Q．∠BQM等于多少度？请说明理由；（2）如图（2），四边形ABCD为正方形，点M是BC上任一点，点N是边CD上任一点，且BM=CN，直线AM与BN相交于点Q．∠BQM等于多少度？简要说明理由；（3）如图（3），在正五边形ABCDE中，点M是BC上任一点，点N是边CD上任一点，且BM=CN，直线AM与BN相交于点Q．∠BQM等于多少度？
题型：解答题难度：中档来源：期末题
解：（1）∠BQM=60度．理由：由条件得△ABM≌△BCN．∴∠BAM=∠CBN．∴∠BQM=∠BAQ+∠ABQ=∠CBN+∠ABN=∠ABC=60°．（2）∠BQM=90°．证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°∵BM=CN，∴△ABM≌△BCN．∴∠BAM=∠CBN．∠AMB=∠BNC∵∠BAM+∠AMB=90°∴∠CBN+∠AMB=90°∴∠BQM=90°．（3）∠BQM=108°．证明：∵五边形ABCDE是正五边形，∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=108°，∵BM=CN，∴△ABM≌△BCN．∴∠BAM=∠CBN．∠AMB=∠BNC∴∠BAM+∠AMB=72°∴∠CBN+∠AMB=72°∴∠BQM=108 °．
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据魔方格专家权威分析，试题“（1）如图（1），△ABC为正三角形，点M是BC上任一点，点N是边AC上任一..”主要考查你对&&等边三角形，全等三角形的性质，三角形全等的判定，正方形，正方形的性质，正方形的判定&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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等边三角形全等三角形的性质三角形全等的判定正方形，正方形的性质，正方形的判定
等边三角形定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，“等边三角形”也被称为“正三角形”。是特殊的等腰三角形。 如果一个三角形满足下列任意一条，则它必满足另一条，三边相等或三角相等的三角形叫做等边三角形：1.三边长度相等；2.三个内角度数均为60度；3.一个内角为60度的等腰三角形。性质：①等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。②等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）③等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线 或对角的平分线所在的直线。④等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。（四心合一）⑤等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)判定方法：①三边相等的三角形是等边三角形（定义）②三个内角都相等（为60度）的三角形是等边三角形③有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形④&两个内角为60度的三角形是等边三角形说明:可首先考虑判断三角形是等腰三角形。等边三角形的性质与判定理解：首先，明确等边三角形定义。三边相等的三角形叫做等边三角形，也称正三角形。其次，明确等边三角形与等腰三角形的关系。等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。
等比三角形的尺规做法：可以利用尺规作图的方式画出正三角形，其作法相当简单：先用尺画出一条任意长度的线段（这条线段的长度决定等边三角形的边长），再分别以线段二端点为圆心、线段为半径画圆，二圆汇交于二点，任选一点，和原来线段的两个端点画线段，则这二条线段和原来线段即构成一正三角形。全等三角形：两个全等的三角形，而该两个三角形的三条边及三个角都对应地相等。全等三角形是几何中全等的一种。根据全等转换，两个全等三角形可以是平移、旋转、轴对称，或重叠等。当两个三角形的对应边及角都完全相对时，该两个三角形就是全等三角形。正常来说，验证两个全等三角形时都以三个相等部分来验证，最后便能得出结果。全等三角形的对应边相等，对应角相等。①全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边;②全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角;③有公共边的，公共边一定是对应边;④有公共角的，角一定是对应角;⑤有对顶角的，对顶角一定是对应角。全等三角形的性质：1.全等三角形的对应角相等。2.全等三角形的对应边相等。3.全等三角形的对应边上的高对应相等。4.全等三角形的对应角的角平分线相等。5.全等三角形的对应边上的中线相等。6.全等三角形面积相等。7.全等三角形周长相等。8.全等三角形的对应角的三角函数值相等。&三角形全等判定定理：1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”)，这一条也说明了三角形具有稳定性的原因。2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。4、有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”)5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边，直角边”) 所以：SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。三角形全等的判定公理及推论：(1)“边角边”简称“SAS”(2)“角边角”简称“ASA”(3)“边边边”简称“SSS”(4)“角角边”简称“AAS” 注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。要验证全等三角形，不需验证所有边及所有角也对应地相同。以下判定，是由三个对应的部分组成，即全等三角形可透过以下定义来判定：①S.S.S. (边、边、边)：各三角形的三条边的长度都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。②S.A.S. (边、角、边)：各三角形的其中两条边的长度都对应地相等，且两条边夹着的角都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。③A.S.A. (角、边、角)：各三角形的其中两个角都对应地相等，且两个角夹着的边都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。④A.A.S. (角、角、边)：各三角形的其中两个角都对应地相等，且没有被两个角夹着的边都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。⑤R.H.S. / H.L. (直角、斜边、边)：各三角形的直角、斜边及另外一条边都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。 但并非运用任何三个相等的部分便能判定三角形是否全等。以下的判定同样是运用两个三角形的三个相等的部分，但不能判定全等三角形：⑥A.A.A. (角、角、角)：各三角形的任何三个角都对应地相等，但这并不能判定全等三角形，但则可判定相似三角形。⑦A.S.S. (角、边、边)：各三角形的其中一个角都相等，且其余的两条边(没有夹着该角)，但这并不能判定全等三角形，除非是直角三角形。但若是直角三角形的话，应以R.H.S.来判定。解题技巧：一般来说考试中线段和角相等需要证明全等。因此我们可以来采取逆思维的方式。来想要证全等，则需要什么条件:要证某某边等于某某边，那么首先要证明含有那两个边的三角形全等。然后把所得的等式运用（AAS/ASA/SAS/SSS/HL）证明三角形全等。有时还需要画辅助线帮助解题。常用的辅助线有：倍长中线，截长补短等。分析完毕以后要注意书写格式，在全等三角形中，如果格式不写好那么就容易出现看漏的现象。正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 特殊的长方形。四条边都相等且四个角都是直角的四边形叫做正方形。有一组邻边相等的矩形是正方形。有一个角为直角的菱形是正方形。对角线平分且相等，并且对角线互相垂直的四边形为正方形。对角线相等的菱形是正方形。正方形的性质：1、边：两组对边分别平行；四条边都相等；相邻边互相垂直2、内角：四个角都是90°；3、对角线：对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角；4、对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形（有四条对称轴）；5、正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质；6、特殊性质：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；7、在正方形里面画一个最大的圆，该圆的面积约是正方形面积的78.5%；正方形外接圆面积大约是正方形面积的157%。8、正方形是特殊的长方形。正方形的判定：判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：先证明它是平行四边形，再证明它是菱形（或矩形），最后证明它是矩形（或菱形）。 1：对角线相等的菱形是正方形。2：有一个角为直角的菱形是正方形。3：对角线互相垂直的矩形是正方形。4：一组邻边相等的矩形是正方形。5：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。6：对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形。7：对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形。8：一组邻边相等，有三个角是直角的四边形是正方形。9：既是菱形又是矩形的四边形是正方形。有关计算公式：若S为正方形的面积，C为正方形的周长，a为正方形的边长，则正方形面积计算公式：S =a×a（即a的2次方或a的平方），或S=对角线×对角线÷2；正方形周长计算公式: C=4a 。S正方形=。（正方形边长为a，对角线长为b）
发现相似题
与“（1）如图（1），△ABC为正三角形，点M是BC上任一点，点N是边AC上任一..”考查相似的试题有：
351544388725466411202344388591113561问题分类：初中英语初中化学初中语文
当前位置： >
已知：点M、N在等边三角形ABC的AB边及AC边上运动，BD=DC，∠BDC=120°，∠MDN=60°．求证：MN=MB+NC
悬赏雨点：11 学科：【】
如图：& & &在CN的反向延长线上截取CM1=BM，连接DM1．∵正三角形ABC，BD=CD，∠BCD=120°∴∠ABC=∠ACB=60° ；∠DBC=∠DCB=30°∴∠MBD=∠M1CD=90°，BD=CD∴△DBM≌△DCM1，∴DM=DM1，∠MDB=∠M1DC，M1C=BM，∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，∴∠NDC+∠MDB=∠NDC+∠M1DC=∠M1DN=∠MDN=60°，DN=DN ， DM=DM1∴△MDN≌△M1DN，∴MN=M1N=M1C+NC=BM+NC，
&&获得：11雨点
证明 ：作DN'∥MN，与AB交于一点N'∵△ABC是正三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°. 又∵BD=DC，∠BDC=120°，∴∠BCD∠CBD=30°. ，∴∠ABD=∠ACD=90°连接AD，有AD=AD，BD=DC，∠ABD=∠ACD=90°∴AC=AB，∴BM=NC∵BD=DC，∠ABD=∠ACD=90°，BM=NC，∴△CDN≌△BDM，∴DM=DN∵∠MDN=60°，DM=DN，∴△NDM是正三角形，∴∠AN'D=60°，∴△N'DM是正三角形，∴MN=MN'∵△N'DM是正三角形，∠ABD=90°，∴BM=BN'=NC，∴MN+CN=MN+BN'=MN'=MNMN=MB+NC
证明 ：作DN'∥MN，与AB交于一点N'∵△ABC是正三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°.&又∵BD=DC，∠BDC=120°，∴∠BCD∠CBD=30°. ，∴∠ABD=∠ACD=90°连接AD，有AD=AD，BD=DC，∠ABD=∠ACD=90°∴AC=AB，∴BM=NC∵BD=DC，∠ABD=∠ACD=90°，BM=NC，∴△CDN≌△BDM，∴DM=DN∵∠MDN=60°，DM=DN，∴△NDM是正三角形，∴∠AN'D=60°，∴△N'DM是正三角形，∴MN=MN'∵△N'DM是正三角形，∠ABD=90°，∴BM=BN'=NC，∴MN+CN=MN+BN'=MN'=MNMN=MB+NC
证明 ：作DN'∥MN，与AB交于一点N'∵△ABC是正三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°.&又∵BD=DC，∠BDC=120°，∴∠BCD∠CBD=30°. ，∴∠ABD=∠ACD=90°连接AD，有AD=AD，BD=DC，∠ABD=∠ACD=90°∴AC=AB，∴BM=NC∵BD=DC，∠ABD=∠ACD=90°，BM=NC，∴△CDN≌△BDM，∴DM=DN∵∠MDN=60°，DM=DN，∴△NDM是正三角形，∴∠AN'D=60°，∴△N'DM是正三角形，∴MN=MN'∵△N'DM是正三角形，∠ABD=90°，∴BM=BN'=NC，∴MN+CN=MN+BN'=MN'=MNMN=MB+NC