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《百分数应用题》教学反思
这节课教学的成功之处有以下几方面： 1、解题方法“多样化”：(学生思维活跃) 《数学课程标准》的教学建议中指出：“教师应鼓励学生对同一个问题积极寻求多种不同的思路，而不是以教科书上的或事先欲设的答案作为评价的依据”。《数学课程标准》中，将“在解决问题的过程中发展探索与创新精神，体验解决问题策略的多样性”列为发展性领域目标。而这一目标的实现除了依靠学生自身的生理条件和原有的认知水平以外，还需要相应的外部环境。这节课上学生一共提出了4种解题方法，其中有2种是我们平时不常用的，第4种是我也没有想到的。我从学生的需要出发及时调整了教案，让每一个想发言的学生都能表达自己的想法，尽管他们有些数学语言的运用还不太准确，但我还是给与了肯定与鼓励。在这种宽松的氛围下，学生有了运用知识解决简单问题的成功体验，增强了学好数学的信心，并产生进一步学好数学的愿望。虽然后面还有两个练习没有来得及做，但我认为对一个问题的深入研究比盲目地做十道题地收获更大，这种收获不单单体现在知识上，更体现在情感、态度与价值观方面。 　　2．营造平等、和谐的课堂气氛： 数学教学改革，决不仅仅是教材教法的改革，同时也包括师生关系的变革。在课堂教学当中，要努力实现师生关系的民主与平等，改变单纯的教师讲、学生听的“注入式”教学模式，教师应成为学生学习数学的引导者、组织者和合作者，学生成为学习的主人。纵观整个教学过程，我所说的话并不多，除了“你是怎么想的？”“还有其他的方法吗？”“说说看”等激励和引导以外，我没有任何过多的讲解，有学生讲不清楚，我也是用商量的口吻说：“谁愿意帮他讲清楚？”当一次讲不明白，需要再讲一遍时，我也只是用肢体语言（用手势指导学生看图）引导学生在自己观察与思考的基础上明白了算理。学生能思考的，教师决不暗示；学生能说出的，教师决不讲解；学生能解决的，决不插手。由于我在课堂上适时的“隐”与“引”，为学生提供了施展才华的舞台，使他们真正成为科学知识的探索者与发现者，而不是简单的被动的接受知识的容器。 　　3、值得商榷的方面： 　　优生“吃好”了，能否让差生也“吃饱” 。在本节课上花了比较多的时间让学生说自己不同的方法，对于那些中等或学习有困难的同学来说是不是有必要，因为他们只能听懂其中的某一些解法，其余的听了也不懂。在课堂上他们在一定的时间段里成为了观众和听众。在面向全体学生这个层面上，本节课还有较大的欠缺。　　只要我们的教师不仅在理念上认识学生在教学中的主体地位,而且在实际行动上想千方设百计,在教学中落实学生的主体地位,引导学生主动积极地参与教学全过程,把学生推向前台,退居慕后,只充当教学中的组织者,引导者与合作者,为学生营造一个民主,平等,宽松。
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新人教六年级上 百分数的应用-百分率导学案
达标率是什么意思3．用百分数解决决问题
《百分数的一般应用题（一）》导学案课题
百分数的一般应用题（一）
2011 — 10
小学数学六年级上册第 85 、
（ 8 分钟）
（ 1 ）完成“做一做”第 2 题
（ 2 ）完成练习二十第 1 题
（ 3 ）完成练习二十第 5 题
（ 4 ）教师对学生的解答进行评议：
学生尝试解答然后交流？
学生尝试解答
检查学生书写的格式
教师归纳达标率公式
出示例 1 （ 2 ）
教师讲解发芽率在农业生产中的应用、学
习数学的情感，然后解答。
学生小组内列举生活中百分数的例子。
（ 3 ）培养学生的逻辑思维能力，体验迁移的学习方法，培养学生热爱数学。
学生先说一说出油率的意义？
对学生的回答进行分类
（、篮板， 16 次命中：命中率是什么意思？
（ 2 ）让学生思考。
小组讨论实际生活中你还知道哪些百分率。
过程与方法
经历解决问题的过程，让学生思考发芽率的含义。
学生小组讨论命中率的含义
汇报计算结果
二：我已经投篮次？把什么看单位“ 1 ”。
掌握求有关百分率的计算方法
对各种常见百分率的理解
百分数一般应用题的课件
质疑引导→组织探究→知识迁移→归纳小结→应用练习
（ 3 ）教师小结板书课题
（ 1 ）学生看课件思考问题，并能正确地解答这类
应用题。我投球的命中率是多少呢。（情景图）
小强，例 1
知识与技能
使学生掌握“求一个数是另一个数的百分之几”的应用题的数量关系和解题方法、
（ 15 分钟）
出示例 1 （ 1 ）
（ 1 ）教师放映课件。
情感态度与价值观
感受数学在解决实际问题中的作用。
（ 2 ）发展学生的移能力、 86 页、篮球！）学生读题思考问题
（ 2 ）学生独立解答
（ 3 ）学生交流对达标率的理解
学生交流对发芽率的理解
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出门在外也不愁分数、百分数乘除法应用题对比练习及优化方案练习题_小学数学试题_初中数学网
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分数、百分数乘除法应用题对比练习及优化方案练习题
&&&热&&&&&★★★
分数、百分数乘除法应用题对比练习及优化方案练习题
作者：佚名
文章来源：
更新时间： 12:51:36
姓名：&&&&&&&&&& &&&&班级：&&&&&&&&& &&分数：&&&&&&&&&&
一、基础练习（根据下面的条件，先在题中标出单位“1”，再写出数量关系式）
1、男生是女生的 &&&&&& &2、女生是男生的 &&&&&&& 3、男生比女生多
4、女生比男生少 &&&&&&& 5、今年比去年增产 &&&&& 6、一件衣服降价
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&
二、根据图意，列式解答。
&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&
三、对比练习（先把单位“1”圈出来，再用方程或算式解答下面各题。）
1、（1）某校有男生240人，女生是男生的 ，女生有多少人？
（2）某校有男生240人，是女生的 ，女生有多少人？
（3）某校有男生240人，比女生多 ，女生有多少人？
（4）某校有男生240人，女生比男生少 ，女生有多少人？
（5）某校有男生240人，比女生少 ，女生有多少人？
（6）某校有男生240人，女生比男生多 ，女生有多少人？
2、（1）一根钢管，用去 ，剩下20分米，这根钢管原有多少分米？
（2）一根钢管原有80米，用去 ，剩下多少分米？
3、（1）商店运来一批水果，其中苹果有180kg,梨比苹果多 ，梨比苹果多多少千克？
（2）商店运来一批水果，其中苹果有180kg,比梨多 ，苹果比梨多多少千克？
4、（1）鸡场养有小鸡2240只，中鸡是小鸡的 ，大鸡是中鸡的 ，大鸡有多少只？
（2）鸡场养有大鸡1200只，是中鸡的 ，中鸡是小鸡的 ，小鸡有多少只？
5、（1）修一条500米的公路，已经修了 ，还剩下多少米？
（2）修一条公路，已经修了 ，还剩下300米，这条公路多少米？
6、（1）机床厂去年生产机床500台，今年生产600台，今年生产的是去年的百分之几？
（2）机床厂去年生产机床500台，今年生产600台，今年比去年超额百分之几？
（3）机床厂去年生产机床500台，今年生产600台，去年比今年少了百分之几？
（4）机床厂去年生产机床500台，比今年少生产100台，比今年少了百分之几？
（5）机床厂去年生产机床500台，比今年少生产100台，今年比去年多了百分之几？
7、一个果园里去年产了4500千克的苹果，今年因为气候好，比去年增产了2成，今年产了多少千克苹果？
、六年一班参加美术兴趣小组的有20人，比参加体育兴趣小组的人数多20％，参加体育兴趣小组的有多少人？
、有一台冰箱，原价2000元，降价后卖1600元，降了百分之几？
10、有一个公园原来的门票是80元，国庆期间打8折，每张门票能节省多少元？相当于降价了百分之几
二、四、优化方案题
&1、六（1）班有45名同学来到公园乘船游玩，
公园大门口贴着一张购票须知，请你根据以
上须知，为他们设计至少两种购票方案，并
找出一种最省钱的方案。
2、10人到公园乘小船游览，租船的售票处写着：
请你设计租金最少的方案。一共需要多少钱？
3、甲商场以打九折优惠，乙商场以满100元送10元购物券优惠。张阿姨打算花掉500元，在哪家商场购物更加合算？为什么？
4、某小学要买50个足球，现在有甲、乙、丙三个商店可以选择。三个商店的足球的价格都是25元，但商店的优惠的办法不同。
甲店：买10个足球免费赠送2个，不足10个不赠送。乙店：每个足球优惠5元。丙店：购物满100元，返还现金20元。为了节省费用，学校应该在那家商店购买？为什么？
5、某市的市内电话收费标准如右图所示
&&（1）打市内电话2分钟和5分钟分别收费多少元？
（2）打一次市内电话付费1.2元,这次电话最长打了多少分钟？
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一、描述 六年级数学复习课已经进行了很长时间了，课前的复习整理，课上交流汇报，已经成了一成不变的一种模式，同学已经在熟悉不过了，对此也就没有了多少热情。这节课要解决87页考虑题、104页15题和考虑题。我决定换一种方式：课前整理时，自身设计解决问题的方法。87页考虑题同学理解比较困难，对“比原价降低了百分之几”这个问题较难理解，我放手让章意等好同学头天晚上设计解决方案。章意的方案是用假设法，设定一种商品的价格为100元，然后再依照分数应用题的解题方法解答。同学对他的这种讲法易于接受，比较直观。
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二、分析：
　1、激发同学主动学习的欲望，为学习的主动学习发明条件。在宣布了这样的上课方式后，同学们的兴致很高，在上课之前已经聚在一起讨论怎么讲题，其实这就是在自主学习。为了想好怎么解题，他们聚在一起讨论、分析，最主要的是他们对此不以为苦，反以为乐，设计的方案被采用了，高兴劲和胜利感就油然而生。课堂的学习被延伸至课前、课外，课堂上的被动接受成为课外的主动复习，而课堂上的讲题过程突出解决的是他们认为重要的地方和最难的地方，更因为这些问题都来自同学自身。在教学上，我努力把课堂还给同学，努力淡化并退出同学心中教师的权威形象，让他们感觉课堂是他们的，是他们在争辩，老师不是裁判，只是主持或者说只是观众，对与错都由他们来决定。
　2、增强合作意识，为学困生的参与和胜利发明机会。这节课后进生不再是被遗忘的角落，用这种形式上课时，他们敢于说出自身所理解到的，哪怕是一点点，看着他们一脸的喜悦，我多么惊喜，这不正是我所希望的学习方式吗？！同伴间的学习和合作对这些小朋友是多么有效，学习成为了一种需要而不是一种命令。
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三、反思：
　反思这节课,我觉得这种形式有利于培养同学分析解决问题的能力。由于同学在解答开放题时，会表示出不同层次、多种水平的解答方案：有的同学可能只找到一种答案，有的同学能找到多种答案。不同的解答方案和结果会表示出不同的思维水平。同学通过探索的过程、寻找方法和计算的过程，变简单机械模仿过程逐步上升为深化提高知识的过程。在这样的解题过程中，同学的分析问题、解决问题的能力得到培养和提高。
有利于强化同学的创新意识。以往同学往往找到一个答案就不必也不再进一步考虑了。这样，可以培养同学不时进取的精神，强化同学的创新意识，提高同学养成创新习惯的自觉性。
有利于减轻同学的过重负担。同学在解开放题时，不是机械性地就题论题，而是要从众多的模式中选择自身所需的模式，多方面考虑解决问题。这样可以使同学举一反三、举一反三，用最少的时间，做最小量的题目，但能获取较多的知识，从而提高做题的质量，把同学从繁重的作业堆里解放出来，大大减轻同学课业的过重负担。
有利于形成宽松的教学氛围。是畅所欲言，教师不再把同学一个个“扶过河”，而是充沛信任同学，放手让同学自身开放思路学会“过河”。在这一过程中，师生之间的教学关系已开放为平等的合作伙伴关系，同学可以怀着轻松、愉快的心情进行学习。这样，教师的教是为同学的学习和探索服务的，并以同学的主动性的发挥作为教师主导水平的规范。这样做，有利于形成宽松和谐的课堂教学氛围。
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最近六年级正在学习百分数应用题，由于有了前段分数应用题的基础，百分数应用题同学学下来总体情况较好。但是和比多比少的分数应用题同学难以理解一样，我估计比多比少的百分数应用题依然将是许多同学难以跨越的一道坎。为了让同学能更清楚地理解此类应用题的基本特征和解题方法，防止出现遇到比多比少的百分数应用题就混淆的情况，我在充沛钻研了新教材的基础上，重新设计了本课的教学方案。
本节课的教学是求一个数是另一个数的百分之几的应用题的发展。它是在求比一个数多（少）几分之几的分数应用题的基础上进行教学的。这种题实际上还是求一个数是另一个数的百分之几的题，只是有一个数题目里没有直接给出来，需要根据题里的条件先算出来。通过解答比一个数多（少）百分之几的应用题，可以加深同学对百分数的认识，提高百分数应用题的解题能力。教学例题时，为了协助同学理解题意，分析数量关系，我画出线段图表示题目的数量关系。通过“想”协助同学弄清，要求实际造林比原计划多百分之几，就是求多造林的公顷数是原计划造林公顷数的百分之几。和以往只满足于让同学学会书上介绍的方法不同，在列式解答后，我又提出“想一想：这道题还有其他解法吗？”引导同学用另外的方法解这道题：先求出实际造林的公顷数是原计划的百分之几，再把原计划造林的公顷数看作“1”（100%）。那么，用实际造林的公顷数是原计划的百分之几减去100%，就是实际造林比原计划多的。在此基础上，我又提出“假如把例题中的问题改成‘原计划造林比实际造林少百分之几’该怎样解答”？以加强题目的变化。由于题目的问题改了，所以题目中以谁作单位“1”就有变化，解答方法也不同了。
通过本课教学我发现其实教材中重点布置的第一种解法并不受同学欢迎。想想也是要让同学很清晰地理解一个量比另一个量多/少谁的百分之几确实没那么容易。同学们选择用第二种解法显然要容易理解得多，以前的教学中只给同学提供了唯一的道路，没有去考虑其他出路，这种单一的教学其实也制约了同学的思维，让他们在此路不通的情况下就束手无策了。
《数学课程规范》的教学建议中指出：“教师应鼓励同学对同一个问题积极寻求多种不同的思路，而不是以教科书上的或教师事先欲设的答案作为评价的依据”。由此可见，其实在我们平时的教学中经常地犯着一些我们还没有意识到的错误，并且很有可能我们会为一些自身不认为的错误为荣，固守着不愿有丝毫的改变。正是老师的这种固守让课堂失去了灵性，让同学的思维断了翅膀。
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在教学百分数应用题例4“ 计划种树100棵实际超额完成了20%，实际完成了多少棵？ ” 由于事先我已经知道这一局部知识比较笼统，同学不易理解，因此在教学前我采取知识转换，利用复习题“计划载100棵树，实际栽了120棵，实际栽的是计划的百分之几？”让同学独立列式解答，然后出示例1让同学分析此题中将谁看作单位“1”超额的局部是什么？和同学一起分析并列式解答，再练习几道类似的习题同学做的都很准确我感到很高兴，以为在解决百分数应用题中只要抓准单位“1”就可以了，可是第2天当我将这一类型题与其他分数应用题放在一起做时有3名同学没有做对，我让这三名同学说出他们各自的思路发现同学对多出的局部占谁的百分之几没有弄清楚。导致同学直接用单位“1”乘多出的百分之几，这时我与同学进一步研讨并尝试让同学自身画线段图表示整体与局部以和与多出的局部之间的关系，将笼统的知识形象化，这样同学就很容易理解了，再接下来的教学中同学都比较好的掌握了这种方法。
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设计求一个数是另一个数的百分之几的教学时，适当增加了难度。譬如，求一个数比另一个数多百分之几，或者超额百分之几，完成了百分之几，直接用1减百分数得到还剩百分之几。在这样的前提下再进行单元复习，同学会不会因易而生懈怠或这厌倦之意。如何防止这些有可能发生的事情，把复习课多少上出些新意，这是我首先考虑的问题。
首先我考虑打通百分数与分数、比的内在联系。通过提组的训练，让同学感受红花的朵数占白花的80%，又可以说成红花占白花的几分之几，红花和白花朵数的比是几比几。体会三者的形式各异而表达的数学实质是相同的。再出示实际比计划多生产20%，用类似上面的说出分数和比，以和转化成实际占计划的百分之几，几分之几，以和比。通过具体的情境让同学感受百分数与分数、比的练习和区别。让同学进一步理解：百分数和分数这里都表示比率，百分数更容易比较，比的形式偏重表示份数关系。
复习课如何上出新意，除了依样画葫芦地把旧知串连、结构化和提升，我还从挖掘课本的习题的价值上入手，争取把每道习题都能让同学感兴趣、有收获，能增加同学对百分数的理解。譬如第一次，补充“老龄化社会”的概念——当65岁以上的人口占总人数的10%，那么这个国家就进入了老龄化，我国再过几年就要进入老龄化社会，年轻人要学会尊重老人和关心老人。我顺便问同学，我国最大的少数民族是什么族，你知道它的人口占少数民族的总人口的百分之几吗？又占全国总人口的百分之几？（壮族人口占全国总人口的1.3%，占少数民族总人口的19.9%）。通过百分数，同学一下就知道了老龄化社会，壮族人口在全国的比率，同学的学习兴趣下就提高了。同学在回答第二题“我国年抽检的合格率”的问题时，一个同学提出了：合格率提高到97%左右就持平了不再上升了，我就紧接着问：从药品合格率从97%再往上提升为什么这么难？有没有可能达到100%？教育同学药品合格与否关乎百姓生命健康，假如我们今后经营药品一定不能经营伪劣药品。这两道习题充沛体现了百分数的特点：反映局部量与总量的关系，因为分母相同所以容易比较，也能反映事物发展的趋势。
在解决110页第3题，同学汇报怎么算每种颜色的面积各占圆面积的百分之几。一位女生说：红色占50%，蓝色的占红色的一半，所以是25%，黄色是蓝色的一半，所以黄色占圆面积的12.5%，我给予褒扬和肯定。同时又让同学说出一般方法，即先算出分数，再算出百分数。把这些分数作比较，再全部化成百分数后作比较，所以同学们就很快很方便地得出用百分数表示的优势。
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百分数应用题是小学数学教学内容之一。这个教学内容包括了三大类，一是求分率？二是求单位“1”的百分之几是多少？三是求单位“1”的量？这三大类的学习，一是让同学弄清每一类的数量关系，以和三类之间的联系与区别，二是让同学运用所学知识解决生活中的一些实际问题，并能让同学体会到百分数在生活的运用是十分的广泛的。
本课时的教学利用了百分数和分数的关系，以旧引新，启发同学在回忆分数应用题中的数量关系和解题方法的基础上，自主探索，全班互动，实现知识的迁移。引导并鼓励同学动脑分析数量关系，大胆提出自身的独立见解，用不同的方法解答百分数应用题，体验数学问题的探索性和挑战性，感受数学考虑的条理性，培养同学有条理有根据地进行考虑，比较完整地叙述考虑过程的能力和综合应用所学知识解决问题的能力。
我认为本节课缺乏的地方：任何群体中，个体间的差别是存在的，我们的教育对象——同学群体也不例外。俗语讲得好：十个手指有长短！不同的同学，出于各种原因，起点不同，发展的目标与速度当然也不同。在本课中，对后进生虽有照顾，但在整个教学过程中，对他们的关注还是显得缺乏，特别是在练习中未考虑到他们的实际情况，对他们提出了和其他同学一样的要求，在课上这种疏漏就体现了出来，虽然练习的难度不是太大，但是练习量对于他们来说略嫌多了一些。
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绿色免费PPT课件试卷教案作文资源 X2怎样学好初中关于百分数的应用题?
怎样学好初中关于百分数的应用题?
一个物体以16米每秒的速度运动，并且均匀减速，运动20米后停下来：
1.这个物体运动了多长时间？
2.平均每秒物体的运动速度减少多少？
3.物体运动到18米时约用了多少时间？（精确到0.1秒）
　较复杂的百分数应用题是在分数应用题的基础上出现的，旨在使学生明确分数应用题与百分数应用题的联系和区别，一个复合应用题由几个简单应用题组成，这样符合儿童的认识规律。怎样教好这类应用题呢？应从以下几个方面入手。　　一、充分运用新旧知识间的联系，加强学生数学技能的训练，因为分数应用题和百分数应用题的基本数量关系相同，所以掌握好分数应用题的解答关键和方法是学好新课的必要途径，因此，教学新课前，我准备了三道复习题。　（一）口算： 1+25% 1-75% 1-1% 130%-1 1+85% ２－５= % １－４= % １－５= % 　（二）列式计算 ①一个钢铁厂去年产钢44万吨，今年计划比去年增产１－４，今年产钢多少吨？ ②一个钢铁厂去年产钢44万吨，今年计划比去年增产25%，今年比去年增加了多少万吨？今年计划产钢多少万吨？学生练习后指名口答：这两题中分别是谁与谁比？谁是标准量，谁是比较量？待学生回答后，教师指出，如果把②题中的“今年计划比去年增加多少万吨”去掉，就变成了今天要学习的内容，揭示课题并板书。　　二、通过观察、比较，引导学生主动参与新知识的探索过程。　　出示例6，一个小钢铁厂去年产钢44万吨，今年计划比去年增产25%，今年计划产钢多少吨？ 学生读题后，引导学生把例6与复习②比较，集体讨论，找出两题之间的相同点和不同点，指名回答。　　相同点：数量关系相同，结构特征一样。　　不同点：一个是分数应用题，一个是百分数应用题。　　既然两者的数量关系相同，你能依照复习②的解法进行解答吗？创设情景，增强学生求知欲望。这时指名学生画线段图，教师放准备好的活动线段图的灯片。加强教学的直观性，注重画的过程。根据儿童的认知特点，教师提出如下的问题：①从线段图能否看出是哪个量同哪个量比？哪个量是标准量？哪个量是比较量？这样一步一步启发学生思考，加强学生思维的训练，使学生掌握解答这类应用量的基本思路。 为了突破本节课的难点，教师再次引导学生谈线段图并启发思考：从线段图上可以看出今年的产钢量对应的百分率吗？25%是谁对应的分率？究竟今年的产钢量所对应的百分率是多少？教师强调：今年的产钢量除了和去年一样多外，还多25%，即1+25%。之后让学生独立列式计算，指名板演。 为发加强学生发散能力的培养，注意教学的发展性，我进行了变式练习。 将题里今年改成去年，去年改成今年，再把25%改成20%，计划两字划掉，变成： 一个钢铁厂今年产钢44万吨，去年计划比今年增产20%，去年产钢多少吨？教师边讲边放幻灯。 引导学生同例6的方找标准量，找对应的百分率。从少产20%这句话入手，推出谁与谁比，从去年比今年少20%，可以知道，是去年的产量同今年的产量比，今年的产量是标准量，去年的产量相当于今年的（1-20%），所以（1-20%）就是去年的产量所对应的百分率。　　三、根据学生的认识规律，重视归类整理，使理解程序化。 根据以上的教学，学生对百分数的复合应用题有了较深的理解。为了更好地使学生百分数复合应用题的结构特征、数量关系及解答方法，我出示了一个图表，让学生讨论后填出解答方法。　　 结构特征 解答方法　　已知标准量即单位“1”的量 求比标准量多百分之几的对应量 标准量×（1+百分之几）　　求比标准量少百分之几的对应量 标准量×（1-百分之几） 通过这样的教学，学生对百分数应用题有了规律性的认识。　　四、注意学法指导，增强练习的针对性 我国老教育家叶圣陶说过：教师教任何功课，讲都是为了达到用不着讲，教都是为了用不着教。教学过程是学生逻辑思维和独立获取知识、运用知识的过程。因此我教学新课后，注意了学生的学法指导，出示两道练习题（放幻灯片）指导学生分析解答。 1、某钢厂元月份产钢280吨，二月份比元月份增产15%，二月份产钢多少吨？ 2、一条水渠长480米，修了全长的25%，还剩多少米？
50多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）×180° 51推论 任意多边的外角和等于360° 52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等 53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等 54推论 夹在两条平行线间的平行线段相等 55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分 56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形 59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形 60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角 61矩形性质定理2 矩形的对角线相等 62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形 63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形 64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等 65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷2 67菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形 68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等 70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的 72定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分 73逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一 点平分，那么这两个图形关于这一点对称 74等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等 75等腰梯形的两条对角线相等 76等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 77对角线相等的梯形是等腰梯形 78平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段 相等，那么在其他直线上截得的线段也相等 79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰 80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第 三边 81 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它 的一半 82 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的 一半 L=（a+b）÷2 S=L×h 83 (1)比例的基本性质 如果a:b=c:d,那么ad=bc 如果ad=bc,那么a:b=c:d wc呁/S∕ ? 84 (2)合比性质 如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d 85 (3)等比性质 如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么 (a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b 86 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应 线段成比例 87 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例 88 定理 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边 89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例 90 定理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似 91 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（ASA） 92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS） 94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（SSS） 95 定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三 角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似 96 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平 分线的比都等于相似比 97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比 98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方 99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等 于它的余角的正弦值 100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等 于它的余角的正切值 101圆是定点的距离等于定长的点的集合 102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合 103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合 104同圆或等圆的半径相等 105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半 径的圆 106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直 平分线 107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线 108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距 离相等的一条直线 109定理 不在同一直线上的三点确定一个圆。 110垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 111推论1 ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 ③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 112推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等 113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 114定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦 相等，所对的弦的弦心距相等 115推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两 弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等 116定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 117推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等 118推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所 对的弦是直径 119推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 120定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它 的内对角 121①直线L和⊙O相交 d＜r ②直线L和⊙O相切 d=r ③直线L和⊙O相离 d＞r ? 122切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 123切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 124推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 125推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 126切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等， 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 127圆的外切四边形的两组对边的和相等 128弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 129推论 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等 130相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积 相等 131推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的 两条线段的比例中项 132切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割 线与圆交点的两条线段长的比例中项 133推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 134如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上 135①两圆外离 d＞R+r ②两圆外切 d=R+r ③两圆相交 R-r＜d＜R+r(R＞r) ④两圆内切 d=R-r(R＞r) ⑤两圆内含d＜R-r(R＞r) 136定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公*弦 137定理 把圆分成n(n≥3): ⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形 ⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形 138定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 139正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n 140定理 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形 141正n边形的面积Sn=pnrn／2 p表示正n边形的周长 142正三角形面积√3a／4 a表示边长 143如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为 360°，因此k×(n-2)180°／n=360°化为（n-2）(k-2)=4 144弧长扑愎 剑篖=n兀R／180 145扇形面积公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／2 146内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r) （还有一些，大家帮补充吧） 实用工具:常用数学公式 公式分类 公式表达式 乘法与因式分解 a^2-b^2=(a+b)(a-b) a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) a^3-b^3=(a-b(a^2+ab+b^2) 三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b&=&-b≤a≤b |a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a| 一元二次方程的解 -b+√(b^2-4ac)/2a -b-√(b^2-4ac)/2a 根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理 判别式 b^2-4ac=0 注：方程有两个相等的实根 b^2-4ac&0 注：方程有两个不等的实根 b^2-4ac&0 注：方程没有实根，有*轭复数根 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式 tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2] cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2 半角公式 sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2) tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) cot(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) cot(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) 和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) ) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB 某些数列前n项和 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2 2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 5 1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+…n^3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注： 其中 R 表示三角形的外接圆半径 余弦定理 b^2=a^2+c^2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角 圆的标准方程 (x-a)^2+(y-b)^2=^r2 注：（a,b）是圆心坐标 圆的一般方程 x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 注：D^2+E^2-4F&0 抛物线标准方程 y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py 直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c'*h 正棱锥侧面积 S=1/2c*h' 正棱台侧面积 S=1/2(c+c')h' 圆台侧面积 S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2 圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l 弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r &0 扇形面积公式 s=1/2*l*r 锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h 斜棱柱体积 V=S'L 注：其中,S'是直截面面积， L是侧棱长 柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h
的感言：好复杂
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