三角形 _百度百科
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由不在同一直线的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭叫做三角形。如果三条边相等或三个角度数都一样，那么，它是一个正三角形（）；如果有一个角是直角，那么它是直角三角形，如果三个角各不相同，那么它只是一个三角形。外文名Triangle适用领域范围初中、小学
在同一平面内由不在同一直线上的三条线段，首尾顺次相接所得到的几何图形叫做三角形（triangle），符号为△。是的基本图形。[1]判定法一：
：三角形的三个内角都小于90度。
：三角形的三个内角中一个角等于90度，可记作Rt△。
：三角形的三个内角中有一个角大于90度。[2]
判定法二：
锐角三角形：三角形的三个内角中最大角小于90度。
直角三角形：三角形的三个内角中最大角等于90度。
钝角三角形：三角形的三个内角中最大角大于90度，小于180度。
其中锐角三角形和钝角三角形统称为。
由[3]延伸而来
若一个三角形的三边a，b，c （a&b≥c&0） 满足：
1.b?+c?&a?，则这个三角形是；
2.b?+c?=a?，则这个三角形是；
3.b?+c?&a?，则这个三角形是。；
若一个三角形的三边分别为a、b、c，则 。
三角形面积（S=底×高÷2。其中，a是三角形的底，h是底所对应的高）注释：三边均可为底，应理解为：三边与之对应的高的积的一半是三角形的面积。这是面积法求线段长度的基础。
（其中，三个角为∠A，∠B，∠C，对边分别为a，b，c。参见）
(l为高所在边）
（），其中 [5]
（其中，R是外接圆半径）
6 （其中，r是内切圆半径）
7 在内，A（a，b），B（c，d），C（e，f）构成之三角形面积为 。[6]A，B，C三点最好按逆时针顺序从右上角开始取，因为这样取得出的结果一般都为正值，如果不按这个规则取，可能会得到负值，但只要取就可以了，不会影响三角形面积的大小。
（面积公式，a是三角形的边长）
9 (其中，R是半径；r是半径）
　　连接三角形的一个顶点及其对边中点的线段叫做三角形的（median）。从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的（altitude）。三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的（bisector of angle）。三角形的三边中任意两边中点的连线叫。它平行于第三边且等于第三边的一半。[2][7]1 在平面上三角形的和等于180°（内角和定理）；
2 在平面上三角形的外角和等于360° (外角和定理)；
3 在平面上三角形的等于与其不相邻的两个内角之和。
推论：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
4 一个三角形的三个内角中最少有两个。
5 在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度。6 三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。（三角形两边之和大于第三边中的两边是指两条较小的边，两边之差小于第三边的两边是指两条较大的边。）
7 直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方（）。
*勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a?+b?=c? ，那么这个三角形是直角三角形。
8 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
9 三角形的三条角平分线交于一点，三条高线的所在直线交于一点，三条中线交于一点。
10 三角形三条中线的长度的平方和等于它的三边的长度平方和的3/4。
11 等底同高的三角形面积相等。
12 底相等的三角形的面积之比等于其高之比，高相等的三角形的面积之比等于其底之比。
13 三角形的任意一条中线将这个三角形分为两个面积相等的三角形。
14 等腰三角形顶角的角平分线和底边上的高、底边上的中线在一条直线上（三线合一）。15 在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边。
在三角形中 ,其中角α,β,γ分别对着边a,b,c。
16 在斜△ABC中恒满足： 。
17 △ABC中恒有 。
18具有稳定性[2]。给出了直角三角形中边和角的关系，可以用来。
三角函数是数学中属于中的一类。请参考相关词条。两个能够完全重合的三角形称为全等三角形。[8]的对应角相等，对应边也相等。翻折，，旋转，多种变换叠加后仍全等。[8]1 两个三角形对应的三条边相等，两个三角形全等，简称“边边边”或“SSS&；
2 两个三角形对应的两边及其夹角相等，两个三角形全等，简称“边角边”或“SAS”；
3 两个三角形对应的两角及其夹边相等，两个三角形全等，简称“”或“ASA”；
4 两个三角形对应的两角及其一角的对边相等，两个三角形全等，简称“”或“AAS”；
5 两个直角三角形对应的一条斜边和一条直角边相等，两个直角三角形全等，简称“斜边、直角边”或“HL”；
6 仅限两个三角形同为锐角或钝角时，两个三角形对应的两边及一边对角相等，两个三角形全等，简称，“边边角”或“SSA”[9-10]对应边成比例的两个三角形叫做。1 三角形对应边成比例，对应角相等。
2 相似三角形对应边的比叫做。
3 相似三角形的比等于，面积比等于相似比的平方。
4 相似三角形对应（、中线、高）之比等于相似比。[11]1 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似（简称：三边对应成比例的两个三角形相似）。
2 如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似（简称：两边对应成比例且其夹角相等的两三角形相似）。
3 如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似（简称：两角对应相等的两三角形相似）。
4 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个三角形相似。[11]五心、四圆、三点、一线：这些是三角形的全部特殊点，以及基于这些特殊点的相关图形。“五心”指、、、和；“四圆”为、、和；“三点”是勒莫恩点、和；“一线”即。[12]
五心的距离
OH?=9R?–(a?+b?+c?),
OG?=R?–(a?+b?+c?)/9,
OI?=R?–abc/(a+b+c)=R? – 2Rr
GI?=(p?+5r?–16Rr)/9,
HI?=4R?-p?+3r?+4Rr=4R?+2r?-(a?+b?+c?)/2,
其中，R是半径；r是半径。在所有平面多边形中，唯三角形具稳定性。任取三角形两条边，则两条边的非公共端点被第三条边连接。
∴第三条边不可伸缩或弯折
∴两端点距离固定
∴这两条边的夹角固定
∵这两条边是任取的
∴三角形三个角都固定，进而将三角形固定
∴三角形有稳定性
任取n边形（n≥4）两条相邻边，则两条边的非公共端点被不止一条边连接埃菲尔铁塔
∴两端点距离不固定
∴这两边夹角不固定
∴n边形（n≥4）每个角都不固定
∴n边形（n≥4）没有稳定性
证毕。[1]三角形的稳定性使其不像四边形那样易于变形，有着稳固、坚定、耐压的特点。三角形的结构在工程上有
金字塔着广泛的应用。许多都是三角形的结构，如：，埃及等等。[1]
三边关系定理
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全等三角形的性质
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三角形面积公式一般指三角形
由不在同一直线的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭叫做三角形。如果三条边相等或三个角度数都一样，那么，它是一个正三角形（）；如果有一个角是直角，那么它是直角三角形，如果三个角各不相同，那么它只是一个三角形。外文名Triangle适用领域范围初中、小学
在同一平面内由不在同一直线上的三条线段，首尾顺次相接所得到的几何图形叫做三角形（triangle），符号为△。是的基本图形。[1]判定法一：
：三角形的三个内角都小于90度。
：三角形的三个内角中一个角等于90度，可记作Rt△。
：三角形的三个内角中有一个角大于90度。[2]
判定法二：
锐角三角形：三角形的三个内角中最大角小于90度。
直角三角形：三角形的三个内角中最大角等于90度。
钝角三角形：三角形的三个内角中最大角大于90度，小于180度。
其中锐角三角形和钝角三角形统称为。
由[3]延伸而来
若一个三角形的三边a，b，c （a&b≥c&0） 满足：
1.b?+c?&a?，则这个三角形是；
2.b?+c?=a?，则这个三角形是；
3.b?+c?&a?，则这个三角形是。；
若一个三角形的三边分别为a、b、c，则 。
三角形面积（S=底×高÷2。其中，a是三角形的底，h是底所对应的高）注释：三边均可为底，应理解为：三边与之对应的高的积的一半是三角形的面积。这是面积法求线段长度的基础。
（其中，三个角为∠A，∠B，∠C，对边分别为a，b，c。参见）
(l为高所在边）
（），其中 [5]
（其中，R是外接圆半径）
6 （其中，r是内切圆半径）
7 在内，A（a，b），B（c，d），C（e，f）构成之三角形面积为 。[6]A，B，C三点最好按逆时针顺序从右上角开始取，因为这样取得出的结果一般都为正值，如果不按这个规则取，可能会得到负值，但只要取就可以了，不会影响三角形面积的大小。
（面积公式，a是三角形的边长）
9 (其中，R是半径；r是半径）
　　连接三角形的一个顶点及其对边中点的线段叫做三角形的（median）。从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的（altitude）。三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的（bisector of angle）。三角形的三边中任意两边中点的连线叫。它平行于第三边且等于第三边的一半。[2][7]1 在平面上三角形的和等于180°（内角和定理）；
2 在平面上三角形的外角和等于360° (外角和定理)；
3 在平面上三角形的等于与其不相邻的两个内角之和。
推论：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
4 一个三角形的三个内角中最少有两个。
5 在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度。6 三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。（三角形两边之和大于第三边中的两边是指两条较小的边，两边之差小于第三边的两边是指两条较大的边。）
7 直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方（）。
*勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a?+b?=c? ，那么这个三角形是直角三角形。
8 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
9 三角形的三条角平分线交于一点，三条高线的所在直线交于一点，三条中线交于一点。
10 三角形三条中线的长度的平方和等于它的三边的长度平方和的3/4。
11 等底同高的三角形面积相等。
12 底相等的三角形的面积之比等于其高之比，高相等的三角形的面积之比等于其底之比。
13 三角形的任意一条中线将这个三角形分为两个面积相等的三角形。
14 等腰三角形顶角的角平分线和底边上的高、底边上的中线在一条直线上（三线合一）。15 在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边。
在三角形中 ,其中角α,β,γ分别对着边a,b,c。
16 在斜△ABC中恒满足： 。
17 △ABC中恒有 。
18具有稳定性[2]。给出了直角三角形中边和角的关系，可以用来。
三角函数是数学中属于中的一类。请参考相关词条。两个能够完全重合的三角形称为全等三角形。[8]的对应角相等，对应边也相等。翻折，，旋转，多种变换叠加后仍全等。[8]1 两个三角形对应的三条边相等，两个三角形全等，简称“边边边”或“SSS&；
2 两个三角形对应的两边及其夹角相等，两个三角形全等，简称“边角边”或“SAS”；
3 两个三角形对应的两角及其夹边相等，两个三角形全等，简称“”或“ASA”；
4 两个三角形对应的两角及其一角的对边相等，两个三角形全等，简称“”或“AAS”；
5 两个直角三角形对应的一条斜边和一条直角边相等，两个直角三角形全等，简称“斜边、直角边”或“HL”；
6 仅限两个三角形同为锐角或钝角时，两个三角形对应的两边及一边对角相等，两个三角形全等，简称，“边边角”或“SSA”[9-10]对应边成比例的两个三角形叫做。1 三角形对应边成比例，对应角相等。
2 相似三角形对应边的比叫做。
3 相似三角形的比等于，面积比等于相似比的平方。
4 相似三角形对应（、中线、高）之比等于相似比。[11]1 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似（简称：三边对应成比例的两个三角形相似）。
2 如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似（简称：两边对应成比例且其夹角相等的两三角形相似）。
3 如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似（简称：两角对应相等的两三角形相似）。
4 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个三角形相似。[11]五心、四圆、三点、一线：这些是三角形的全部特殊点，以及基于这些特殊点的相关图形。“五心”指、、、和；“四圆”为、、和；“三点”是勒莫恩点、和；“一线”即。[12]
五心的距离
OH?=9R?–(a?+b?+c?),
OG?=R?–(a?+b?+c?)/9,
OI?=R?–abc/(a+b+c)=R? – 2Rr
GI?=(p?+5r?–16Rr)/9,
HI?=4R?-p?+3r?+4Rr=4R?+2r?-(a?+b?+c?)/2,
其中，R是半径；r是半径。在所有平面多边形中，唯三角形具稳定性。任取三角形两条边，则两条边的非公共端点被第三条边连接。
∴第三条边不可伸缩或弯折
∴两端点距离固定
∴这两条边的夹角固定
∵这两条边是任取的
∴三角形三个角都固定，进而将三角形固定
∴三角形有稳定性
任取n边形（n≥4）两条相邻边，则两条边的非公共端点被不止一条边连接埃菲尔铁塔
∴两端点距离不固定
∴这两边夹角不固定
∴n边形（n≥4）每个角都不固定
∴n边形（n≥4）没有稳定性
证毕。[1]三角形的稳定性使其不像四边形那样易于变形，有着稳固、坚定、耐压的特点。三角形的结构在工程上有
金字塔着广泛的应用。许多都是三角形的结构，如：，埃及等等。[1]
三边关系定理
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如图所示，P是矩形ABCD下方的一点，将△PCD绕P点顺时针旋转60°后恰好D点与A点重合，得到△PEA，连接EB，问△ABE是什么特殊三角形？请说明理由.
题型：解答题难度：中档来源：期末题
解：△ABE是等边三角形，理由如下：因为△PEA是将△PCD绕P点顺时针旋转60°后得到的，∴△PEA≌△PCD，且 AE 与 DC 所夹的锐角60°∴AE=DC. 又因为四边形ABCD是矩形， ∴DC=AB. 且DC∥AB∴AE=AB，且∠EAB=6∴△ABE是等边三角形.
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据魔方格专家权威分析，试题“如图所示，P是矩形ABCD下方的一点，将△PCD绕P点顺时针旋转60°后恰..”主要考查你对&&全等三角形的性质，等边三角形&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
现在没空？点击收藏，以后再看。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
全等三角形的性质等边三角形
全等三角形：两个全等的三角形，而该两个三角形的三条边及三个角都对应地相等。全等三角形是几何中全等的一种。根据全等转换，两个全等三角形可以是平移、旋转、轴对称，或重叠等。当两个三角形的对应边及角都完全相对时，该两个三角形就是全等三角形。正常来说，验证两个全等三角形时都以三个相等部分来验证，最后便能得出结果。全等三角形的对应边相等，对应角相等。①全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边;②全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角;③有公共边的，公共边一定是对应边;④有公共角的，角一定是对应角;⑤有对顶角的，对顶角一定是对应角。全等三角形的性质：1.全等三角形的对应角相等。2.全等三角形的对应边相等。3.全等三角形的对应边上的高对应相等。4.全等三角形的对应角的角平分线相等。5.全等三角形的对应边上的中线相等。6.全等三角形面积相等。7.全等三角形周长相等。8.全等三角形的对应角的三角函数值相等。&等边三角形定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，“等边三角形”也被称为“正三角形”。是特殊的等腰三角形。 如果一个三角形满足下列任意一条，则它必满足另一条，三边相等或三角相等的三角形叫做等边三角形：1.三边长度相等；2.三个内角度数均为60度；3.一个内角为60度的等腰三角形。性质：①等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。②等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）③等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线 或对角的平分线所在的直线。④等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。（四心合一）⑤等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)判定方法：①三边相等的三角形是等边三角形（定义）②三个内角都相等（为60度）的三角形是等边三角形③有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形④&两个内角为60度的三角形是等边三角形说明:可首先考虑判断三角形是等腰三角形。等边三角形的性质与判定理解：首先，明确等边三角形定义。三边相等的三角形叫做等边三角形，也称正三角形。其次，明确等边三角形与等腰三角形的关系。等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。
等比三角形的尺规做法：可以利用尺规作图的方式画出正三角形，其作法相当简单：先用尺画出一条任意长度的线段（这条线段的长度决定等边三角形的边长），再分别以线段二端点为圆心、线段为半径画圆，二圆汇交于二点，任选一点，和原来线段的两个端点画线段，则这二条线段和原来线段即构成一正三角形。
发现相似题
与“如图所示，P是矩形ABCD下方的一点，将△PCD绕P点顺时针旋转60°后恰..”考查相似的试题有：
84062117985240713165955433986132129