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蝴蝶定理（Butterfly theorem），是古典的最精彩的结果之一。蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，这个命题最早出现在1815年，而“蝴蝶定理”这个名称最早出现在《》1944年2月号，题目的几何图形象一只，便以此命名。这个定理的证法多得不胜枚举，至今仍然被数学热爱者研究，在考试中时有出现各种变形。
最基本的叙述为：设M为圆内PQ的中点，过M作弦AB和CD。设AD和BC各相交PQ于点X和Y，则M是XY的中点。
这个命题最早作为一个征解问题出现在公元1815年的一本杂志《男士日记》（Gentleman's Diary）39-40页上。登出的当年,英国一个自学成才的中学数学教师（他发明了方程近似根的）给出了第一个证明，完全是初等的；另一个证明由理查德·泰勒（Richard Taylor）给出。一种早期的证明由M.布兰德（Miles Bland）在《几何问题》（1827年）一书中给出。最为简洁的证法是的证法，由英国的在"A Sequel to the First Six Books of the Elements of Euclid"（中译：近世几何学初编，译，上海 1956 ）给出，只有一句话，用的是线束的。1981年，刊登了K.萨蒂亚纳拉亚纳（Kesirajn Satyanarayana）用的一种比较简单的方法（利用直线束，二次曲线束）。
该定理实际上是中一个定理的特殊情况，有多种推广：
M，作为圆内弦是不必要的，可以移到圆外。
圆可以改为任意。
将圆变为一个，M为对角线交点。
去掉中点的条件，结论变为一个一般关于有向线段的比例式，称为“”， 不为中点时满足: ,这对2，3均成立。
从向和作垂线，设垂足分别为和。类似地，从向和作垂线，设垂足分别为和。
证明蝴蝶定理
现在，由于
从这些等式，可以很容易看出：
因此，我们得出结论： ，也就是说，是的中点。蝴蝶定理_数学_天涯部落
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蝴蝶定理　　蝴蝶定理 　　蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上。由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理内容：圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。 　　出现过许多优美奇特的解法，其中最早的，应首推霍纳在职1815年所给出的证法。至于初等数学的证法，在国外资料中，一般都认为是由一位中学教师斯特温首先提出的，它给予出的是面积证法，其中应用了面积公式：S=1/2 BCSINA。1985年，在河南省《数学教师》创刊号上，杜锡录同志以《平面几何中的名题及其妙解》为题，载文向国内介绍蝴蝶定理，从此蝴蝶定理在神州大地到处传开。 　　这里介绍一种较为简便的初等数学证法。 　　证明：过圆心O作AD与BC的垂线，垂足为S、T，连接OX，OY，OM，SM，MT。 　　∵△AMD∽△CMB
　　∴AM/CM=AD/BC
　　∵SD=1/2AD，BT=1/2BC 　　∴AM/CM=AS/CT
　　又∵∠A=∠C 　　∴△AMS∽△CMT
　　∴∠MSX=∠MTY
　　∵∠OMX=∠OSX=90°
　　∴∠OMX+∠OSX=180°
　　∴O，S，X，M四点共圆
　　同理，O，T，Y，M四点共圆
　　∴∠MTY=∠MOY，∠MSX=∠MOX
　　∴∠MOX=∠MOY ，
　　∵OM⊥PQ
　　∴XM=YM
　　这个定理在椭圆中也成立，如图
　　１，椭圆的长轴A1、A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心为M（o，r）（b＞r＞0）。
　　（Ⅰ）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；
　　（Ⅱ）直线y=k1x交椭圆于两点Ｃ（x1,y1）,D(x2，y2)（y2＞０）；直线y=k2x交椭圆于两点Ｇ（x3，y3），Ｈ（x4，y4）（y４＞０）。
　　求证：k１x１x2／(x1+x2)=k2x3x4／(x3+x4)
　　（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的C，D，G，H，设CH交X轴于点P，GD交X轴于点Q。
　　求证： | OP | = | OQ |。
　　（证明过程不考虑CH或GD垂直于X轴的情形）
　　2．解答：北京教育考试院招生考试办公室专家在公布的《2003年全国普通高等学校招生统一考试试题答案汇编》中给出的参考解答如下：
　　（18）本小题主要考查直线与椭圆的基本知识，考查分析问题和解决问题的能力。满分15分。
　　（Ⅰ）解：椭圆方程为x2/a2+(y-r)2/b2=1
　　焦点坐标为
　　（Ⅱ）证明：将直线CD的方程y=k?x代入椭圆方程，得b2x2+a2(k1x-r)2=a2b2，
　　整理，得
　　(b2+a2k12)x2-2k1a2rx+(a2r2-a2b2)=0
　　根据韦达定理，得
　　x1+x2=2k1a2r/(b2+a2k12)， x1·x2=(a2r2-a2b2)/( b2+a2k12)，
　　所以x1x2/(x1+x2)=( r2-b2)/2k1r ①
　　将直线GH的方程y=k2x代入椭圆方程，同理可得
　　x3x4/(x3+x4)=( r2-b2)/2k2r ②
　　由①，②得k1x1x2/(x1+x2)=(r2-b2/2r=k2x3x4/(x3+x4) 　　所以结论成立。
　　（Ⅲ）证明：设点P（p，o），点Q（q，o）。
　　由C，P，H共线，得
　　(x1-p)/( x4-p)=k1x1/k2x4
　　解得P=(k1-k2)x1x4/(k1x1-k2x4)
　　由D，Q，G共线，同理可得
　　q=(k1-k2)x2x3/(k1x2-k2x3)
　　由k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)，变形得：
　　x2x3/(k1x2-k2x3)=x1x4/(k1x1-k2x4)
　　即：(k1-k2)x2x3/(k1x2-k2x3)=(k1-k2)x1x4/(k1x1-k2x4)
　　所以 |p|=|q|，即，|OP|=|OQ|。
　　3．简评
　　本小题主要考查直线与椭圆等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力。试题入门容易，第（Ⅰ）问考查椭圆方程、待定系数法、坐标平移和椭圆性质：焦点坐标、离心率、看图说话即可解决问题，但考查的却都是重点内容。
　　第（Ⅱ）问是典型的直线与椭圆的位置关系问题。待证式子中含有x1x2，x1+x2，x3x4，x3+x4这样的对称式，式子结构对称优美，和谐平衡，使人很容易联想起一元二次方程根与系数关系的韦达定理，启示了证明问题的思路。这里用到了解析几何最根本的思想和最根本的方法。解两个联立的二元二次方程组，用代入消元法得到一元二次方程，分离系数利用韦达定理给出关于x1x2，x1+x2，x3x4，x3+x4的表达式，再分别代入待证式两边运算即达到证明目的。证明的过程中，由两个联立方程组结构的相似性运用了“同理可得”，整个证明过程也令人赏心悦目，感受到了逻辑证明与表达的顺畅、简约的美的魅力。
　　第（Ⅲ）问证明中用到了三点共线的充要条件，用到了过两点的直线的斜率公式，分别解出p，q以后，|OP|=|OQ|等价转化成了p= -q（或p+q=0。）此时分析前提条件（Ⅱ）及待证结论p= -q，关键在于沟通k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)与x1x4/(k1x1-k2x4)=-x2x3/(k1x2-k2x3)的联系。参考解答中的表述略去了一些变形的中间过程，使人不易看出沟通的线索，以及命题人变形的思路，因此读者理解起来感到困难。如果将两式做如下变形，则思路就显然顺畅自然。
　　设：k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)为①式，两边同取倒数，得
　　1/k1x2+1/k1x1=1/k2x4+1/k2x3 ①’
　　设：x1x4/(k1x1-k2x4)=-x2x3/(k1x2-k2x3)为 ②式，两边同取倒数，得k1/x4-k2/x1=k2/x2-k1/x3，移项得k2/x1+k2/x2=k1/x3+k1/x4 ②’
　　将①’两边同乘以k1·k2，即得
　　k2/x1+k2/x2=k1/x3+k1/x4
　　它与②’完全一样。这里利用两式同时变形的方法可以较容易实现目的，有分析、有综合，有思维，有运算。思路的选择有赖于对式子特征的观察联想。
　　综观这道题的题目特征及解答过程，我们看到了用代数方程但方法处理几何问题的作用与威力。
　　4．赏析：
　　上面我们看到，试题的结构及其解答都令人感到赏心悦目，至此，我们不禁要追问一句：试题是怎么命制出来的？它的背景是什么？它对我们的数学学习与教学、高三复习与备考有什么启示？
　　关于圆，有一个有趣的定理：
　　蝴蝶定理 设AB是圆O的弦，M是AB的中点。过M作圆O的两弦CD、EF，CF、DE分别交AB于H、G。则MH=MG。
　　这个定理画出来的几何图，很像一只翩翩飞舞的蝴蝶，所以叫做蝴蝶定理（图2）。
　　盯着试题的图1仔细看，它像不像椭圆上翩翩飞舞的蝴蝶？
　　像，而且像极了。试题的证明过程及结果告诉我们，椭圆中蝴蝶定理依然成立，而且是用解析方法证明的。如果令椭圆的长轴，短轴相等，即a=b，则椭圆就变成了圆，椭圆中的蝴蝶定理就变成了圆上的蝴蝶定理，上面的证明一样适用。由于椭圆也可以看作将一个圆经“压缩变换”而得，故圆上的蝴蝶定理经“压缩变换”也可以变成椭圆上的蝴蝶定理。“翩翩蝴蝶舞椭圆，飞落高考数学花。”读者诸君欣赏至此，是否体会到了数学命题几何专家命制高考试题的“高招”及良苦用心？
　　[关于“椭圆上的蝴蝶”，张景中院士在其献给中学生的礼物一书《数学家的眼光》“巧思妙解”一节中有着精妙的论述，有兴趣的读者请参阅该书P54-59]。
　　5．启示
　　椭圆上的蝴蝶翩翩飞舞，飞落到了北京数学高考试题的百花（草）园，令人欣喜异常。它虽然有着竞赛数学、仿射变换、数学名题的背景，然而这里证明它，却只用到了教科书里反复提到的三点共线问题和斜率公式，用到了解析几何最基本的方法。高级中学课本《平面解析几何》全一册（必修）数处提到三点共线问题，如P13习题一第14题：已知三点A（1，-1）、B（3，3）、C（4，5）。求证：三点在一条直线上：P17练习4：证明：已知三点A、B、C，如果直线AB、AC的斜率相等，那么这三点在同一条直线上；P27习题二第9题：证明三点A（1，3）、B（5，7）、C（10，12）在同一条直线上；P47复习参考题一第3题：用两种方法证明：三点A（-2，12）、B（1，3）、C（4，-6）在同一条直线上。你看，课本上的练习、习题、复习参考题，反复提到了三点共线的证明，并且强调用不同的方法来证明。为什么？你（老师、学生）关注到了它吗？
　　实际上，三点共线的不同证明，可以把解析几何第一章的重点基础知识充分调动起来，组织起来。你可以用基本公式——平面上两点间的距离公式 　　证明｜AC｜=｜AB∣+∣BC∣；你也可以应用定比分点公式x=（x1+λx2）/（1+λ）,y=（y1+λy2）/（1+λ）去证λ=（x1-x）/（x-x2）=（y1-y）/（y-y2）；你可以用过两点的直线的斜率公式Kp1p2=（y2-y1）/（x2-x1），去证KAB=KAC；你还可以先建立直线AB的方程f(x,y)=0，然后验证点C的坐标适合直线AB的方程即f(x,y)=0；你也可以在建立直线AB的方程之后，利用点到直线的距离公式　
　　证明dc-AB=0；你还可以计算△ABC的面积，去证Ｓ△ABC=0。你看，有五、六种方法可以解决同一个问题，当然难度有高有低。一题多解中选择方法、优化方法也是能力（洞察、观察）的体现，从比较中才可以鉴别方法的优劣。据说考试下来，有一些重点中学的尖子生对自己没能解答出第（Ⅲ）问很懊悔，一些老师也说这个题目“运算量太大难以完成”！不知读者诸君欣赏至此，能不能发现上述问题的症结究竟发生在哪里？北京市有许多重点中学的师生，对高中数学课本的习题不屑一顾，很少去钻研教材中的例题、习题，去寻求与发现知识之间的内在联系，去总结解题的原则、思路与规律。各种各样的复习资料，几十套几十套的各地模拟试卷，使高三学生跳进题海做得昏天黑地而难以自拔，这哪里还谈得上素质教育与培养能力？我们应当从欣赏“翩翩飞舞的椭圆蝴蝶”中去用心体会“精选题目充分利用题目的“营养”价值”在数学教学与复习中的重要作用，从而解放思想，勇敢大胆地摒弃“题海战术”。而要使学生跳出题海，老师就必须首先跳入题海，“题海探珠”，感悟数学教育改革的真谛。——注重基础、注重理解、注重联系、注重能力。 　　补充：混沌论中蝴蝶定理
　　数学的一门分支是混沌论。混沌论中有一个非常著名的定理——蝴蝶定理。它是说，一些最轻微的因素，能够在复杂的环境中，引起滔天的巨浪，就好比地球南半球一只蝴蝶轻轻地扇动美丽的翅膀，那微小的气流，已足已引起北半球的飓风和海啸。
　　而我们怎能跟踪那叶尖的微微一颤呢？ 所以经济和气象都是不可预测的，正如人生无法预测。 　　蝴蝶定理的推广
　　如图I，是“蝴蝶定理”，有结论EP=PF；如图II，是“蝴蝶定理”的演变，点P，Q，R，S是否也存在某种关系呢？
　　所以过圆心O的两个同心圆内弦中点M作两条直线交圆于A、B、C、D、E、F、G、H，连AF、BE、CH、DG分别交弦于点P、Q、R、S，则有等式：成立。
　　证明：引理，如右图，有结论
　　由及正弦定理即可得到：
　　原结论
　　作OM1AD于M1，OM2EH于M2，
　　于是，MA - MD = MB - MC = 2MM1 = 2Msin；
　　MH - ME = MG - MF = 2MM2 = 2Msin
　　且MA*MD = ME*MH，MB*MC = MF*MG，代入上式，又
　　故原式成立
　　证毕。
&时间： 12:47:00
山东省实验中学学生引爆清北学堂2010寒假课程参训热潮
随着寒假的临近，全国各省已有数百所学校学生报名学习清北学堂寒假课程，其中仅山东省就有五十余所重点中学学生报名。尤其值得一提的是，在全国都有重要影响的山东省实验中学，报名参加学习的学生特别多，数理化生信各科报名学生都在30人以上，素来被视为小学科的生物学科，报名人数也已达到了50余人。
清北学堂高中7+1课程2010寒假班在山东受到疯狂追捧，一是因为清北学堂课程具有“规划+实施”的系统性特色；二是因为清北学堂课程具有完善的前后端教学服务；三是因为清北学堂具有名牌大学教授、国家顶级金牌教练、国际金牌助教完美搭配的师资体系；四是因为8年来近4000学员升入清华北大、95%以上学员升入名牌大学的卓越教学成果。在各种教学服务不断完善的基础上，-10日，多年到北京清北学堂授课的北京大学李伟固教授（数学）、北京大学严宣申教授（化学）、复旦大学方小敏教授（物理）、首都师范大学图立红教授（生物）、清华大学的唐文斌、胡伟栋、余林韵、陈丹琦、高逸涵（信息学）等国家队教练，再次领衔高中数学、物理、化学、生物、信息学五大学科全国顶级奥赛师资团队，为清北学堂学生献上最精彩的授课，帮助全国优秀高中生和奥赛选手勇夺奖牌，进入清华北大等全国一流大学深造。
仅就生物学科而言，第一，它是从寒假到五一为期5个月、名师面授与远程辅导相结合的完整学习体系，是有保证获奖否则全额退学费的保过班；第二，它是面向2010年全国中学生生物学竞赛参赛选手的强化冲刺课程，配备了密集而系统的专题学习训练，具有极强的针对性；第三，根据最新的《全国中学生生物学竞赛（初赛）流程和考试大纲》设计，与生物学科特点和学习规律完美结合；第四，特聘全国顶级生物竞赛名师和金牌教练，为学生提供最准确的竞赛信息和命题趋势分析，确保学生迅速提高竞赛能力，轻松获奖；第五，专为清北学堂高中7+1学习体系而设计的“生物竞赛保过班入学自测评估性考试”，可以帮助学生对自己的潜力做出科学的评估，也为教练根据学生水平进一步优化课程教学设计提供了科学依据；等等。
“生物竞赛保过班入学自测评估性考试”试卷由江西省最知名生物竞赛教练张斌老师命题。张斌老师是全国优秀教师，全国生物竞赛优秀辅导员，江西省骨干教师，南昌市骨干教师，江西省电化教育教材审查委员会学科专家；江西省动物学会理事，江西省植物学会理事，南昌市生物学会理事，南昌市教育学会中学生物会理事；参加优质课比赛先后获得江西省和全国一等奖，擅长讲授《生物化学》、《遗传与进化》、《植物形态解剖学》、《植物系统学》、《植物生理学》等。张斌老师连续独立辅导生物竞赛五年，可以讲授全部内容，对生物竞赛有深入的研究。经常被邀请到省内外中学或培训班进行生物竞赛或高考学术讲座；担任南昌二中生物竞赛辅导唯一教练，蝉联江西赛区四年的团体冠军，共有26位学生获得全国联赛一等奖（占全省1/4强）、5位学生进入冬令营（占全省1/3强）。
此外，日、9日、17日，清北学堂还推出三次生物竞赛辅导网络公开课。1月1日黄森老师（全国著名生物竞赛教练、人大附中生物老师）公开课大获成功：科学的课程设计，高水平的授课指导，赢得了全国师生广泛赞誉，各重点高中师生纷纷注册听课，其中过半师生表示希望报名参加清北学堂2010年生物竞赛保过班学习。为了保障学生学习需求和学习效果，被迫增加少量学习名额。欲参加学习者请抓住最后机会，尽快报名，额满即止。
2010年清北学堂寒假班信息
免费下载学习资料“集训一、集训六入学自测评估性考试试卷”，试题系全国顶级奥赛名师教练专门为清北学堂高中7+1学习体系而设计，系统体现了清北学堂教育产品与服务的“规划+实施”的卓越特色。-10日，多年到北京清北学堂授课的北京大学李伟固教授（数学）、北京大学严宣申教授（化学）、复旦大学方小敏教授（物理）、首都师范大学图立红教授（生物）、清华大学的唐文斌、胡伟栋、余林韵、陈丹琦、高逸涵等国家队教练，再次领衔高中数学、物理、化学、生物、信息学五大学科全国顶级奥赛师资团队，为清北学堂学生献上最精彩的授课，帮助全国优秀高中生和奥赛选手勇夺奖牌，进入清华北大等全国一流大学深造。三个月升入名牌大学的总设计师——清北学堂。咨询电话：010- （0） 或登录查看。
&时间： 17:20:51
　　我证了一个体蝴蝶，建一个联结在这。　　http://lingganlaoshi./blog/static//
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